Конспект открытого урока по алгебре в 9 классе на тему: Арифметическая и геометрическая прогрессии

Конспект урока по алгебре в 9а классе по теме: «Арифметическая и геометрическая прогрессии»
Учитель математики Белова Алина Юрьевна МБОУ «ЦО№2» г.Чебоксары
Цели урока:
Дидактическая:
- систематизировать знания по изучаемой теме,
- применять теоретический материал при решении задач,
- формировать умение выбирать наиболее рациональные способы решения,
Развивающая:
- развивать логическое мышление,
- продолжить работу по развитию математической речи,
Воспитательная:
- формировать эстетические навыки при оформлении записей,
- формировать у учащихся самостоятельность мышления и интерес к изучению предмета.
Оборудование:
Компьютер, проектор, презентация: «Арифметическая и геометрическая прогрессии».
Ход урока:
Организационный момент
Учитель. В жизни бывает так, что величины изменяются с течением времени на одно и то же значение. Например, поезд едет со скоростью 80 км/ч, он за каждый час увеличивает пройденный путь на одно и то же количество километров. Верблюд, идущий по пустыне, ежедневно уменьшает свои запасы воды в горбах на одно и то же количество. Человек каждый год увеличивает свой возраст на одну и ту же величину.
Ребята, как можно объединить все эти примеры?
Ученик. Это примеры арифметических прогрессий.
Учитель. Продолжаю дальше приводить примеры. Многие микроорганизмы размножаются делением пополам, поэтому при благоприятных для них условиях, через одинаковые промежутки времени их число удваивается, Радиоактивные вещества имеют определенный период полураспада. Это значит, что через одинаковые промежутки времени масса куска такого вещества будет убывать вдвое. Вклад в сбербанк за каждый год возрастает на одно и то же количество процентов, т.е. в одно и то же число раз.
А эти примеры как можно объединить?
Ученик. А это примеры геометрических прогрессий.
Учитель. Сформулируйте тему сегодняшнего урока.
Ученик. Арифметическая и геометрическая прогрессии.
Учитель. Какова же учебная задача?
Ученик. Обобщить и систематизировать знания по данной теме.
 (записывают тему урока в тетрадях)
2.Математический диктант:
Какая последовательность?
1) 2; 5; 8; 11;14; 17;…
2) 3; 9; 27; 81; 243;…
3) 1; 6; 11; 20; 25;…
4) –4; –8; –16; –32; …
5) 5; 25; 35; 45; 55;…
6) –2; –4; – 6; – 8; …
Истинно или ложно каждое высказывание?
1. В арифметической прогрессии
2,4; 2,6;… разность равна 2.
2. В геометрической прогрессии
0,3; 0,9;… третий член равен 2,7
3. 11-ый член арифметической прогрессии, у
которой равен 0,2
4. Сумма 5 первых членов геометрической прогрессии,
у которой b =1, q = -2 равна 11.
5. Последовательность чисел, кратных 5,
является геометрической прогрессией.
6. Последовательность степеней числа 3
является арифметической прогрессией.
3.Сравнительная характеристика прогрессий
Учитель. Назовите сходство и различие у прогрессий.
Ученики. Каждая из этих прогрессий является числовой последовательностью, каждая имеет формулу п-го члена, характеристическое свойство, формулу суммы п-первых членов.
Но запись формул разная, т.к. у одной разность, а у другой знаменатель, которые и определяют различия.
Учитель. Проведем сравнительную характеристику с помощью таблицы. 
Арифметическая прогрессия Геометрическая прогрессия
Определение Определение
   
