Геометрия. ЕГЭ 2017. Задача №16. Вариант 6

Вариант № 6
На катетах AC и BC прямоугольного треугольника ABC вне треугольника построены квадраты ACDE и BFKC. Точка M – середина гипотенузы AB, H – точка пересечения прямых CM и DK.
а) Докажите, что CM I DK.
б) Найдите MH, если известно, что катеты треугольника ABC равны 130 и 312.
444520129500
а). ∆ ACB = ∆ DCK – по двум катетам (так как ACDE и BFKC – квадраты, то AC=CD и BC=CK). => ∠ BAC = ∠ КDC = α, ∠ ABC = β, и α + β = 90ᵒ
CM – медиана прямоугольного треугольника =>CM = AM = MB => ∠ MBC = ∠ MCB = β.
∠ MCB = ∠ HCD = β – вертикальные углы. =>В ∆ DCH ∠ CHD = 180ᵒ – (α + β) = 90ᵒ, =>
CM I DK.
Доказано.
б) MH = CM + CH. Медиана CM равна половине гипотенузы AB.
AB2 = AC2 + CB2 =1302 + 3122 = 114244, AB = 338, CM = 169.
CH – высота прямоугольного треугольника DCK =>CH = CD·CK: DK = 130·312: 338 =120. MH = CM + CH = 169 + 120 = 289.
Ответ: MH = 289.