Методическая разработка «Многоуровневая система задач с параметром по теме «Квадратные уравнения» в курсе алгебры 8-го класса»

Методическая разработка

на тему: «Многоуровневая система задач с параметром по теме «Квадратные уравнения» в курсе алгебры 8-го класса»


Пояснительная записка.

ФИО
Адякина Валентина Семёновна


Место работы
Государственное бюджетное общеобразовательное учреждение лицей (экономический) с. Исаклы


Должность
учитель математики


Предмет
Математика


Класс
8


Базовый учебник
А.Г. Мордкович Алгебра 8 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений – М.: Мнемозина, 2010.


Задачи с параметрами мало представлены в школьном курсе математики. Между тем они включены в итоговую аттестацию как в 9, так и в 11 классах. Для решения задач с параметрами не требуется обладать знаниями, выходящими за рамки школьной программы. Однако непривычность формулировки обычно ставит в тупик учащихся, не имеющих опыта решения подобных задач.
Цель:
сформировать у учащихся отчетливое представление о параметрических задачах при решении квадратных уравнений и основных принципах их решения.
Задачи:
- образовательные (формирование познавательных УУД):
анализировать и выявлять существенную информацию, самостоятельное выделение и формулирование познавательной цели, моделировать условие в графическом виде, переформулировать условие, строить логическую цепочку рассуждений, критически оценивать полученный ответ, осознанное и произвольное построение речевого высказывания, выбор наиболее эффективного способа решения задач, постановка и формулирование проблемы, выдвижение гипотез и их обоснование;
- развивающие (формирование регулятивных УУД)
целеполагание, планирование своей деятельности в зависимости от конкретных условий;
прогнозирование способа её решений, контроль и оценка процесса и результатов деятельности, волевая саморегуляция, готовность к саморазвитию, самообразованию;
- воспитательные (формирование коммуникативных и личностных УУД):
смыслообразование, умение слушать и вступать в диалог, участвовать в коллективном обсуждении проблем.
На каждом этапе решения задач с параметром формируются универсальные учебные действия.
Этапы решения задачи
Формируемые УУД

Анализ условий
Целеполагание, выделение существенной информации, прогнозирование способа решения, аналогия, классификация, знакосимволические действия.

Схематическая запись условия
Планирование, систематизация, моделирование.

Составление математической модели
Корректировка условия, моделирование в графическом виде, создание способа решения задачи.

Решение математической модели
Анализ и выявление существенной информации, выделение следствий, построение цепи рассуждений, выдвижение и проверка гипотезы, преобразования модели.

Интерпретация модели
Анализ, выделение следствий, конкретизация.

Исследование задачи
Поиск аналогов, умение передать содержание, создание способов решения проблем, умение применять схемы, анализ и синтез.

Рефлексия
Самооценка, самоанализ, готовность к саморазвитию, умение определить цели, ставить и формулировать для себя новые задачи, развивать мотивы и интересы своей познавательной деятельности.



Ниже приводится многоуровневая система задач по решению и исследованию квадратных уравнений с параметрами в курсе алгебры 8 класса. Данная система задач включает в себя задачи трёх уровней: базовые, модифицированные и исследовательские.
Задачи первого уровня (базовые) позволяют сформировать у учащихся ключевые компетенции, применимые в учебной деятельности при решении задач более высокого уровня.
Видоизменение задач второго уровня (модифицированных) осуществляется в трёх направлениях: увеличение технической сложности и трудности задачи; варьирование известного алгоритма решения; необычная форма предоставления условия задачи, при которой сразу не видно применение знакомого способа действий.
При решении задач третьего уровня учебная деятельность носит исследовательский характер. При решении таких задач ученик должен ориентироваться в новой ситуации и выработать новые приемы действий.


Базовые задачи.
1. Линейным или квадратным является уравнение
b (b-5)x2+(6b-3)x-18= 0 относительно х при:
а) b = 6; б) b = 0; в) b = 0,5; г) b = 5?

2. При каких значениях параметра p уравнение х2-2(p+3)х+16=0 имеет:
а) два корня;
б) один корень;
в) не имеет действительных корней?

3. При каких значениях параметра p уравнение 2х2+pх+68=0 имеет корень, равный 17?

4. Найдите p и q, если х1=1 и х2=2 – нули квадратичной функции
у=х2+pх+ q.
Решение:
Т. к. х1=1 и х2=2 – нули квадратичной функции у=х2+ pх+ q, то по теореме Виета имеем: х1+ х2=-p, х1
·х2=q. Тогда p=-3, q=2.
Ответ: p=-3, q=2.

