Конспект по математике на тему: Предел функции. 1, 2 замечательный предел (2 курс СПО)

Тема: «Предел функции. 1, 2 замечательный предел»
Выполнение упражнений
Первый замечательный предел.
limx→0sinxx=11.limx→0sin6x4x=32limx→0sin6x6x=32∙1=322.limx→01-cosxx2=limx→02sin2x2x2=12limx→0(sin x2x2)2=1/2∙12=1/2.
Второй замечательный предел
limn→∞1+1nn=limy→01+y1y=e, 2<e<3, e=2,718281…, e-иррациональное число.1.limx→∞1+5x 3x=limx→∞1+5xx5 5 x∙ 3x= limx→∞1+5xx515=e15.2.limy→01-3y2y=limy→0(1-3y)-13y-3y ∙ 2 y=limy→0(1-3y)-13y-6=e-6.Упражнения
1.limx→73x+5x-5=3∙7+57-5=13.2.limx→53x+5x-5= ∞Так как числитель при х стремящейся к 5 равен 20, является ограниченной функцией, а знаменатель стремится к нулю, является бесконечно малой величиной.
3.limx→∞sinxx=0 (|sinx| ≤1,ограниченная функция, х бесконечно большая функция)
4.limx→∞xcos1x=0(произведение бесконечно малой величины х на ограниченную функцию | cos1x|≤1)
5.limx→12x2-x-1x-12=00=limx→12x+12x-1x-12=limx→12x+1x-1 =∞.(числитель разложили на множители по формуле квадратного трехчлена)
6.limx→2x+2-6-xx2-4=00= limx→2x+2-6-xx+2+6-xx2-4x+2+6-x= =lim x→22(x-2) (x -2)(x +2)(x+2+6-x)=lim x→22 x +2x+2+6-x=18(числитель и знаменатель умножили на сопряженный множитель)
7.limx→1x-13x-1=00=limt→1t3-1t2-1=limt→1t -1(t2+t+1)t-1(t+1)=limt→1 (t2+t+1) (t+1)=32(замена переменной)
Замечание. Предел отношения двух многочленов равен нулю, отношению коэффициентов при старших степенях x или ∞, если показатель степени числителя соответственно меньше, равен или больше показателя степени знаменателя.
1.lim x→∞3x2+24x5+3x+1= ∞∞=02.lim x→∞3x5+24x5+3x+1= 343.lim x→∞3x5+24x3+3x+1= ∞Упражнения
1.limx→-∞2x+1+3x+12x+3x=00=limx→-∞2+332x1+ 32x=2+01+0=2 (делим на2x)
2.limx→∞4x+sinxx-cosx=∞∞=limx→∞4+sinxx1-cosxx=4+01-0=4. (делим на х)
(limx→∞ sinxx=0, limx→∞cosxx=0)3.limx→0sin4xsin8x=00=12limx→0sin4x4x÷sin8x8x=121÷1=124.limx→∞ln1+1xx=limx→∞1+1xx=lne=15.limx→0sinxx2=limx→0sinxx∙1x=∞6.limx→01+2xsinxx2=1∞=limx→01+2x12x2sinxx=limx→01+2x12x2limsinxxx→0=e27.


8.
Упражнения.
1.limx→19x2-6x+8 lim x→2x2-5x+6x-2 limx→1x-1x-12.limx→4x4-2x+5 limx→-1x3+x2-118x2+5 limx→-2x3+8x+23.limx→2x2-4x-2 limx→1x2+x-2x-1 limx→1x2-xx-14.limx→15-x-22-x-1 limx→031+x-1x limx→1x-1x+1 5.limx→∞3x3+x+414-x2-x3 limx→∞3x3+x-414-x2-6x3 limx→∞30x3+x+414-8x2-3x36.limx→∞1-3x2x+3 limx→∞3x2-5x-67x2+8x-9 limx→∞x-13x3-2x2-3x7.limx→13x+x22x2+x+1 limx→1x2-2x-3x2-5x+6 limx→1x2-3x+2x2-4x+38.limx→-1x2-15x2+4x-1 limx→1x6-1x3-1 limz→2x3-3x-2x3-89.limx→5x-1-2x-5 limx→83x-2x-8 limx→1x-13x-110.limx→01-xx+3-2 limx→0x2x2+4-2 limx→02x2x2+4-2 11.limx→0x5-x-5+x limx→32x+10-4x-3 limx→0x3-x-3+x