Методические указания по выполнению контрольных работ по математике студентов заочников 1 курса по специальности Технология машиностроения
ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ НАУКИ И МОЛОДЕЖНОЙ ПОЛИТИКИ
ВОРОНЕЖСКОЙ ОБЛАСТИ
Государственное образовательное бюджетное учреждение
среднего профессионального образования Воронежской области
«Воронежский авиационный техникум имени В.П.Чкалова»
(ГОБУ СПО ВО «ВАТ имени В.П.Чкалова»)
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТпо дисциплине
МАТЕМАТИКА
Специальность: 151901 Технология машиностроения
Квалификация техник
Форма обучения:
заочная
Воронеж, 2015/2016
Методические указания рассмотрены и одобрены
на заседании предметной (цикловой) комиссии
Естественнонаучных и экономических дисциплин
Протокол №___________ « ___»_________2015г.
Председатель____________________Е.А.УваровМетодические указания для проведения практических занятий разработаны на основе рабочей программы учебной дисциплины Математика по специальности среднего профессионального образования 151901 Технология машиностроения.
Организация – разработчик:
ГОБУ СПО ВО «ВАТ имени В.П. Чкалова»
Разработчик:
Кравцова Т.Н.., преподаватель ГОБУ СПО ВО «ВАТ имени В.П. Чкалова»
Пояснительная записка
Настоящий сборник является методическим пособием для проведения практических занятий по программе учебной дисциплины Математика для специальности 160108 Производство летательных аппаратов дневной формы обучения. Сборник содержит описание заданий (работ) и порядок их выполнения.
Рабочей программой учебной дисциплины Математика предусмотрено проведение следующих практических занятий:
1. Практическое занятие №1 по теме: «Решение СЛАУ матричным методом»
2. Практическое занятие №2 по теме: «Решение СЛАУ методом Гаусса»
3. Практическое занятие №3 по теме: «Действия над комплексными числами в алгебраической форме»
4. Практическое занятие №4 по теме: «Действия над комплексными числами в тригонометрической и показательной формах»
5. Практическое занятие № 5 по теме: «Вычисление пределов функции ».
6. Практическое занятие №6 по теме: «Геометрические приложения определенного интеграла»
7. Практическое занятие №7 по теме: «Решение дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными»
8. Практическое занятие №8 по теме: «Решение однородных дифференциальных уравнений»
9. Практическое занятие №9 по теме: «Решение задач с применением теорем сложения и умножения вероятности»
10. Практическое занятие №10 по теме: «Вычисление числовых характеристик случайных величин»
В результате освоения дисциплины обучающийся должен уметь:
решать прикладные задачи в области профессиональной деятельности;
В результате освоения дисциплины обучающийся должен знать:
значение математики в профессиональной деятельности и при освоении профессиональной образовательной программы;
основные математические методы решения прикладных задач в области профессиональной деятельности;
основные понятия и методы математического анализа, дискретной математики, линейной алгебры, теории комплексных чисел, теории вероятностей и математической статистики;
основы интегрального и дифференциального исчисления.
При изучении дисциплины необходимо обращать внимание обучающихся на ее прикладной характер, на то, где и когда изучаемые теоретические положения и практические навыки могут быть использованы в будущей практической деятельности. Необходимо вести изучение материала в форме, доступной пониманию обучающихся, соблюдать преемственность в обучении, единство терминологии и обозначений в соответствии с действующими государственными стандартами. При проведении занятий:
использовать учебные пособия, технические и наглядные средства обучения;
проводить несложные дедуктивные и индуктивные рассуждения;
обосновывать шаги решения задач;
формулировать определения математических понятий;
пользоваться математической терминологией и символикой;
письменно оформлять решения задач.
Общие правила выполнения практических заданий (работ)
1. Каждый обучающийся после выполнения задания (работы) должен представить отчет о проделанной работе с анализом полученных результатов и выводом.
2. Отчет о проделанной работе следует выполнять в тетрадях для практических работ.
3. Таблицы и рисунки следует выполнять с помощью чертежных инструментов (линейки, циркуля и т.д.) карандашом.
4. При мелких исправлениях неправильное слово (буква, число и т.п.) аккуратно зачеркивают и над ним пишут правильное пропущенное слово (букву, число) или используют корректор.
5. Все расчеты необходимо выполнять на листах отчета.
6. Если обучающийся не выполнил задание (работу) или часть задания (работы), то он может доделать работу во внеурочное время, согласованное с преподавателем.
7. Оценку (зачет) по практическому заданию обучающийся получает, с учетом срока выполнения работы, если:
- расчеты выполнены правильно и в полном объеме;
- сделан анализ проделанной работы и (или) вывод по результатам работы;
- Обучающийся может пояснить выполнение любого этапа работы;
- Отчет выполнен в соответствии с требованиями к выполнению практического задания (работы).
Практическое занятие №1
по теме: «Решение СЛАУ матричным методом »
Цель занятия: проверить умения в вычислении определителей 3-го порядка, в выполнении действий над матрицами, решать системы линейных уравнений.
