Вычисление площади криволинейной трапеции методами приближенного вычисления в среде MS Excel и методом определенного интеграла.
Конспект бинарного урока по информатике и математике
(Вычисление площади криволинейной трапеции методами приближенного вычисления в среде MS Excel и методом определенного интеграла.)
Данный урок целесообразно провести в дополнение к основным урокам при изучении электронной таблицы MS Excel.
Цель данного урока дублирование и повторение пройденной темы по алгебре, углубление понятий, связанных с интегральным исчислением. Используя возможности ЭТ (в частности применение и копирование данных и формул), мы рассмотрим три метода приближенного вычисления площади криволинейной трапеции и метод определенного интеграла и сделаем вывод о том, какой же способ дает наиболее точное значение.
ТЕМА УРОКА:
Вычисление площади криволинейной трапеции методами приближенного вычисления в среде MS Excel и методом определенного интеграла.
Задачи урока:
Образовательные:
1. Закрепление навыков вычисления площади криволинейной трапеции с помощью определенного интеграла и приближенных методов вычислений
2.Совершенствовать навыки работы в среде MS Excel.
3.Углублять и систематизировать знания работы с Мастером диаграмм.
Развивающие:
Способствовать развитию мышления, умения применять полученные знания при решении задач различной направленности.
Способствовать развитию представлений учащихся о прикладном значении программ MS-Office.
Воспитательные:
Воспитывать ответственность, коллективизм, взаимопомощь.
Воспитывать познавательный интерес к предмету.
Тип урока:
Урок совершенствование знаний, умений и навыков на основе полученных знаний в курсе дисциплин «Математики и Информатики»
Материально техническое оснащение:
Компьютеры с операционной системой Windows XP.
Программное обеспечение Microsoft Office, Excel XP.
Мультимедийный проектор. Экран.
Листы с индивидуальными заданиями – 14 шт
Ход урока
Организационный момент.
Тема сегодняшнего урока: «Вычисление площади криволинейной трапеции методами приближенного вычисления в среде MS Excel и методом определенного интеграла.»
Мы с Вами прошли раздел интегрального исчисления, научились вычислять неопределенные и определенные интегралы, с помощью определенного интеграла научились решать физические и геометрические задачи.
Давайте вспомним.
Вопросы:
Что такое интегрирование?
Ответ: Интегрирование – нахождение функции по ее производной или по ее дифференциалу
Какие бывают интегралы?
Ответ: Неопределенные и определенные
3.Чем отличается неопределенный интеграл от определенного?
Ответ: у определенного интеграла есть пределы интегрирования, а у неопределенного их нет.
4.В чем состоит геометрический смысл определенного интеграла?
Ответ: определенный интеграл от неотрицательной непрерывной функции есть площадь соответствующей криволинейной трапеции.
Вспомним немного истории: интегральное исчисление было предложено в 17 в. И.Ньютоном и Г. Лейбницем.
К сегодняшнему уроку Вам было задано подготовить небольшой доклад об истории возникновения интегрального исчисления.
Выступления студентов.
Сам знак
· возник из первой буквы S латинского слова Summa. Но ведь при Евдоксе и Архимеде (400 г до н.э.) не было интегралов. Как же находили площади нестандартных фигур?
Возможные ответы учащихся
Методом прямоугольников (с недостатком и с избытком)
Методом трапеций
Вопрос классу: Давайте вспомним: Что называют криволинейной трапецией?
Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная отрезком [a; b], графиком непрерывной функции не изменяющей своего знака на заданном отрезке и прямыми х=а и x=b.
(на доске через проектор)
У У У У
у=f(x) у=f(x)
a b Х
y=f(x)
a 0 b Х y=f(x)
0 a b Х a 0 b Х
Вычислим площадь криволинейной трапеции приближенными способами.
У каждого на столе лежат карточки с двумя заданиями.
Метод прямоугольников
с недостатком с избытком
Y Y
f(xn) y=f(x)
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·х0 хn X 0 х0 хn X
dx – шаг разбиения
х0 + dx = х1 f(x0) – значение функции в точке х0
xn-1 + dx = xn f(xn) - значение функции в точке xn
S1пр = F(x0) * dx n-1 n
S2пр = F(x1) * dx S фигуры =
· Si S фигуры =
· Si
(с недостатком) i=0 (c избытком) i=1
Si пр = F(xn-1) * dx
Метод трапеций Х y=f(x)
f(xn)
S1трап = (F(x0) + F(x1)) / 2 * dx
S2трап = (F(x1) + F(x2)) / 2 * dx
f(x0)
Si трап = (F(xn-1) + F(xn))
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·фигуры =
· Si
трапеции i=1
На предыдущих уроках мы изучили функции ЭТ, составляли таблицы, строили диаграммы. Сегодня на уроке, используя возможности ЭТ, мы рассмотрим три метода приближенного вычисления площади криволинейной трапеции:
метод прямоугольников с недостатком;
метод прямоугольников с избытком;
метод трапеций.