Формула п-го члена Формула п-го члена
   
Основное (характеристическое) свойство Основное (характеристическое) свойство
   
Формула суммы п-первых членов Формула суммы п-первых членов
 
Прочитав подряд определения арифметической и геометрической прогрессий можно обратить внимание на то, что они похожи. Надо лишь заменить сложение умножением или наоборот. А зная формулу n-го члена арифметической прогрессии, можно получить формулу для геометрической прогрессии, если заменить сложение умножением и умножение - возведением в степень
аn = а1 + (n -1)d,  bn= b1*qn-1 .
“Родство” прогрессий становится еще более заметным, если вспомнить их характеристические свойства
an = ,  bn = .
Здесь тоже достаточно заменить сложение умножением, а деление на 2- извлечением корня второй степени, и из характеристического свойства арифметической прогрессии получится характеристическое свойство геометрической прогрессии.
4.Работа в тетрадях с проверкой.
1) Дано: (а n ) арифметическая прогрессия
а1 = 5 d = 3
Найти: а6 ; а10.
2) Дано: (bn ) геометрическая прогрессия
b1= 5 q = 3
Найти: b3 ;b5.
3) Дано: (а n ) арифметическая прогрессия
а4 = 11 d = 2
Найти: а1 .
4) Дано: (bn ) геометрическая прогрессия
b4= 40 q = 2
Найти: b1.
5) Дано: (а n ) арифметическая прогрессия
а4=12,5; а6=17,5
Найти: а5
6) Дано: (bn ) геометрическая прогрессия
b4=12,5; b6=17,5
Найти: b5
Самостоятельная работа.
(класс решает самостоятельную работу на 10 минут)
1)Дано: (а n ), а1 = – 3, а2= 4. Найти: а16 – ?2)Дано: (bn ) , b12= – 32, b13 = – 16. Найти:q– ?3)Дано: (а n ), а21 = – 44, а22 = – 42.Найти:d - ?
4)Дано: (bn ) ,bп>0, b2 = 4, b4 = 9.Найти:b3 – ?
5)Дано: (а n ), а1 = 28, а21 = 4. Найти:d -?
6) Дано: (bn) , q = 2. Найти:b5– ?7) Дано: (а n ), а7 = 16, а9= 30.Найти: а8 –?
5.Физкультминутка.
Нажать на смайлик для начала физкультминутки.
6.А сейчас у нас историческая страничка, посвященная прогрессиям.
Сообщения двух учащихся.
Назад в историю.
На связь между прогрессиями первым обратил внимание великий АРХИМЕД (ок. 287–212 гг. до н.э.)
Термин «прогрессия» был введён римским автором Боэцием (в 6 веке) и понимался в более широком смысле, как бесконечная числовая последовательность. В переводе с латинского, слово progressio означает «движение вперёд». Названия «арифметическая» и «геометрическая» были перенесены из теории непрерывных пропорций, которыми занимались древние греки.
Формула суммы членов арифметической прогрессии была доказана древнегреческим учёным Диофантом (в 3 веке). Формула суммы членов геометрической прогрессии дана в книге Евклида «Начала» (3 век до н.э.).
Правило для нахождения суммы членов произвольной арифметической прогрессии впервые встречается в сочинении «Книги абака» в 1202г. (Леонардо Пизанский)
А общее правило для суммирования любой конечной геометрической прогрессии встречается в книге Никола Шюке «Наука о числах», увидевшей свет в 1484 году.
Интересные факты из практического применения арифметической и геометрической прогрессии.
Учащиеся с места читают по одному факту.
1) Химия. При повышении температуры по арифметической прогрессии скорость химических реакций растёт по геометрической прогрессии.
2) Геометрия. Вписанные друг в друга правильные треугольники образуют геометрическую прогрессию.
3) Физика. И в физических процессах встречается эта закономерность. Нейтрон, ударяя по ядру урана, раскалывает его на две части. Получаются два нейтрона. Затем два нейтрона, ударяя по двум ядрам, раскалывает их ещё на 4 части и т.д. – это геометрическая прогрессия.
4) Биология. Микроорганизмы размножаются делением пополам, поэтому при благоприятных условиях, через одинаковый промежуток времени их число удваивается.
5) Экономика. Вклады в банках увеличиваются по схемам сложных и простых процентов. Простые проценты – увеличение первоначального вклада в арифметической прогрессии, сложные проценты – увеличение в геометрической прогрессии.
7.Решение заданий ГИА. ( разбор задач на доске )1) Пятый член арифметической прогрессии равен 8,4, а ее десятый член равен 14,4. Найдите пятнадцатый член этой прогрессии.
2) Число –3,8 является восьмым членом арифметической прогрессии (ап), а число –11 является ее двенадцатым членом. Является ли членом этой прогрессии число ап =-30,8?
3) Между числами 6 и 17 вставьте четыре числа так, чтобы вместе с данными числами они образовали арифметическую прогрессию.
4) В геометрической прогрессии b12= 315 и b14 =317. Найдите b1.
8.Домашнее задание
П.24-29,№687,710
9.Итог урока:
Анализ и оценка успешности достижения целей урока.
Выставление оценок.
Намечается перспектива последующей работы.