1. Необходимые материалы и литература:
1. Тетрадь для практических занятий.
2. Методические указания по выполнение практических занятий по дисциплине «Математика»
3. Ручка, линейка, карандаш, циркуль.
2. Порядок выполнения задания:
1. Повторить тему «Операции над матрицами. Матричный метод»
2. На основе выданного задания выполнить необходимые действия.
3. Оформить отчет о практической работе.
3. Методические указания по выполнению работы.
Матрицей размера называется прямоугольная таблица специального вида, состоящая из строк и столбцов, заполненная некоторыми элементами.
Количество строк и столбцов матрицы задают ее размеры.
Обозначение:
Элементы матрицы обозначаются , где - номер строки, в которой находится элемент, а - номер столбца.
Операции над матрицами
Произведение матрицы на число
Произведением матрицы на число называется матрица, полученная из исходной умножением каждого ее элемента на заданное число.
Пример
Задание. Пусть . Найти матрицу .
Решение.
Ответ.
Сложение и вычитание матриц
Сложение и вычитание матриц, допускаются только для матриц одинакового размера.
Сумма матриц
Суммой матриц и одного размера называется матрица такого же размера, получаемая из исходных путем сложения соответствующих элементов:
Пример
Задание. Найти , если
Решение.
Ответ.
Свойства сложения и вычитания матриц:
Ассоциативность
, где - нулевая матрица соответствующего размера.
Коммутативность
Разность матриц
Разностью матриц и одного и того же размера называется матрица такого же размера, получаемая из исходных путем прибавления к матрице матрицы , умноженной на (-1).На практике же от элементов матрицы попросту отнимают соответствующие элементы матрицы при условии, что заданные матрицы одного размера.
Пример
Задание. Найти матрицу , если
Решение.
Ответ.
Умножение матриц
Произведением матрицы на матрицу называется матрица такая, что элемент матрицы , стоящий в -ой строке и -ом столбце, т.е. элемент , равен сумме произведений элементов -ой строки матрицы на соответствующие элементы -ого столбца матрицы .
Замечание
Умножать матрицы можно тогда и только тогда, когда количество столбцов первой матрицы равно количеству строк второй матрицы.
Пример
Задание. Вычислить и , если
Решение. Так как , а , то произведение возможно и результатом операции умножения будет матрица , а это матрица вида .
Вычислим элементы матрицы :
Итак, .
Выполним произведения в более компактном виде:
Найдем теперь произведение . Так как количество столбцов матрицы (первый сомножитель) не совпадает с количеством строк матрицы (второй сомножитель), то данное произведение неопределенно. Умножить матрицы в данном порядке невозможно.
Ответ. . В обратном порядке умножить данные матрицы невозможно, так как количество столбцов матрицы не совпадает с количеством строк матрицы .
Свойства произведения матриц:
Ассоциативность
Ассоциативность по умножению
Дистрибутивность ,
Умножение на единичную матрицу
В общем случае умножение матриц не коммутативно, т.е.
Транспонирование матрицы
Транспонирование матрицы - это операция над матрицей, когда ее строки становятся столбцами с теми же номерами.
Пример
Задание. Найти матрицу , если
Решение.
Ответ.
Если матрица - это матрица размера , то матрица имеет размер .
Свойства операции транспонирования матриц:
Понятие определителя матрицы
Определение
Квадратной матрице -го порядка ставиться в соответствие число , называемое определителем матрицы или детерминантом.
Методы вычисления определителей
Вычисления определителей второго порядка
Чтобы вычислить определитель матрицы второго порядка, надо от произведения элементов главной диагонали отнять произведение элементов побочной диагонали:
Пример
Задание. Вычислить определитель второго порядка
Решение.
Ответ.
Методы вычисления определителей третьего порядка
Для вычисления определителей третьего порядка существует такие правила.
Правило треугольника
Схематически это правило можно изобразить следующим образом:
Произведение элементов в первом определителе, которые соединены прямыми, берется со знаком "плюс"; аналогично, для второго определителя - соответствующие произведения берутся со знаком "минус", т.е.
Пример
Задание. Вычислить определитель методом треугольников.
Решение.
Ответ.
Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида:
Упорядоченный набор значений называется решением системы, если при подстановке в уравнения все уравнения превращаются в тождество.
Квадратные СЛАУ. Матричный метод решения
Замечание
С помощью данного метода можно находить решение только для квадратных СЛАУ.
Матричный метод решения
Запишем заданную систему в матричном виде:
Если матрица невырождена, то тогда с помощью операций над матрицами выразим неизвестную матрицу . Операция деления на множестве матриц заменена умножением на обратную матрицу, поэтому домножим последнее равенство на матрицу слева:
Поэтому, чтобы найти неизвестную матрицу надо найти обратную матрицу к матрице системы и умножить ее справа на вектор-столбец свободных коэффициентов.
Замечание
Данный метод удобно применять тогда, когда нужно решить много одинаковых систем с разными правыми частями.
Примеры решения систем уравнений
Пример
Задание. Найти решение СЛАУ матричным методом.
