Урок в режиме модульной технологии: Исследование функции на монотонность

Ход урока
Этапы Деятельность учителя Деятельность учащихся
I. ОргмоментПриветствует учащихся, проверяем готовность к уроку, наличие на столах оценочных листов и путеводителей Приветствуют учителя, сообщают о наличии оценочных листов и путеводителей.
II. Целеполагание и мотивация Объявляет тему. Предлагает сформировать цели урока, прочитав цели учебных блоков. Записывает на доске цели по уровням. Почему важно уметь исследовать функцию на монотонность? Работают с путеводителем, формируют цели, определяют для себя объём работы на уроке и записывают цели в тетрадь.
III. Актуализация. Задаёт учащимся вопросы блока № 1.
Обобщаем:
Итак, мы вспомнили правила нахождения производных, геометрический и механический смысл производной. Но производная ещё широко используется для исследования функции, т.е. для изучения различных свойств функций. Так, выполняя задание № 4, мы находили промежутки монотонности по рисунку. А сегодня на уроке мы будем учиться исследовать функцию на монотонность с помощью производной, не выполняя рисунка. В тетради пишем: Работают устно с учителем, отвечают на вопросы блока № 1.
Слушают.
IV. Первичное усвоения и осмысление учебного материала. Систематизация и применение знаний и умений, проверка уровня усвоения (см. путеводитель)
1) Напоминаем суть работы с путеводителем, объясняет, что оценка за урок (т.е. за весь модуль) зависит от суммы n набранных баллов по всем учебным блокам.
Если n ≥ 11, то ученик получает оценку " 5 "
при 8 ≤ n ≤ 10 – " 4 "
при 3 ≤ n ≤ 7 – " 3 "
при n < 3 – " 2 ".
2) Консультирует учащихся, координирует их деятельность, по завершении самостоятельных работ демонстрирует ученику эталон ответа (решения)
Слушают.
Работают с путеводителем, решают задания для сам. работ, заполняют оценочные листы.
V. Рефлексия
Предлагает оценить свою деятельность на уроке, оценку поставить в оценочный лист, предлагает ответить на вопросы блока № 5. Работают с текстом путеводителя (блок № 5)
VI. Домашнее задание Предлагает записать домашнее задание в зависимости от допустимых результатов на уроке. Учащиеся записывают уровневое д/з.
VII. Организованное окончание урока. Говорит: На этом урок закончен. Спасибо за работу. До свидания.
Приложение № 1
Оформление записей на доске
4. Начерчен график из блока № 1
число. Исследование функций на монотонность.
Цели:
I уровень: (запись)
II уровень: (запись)
III уровень: (запись) 1.
а) f(x) = - 7x2 + 3x2
б) f(x) =
в) f(x) = (4x – 1) (3 – 2x)
г) f(x) =
д) f(x) = cos 4x
на обратной стороне: n ≥ 11 – " 5 "
8 ≤ n ≤ 10 – " 4 "
3 ≤ n ≤ 7 – " 3 "
n < 3 – " 2 "
Приложение № 2
Оценочный лист учащегося
Фамилия
Имя
Учебные блоки Количество баллов за основные задания Количество баллов за корректирующие задания. Общее количество баллов за этап
№ 1
№ 2
№ 3
№4
Итоговое количество баллов Оценка Примечание: фамилия и имя в оценочном листе можно не писать, убрав эти строки, если оценочный лист сделан в тетради.
Путеводитель
Учебный блок № 1
Цель: повторить правила вычисления производной геометрический и механический смысл производной.
Указания учителя:
Поработай устно с учителем. За каждый верно данный тобой ответ поставь в оценочный лист 1 балл
Вопросы.
Найдите производную функции
а)f(x) = - 7x6 + 3x2г) f(x) =
б) f(x) =
в) f(x) = (4x – 1) (3 - 2x)д) f(x) = cos 4x
В чём состоит геометрический смысл производной?
В чём состоит механический смысл производной?
По рисунку найдите промежутки монотонности функции и промежутки, где y = 0 и y < 0.
y

