Методика изучения применения производной для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции

«Методика изучения применения производной для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции »

Применение производной к исследованию функций, построению графиков, решению задач на нахождение наименьших и наибольших значений – важный раздел темы «Производная и ее применения». Материал этой темы используется при изучении многих классов функций: тригонометрических, показательной, логарифмической и т.д. он имеет также очень большое прикладное значение и играет большую роль в установлении межпредметных связей.
Заметим, что изучение применения производной к исследованию функции вызывает большие методические трудности, чем введение производной. Они возникают в связи с тем, что здесь сложнее логическая структура материала; в конечном счете основной факт для построения всей необходимой части теории – теорема о том, что непрерывная на отрезке функция принимает на нем наибольшее и наименьшее значения, - не входит в рамки школьного курса математики в силу своей большой сложности.
Одним из важных приложений производной является использование производной при решении задач на нахождение наибольшего и наименьшего значений. Такие задачи возникают, там где необходимо выяснить, как с помощью имеющихся средств достичь наилучшего результата, как получить нужный результат с наименьшими затратами.
На использовании производной основан достаточно универсальный метод решения таких задач. программа по математике предусматривает знакомство старшеклассников с этим методом и формирование у них умений применять его к решению задач.
Какую же работу следует проводить учителю в плане обучения старшеклассников указанному методу решения задач? Прежде всего следует познакомить их с тем, как с помощью производной можно находить наибольшее и наименьшее значение функции на различных промежутках.
Заметим, что использование производной позволяет найти такие значения или сделать вывод об их отсутствии для любой непрерывной на рассматриваемом промежутке функции, имеющей на этом промежутке лишь конечное число точек, в которых производная либо не существует, либо равна нулю. Такое исследование для любых промежутков можно осуществить на основе предварительного исследования функции на монотонность и экстремумы на соответствующем промежутке, которое проводится с помощью производной. Без предварительного исследования функции на монотонность и экстремумы нельзя обойтись в тех случаях, когда отыскивается наибольшее и наименьшее значение функции на бесконечном промежутке; в других случаях можно обойтись и без него, если пользоваться правилом нахождения наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке, что нередко приводит к более простому решению.
Работа может быть начата с постановки задачи нахождения наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке и обоснование соответствующего правила.
Опираясь на знания учащихся и на наглядные представления, развиваемые с помощью рассмотрения нескольких графиков функций, можно подвести к установлению и обоснования правила для нахождения наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.
Если класс не отличается достаточно хорошей математической подготовкой, то сначала следует обратить внимание на тот факт, что функция, монотонная на отрезке, принимает наибольшее и наименьшее значение на его концах. Для этого можно использовать графики монотонных функций.
Далее перед учащимися целесообразно поставить задачу отыскания наибольшее и наименьшее значение функции, заданной графиком на рисунке

Подчеркнув, что учащимся уже известно, как с помощью производной могут быть найдены точки экстремумы функции, и то, что все эти точки содержатся среди критических точек функции, учитель должен указать, что при отыскании наибольшее и наименьшее значений функции на отрезке часто бывает более целесообразно не выяснять, какие из критических точек функции являются точками экстремума, а рассмотреть значения, принимаемые функцией на концах этого отрезка и в критических точках, лежащих внутри него, и выбрать из них наибольшее и наименьшее.
После формулировки соответствующего правила следует выделить основные этапы решения математической задачи нахождения наибольшее и наименьшее значений функции f на отрезке [a;b]:
Найти производную данной функции;
Найти критические точки, т.е. точки, в которых производная равна нулю или не существует;
Выбрать из полученных критических точек те, которые заключены между числами a и b, и внести их наряду с a и b в верхнюю строчку следующей таблицы:

Заполнить нижнюю строку таблицы и выбрать из чисел этой строки наибольшее число и наименьшее число.
Найденный таким образом числа и будут являться наибольшее и наименьшее значений функции f на отрезке [a;b]:
Для закрепления правила целесообразно выполнить несколько упражнений, например таких:
f(x)=3x2-x3-3 на отрезке: а) [-1;1]; b) [0;3]; c) [3;4]
f(x)=x+ 1/x на отрезке [-2;-1/3];
на отрезке [0;4];
f(x)=sin x + cos x на отрезке: a) [0;
·/2]; b) [
·; 3
·];
f(x)=x – sin 2x на отрезке: a) [0;
·]; [-
·;0].
Следует отметить, что в рамках школьного курса круг непрерывных функций, не имеющих
Заметим, что многие практические задачи приводят к необходимости отыскания наибольшего и наименьшего значений функции не на отрезке, а на интервале или полуинтервале. Фактически к отысканию наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке могут привести лишь те задачи, в условии которых содержатся дополнительные ограничение.
Пример: Задача 1
Из квадратного листа жести со стороной 6 дм требуется изготовить открытый сверху резервуар для хранения жидкости, имеющий форму прямоугольного параллелепипеда. Для этого вырезают по углам листа равные квадраты и загибают образовавшиеся края. Какой наибольшей вместимости можно изготовить резервуар?
Задача 2: Из куска проволоки длинной 30 см изготовлен прямоугольны треугольник, имеющий наибольшую площадь. Какова эта площадь?
В учебниках отсутствуют текстовые задачи, в которых искомое наибольшее ( наименьшее) значения достигалось бы на конце рассматриваемого промежутка. Для формирования у учащихся правильного представления о диапазоне возможных случаях необходимо включать в рассмотрение соответствующие задачи. Пример такой задачи:
Имеем 40 м проволочной сетки. Требуется оградить три стороны прямоугольного участка, примыкающего четвертой стороной к стене здания. Каковы должны быть размеры участка, чтобы его площадь была наибольшей, ели длинна стены здания равна 30м.
Задачи на наибольшее или наименьшее значения могут решаться не только при изучении соответствующей темы курса алгебры и начал анализа, но при изучении последующих тем этого курса и курса геометрии. При итоговом повторении курса также имеется возможность решать такие задачи, предполагающие широкое использование внутрипредметных и межпредметных связей.

Список литературы:
Методика преподавания математики в средней школе: Частная методика: Учебное пособие для студентов пед. институтов по физ.-мат. специальности/ А.Я. Блох, В.А. Гусев, Г. В. Дорофеев и др.; Сост. В.И. Мишин. – М.:Просвещение, 1987. – 416 с.: ил.
Мацкин М.С. и Мацкина Р.Ю. М36 Функции и пределы. Производная. Пособие для учителей. М.: «Просвещение», 1968г. 182с с илл.
15