Решение. Выпишем матрицу системы и матрицу правых частей . Найдем обратную матрицу для матрицы системы. Для матрицы второго порядка обратную можно находить по следующему алгоритму: 1) матрица должна быть невырождена, то есть ее определитель не должен равняться нулю: ; 2) элементы, стоящие на главной диагонали меняем местами, а у элементов побочной диагонали меняем знак на противоположный и делим полученные элементы на определитель матрицы. Итак, получаем, что
Тогда
Две матрицы одного размера равны, если равны их соответствующие элементы, то есть в итоге имеем, что ,
Ответ. ,
Пример
Задание. Решить с помощью обратной матрицы систему
Решение. Запишем данную систему в матричной форме:
,
где - матрица системы, - столбец неизвестных, - столбец правых частей. Тогда
Найдем обратную матрицу к матрице с помощью союзной матрицы:
Здесь - определитель матрицы ; матрица - союзная матрица, она получена из исходной матрицы заменой ее элементов их алгебраическими дополнениями. Найдем , для этого вычислим алгебраические дополнения к элементам матрицы :
Таким образом,
Определитель матрицы
А тогда
Отсюда искомая матрица
Ответ.
4. Отчет о проделанной работе должен содержать:
1. Тема работы.
2. Цель работы.
3. Задание.
4. Решение задач.
5. Вывод по работе.
5. Варианты заданий.
I вариант
Выполните действия: а) А.В+С; б) С+.В; в) С – D; если
; ; ; ; при = -0,5.
Вычислите определитель матрицы:
; ; ; ;
Решите уравнение.; Решите систему уравнений матричным методом:
; ; в) .
II вариант
Выполните действия: а) В.С-А; б) А+.D; в) D-A; если
A=13501-12-38 2 49; B=32579-14-32 ; C=922-424039 4-1-2; ; при = 0,5
Вычислите определитель матрицы:
; ; ; ;
Решите уравнение: ;4. Решите систему уравнений матричным методом:
; в)
6. Контрольные вопросы.
1. Что такое матрица?
2. Какие методы вычисления определителей вы еще знаете?
3. Что такое СЛАУ?
4. На чем основывается матричный метод решения СЛАУ?
7. Перечень учебной и специальной литературы.
1. М. И. Каченовский, Ю. М. Колягин, A. Д. Кутасов, Г. Л. Луканкин, B. А. Оганесян, Г. Н. Яковлев. Алгебра и начала анализа. Часть 1. Учебник для средних специальных учебных заведений. Под ред. Г. Н. Яковлева – М.: Наука, 1981. – 336с.
2. Математика для техникумов. Алгебра и начала анализа: Учебник. Ч. 2/Каченовский М. .И., Колягин Ю. М., Кутасов А. Д., Лукан-кин Г. Л. и др.; Под ред. Г. Н. Яковлева.—3-е изд., перераб.—М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988.—272 с.
Интернет-ресурс.
1. Образовательный портал для студентов, абитуриентов и школьников. [Электронный ресурс]. (Webmath.ru). Дата обращения: 29.09.2014 г.
Практическое занятие №2
по теме: «Решение СЛАУ методом Гаусса»
Цель занятия: закончить формирование умений в решении системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Сравнить методы Крамера и Гаусса.
1. Необходимые материалы и литература:
1. Тетрадь для практических занятий.
2. Методические указания по выполнение практических работ по дисциплине «Математика»
3. Ручка, линейка, карандаш, циркуль.
2. Порядок выполнения задания:
1. Повторить темы «Решение СЛАУ методом Гаусса», «Решение СЛАУ методом Крамера»
2. На основе выданного задания выполнить необходимые действия.
3. Оформить отчет о практической работе.
3. Методические указания по выполнению работы.
Метод Гаусса. Метод последовательного исключения неизвестных
Пример
Задание. Решить СЛАУ методом Гаусса.
Решение. Выпишем расширенную матрицу системы и при помощи элементарных преобразований над ее строками приведем эту матрицу к ступенчатому виду (прямой ход) и далее выполним обратный ход метода Гаусса (сделаем нули выше главной диагонали). Вначале поменяем первую и вторую строку, чтобы элемент равнялся 1 (это мы делаем для упрощения вычислений):
Далее делаем нули под главной диагональю в первом столбце. Для этого от второй строки отнимаем две первых, от третьей - три первых:
Все элементы третьей строки делим на два (или, что тоже самое, умножаем на ):
Далее делаем нули во втором столбце под главной диагональю, для удобства вычислений поменяем местами вторую и третью строки, чтобы диагональный элемент равнялся 1:
От третьей строки отнимаем вторую, умноженную на 3:
Умножив третью строку на , получаем:
Проведем теперь обратный ход метода Гаусса (метод Гассу-Жордана), то есть сделаем нули над главной диагональю. Начнем с элементов третьего столбца. Надо обнулить элемент , для этого от второй строки отнимем третью:
Далее обнуляем недиагональные элементы второго столбца, к первой строке прибавляем вторую:
Полученной матрице соответствует система
или
Ответ.
