Геометрия. ЕГЭ 2017. Задача №16. Вариант 1

Вариант №1
На отрезке BD взята точка С. Биссектриса BL равнобедренного треугольника ABC c основанием ВС является боковой стороной равнобедренного треугольника BLD с основанием BD.
а) Докажите, что треугольник DCL равнобедренный.
б) Известно, что cos ∠ABC = 1/6. В каком отношении прямая DL делит сторону AB?
3810-127000По условию: ∠ВDL = ∠ LВD = α и
∠АСВ = ∠АВС = 2α.
Так как ∠ LСВ – внешний для ∆LСD, то 2α = α + ∠СLD, => ∠СLD = α = ∠ LDС, => ∆LСD – равнобедренный.
Доказано.
. По условию: 3810-317500 cos ∠B = 1/6,
тогда ВН = ɑ, АВ = 6ɑ, ВС = 2ɑ.
. ВL – биссектриса, => LC : LA = BC : AB = 1 : 3, =>
LC = 1/4 AC = 1.5ɑ = CD; AL = 3/4 AC = 4.5ɑ.
. MC – биссектриса равнобедренного ∆ABC, => BM = CL = 1.5ɑ (∆MBC= ∆LCB) и MC || KD.
. По теореме о пропорциональных отрезках:
BMMK = BCCD ; 1,5ɑMK = 2ɑ1,5ɑ; => MK = 98 ɑ; => BK = ( 98 + 32 )ɑ = 218 ɑ;
AK = (6 – 218 )ɑ = 278 ɑ; => AKKB = 2721 = 97.
Ответ: AK : KB = 9 : 7.