5. Решите относительно х уравнение 13 EMBED Equation.3 1415
Решение:
13 EMBED Equation.3 1415, D = 4 – 4с
Алгоритм: рассмотреть случаи, когда: D > 0, D = 0, D < 0.
4 – 4с > 0, с < 0,
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
2) 4 – 4с = 0, с = 1
x = 1
3) с > 1 исходное уравнение корней не имеет.
Ответ: если с ( (– (; 1), то 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415;
если с = 1, то х = 1;
если с ( (1; + (), то корней нет.

6. Докажите, что не существует такого значения k, при котором уравнение 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 имеет только один корень.
Доказательство.
Уравнение13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 имеет один корень, если дискриминант равен 0.
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
Если это уравнение не имеет решений, значит, и 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 не может иметь только одного решения.
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415, D<0, решений нет. Ч.т.д

7. При каких значениях параметра b уравнение 13 EMBED Equation.3 1415 имеет: а) два положительных корня;
б) два отрицательных корня;
в) единственный корень?
Решение:
Если b ( 1, то 13 EMBED Equation.3 1415
Согласно теореме Виета: а) 13 EMBED Equation.3 1415, b ( (– (; – 1) ( ( – 1; + ();
б) 13 EMBED Equation.3 1415, решений нет
в) если b = 1, то –2х + 2 = 0; х = 1
если b ( 1; 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: а) b ( (– (; – 1) ( ( – 1; + ();
б) таких b не существует;
в) х = 1.

8. При каких значениях a уравнения и равносильны?

Решение.
1) При : имеет два различных корня, имеет один корень. Равносильности нет.
2) При решения уравнений совпадают.
3) При ни первое, ни второе уравнения решений не имеют. Как известно, такие уравнения считаются равносильными.
Ответ: при .

9. График функции у=3х2-kх+2 проходит через точку (-2;6). Найдите значение параметра k.

Модифицированные задачи
1. (Базовая задача 1. Увеличение технической сложности и добавление дополнительных условий.)
При каких значениях параметра а уравнение 13 EMBED Equation.3 1415 является:
а) квадратным;
б) неполным квадратным;
в) линейным?
Решение:
а, б) 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Уравнение является неполным квадратным, если:
13 EMBED Equation.3 1415
если а ( (– (; – 2) ( (– 2; 0) ( (0; 1) ( (1; + (), то исходное уравнение является квадратным.
В) Уравнение явл. Линейным, если 13 EMBED Equation.3 1415 при а = 0 или а = 1.

2. (Базовая задача 2. Увеличение трудности задачи)
При каких значениях параметра b уравнение 13 EMBED Equation.3 1415
а) имеет корни; б) не имеет корней?

Решение: 13 EMBED Equation.3 1415, D = 13 EMBED Equation.3 1415, D = 13 EMBED Equation.3 1415
а) 13 EMBED Equation.3 1415, но 13 EMBED Equation.3 1415, следовательно, 13 EMBED Equation.3 1415;
если 13 EMBED Equation.3 1415, то уравнение корни имеет.
Б) 13 EMBED Equation.3 1415 – при любых значениях b, кроме нуля;
если b ( (– (; 0) ( (0; + (), то исходное уравнение корней не имеет.

3. (Базовая задача 4. Увеличение громоздкости задачи)
При каких значениях параметра p сумма корней квадратного уравнения х2+(p2 + 4p-5)х – p=0 равна 0?

4. (Базовая задача 4. Увеличение громоздкости задачи)
При каких значениях k произведение корней квадратного уравнения  x2 + 3x + (k2 – 7k + 12) = 0  равно нулю?

5. (Базовая задача 5. Возрастание трудности задачи)
Решите относительно х уравнение 13 EMBED Equation.3 1415

Решение: 13 EMBED Equation.3 1415
1) Если m = 0, то 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
2) Если m ( 0, то D = 36 – 4m
а) 36 – 4m > 0;
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415;
б) 36 – 4m = 0, m = 9, х = 13 EMBED Equation.3 1415;
в) 36 – 4m < 0, m > 9, исходное уравнение корней не имеет.
Ответ: если m ( (– (; 0) ( (0; – 9), то 13 EMBED Equation.3 1415
если m = 0, то х = 1/6;
если m ( (9; + (), то корней нет.