Метод Крамера разберем на примере
Пример
Задание. При помощи формул Крамера найти решение системы
Решение. Вычисляем определитель матрицы системы:
Так как определитель матрицы системы неравен нулю, то по теореме Крамера система совместна и имеет единственное решение. Для его нахождения вычислим следующие определители:
Таким образом,
Ответ.
4. Отчет о проделанной работе должен содержать:
1. Тема работы.
2. Цель работы.
3. Задание.
4. Решение задач.
5. Вывод по работе.
5. Варианты заданий.
I вариант
1. Решите систему уравнений методом Крамера:
2.Решитн систему уравнений методом Гаусса:
3.Решите систему уравнений: а) б)
II вариант
1. Решите систему уравнений методом Крамера:
2.Решитн систему уравнений методом Гаусса:
3.Решите систему уравнений: а) б)
6. Контрольные вопросы.
1. На чем основан метод Гаусса?
2. Проведите сравнение методов Крамера и Гаусса?
7. Перечень учебной и специальной литературы.
1. М. И. Каченовский, Ю. М. Колягин, A. Д. Кутасов, Г. Л. Луканкин, B. А. Оганесян, Г. Н. Яковлев. Алгебра и начала анализа. Часть 1. Учебник для средних специальных учебных заведений. Под ред. Г. Н. Яковлева – М.: Наука, 1981. – 336с.
2. Математика для техникумов. Алгебра и начала анализа: Учебник. Ч. 2/Каченовский М. .И., Колягин Ю. М., Кутасов А. Д., Луканкин Г. Л. и др.; Под ред. Г. Н. Яковлева.—3-е изд., перераб.—М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988.—272 с.
Интернет-ресурс.
1. Образовательный портал для студентов, абитуриентов и школьников. [Электронный ресурс]. (Webmath.ru). Дата обращения: 29.09.2014 г.
Практическое занятие №3
по теме: «Действия над комплексными числами в алгебраической форме»
Цель занятия: закрепить умения в выполнении действий над комплексными числами.
1. Необходимые материалы и литература:
1. Тетрадь для практических занятий.
2. Методические указания по выполнение практических работ по дисциплине «Математика»
3. Ручка, линейка, карандаш, циркуль.
2. Порядок выполнения задания:
1. Повторить тему «Действия над комплексными числами в алгебраической форме»
2. На основе выданного задания выполнить необходимые действия.
3. Оформить отчет о практической работе.
3. Методические указания по выполнению работы.
Арифметические операции над комплексными числами в алгебраической форме
Сумма
Разность
Произведение
(числитель и знаменатель умножают на число, сопряженное знаменателю, чтобы избавиться от комплексного числа в знаменателе)
Частное
Рекомендуется для упрощения вычислений при делении, вывести формулу для умножения двух сопряжённых комплексных чисел:
Пример 2. Выполнить арифметические действия над комплексными числами и .
Решение.
1) ;
2) ;
3) ;
4) .
Ответ. ; ; ; Натуральная степень мнимой единицы i
Найдем первый четыре степени i:
, , , .
Учитывая, что , найдем старшие степени:
, ,
,
Очевидно, что все остальные степени i будут равны одному из предыдущих четырех значений.
Чтобы возвести i в натуральную степень, надо показатель степени разделить на 4, и возвести i в степень, равную остатку от деления.
Пример 3: Найти , , , .
Решение.
;
;
;
.
Ответ. , , , .
4. Отчет о проделанной работе должен содержать:
1. Тема работы.
2. Цель работы.
3. Задание.
4. Решение задач.
5. Вывод по работе.
5. Варианты заданий.
I вариант
1. Выполните действия:
; ; ; ; ; ; ; ; ; .
Вычислите: ; ; ; ; II вариантВыполните действия:
; ; ; ; ; ; ; ; ; .
Вычислите: ; ; ; ; 6. Контрольные вопросы.
1. Что такое комплексное число?
2. Какие операции над комплексными числами в алгебраической форме вы знаете?
7. Перечень учебной и специальной литературы.
1. М. И. Каченовский, Ю. М. Колягин, A. Д. Кутасов, Г. Л. Луканкин, B. А. Оганесян, Г. Н. Яковлев. Алгебра и начала анализа. Часть 1. Учебник для средних специальных учебных заведений. Под ред. Г. Н. Яковлева – М.: Наука, 1981. – 336с.
2. Математика для техникумов. Алгебра и начала анализа: Учебник. Ч. 2/Каченовский М. .И., Колягин Ю. М., Кутасов А. Д., Лукан-кин Г. Л. и др.; Под ред. Г. Н. Яковлева.—3-е изд., перераб.—М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988.—272 с.
3.Валуева Л.А. Учебное пособие «Комплексные числа», Краснодар, 2013 г.
Интернет-ресурс.
1. Образовательный портал для студентов, абитуриентов и школьников. [Электронный ресурс]. (Webmath.ru). Дата обращения: 29.09.2014 г.