Наша цель дублирование и повторение пройденной темы по алгебре, и углубление понятий, связанных с интегральным исчислением.
Реализуем все методы через электронную таблицу.
Что нам необходимо знать?
Функцию
Пределы интегрирования
Шаг интегрирования (разбиения)
Рассмотрим на примере: 1. Функция Y= 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 ,
ограниченная прямыми y = 0, x = 1, x = 2
2. Пределы интегрирования [1,2]
3. Шаг интегрирования dx = 0.1
Ресурсы ЭТ
Заголовочная часть.
Начальное и конечное значения аргумента (пределы интегрирования).
Шаг разбиения.
Заполним ЭТ в соответствии с тремя рассмотренными способами, при этом учтем следующее:
Вспомним, что обозначает «######» при работе с формулами или с числами? (Не хватает места для записи чисел или формул, следовательно необходимо увеличить ширину колонки)
Можно ли заносить в одну ячейку числовую и текстовую информацию? (Нельзя)
Какую команду следует использовать для облегчения многократного ввода и идентичного вычисления данных? (Копирование)
13 EMBED Microsoft Excel 97-Tabelle 1415
Поменяем шаг интегрирования с dx = 0,1 на dx = 0,5 следовательно изменится количество значений аргумента и соответствующих им значений функций, поэтому применяя команду копирования необходимо взять заведомо большее количество значений аргумента.
Рассмотрим графическое представление данной функции при различных dx.
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
Задание:
Найти площадь криволинейной трапеции, заданной функцией Y= 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 всеми тремя способами. Сначала с шагом интегрирования dx = 0,1, а затем с шагом dx = 0,5.
Сравнить результаты вычислений, полученных при вычислении через электронную таблицу с найденным значением интеграла данной функции
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415= 0,5 кв. ед
Сравнив все полученные результаты, какой вывод можно сделать?
От чего зависит точность вычисления площади криволинейной трапеции?
Какой из способов дает более точное значение? Как вы думаете, почему?
Итак, подведем итог:
Точность вычисления площади криволинейной трапеции зависит:
От шага разбиения, т.е. шага интегрирования ( чем меньше шаг, тем больше точность вычисления.
От метода, применяемого к функции.
Наиболее точное значение вычисления площади криволинейной трапеции дает метод трапеций по отношению к точному результату
Самый точный результат получается при вычислении площади криволинейной трапеции с помощью определенного интеграла.
.
Домашнее задание: ( выдается на отдельных листочках каждому учащемуся)
Используя методы приближенного вычисления площади криволинейной трапеции, найти площади фигур с помощью MS Excel и сравнить их с точным значением интеграла. Полученные значения записать в тетрадь и сделать вывод.
Найти площадь криволинейной трапеции тремя различными способами и сравнить их с точным значением интеграла.
Криволинейная трапеция ограничена графиком функции У = 1/(Х + 2)2 +1 и прямыми У = 0, Х = 0, Х = 2
Криволинейная трапеция ограничена графиком функции У = Х3 + 1 и прямыми У = 0, Х = 0, Х = 2
Литература
Н. Угринович Информатика и информационные технологии 10-11, Москва, Бином, Лаборатория знаний, 2007 г.
Н. Угринович Практикум по информатике и информационным технологиям 10-11, Москва, Лаборатория базовых знаний, АО «Московские учебники», 2007 г.
«Математический энциклопедический словарь», М., «Советская энциклопедия», 1988 г.
В.С. Крамор «Повторяем и систематизируем школьный курс Алгебры и начала анализа», М., 1990 г.
А.М. Рубиков, К.Ш. Шапиев «Элементы математического анализа», М., Просвещение, 1982 г.
А.Н. Колмогоров и др. «Алгебра и начала анализа» учебник для 10 – 11 класса общеобразовательных учреждений, М., Просвещение, 2006 г.
