Многоуровневая система задач по теории вероятностей

«Многоуровневая система задач по теории вероятностей»
Пояснительная ная нительзаписка
В настоящее время для выпускников всех профилей предусмотрен обязательный единый государственный экзамен (ЕГЭ) по математике по единым экзаменационным контрольно-измерительным материалам (КИМам). Эти материалы заданы в деятельностной форме (через решение задач) и включают задания различного уровня сложности (части В, С). В связи с этим возрастает актуальность как научно-теоретических исследований, посвященных роли, функциям и месту задач в обучении математике, так и разработки эффективных технологий, реализующих различные варианты задачного подхода к обучению математике. Важной проблемой остается создание конкретных учебных материалов и методических разработок, позволяющих гарантированно достигать цели, стоящие перед современным школьным математическим образованием.
Существует методика обучения математике на основе задачного подхода, с возможностью построения для каждого учащегося индивидуальной образовательной траектории и его успешную подготовку к итоговому госэкзамену, к вступительным экзаменам в вузы, тем самым, в рамках названного учебного курса решить проблему качественного обучения математике в средней школе.
Данная методика основана на построении многоуровневой системы учебных математических задач с охватом общеобразовательного и углублённого уровней.


Перечень базовых задач по стохастической линии
БЗ1 – задача выполнения операций над множествами;
БЗ2 – задача о вычислении числа комбинаций, которым можно выполнить сложное действие;
БЗ3 – задача о вычислении числа перестановок;
БЗ4 – задача о вычислении числа размещений;
БЗ5 – задача о вычислении числа сочетаний;
БЗ6 – задача о вычислении вероятности события А по определению;
БЗ7 – задача о вычислении вероятности по формулам комбинаторики;
БЗ8 – задача о вычислении вероятности события А с бесконечным числом возможных исходов (геометрическая вероятность);
БЗ9 – задача о вычислении вероятности суммы двух или нескольких событий;
БЗ10 – задача о вычислении вероятности появления события хотя бы в одном испытании;
БЗ11 - задача о вычислении числовых характеристик дискретных случайных величин.



ЗЗ (знакомая задача)
МЗ (модифицированная задача)
НЗ (незнакомая задача)

БЗ1
Заданы два множества: А {1, 2, 3, 4, 5} и В {3, 4, 6, 7, 8}. Определить множество А
·В, А13 EMBED Equation.3 1415В, А\В, В\А, А
·В.
Ответ:
А
·В={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
А13 EMBED Equation.3 1415В={3, 4}
А\В={1, 2, 5}
В\А={6, 7, 8}
А
·В={1, 2, 5, 6, 7, 8}
По данным промежуткам А [2;
·) и В (1;7] на числовой прямой определить множество А
·В, А13 EMBED Equation.3 1415В, А\В, В\А, А
·В.
Ответ:
А
·В=(0, 7)
А13 EMBED Equation.3 1415В=(2, 5]
А\В=(0, 2]
В\А=(5, 7)
А
·В=(0, 2] 13 EMBED Equation.3 1415(5, 7)
В олимпиаде по математике для абитуриентов приняло участие 40 учащихся, им было предложено решить одну задачу по алгебре, одну по геометрии и одну по тригонометрии. По алгебре решили задачу 20 человек, по геометрии – 18 человек, по тригонометрии – 18 человек.
По алгебре и геометрии решили 7 человек, по алгебре и тригонометрии – 9 человек. Ни одной задачи не решили 3 человека. Определите, сколько учащихся решили только две задачи?
Ответ: 9.

БЗ2
Двузначное число составляют из цифр 0, 1, 3, 4, 5, 6, 9 (повторения допустимы). Сколько всего можно составить нечетных чисел?
Ответ: 24.
Сейф директора предприятия закрывается на кодовый замок, который состоит из шести цифр. Сейф главного бухгалтера закрывается на кодовый замок из 4 букв. Чей сейф надежнее?
Ответ: главного бухгалтера (число всех возможных комбинаций – 334=1185921, а у директора – 106=1000000).
За четверть в классе прошли 5 тем по алгебре. Контрольная работа будет состоять из 5 задач: по одной задаче из каждой темы. К каждой теме составлен список из 10 задач, одна из которых будет входить в вариант контрольной. Ученик умеет решать только по 8 задач в каждой теме. Найдите число тех вариантов, в которых ученик умеет решать все задачи кроме первой.
Ответ: 8192.