Практическое занятие №4
по теме: «Действия над комплексными числами в тригонометрической и показательной формах»
Цель занятия: продолжить формирование умений перехода от комплексного числа в алгебраической форме к его записи в тригонометрической и показательной формах.1. Необходимые материалы и литература:
1. Тетрадь для практических занятий.
2. Методические указания по выполнение практических работ по дисциплине «Математика»
3. Ручка, линейка, карандаш, циркуль.
2. Порядок выполнения задания:
1. Повторить темы «Действия над комплексными числами в тригонометрической и показательной формах»2. На основе выданного задания выполнить необходимые действия.
3. Оформить отчет о практической работе.
3. Методические указания по выполнению работы.
Тригонометрическая форма комплексного числа
Заменив в алгебраической форме записи комплексного числа и соотношениями , получим: , т.е. тригонометрическую форму записи комплексного числа.
Тригонометрическая форма:
Пример . Перевести в тригонометрическую форму комплексное число .
Решение.
, значит, ;;
Таким образом, тригонометрическая форма данного комплексного числа имеет вид:
.
Ответ. .
Пример. Перевести в алгебраическую форму комплексное число, заданное в тригонометрической форме .
Решение.
, значит, ,
,
.
Таким образом, алгебраическая форма данного комплексного числа имеет вид:
.
Ответ. .
Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме
Умножение
Деление
Возведение в степень (формула Муавра)
Извлечение корня
Показательная форма комплексного числа
В 1740 году Леонард Эйлер опубликовал формулу, связывающую комплексную экспоненту с тригонометрическими функциями:
– формула Эйлера.
Таким образом, если комплексное число задано в тригонометрической форме , то на основании формулы Эйлера, выражение в скобках можно заменить на показательное выражение. В результате получим показательную форму комплексного числа:
Показательная форма:
Действия над комплексными числами, заданными в показательной форме.
Пусть и
Умножение
Деление
Возведение в степень
Извлечение корня ,
Пример. Даны два комплексных числа и .
Произвести действия , в тригонометрической и показательной форме. Результат записать в алгебраической форме.
Решение.
Из записи чисел имеем:
Тригонометрическая форма:
Показательная форма:
Ответ. ,
Как видно из примеров, показательная форма упрощает запись вычислений, и оформление решения делает более компактным.
Пример. Вычислить .
Решение.
Запишем данное комплексное число в показательной форме:
, значит, ;;
Таким образом, показательная форма данного комплексного числа имеет вид:
.
Вычислим :
Переведем полученный результат в алгебраическую форму .
Ответ: .
Пример . Найти все корни уравнения .
Решение.
Запишем число 16 в показательной форме:, т.е. , .
Тогда
При :
При :
При :
При :
Ответ. , , , .
4. Отчет о проделанной работе должен содержать:
1. Тема работы.
2. Цель работы.
3. Задание.
4. Решение задач.
5. Вывод по работе.
5. Варианты заданий.
І вариант
1. Представьте в тригонометрической форме следующие числа:
а) б) в) *.
2. Представьте в показательной форме следующие числа:
а) б) ; в) *.
3. Решите уравнения:
а) ,б) ,в)
ІІ вариант
1. Представьте в тригонометрической форме следующие числа:
а) б) в) *.
2. Представьте в показательной форме следующие числа:
а) б) ; в) *.
3. Решите уравнения:
а) ,б) ,в)
6. Контрольные вопросы.
1. Какие действия можно производить с комплексными числами в тригонометрической и показательной формах?
7. Перечень учебной и специальной литературы.
1. М. И. Каченовский, Ю. М. Колягин, A. Д. Кутасов, Г. Л. Луканкин, B. А. Оганесян, Г. Н. Яковлев. Алгебра и начала анализа. Часть 1. Учебник для средних специальных учебных заведений. Под ред. Г. Н. Яковлева – М.: Наука, 1981. – 336с.
2. Математика для техникумов. Алгебра и начала анализа: Учебник. Ч. 2/Каченовский М. .И., Колягин Ю. М., Кутасов А. Д., Лукан-кин Г. Л. и др.; Под ред. Г. Н. Яковлева.—3-е изд., перераб.—М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988.—272 с.
3.Валуева Л.А. Учебное пособие «Комплексные числа», Краснодар, 2013 г.
Интернет-ресурс.
1. Образовательный портал для студентов, абитуриентов и школьников. [Электронный ресурс]. (Webmath.ru). Дата обращения: 29.09.2014 г.
Практическое занятие №5
по теме: «Вычисление пределов функции»
Цель занятия: продолжить формирование умений в вычислении пределов.
1. Необходимые материалы и литература:
1. Тетрадь для практических занятий.
2. Методические указания по выполнение практических работ по дисциплине «Математика»
3. Ручка, линейка, карандаш, циркуль.
2. Порядок выполнения задания:
1. Повторить тему «Вычисление пределов функции»
2. На основе выданного задания выполнить необходимые действия.
3. Оформить отчет о практической работе.
3. Методические указания по выполнению работы.