6. (Базовая задача 9. Необычная форма предоставления условия задачи, при которой сразу не видно применение знакомого способа действий)
Найдите, при каком значении параметра q абсцисса вершины параболы у=(х-5q)2- q2+q+12 отрицательна, а ордината – положительна.

7. (Базовая задача 4. Необычная форма предоставления условия задачи, увеличение громоздкости)
Корни уравнения  13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 таковы, что 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415. Найдите а.
Решение. По теореме Виета 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 и 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415. Возведём обе части первого равенства в квадрат: 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415. Учитывая, что 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 , а 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415, получаем:13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415  или 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415, 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 , 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415. Проверка показывает, что все значения  удовлетворяют условию. Ответ: 

8. (Базовая задача 7. Увеличение технической сложности задачи, варьирование известного алгоритма)
Решите уравнение 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415, если известно, что один из корней вдвое больше другого.

Решение.
Запишем формулы Виета: 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 и учтем, что 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415. Подставим эту связь между корнями в формулы Виета и получим 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 или 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
Из первого уравнения находим: 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 и подставляем во второе:
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
После этого определяем 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 и 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
Ответ: 3;6.

9. (Базовая задача 5. Увеличение трудности задачи)
При каких а уравнение 13 EMBED Equation.3 1415 имеет более одного корня?
Решение:
При а = 0 уравнение имеет единственный корень, что не удовлетворяет условию.
При а ( 0 исходное уравнение, будучи квадратным, имеет два корня, если его дискриминант 13 EMBED Equation.3 1415 – положительный. Отсюда получаем: 13 EMBED Equation.3 1415. Однако в полученный промежуток (– 4; 1) входит число 0, которое, как мы уже проверили, неприемлемо.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415.

10. (Базовая задача 5. Аналог предыдущей задачи 9, увеличение трудности и громоздкости)
При каких а уравнение 13 EMBED Equation.3 1415 имеет более одного корня?
Решение:
Стандартный шаг – начать со случаев а = 0 и а = – 3.
При а = 0 уравнение имеет единственное решение. При а = – 3 решением уравнения является любое действительное число.
При а ( 0 и а ( – 3, разделив обе части данного уравнения на а + 3, получим квадратное уравнение 13 EMBED Equation.3 1415, дискриминант которого 13 EMBED Equation.3 1415 положителен при а > – 13 EMBED Equation.3 1415.
Из промежутка ( –13 EMBED Equation.3 1415; + () надо исключить точку а = 0, а в ответ не забыть включить а = – 3.
Ответ: а = – 3, или – 13 EMBED Equation.3 1415 < а < 0 или а > 0.

11. (Базовая задача 8. Увеличение трудности и громоздкости)
При каких значениях b уравнения и равносильны?


12. (Базовая задача 5. Варьирование известного алгоритма решения задачи)
Найдите значения а, при которых оба корня уравнения 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 не превосходят 1.

Решение.
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
По условию задачи корни 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415, т.е. 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 или 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415откуда 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 Ответ: при 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.

13. (Базовая задача 5. Варьирование известного алгоритма решения задачи)
При каких значениях корни уравнения равны по модулю, но противоположны по знаку.


Исследовательские задачи.
1. При каких значениях а оба корня уравнения х2 – ах +2 = 0 лежат на интервале (0;3)?
Решение:
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Ответ: .

2. При каких значениях а один корень уравнения ах2 +х +1 = 0 больше 2, а другой меньше 2?

3. Найдите все значения а, при которых уравнение 4х2 – 2х + а = 0 имеет два корня, каждый из которых принадлежит интервалу (-1;1).

4. При каких значениях корни уравнения равны по модулю, но противоположны по знаку?

5. Решите уравнение 13 EMBED Equation.3 1415.

Решение.
Данное уравнение можно переписать в виде
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415.
Рассматривая его как уравнение относительно переменной 13 EMBED Equation.3 1415и параметром 13 EMBED Equation.3 1415, найдем дискриминант:
13 EMBED Equation.3 1415.
Так как необходимым и достаточным условием существования решения квадратного уравнения является неотрицательность его дискриминанта, получим, что это возможно лишь, если 13 EMBED Equation.3 1415.
Подставляя в уравнение найденное значение, получим, что
13 EMBED Equation.3 1415.
Таким образом, нам действительно удалось решить данное уравнение, хотя это уравнение с двумя переменными.
Замечание: При решении данной задачи был использован еще один основополагающий принцип решения задач с параметрами – параметром может быть объявлена любая переменная, входящая в уравнение.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.

