Геометрия. ЕГЭ 2017. Задача №16. Вариант 9

Вариант № 9
Окружность, построенная на стороне AD параллелограмма ABСD как на диаметре, проходит через точку пересечения диагоналей параллелограмма.
а) Докажите, что ABСD – ромб.
б) Эта окружность пересекает сторону AB в точке M, причем AM : MB = 3 : 1. Найдите диагональ AC, если известно, что AD = 2˅͞2.
а). -3810127000 1. F – точка пересечения диагоналей параллелограмма. Так как AD – диаметр, то
∠ AFD = 90ᵒ.
2. ∆ ABF = ∆ ADF (по дум катетам), =>
AB = AD, => AB = BC = CD = AD и параллелограмм ABСD – ромб.
Доказано.
б). Пусть BM = a, MA = 3a, AB = 4a;
BF = FD = b, BD = 2b.
По теореме о двух секущих имеем: BA·BM = BD·BF, => 4a2 = 2b2, b2 = 2 a2.
Так как ABСD – ромб, то AD = AB = 4a = 2˅͞2 , a = ˅͞2 /2, a2 = 12 , b2 = 1.
∆ AFD – прямоугольный, по теореме Пифагора AF2 = AD2 – FD2 = 16a2– b2 = 7,
AF = ˅͞7 и AC = 2 ˅͞7 .Ответ: AC = 2 ˅͞7 .