Определение предела. Число b называется пределом функции f(х) при х а, если, по мере того как х приближается к а – будь то справа или слева, – значение f(х) неограниченно «стремится» к b:
f(х) = b.
Замечание: Предполагается, что функция f(х) определена внутри некоторого промежутка, содержащего точку х = а (во всех точках справа и слева от а), в самой же точке х = а функция f(х) либо определена, либо нет.
Правила нахождения пределов в точке:
если непрерывна в x0, то .
Пример ;
. Таким образом
. Таким образом
При вычислении пределов непрерывных функций применяют теоремы о пределах:
1. Предел суммы (разности) функций, имеющих пределы, равен сумме (разности) их пределов: [f1(х) f2(х)] = f1(х) f2(х).
2. Предел произведения функций равен произведению их пределов:
[ f1(х) · f2(х) ] = f1(х) · f2(х).
3. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:
[Cf(х)] = C f(х).
4. Предел отношения двух функций равен отношению их пределов, предел делителя отличен от нуля:
= .
5. Предел постоянной есть сама постоянная: C = C.
6. Предел степени переменной, имеющей предел, равен степени ее предела:
un = (u)n
Пример . Вычислить предел: .
Решение. Применим теорему о пределе частного, затем в числителе и знаменателе дроби применим теорему о пределе суммы, а далее используем теоремы о пределе произведения, степени и постоянной:
При вычислении пределов можно опускать подробное описание, необходимо осуществить подстановку предельного значения аргумента в заданную функцию.
Иногда при подстановке в функцию предельного значения аргумента получаются выражения, не имеющие конкретного смысла: ; ; – ; 1; 0. Их называют «неопределенностями».
В этих случаях для нахождения пределов необходимо предварительно выполнить некоторые преобразования данного выражения.
Рассмотрим некоторые приемы, которыми пользуются при таких преобразованиях.
Неопределенность вида . При раскрытии неопределенности вида , необходимо либо раскрыть скобки, либо домножить но сопряженное (если есть корень).
Примеры:
Вычислить предел .
Решение. Если подставить вместо аргумента х его предельное значение 4, то получим «неопределенность» вида .
Преобразуем данную дробь:
=
Поскольку х не равен 4, а только стремится к 4, то х – 40, следовательно, дробь можно сократить на х – 4.
;
=
Правила нахождения пределов не бесконечности:
1) Предел многочлена при
Пример
Пример:
3) случай . Чтобы раскрыть неопределённость вида надо числитель и знаменатель дроби разделить на высшую степень переменной.
Пример:
4) случай . При раскрытии неопределённого вида нужно числитель и знаменатель дроби домножить на сопряжённое выражение.
Пример:
Пример на применение правила ЛопиталяЗадание. Найти
Решение. Получим неопределенность и для решения предела воспользуемся правилом Лопиталя.
Ответ.
4. Отчет о проделанной работе должен содержать:
1. Тема работы.
2. Цель работы.
3. Задание.
4. Решение задач.
5. Вывод по работе.
5. Варианты заданий.
В-I1. Вычислите предел функции
а) ,
б) ,
в) ,
г) ,
д) ,
е) .
2. Вычислите предел функции
а) , б) .
3. Вычислите предел функции с помощью правила Лопиталя.
.
В-II
1. Вычислите предел функции
а) ,
б) ,
в) ,
г) ,
д) ,
е) .
2. Вычислите предел функции
а) , б) .
3. Вычислите предел функции с помощью правила Лопиталя.
.
6. Контрольные вопросы.
1. Что такое предел функции?
2. Перечислите основные теоремы о пределах?
3. Когда можно применять правило Лопиталя?
7. Перечень учебной и специальной литературы.
1. М. И. Каченовский, Ю. М. Колягин, A. Д. Кутасов, Г. Л. Луканкин, B. А. Оганесян, Г. Н. Яковлев. Алгебра и начала анализа. Часть 1. Учебник для средних специальных учебных заведений. Под ред. Г. Н. Яковлева – М.: Наука, 1981. – 336с.
2. Математика для техникумов. Алгебра и начала анализа: Учебник. Ч. 2/Каченовский М. .И., Колягин Ю. М., Кутасов А. Д., Лукан-кин Г. Л. и др.; Под ред. Г. Н. Яковлева.—3-е изд., перераб.—М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988.—272 с.
3. Математика: Учебное пособие / Сост. И.А.Кочеткова / БОУ ОО СПО «Сибирский профессиональный колледж». Омск, 2010. – 97 с.Интернет-ресурс.
1. Образовательный портал для студентов, абитуриентов и школьников. [Электронный ресурс]. (Webmath.ru). Дата обращения: 29.09.2014 г.
Практическое занятие №6
по теме: «Геометрические приложения определенного интеграла»
Цель занятия: сформировать навык применения определенного интеграла при решении прикладных задач.
1. Необходимые материалы и литература:
1. Тетрадь для практических занятий.
2. Методические указания по выполнение практических работ по дисциплине «Математика»
3. Ручка, линейка, карандаш, циркуль.