БЗ3
Сколько различных четырехзначных чисел можно составить из цифр 3, 5, 7, 9, если каждая цифра используется в записи числа только один раз?
Ответ: 24.
Сколькими способами можно расположить на шахматной доске 8 ладей так, чтобы они не могли взять друг друга?
Ответ: 40320.
В каждую клетку квадратной таблицы 3Ч3 произвольно ставят крестик или нолик. Сколькими способами можно заполнить эту таблицу?
Ответ: 512.



ЗЗ (знакомая задача)
МЗ (модифицированная задача)
НЗ (незнакомая задача)

БЗ4
В высшей лиге по футболу 18 команд. Борьба идет за золотые, серебряные и бронзовые медали. Сколькими способами медали могут быть распределены между командами?
Ответ: 4896.
Найдите х, если известно, что 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 4.
Решите неравенство:
120<13 EMBED Equation.3 1415<140.
Ответ: 15.

БЗ5
На тренировках занимаются 12 баскетболистов. Сколько может быть образовано тренером разных стартовых пятерок?
Ответ: 792.
Найдите х, если известно, что 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 9.
Сколькими способами можно составить дозор из 3 солдат и одного офицера, если имеется 80 солдат и 3 офицера.
Ответ: 216480.

БЗ6
В сборнике билетов по биологии всего 25 билетов, в 12 из них встречается вопрос по круглым червям. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику попадется вопрос по круглым червям.
Ответ: 0,48.
В случайном эксперименте бросают два игральных кубика. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков. Результат округлите до сотых.
Ответ: 0,14.
В коробке лежат 7 черных шаров. Какое наименьшее число белых шаров нужно положить в эту коробку, чтобы после этого вероятность наугад достать из коробки черный шар была не больше 0,3?
Ответ: 17.

БЗ7
В коробке 5 одинаковых кубиков. На всех гранях каждого кубика написана одна из следующих букв: О, П, Р, С, Т. Найти вероятность того, что на вынутых по одному и расположенных «в одну линию» кубиках можно будет прочесть слово «спорт». Результат округлите до сотых.
Ответ: 0,01.
Из партии, в которой 25 изделий, среди которых 6 бракованных, случайным образом выбрали 3 изделия для проверки качества. Найти вероятность того, что все изделия годные.
Ответ: 0,42.
На полке 15 коробок конфет, причем 10 из них с зефиром. Найти вероятность того, что среди 5 взятых наудачу коробок конфет окажется 3 коробки с зефиром. Результат округлите до сотых.
Ответ: 0,40.



ЗЗ (знакомая задача)
МЗ (модифицированная задача)
НЗ (незнакомая задача)

БЗ8
На отрезке длиной 20 см помещен меньший отрезок длиной 10 см. найти вероятность того, что точка, поставленная на больший отрезок, попадет также и на меньший отрезок.
Ответ: 0,5.
На плоскости начерчены две концентрические окружности, радиусы которых 5 и 10 см соответственно. Найдите вероятность того, что точка, брошенная наудачу в большой круг, попадет в кольцо, образованное построенными окружностями.
Ответ: 0,75.
В прямоугольнике ABCD со сторонами АВ=5, ВС=10 случайно выбирают точку. Найдите вероятность того, что она расположена ближе к прямой АВ, чем к прямой AD.
Ответ: 0,25.

БЗ9
На экзамене по геометрии школьнику достается один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос на тему «Параллелограмм», равна 0,15. Вопросов которые одновременно относятся к этим двум темам нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.
Ответ: 0,35.
В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.
Ответ: 0,52.
В одной урне находятся пять белых и десять черных шаров, а в другой – шесть белых и три черных шара. Наудачу извлекают по одному шару из каждой урны. Найдите вероятность того, что вынутые шары будут одного цвета. Результат округлить до сотых.
Ответ: 0,44.