Данный принцип хорошо иллюстрируется следующими двумя примерами, которые повторяют и расширяют материал.

6. Решите уравнение 13 EMBED Equation.3 1415

Решение.
Непосредственное решение этого уравнения как уравнения относительно переменной 13 EMBED Equation.3 1415 с параметром 13 EMBED Equation.3 1415 невозможно, т.к. это уравнение четвертой степени.
Рассмотрим данное уравнение как квадратное относительно переменной 13 EMBED Equation.3 1415 и параметром 13 EMBED Equation.3 1415. Получим, что 13 EMBED Equation.3 1415. Условием существования решения, т.е. выражения значения 13 EMBED Equation.3 1415как функции 13 EMBED Equation.3 1415, служит неотрицательность дискриминанта.
13 EMBED Equation.3 1415.
Таким образом, уравнение равносильно совокупности
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ:13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415, и
13 EMBED Equation.3 1415при любом значении 13 EMBED Equation.3 1415.

В качестве параметра может выступать на каком-то этапе решения единственная переменная, входящая в уравнение.

7. Решите уравнение 13 EMBED Equation.3 1415.

Решение.
Представим это уравнение как квадратное относительно 13 EMBED Equation.3 1415.
Данное решение подтверждает принцип свободы выбора неизвестной и параметра.
13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415
Таким образом, уравнение равносильно совокупности
13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.



Заключение.
Психологи и методисты давно пришли к выводу, что лучше всего формировать и развивать мышление в ходе решения задач. В обучении математике они являются и целью, и средством обучения, математического развития школьников. В частности, это относится и к задачам с параметрами.
Добавление параметра значительно усложняет задачу, т.к. увеличивается ее размерность, появляется «глубина». Решение такой задачи требует системного подхода, целостного представления ситуации. Для решения уравнений (неравенств) с параметрами необходимо умение проводить разветвленные логические построения. При этом необходимо четко и последовательно следить за сохранением равносильности решаемых уравнений (неравенств), учитывая области определения выражений в них входящих.
Использование стандартных методов при решении задач с параметрами иногда приводит к необходимости выполнения очень громоздких вычислений, что существенно затрудняет решение. Такая ситуация, как правило, способствует началу творческих поисков других путей решений, их исследования, направленное на нахождение наиболее рационального, наиболее «красивого» способа решения. Под исследованием в науке понимается изучение какого-либо объекта с целью выявления закономерностей его возникновения, развития, преобразования. В процессе исследования синтезируются имеющиеся знания, накопленный опыт, а также методы и способы изучения объектов.
Из вышесказанного можно сделать вывод, что решение задач с параметрами развивает системное, логическое мышление. Являясь прекрасным материалом для исследовательской работы, решение уравнений (неравенств) с параметрами развивает такие умения как наблюдение, сравнение, обобщение и др.; учит творчески мыслить, способствует развитию гибкости мыслительного процесса и, что очень важно, развивает теоретическое мышление.




Список литературы.
В. Локоть. Задачи с параметрами: иррациональные уравнения, неравенства, системы, задачи с модулем. М.: АРКТИ, 2004.64 с. (Абитуриент: Готовимся к ЕГЭ).
П. И. Горнштейн, В. Б. Полонский, М. С. Якир. Задачи с параметрами. 2007 год
3. Мордкович, А.Г. Алгебра. 8 кл [Текст] : Учебник для кл. с углубл. изуч. математики / А.Г. Мордкович.- М.: Мнемозина, 2007.
4. Мордкович, А.Г. Алгебра. 8 кл [Текст] : Задачник / А.Г. Мордкович, Т.Н. Мишустина, Е.Е. Тульчинская.- М.: Мнемозина, 2007.
5. Научно – теоретический и методический журнал «Математика в школе» №4, 2004.

Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeРисунок 4Описание: img25Рисунок 5Описание: img23Рисунок 6Описание: img24Рисунок 8Описание: img26Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeРисунок 11Описание: img28Рисунок 80Описание: http://festival.1september.ru/articles/595913/img9.gifРисунок 81Описание: http://festival.1september.ru/articles/595913/Image10405.gifРисунок 84Описание: http://festival.1september.ru/articles/595913/Image10408.gifРисунок 85Описание: http://festival.1september.ru/articles/595913/Image10409.gifРисунок 21Описание: img____134Рисунок 23Описание: img____038Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native