2. Порядок выполнения задания:
1. Повторить тему «Геометрические приложения определенного интеграла»
2. На основе выданного задания выполнить необходимые действия.
3. Оформить отчет о практической работе.
3. Методические указания по выполнению работы.
Определение. Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная графиком непрерывной и не меняющей на отрезке знака функции , прямыми и отрезком . Площадь S криволинейной трапеции находится по формуле
. (*)
Задание. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
а) ; б) .
№ План вычисления площади Применение плана
шага криволинейной трапеции а) б)
1 Строим заданные линии и штриховкой отмечаем фигуру, площадь которой надо найти. Установим, является ли эта фигура криволинейной трапецией 2 Записываем формулу для вычисления площади искомой фигуры
3 Находим пределы интегрирования ,
4 Вычисляем искомую площадь по формуле (*)
,
(кв.ед.)
,
(кв.ед.)
12509520955Объем тела вращения
1184275944880Объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции аАВb (рис.1), ограниченной непрерывной кривой у=f(х), отрезком аb оси Оx и отрезками прямых х=а и x=b, вычисляется по формуле
Рис. 1
Пример. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной параболой ,прямой х=3 и осью Ох.
Решение. Графиком функции является парабола с осью симметрии, параллельной оси абсцисс и вершиной в точке О(0;0). Определим три различные точки, принадлежащие параболе (рис. 2).
Для построения графика функции удобно выбрать следующие три точки, указанные в таблице ниже.
х 0 1/2 2
0 1 2
0 -1 -2
-2286017526000
Применяя формулу , получим
V(куб.ед).
рис.2
4. Отчет о проделанной работе должен содержать:
1. Тема работы.
2. Цель работы.
3. Задание.
4. Решение задач.
5. Вывод по работе.
5. Варианты заданий.
I вариант
1. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями:
а) , , , . б) , .
2. Найдите объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями: , , , вокруг оси .
II вариант
1. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями:
а) , , , . б) , .
2. Найдите объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями: , , , .
6. Контрольные вопросы.
1. Как применяется определенный интеграл при решении прикладных задач?
7. Перечень учебной и специальной литературы.
1. Математика: Учебное пособие / Сост. И.А.Кочеткова / БОУ ОО СПО «Сибирский профессиональный колледж». Омск, 2010. – 97 с.
Интернет-ресурс.
1. Образовательный портал для студентов, абитуриентов и школьников. [Электронный ресурс]. (Webmath.ru). Дата обращения: 29.09.2014 г.
Практическое занятие №7
По теме: «Решение дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными».
Цель занятия: продолжить формирование умений в решении дифференциальных уравнений.
1. Необходимые материалы и литература:
1. Тетрадь для практических занятий.
2. Методические указания по выполнение практических работ по дисциплине «Математика»
3. Ручка, линейка, карандаш, циркуль.
2. Порядок выполнения задания:
1. Повторить тему «Решение дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными»
2. На основе выданного задания выполнить необходимые действия.
3. Оформить отчет о практической работе.
3. Методические указания по выполнению работы.
Пример 1. Решить дифференциальное уравнение и найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию у(0) = 1.
Решение :; Разделяем переменные .
Интегрируем обе части последнего равенства
В результате получим
Таким образом, получаем общий интеграл
Находим частное решение уравнения. Подставляем начальное условие
1(0 + С) = 1; С = 1
Отсюда получаем частный интеграл
Пример 2.Найти общее решение уравнения x1+y2dx=ydy.Решение: Разделив переменные имеем
xdx=ydy1+y2.Интегрируем обе части полученного уравнения
xdx=ydy1+y2;x22=12ln(1+y2)+12lnC. Так как произвольная постоянная C может принимать любые числовые значения, то для удобства дальнейших преобразований вместо С мы написали 12lnС. Потенцируя последнее равенство получим x2=ln1+y2C.
Это и есть общее решение данного уравнения.
Пример 3. Найти частное решение уравнения stgt dt+ds=0, удовлетворяющее начальным условиям s=4 при t=π3.Решение: Разделив переменные, имеем
tgt dt+dss=0.
Проинтегрируем обе части полученного уравнения:
tg t dt+dss=lnc;-lncost+lns=lnC,Или
lns=lnC+lncost, s=C costЭто общее решение данного уравнения. Для нахождения значения произвольной постоянной C подставим значения t=π3 и s=4 в выражение для общего решения:
4=Ccosπ3, или 4=c2, откуда C=8.
Следовательно, искомое частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям, имеет вид s=8cost .
4. Отчет о проделанной работе должен содержать:
1. Тема работы.
2. Цель работы.
3. Задание.
4. Решение задач.
5. Вывод по работе.
5. Варианты заданий
В-I1. Найти общее решение уравнений:
a)x2dx=3y3dy;
б)dyx=3dxy;
в) xydx=1+x2dy;
г)x2-yx2dy+y2+xy2dx=0.