1

-11 -7,3 -4,8 -2,5 1 3 6 8,3 x
Учебный блок № 2
Цель: познакомиться с достаточным признаком возрастания (убывания) функция; уметь определять знак производной в указанных точках на заданном рисунке; уметь по заданному алгоритму исследовать простые целые рациональные функции на монотонность.
Указания учителя
Внимательно прочитай данные ниже пояснения.
Рассмотрим рисунок 1.

yy=f(x)ℓ


α 0 a cbx
(рис 1)
Касательная ℓ, проведенная к графику функции y = f(x) образует с положительным направлением оси Ox острый угол α. Тангенс острого угла положителен и мы знаем, что tg α равен значению производной функции в точке касания, т.е. tg α = f '(c) и f '(c) > 0. Точка c лежит внутри интервала (а; в), на котором производная положительна (f '(c) > 0) и функция y = f(x) возрастает (см. рис. 1). Значит можно сформировать достаточный признак возрастания функции:
Если f '(x) > 0 в каждой точке интервала L, то функция f возрастает на L.
Рассмотрим теперь рисунок 2.

y
ℓ
y= f(x)

α x
0 a c b

(рис 2)
Касательная ℓ, проведённая к графику функции y = f(x) образует c положительным направлением оси Ox тупой угол α. Тангенс тупого угла отрицателен, а т.к. tg α = f '(c), то и f '(c) тоже отрицательно, т.е. f '(с) < 0. Точка c лежит внутри интервала (а; в) на котором производная отрицательна (f '(c) < 0) и функция y = f(x) убывает (см. рис. 2). Значит можно сформировать достаточный признак убывания функции:
Если f '(x) < 0 в каждой точке интервала L, то функция f убывает на L.
Запишите в тетрадь алгоритм исследования функции на монотонность.
Найти область определения функции (D(f))
Найти производную функции f '(x) = 0
Решить уравнение f '(x) = 0
Отметить на оси Ox точки разрыва функции (см. n. 1) и нули производной (см. n. 3)
Определить в каждом промежутке знак производной.
Если производная имеет знак " + ", то функция возрастает (рисуем )Если производная имеет знак " – ", то функция убывает (рисуем )Выписать ответ
Пример 1. Определите, какой знак имеет производная функции y = f(x) в точках c абсциссами a, b, c, d, если график функции изображён на заданном рисунке.
Решение:
f '(a) > 0 и f '(b) > 0, т.к. точки a и b лежат на промежутке, где функция возрастает f '(c) < 0, т.к. промежуток, где лежит точка c, это промежуток убывания функции.
f '(d) > 0, т.к. точка d лежит на промежутке возрастания.

y
d x
a b c
Оформление записей в тетради:
f '(a) > 0f '(c) < 0
f '(b) > 0f '(d) > 0
Пример 2. Определите промежутки монотонности функции.
y = 5x2 + 15x – 1
Решение:
Работаем по алгоритму.
D(y) = R
y' = (5x2)' + (15x)' – 1' = 10x + 15
y' = 0,10x + 15 = 0
10x = - 15
x = - 1,5Здесь точка разрыва нет, т.к. D(y) = R, значит на числовой оси будет только число – 1,5
- + x
- 1.5
y' (- 2) = 10 ∙ (- 2) + 15 = - 20 + 15 = - 5, - 5 < 0
(берём число из левого промежутка и подставляем, во второй пункт т.е. в производную)
y' (o) = 10 ∙ 0 + 15 = 15, 15 > 0
Рисуем стрелки
Т.к. D(y) = R, то выписывая ответ, мы можем число – 1,5 присоединить к промежутку (т.е) сделать скобку квадратной)
Ответ: y убывает при x Є (- ∞; - 1,5]y возрастает при x Є [- 1,5; + ∞)
Если вы разобрались в примерах 1 и 2 то выполните письменно самостоятельную работу.
Задания для самостоятельной работы (на 10 минут)
I вариантII вариант
1. Определите, какой знак имеет производная функции y = f(x) в точках c абсциссами a, b, c, если график функции изображён на заданном рисунке. (1 балл)
y y