КАРТОЧКА 1
Задана функция у= 1/х2
а) построить график заданной функции;
б) вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком этой функции и прямыми х=1, х=2 методом прямоугольников с недостатком с шагом разбиения dх=0,1
Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком заданной функции, прямыми х=1, х=2 с помощью определенного интеграла
КАРТОЧКА 2
1. Задана функция у= 1/х2
а) построить график заданной функции;
б) вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком этой функции и прямыми х=1, х=2 методом прямоугольников с избытком с шагом разбиения dх=0,1
2. Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком заданной функции, прямыми х=1, х=2 с помощью определенного интеграла
КАРТОЧКА 3
1. Задана функция у= 1/х2
а) построить график заданной функции;
б) вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком этой функции и прямыми х=1, х=2 методом прямоугольников с недостатком с шагом разбиения dх=0,5
2. Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком заданной функции, прямыми х=1, х=2 с помощью определенного интеграла
КАРТОЧКА 4
1. Задана функция у= 1/х2
а) построить график заданной функции;
б) вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком этой функции и прямыми х=1, х=2 методом прямоугольников с избытком с шагом разбиения dх=0,5
2. Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком заданной функции, прямыми х=1, х=2 с помощью определенного интеграла
КАРТОЧКА 5
1. Задана функция у= 1/х2
а) построить график заданной функции;
б) вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком этой функции и прямыми х=1, х=2 методом трапеций с шагом разбиения dх=0,5
2.Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком заданной функции, прямыми х=1, х=2 с помощью определенного интеграла
КАРТОЧКА 6
1. Задана функция у= 1/х2
а) построить график заданной функции;
б) вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком этой функции и прямыми х=1, х=2 методом трапеций с шагом разбиения dх=0,1
2.Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком заданной функции, прямыми х=1, х=2 с помощью определенного интеграла
КАРТОЧКА 7
1. Задана функция у
·= 1/х2
а) построить график заданной функции;
б) вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком этой функции и прямыми х=1, х=2 методом трапеций с шагом разбиения dх=0,5
2.Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком заданной функции, прямыми х=1, х=2 с помощью определенного интеграла
КАРТОЧКА 8
1. Задана функция у= 1/х2
а) построить график заданной функции;
б) вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком этой функции и прямыми х=1, х=2 методом трапеций с шагом разбиения dх=0,1
2.Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком заданной функции, прямыми х=1, х=2 с помощью определенного интеграла
КАРТОЧКА 9
1. Задана функция у= 1/х2
а) построить график заданной функции;
б) вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком этой функции и прямыми х=1, х=2 методом прямоугольников с недостатком с шагом разбиения dх=0,1
2.Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком заданной функции, прямыми х=1, х=2 с помощью определенного интеграла
КАРТОЧКА 10
1. Задана функция у= 1/х2
а) построить график заданной функции;
б) вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком этой функции и прямыми х=1, х=2 методом прямоугольников с избытком с шагом разбиения dх=0,1
2. Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком заданной функции, прямыми х=1, х=2 с помощью определенного интеграла
КАРТОЧКА 11
1. Задана функция у= 1/х2
а) построить график заданной функции;
б) вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком этой функции и прямыми х=1, х=2 методом прямоугольников с недостатком с шагом разбиения dх=0,5
2. Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком заданной функции, прямыми х=1, х=2 с помощью определенного интеграла
КАРТОЧКА 12
1. Задана функция у= 1/х2
а) построить график заданной функции;
б) вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком этой функции и прямыми х=1, х=2 методом прямоугольников с избытком с шагом разбиения dх=0,5
2.Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком заданной функции, прямыми х=1, х=2 с помощью определенного интеграла
КАРТОЧКА 13
1. Задана функция у= 1/х2
а) построить график заданной функции;
б) вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком этой функции и прямыми х=1, х=2 методом трапеций с шагом разбиения dх=0,5
2.Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком заданной функции, прямыми х=1, х=2 с помощью определенного интеграла
КАРТОЧКА 14
1. Задана функция у= 1/х2
а) построить график заданной функции;
б) вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком этой функции и прямыми х=1, х=2 методом трапеций с шагом разбиения dх=0,1
2. Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком заданной функции, прямыми х=1, х=2 с помощью определенного интеграла
Домашнее задание
Используя методы приближенного вычисления площади криволинейной трапеции, найти площади фигур с помощью MS Excel и сравнить их с точным значением интеграла. Полученные значения записать в тетрадь и сделать вывод.
Найти площадь криволинейной трапеции тремя различными способами и сравнить их с точным значением интеграла.