БЗ10
Игральный кубик бросают три раза. Какова вероятность того, что хотя бы раз выпадет двойка? Результат округлить до сотых.
Ответ: 0,42.
Три исследователя института ядерных исследований независимо друг от друга пытаются зарегистрировать фермион. Вероятность ошибки у первого исследователя равна 0,1; у второго – 0,15; у третьего – 0,2. Найдите вероятность того, что при измерении хотя бы один из них не допустит ошибку.
Ответ: 0,997.
Найдите вероятность р встречи с контролером при одной поездке, если известно, что вероятность хотя бы одной встречи при четырех поездках равна 0,9984.
Ответ: 0,8.



ЗЗ (знакомая задача)
МЗ (модифицированная задача)
НЗ (незнакомая задача)

БЗ11
После урока по теме «Статистика» на доске остался ответ «Среднее значение – 12» и таблица:
Варианта
3
8


Кратность
26
13
11

Какое число должно быть записано в пустой клетке?
Укажите размах, моду и медиану распределения;
Допустим среднее значение равно М. Что тогда должно стоять в пустой клетке?
Ответ:
38;
35, 3, 3;
13 EMBED Equation.3 1415
Случайная величина Х может принимать 2 значения: х1 с вероятностью 0,3 и х2 с вероятностью 0,7, причем х1> х2. Найти х1 и х2, зная что М(Х)=2,7 и D(Х)=0,21.
Ответ: х1 =2, х2=3.
Мишень (см. рис.1) установлена так, что может вращаться вкруг оси (О). При достаточно большой угловой скорости вращения стрелок не в состоянии различать цифры, вписанные по одной в секторах. Он вынужден стрелять наугад. При попадании в сектор 1 стрелок выигрывает 10 рублей, в сектор 2 – 20 рублей, в сектор 3 – 30 рублей и т.д., в сектор 8 – 80 рублей. Стоит ли ему участвовать в такой игре, если за право стрелять один раз надо платить 50 рублей?
Ответ: не стоит, т.к. сумма наиболее вероятного выигрыша 45 рублей.
рис.1



Список литературы:
Виленкин Н.Я. Комбинаторика. – М.:Наука, 1968. – 328 с.
Высоцкий И.Р., Ященко И.В. Математика. Задача В10. Теория вероятностей. Рабочая тетрадь/ Под ред. А.Л.Семенова и И.В. Ященко. – 2-е изд., доп. – М.:МЦНМО, 2013. – 48 с.
Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: Учеб. Пособие для студентов вузов. Изд. 5-е стер. – М.: Высш. шк., 2000. – 400 с.
ЕГЭ 2013. Математика. 30 вариантов типовых тестовых заданий и 800 заданий части 2 (С). /Под ред. А.Л. Семенова, И.В. Ященко. – М.:Издательство «Экзамен», 2013. – 215 с.
Максютин А.А. Многоуровневая система задач: построение, применение.
Математика. ЕГЭ 2013. Книга I./Д.А. Мальцев, А.А. Мальцев, Л.И. Мальцева. – Ростов н/Д: Издатель Мальцев Д.А.; М.:Народное образование, 2013. – 304 с.
Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа. 10 класс. В 2 ч. Ч.2: задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень). – М.: Мнемозина, 2007. – 336 с.
Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа. 11 класс. В 2 ч. Ч.2: задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень). – М.: Мнемозина, 2010. – 264 с.
Тренировочные материалы для подготовки к единому государственному экзамену по математике 2013: Учебное пособие/Сост.: С.В. Богатырев, А.А. Максютин, Ю.Н. Неценко, Т.П. Шаповалова. – Самара: СИПКРО, 2012. – 76 с.


Интернет-ресурсы:

http://festival.1september.ru
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
http://uztest.ru
http://interneturok.ru