b x x a 0 c a d 0 c
Определите промежутки монотонности функции. (2 балла)
y = x2 – 5x + 4y = - x2 + 8x – 7
Указания учителя: если вы выполнили работу, то поднимите руку и попросите правильные ответы у учителя. Проставьте заработанные баллы в оценочный лист в графу "Основные задания".
Если вы набрали в этом блоке 3 балла. То переходите к следующему блоку, если же меньше, то прорешайте, соответствующее задание другого варианта и проставьте баллы в графу "Корректирующие задания".
Учебный блок № 3
Вы прошли I уровень усвоения материала.
Цель: определять по графику производной промежутки монотонности функции; применять алгоритм нахождения промежутков монотонности функции для дробно-рациональных функций, для функции которые только, возрастают на области определения или только убывают.
Указания учителя
Прочитайте и разберитесь в данных ниже примерах.
Пример 1. По графику производной, изображенному на заданном рисунке, определите, на каких промежутках функция y = f(x) возрастает, а на каких убывает.
y
1
-5 2,5 x
1

y= f΄(x)
Решение:
Мы знаем, что если f '(x) > 0, то функция возрастает, а если f '(x) < 0, то функция убывает.
На рисунке f '(x) > 0 при x Є (- 5; 2,5) (именно на этом промежутке график производной выше оси Ox, т.е. производная принимает положительные значения). Значит на этом промежутке (- 5; 2,5) функция будет возрастать.
f '(x) < при x Є (- ∞; - 5) и при x Є (2,5; + ∞) (график ниже оси Ox) значит на этих промежутках функция будет убывать
Оформление записей в тетради.
f '(x) > 0 при x Є (- 5; 2,5) => f(x) – возр. при x Є (- 5; 2,5)
f '(x) < 0 при x Є (- ∞; - 5) и при x Є (2,5; + ∞) => f(x) – убывает при x Є (- ∞; - 5) и
при x Є (2,5; + ∞)
Примечание: если функция непрерывна, то числа можно присоединить к промежуткам (скобки у чисел сделать квадратными).
всех точках открытого промежутка x производная принимает лишь п
Теорема 1. Если во оложительные значения (f '(x)) то функция y = f(x) возрастает на x

Равенство f '(x) = 0 может выполняться в отдельных точках и не выполняться ни на каком сплошном промежутке.
Теорема 2.Если во всех точках открытого промежутка x производная принимает лишь отрицательные значения, то функция y = f(x) убывает на x
Пример 2. Докажите, что функция возрастает на всей числовой прямой.
а) y = x5 + 3x3 + 7x + 4б) y = 2x – cos x + 8
Решение.
а) x2 + 3x3 + 7x + 4
D(y) = R
y' = (x5)' + (3x3)' + (7x)' + 4' = 5x4 + 9x2 +7
Очевидно, что для любого x
5x4 + 9x2 + 7 > 0 (сумма чётных степеней и положительного числа 7)
а если f '(x) > 0, то функция возрастает
Ответ: y возр. на R.
б) y = 2x – cos x + 8
D(y) = R
y' = (2x)' – (cos x)' + 8' = 2 + sin x
Значения функции y = sin x – это отрезок [-1; 1]. Самое маленькое значение v – 1, к нему прибавим 2, получим 1, 1 > 0 значит производная y' = 2 + sin x принимает лишь положительные значения и значит функция возрастает на R.
Ответ: y возрастает на R.
Пример 3. Исследовать функцию на монотонность.
f(x) =
Решение: работаем по алгоритму.
D(f) = (- ∞; 0) (0; + ∞)
f '(x) =
f '(x) = 0, ∙ x2, x2 ≠ 0
x2 – 36 = 0
x2 = 36
x = ± 6