Криволинейная трапеция ограничена графиком функции
У = 1/(Х + 2)2 +1 и прямыми У = 0, Х = 0, Х = 2
Криволинейная трапеция ограничена графиком функции
У = Х3 + 1 и прямыми У = 0, Х = 0, Х = 2
ФГОУ РХТКИ
Методическая разработка
бинарного урока
Дисциплина «Информатика и математика»
Тема урока « Вычисление площади криволинейной трапеции методами приближенного вычисления в среде MS Excel и методом определенного интеграла.»
Дата проведения 14 ноября 2011 г.
Преподаватели Никулина И.В., Рыбалкина М. В.
План открытого урока
Дисциплина Информатика и математика
Тема Вычисление площади криволинейной трапеции методами приближенного вычисления в среде MS Excel и методом определенного интеграла.
Группа, дата 2М, 14 ноября
Вид занятия: комбинированный
Цель урока: повторение пройденной темы по математике, углубление понятий, связанных с интегральным исчислением и применение электронных таблиц при вычислении площади криволинейной трапеции.
Задачи урока:
дидактическая закрепить навыки вычислений площади криволинейной трапеции, совершенствовать навыки работы в среде МS Excel
воспитательная формировать познавательный интерес к предметам математики и информатики
развивающая развитие мышления при решении задач различной напраленности
Обеспечение занятия:
Листы с заданиями
Компьютерное обеспечение
Мультимедийный проектор, экран
Содержание занятия:
Организационный момент урока 3 мин.
Активизация мыслительной деятельности студентов по математике 20 мин.
1. Понятие интегрирования
2. Виды интегралов
3. Отличие интегралов
4. Геометрический смысл определенного интеграла
5. Выступление студентов с докладами об открытии интегрального исчисления
Индивидуальная работа с карточками по математике 22 мин
Активизация мыслительной деятельности студентов по информатике 15 мин
1. Применение обозначений при работе с формулами и числами.
2. Запись в ячейку числовой информации
3. Запись в ячейку текстовой информации
4. Использование команд для облегчения многократного ввода и идентичного вычисления данных
Работа студентов по карточкам на компьютерах 25 мин
Подведение результатов урока 3 мин
Домашнее задание 2 мин
Преподаватели: Рыбалкина М.В., Никулина И.В.
ПРОТОКОЛ № 1
от 14 ноября 2011 г.
Обсуждение бинарного урока по дисциплинам «Информатика» и «Математика»
Преподаватели: Никулина И.В., Рыбалкина М.В.
Присутствовали: Макарова Н.Т., Сагина Н.В,, Синельщикова З.К., Назарова О.Г.
Тема: Вычисление площади криволинейной трапеции методами приближенного вычисления в среде MS Excel и методом определенного интеграла.
Цель проведения : повторение полученных знаний по математике и применение этих знаний на уроках информатике при использовании компьтерной техники
Вид занятия : комбинированный бинарный урок
Цель урока: повторение пройденной темы по математике, углубление понятий, связанных с интегральным исчислением и применение электронных таблиц при вычислении площади криволинейной трапеции.
Задачи урока указаны в плане.
Обеспечение урока: Карточки с заданиями, мультимедийный проектор, экран, компьютеры.
Ход занятия:
Организационный момент.
Преподаватель математики Рыбалкина М.В. активизировала мыслительную деятельность студентов, показывала слайды, студенты выступили с докладами, которые сопровождались презентацией на экране
Затем в течение 20 минут студенты работали по индивидуальным заданиям, а студентка Лапина А. работала по своему заданию у доски
После того, как задания были выполнены, преподаватель информатики Никулина И.В. аквизировала мыслительную деятельность студентов и они приступили к выполнению своих заданий на компьютерах
Студентка Никитина А. выполнила свое задания на компьютере и продемонстрировала его на экране проекторе
Оба преподавателя в конце урока сравнили полученные результаты, сделали выводы по методам вычислений, подвели итоги и выставили всем оценки
Студенты получили домашнее задание.
Урок был интересным. Кабинет информатики был подготовлен надлежащим образом. Преподаватели применили на уроке мультимедийный проектор, подготовили и показали презентацию. Оба преподавателя четко, на высоком профессиональном уровне излагали весь материал. Студенты работали активно, подготовили интересные доклады, на вопросы преподавателей отвечали быстро и четко, показали хорошие знания по пройденной теме по математике и смогли их применить на уроке информатике, быстро и правильно выполнив задания на компьютерах.
Цели урока достигнуты, студенты хорошо работали и по математике, и по информатике.