+ - - + x
-6 0 6
Здесь число 0 – это выколотая точка, т.к. это точка разрыва функции. В остальных же точках функция непрерывна, поэтому – 6 и 6 – закрашенные.
f '(- 7) = > 0
f '( - 1) = < 0
f '(1) = < 0
f '(7) = > 0
Ответ: f(x) возр., при x Є (- ∞; - 6] и при x Є [ 6; + ∞)
f(x) уб., при x Є [- 6; 0) и при x (0; 6]
Если вы разобрались в примерах 1 -3, то выполните письменно самостоятельную работу.
Задание для самостоятельной работы (15 – 20 минут)
I вариант II вариант
1. По графику производной изображённому на заданном рисунке, определите, на каких промежутках функция y = f(x) возрастает, а на каких убывает (2 балла)

y yy= f΄(x) y= f΄(x)

1 1
1 12. Докажите, что функция возрастает 2. Докажите, что функция убывает
на всей числовой прямой. на всей числовой прямой.
y = cos x + 3x + 10 y = sin x – 2x – 15
(2 балла) (2 балла)
Исследуйте функцию на монотонность

f(x) = f(x) =
(3 балла) (3 балла)
Подсказки: 1. Решайте аналогично примеру 1.
2. 1 вариант – решайте аналогично примеру 2.
2 вариант – найдите производную, путём рассуждений докажите, что y < 0 при всех x. Область значений функции y = cos x также отрезок [- 1; 1]
3. Решайте аналогично примеру 3.
Указания учителя.
Проверьте и оцените свою работу, правильные ответы возьмите у учителя. Исправьте ошибки, если они есть проставьте набранное количество баллов в оценочные листы.
Если вы набрали 7 баллов, то переходите к следующему блоку, если же меньше, то решайте задания другого варианта, аналогичное тому, в котором ошиблись.
Учебный блок № 4
Молодцы! Вы освоили решение заданий II уровня сложности.
Целью дальнейшей вашей работы будет применение своих знаний и умений в более сложных (нестандартных ситуациях)
Задание для самостоятельной работы
Исследуйте функцию на возрастание (убывание)
f(x) = x2 ∙ (x – 6)2 (2 балла)
Исследуйте функцию на монотонность
f(x) = – x (3 балла)
Исследуйте функцию на монотонность и постройте её график
y = x4 – 2x2 + 1 (3 балла)
Подсказки:
Раскройте квадрат разности по формуле (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 затем представьте функцию f(x), в виде многочисла и работайте по алгоритму.
1) Область определения функции найди с помощью таблицы из справочника.
2) При нахождении производной помни, что здесь сложная функция.
Исследуйте функцию по алгоритму. А построение выполняйте по точкам, заполнив таблицу.
Указания учителя.
Проверьте и оцените свои работы. Исправьте ошибки, если они есть, подсчитайте количество баллов, проставьте баллы в оценочный лист. Оцените свои работы в соответствии с суммой набранных баллов за весь урок.
Учебный блок № 5
Цель: Оценить результаты своей деятельности.
Указания учителя.
Ответьте устно на вопросы:
Что вы узнали на уроке?
Чему научились?
Что получилось хорошо и отлично?
Что нужно сделать, чтобы повысить результат? (ответ на этот вопрос запишите)
Запишите домашнее задание.
если вы заработали на уроке оценку " 5 ", то выполните дома
№ 283 (г), № 285 (а; г) с.142.
если вы получили оценку " 4 ", то сделайте дома
№ 281 (а), № 280 (в) с. 142
если у вас оценка " 3 " или " 2 ", то решайте дома
№279 (б; г) с. 142