Замечаний по ведению урока нет. Пожелание: оформить методическую разработку по этому уроку.
Присутствовали:
Макарова Н.Т.
Сагина Н.В.
Синельщикова З.К.
Назарова О.Г.
Председатель предметной комиссии Рыбалкина М.В.
ПРОТОКОЛ № 4
от 12 декабря 2012 г.
Обсуждение открытого урока по дисциплине «Математика»
Преподаватель: Рыбалкина М.В.
Присутствовали: Осипова Т.В., Сагина Н.В,, Синельщикова З.К., Назарова О.Г, Озерова О.В.
Тема: Корень n-й степени и его свойства
Цель проведения : Создать условия для формирования у обучающихся целостного представления о корне n-ой степени, навыков сознательного и рационального использования свойств корня при решении различных задач.
Вид занятия : комбинированный урок
Цель урока: познакомиться с понятием корня n- степени и научиться использовать свойства корня при решении задач.
Задачи урока указаны в плане.
Обеспечение урока:
1. Опорный план на доске.
2.Презентация к уроку.
3.Раздаточный материал:
4.Карточки с заданием для индивидуальной работы.
Ход занятия:
Организационный момент.
Преподаватель Рыбалкина М.В. активизировала мыслительную деятельность студентов, показывала слайды, студенты выступили с докладами, которые сопровождались презентацией на экране.
Затем в течение 15 минут студенты работали по индивидуальным заданиям, а студентка Власенко Е. работала по своему заданию у доски.
Ребята работали с раздаточным материалом, затем проверили решения по слайдам.
Преподаватель выставила оценки за работу на уроке
Студенты получили домашнее задание.
Урок был интересным. Преподаватель Рыбалкина М.В. применила на уроке мультимедийный проэктор, подготовила и показала презентацию по данной теме. Студенты работали активно, подготовили интересные доклады, на вопросы преподавателя отвечали быстро и четко, показали хорошие знания по математике и смогли их применить на уроке, быстро и правильно выполнили индивидуальные задания.
Цели урока достигнуты, студенты хорошо работали.
Замечаний по ведению урока нет. Пожелание: оформить методическую разработку по этому уроку.
Присутствовали:
Осипова Т.В.
Сагина Н.В.
Озерова О.В.
Председатель предметной комиссии Рыбалкина М.В.
ПРОТОКОЛ № 2
от 12 октября 2012 г.
Обсуждение открытого урока по дисциплине «Математика»
Преподаватель: Рыбалкина М.В.
Присутствовали: Осипова Т.В., Сагина Н.В, Михеева С.А.,
Некрылова Ю.Д.
Тема: «Неопределенный интеграл и его свойства»
Цель проведения: изучение данной темы
Вид занятия: комбинированный урок
Цель урока: сформировать представление об интегральном исчислении, понять его сущность, развивать навыки при нахождении первообразных и неопределенного интеграла
Задачи урока указаны в плане.
Обеспечение урока: портреты известных математиков, имеющих отношение к интегральному исчислению, презентация, карточки с заданиями, мультимедийный проектор, экран, компьютеры.
Ход занятия:
1.Организационный момент.
2.Преподаватель математики Рыбалкина М.В. активизировала мыслительную деятельность студентов, показывала слайды, которые сопровождались презентацией на экране, ребята записывали определения и свойства в тетрадь, рассматривали основные формулы интегрирования, активно работали и отвечали на вопросы преподавателя.
Затем в течение 12 минут студенты работали по индивидуальным заданиям в подгруппах в виде игры «Найди свою половинку», результатом которой появилось слово соответствующее теме данного урока.
Ребята хорошо справились с заданием, ошибки были незначительны у некоторых учеников.
Преподаватель в конце урока подвела итоги и выставила всем оценки.
Студенты получили домашнее задание.
Урок был интересным. Преподаватель применила на уроке мультимедийный проектор, подготовила и показала презентацию, на высоком профессиональном уровне излагала весь материал. Студенты работали активно, на вопросы преподавателей отвечали быстро и четко, отлично справились с заданием игры «Найди свою половинку», работая в подгруппах. Цели урока достигнуты. Замечаний по ведению урока нет.
Пожелание: оформить методическую разработку по этому уроку.
Присутствовали:
Осипова Т.В.
Сагина Н.В
Михеева С.А.
Некрылова Ю.Д.
Председатель предметной цикловой комиссии Осипова Т.В.
13 EMBED Microsoft Excel 97-Tabelle 1415
13 PAGE 142115
Root Entry