2. Найдите частные решения уравнений, удовлетворяющие указанным начальным условиям:
а)ydy=xdx;y=4 при x=-2;
б) 1+ydx=1-xdy;y=3 при x=-2.
В-II
1. Найти общее решение уравнений:
a)xdx=ydy;
б)1+ydx=x-1dy;
в) y2dx+x-2dy=0;
г)x2dy-2xy+3ydx=0.
2. Найдите частные решения уравнений, удовлетворяющие указанным начальным условиям:
а)xdy=ydx;y=6 при x=2;
б) 1+xydx+1-yxdy;y=1 при x=1.
6. Контрольные вопросы.
1. Что такое дифференциальное уравнение?
2. Как находится частное решение дифференциального уравнения?
7. Перечень учебной и специальной литературы.
1. Практические занятия по математике: Учебное пособие для средних проф. Учеб. заведений / Н.Б. Богомолов./10-е изд.,перераб . Москва Высшая школа, 2008. – 495 с.
Интернет-ресурс.
1. Образовательный портал для студентов, абитуриентов и школьников. [Электронный ресурс]. (Webmath.ru). Дата обращения: 29.09.2014 г.
Практическое занятие №8
По теме: «Однородные дифференциальные уравнения первого порядка»
Цель занятия: продолжить формирование умений в решении дифференциальных уравнений.
1. Необходимые материалы и литература:
1. Тетрадь для практических занятий.
2. Методические указания по выполнение практических работ по дисциплине «Математика»
3. Ручка, линейка, карандаш, циркуль.
2. Порядок выполнения задания:
1. Повторить тему «Решение дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными»
2. На основе выданного задания выполнить необходимые действия.
3. Оформить отчет о практической работе.
3. Методические указания по выполнению работы.
Пример 1. Решить уравнение xdy=x+ydx.Решение: Это уравнение однородное, Полагаем y=tx. Тогда dy=xdt+tdx. Подставляя в уравнение, получим
xxdt+tdx=x+txdx; xdt=dx.Решаем полученное уравнение с разделяющимися переменными
dt=dxx; t=lnx+C.Возвращаясь к старому переменному у, получим y=x(lnx+C). Кроме того, имеется решение x=0, которое было потеряно при делении на х.
Пример 2. Решить уравнение 2x2y'y+y4=4x6Решение: Вводим замену y=zm уравнение примет вид 2mx4z2m-1z'+z4m=4x6. Это уравнение будет однородным в том случае, когда степени всех его членов равны между собой, т.е. 4+2m-1=4m=6. Эти равенства удовлетворяются одновременно, если m=32. Следовательно, уравнение можно привести к однородному заменой y=z32.
4. Отчет о проделанной работе должен содержать:
1. Тема работы.
2. Цель работы.
3. Задание.
4. Решение задач.
5. Вывод по работе.
5. Варианты заданий
B-I
Решите уравнение:
а) 2xdy+x2y4+1ydx=0;
б) 2x2y/=y2+xy;
в) x+4yy'=2x+3y-5;
г)x-y-1+y-x+2y'=0.
B-II
Решите уравнение:
а) y+2dx=2x+y-4dy;
б) x3(y'-x)=y2;
в) xdy+x2xy+1dy=0;
г)x-y-1y'+y-x+2=0.
6. Контрольные вопросы.
1. Что такое дифференциальное уравнение?
2. Как находится частное решение дифференциального уравнения?
7. Перечень учебной и специальной литературы.
1. М. И. Каченовский, Ю. М. Колягин, A. Д. Кутасов, Г. Л. Луканкин, B. А. Оганесян, Г. Н. Яковлев. Алгебра и начала анализа. Часть 1. Учебник для средних специальных учебных заведений. Под ред. Г. Н. Яковлева – М.: Наука, 1981. – 336с.
2. Математика для техникумов. Алгебра и начала анализа: Учебник. Ч. 2/Каченовский М. .И., Колягин Ю. М., Кутасов А. Д., Лукан-кин Г. Л. и др.; Под ред. Г. Н. Яковлева.—3-е изд., перераб.—М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988.—272 с.
Интернет-ресурс.
1. Образовательный портал для студентов, абитуриентов и школьников. [Электронный ресурс]. (Webmath.ru). Дата обращения: 29.09.2014 г.
Практическое занятие №9
по теме: «Решение задач с применением теорем сложения и умножения вероятности.»Цель занятия: сформировать навык решения задач на формулы сложения и умножения вероятностей
1. Необходимые материалы и литература:
1. Тетрадь для практических занятий.
2. Методические указания по выполнение практических работ по дисциплине «Математика»
3. Ручка, линейка, карандаш, циркуль.
2. Порядок выполнения задания:
1. Повторить тему «Решение задач с применением теорем сложения и умножения вероятности.»2. На основе выданного задания выполнить необходимые действия.
3. Оформить отчет о практической работе.
3. Методические указания по выполнению работы.
Теорема 1. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий, т.е.
P(A+B)=P(A)+P(B).
Теорема называется теоремой сложения несовместных событий.
Следствие 1. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице, т.е.
PP.Теорема 2. Вероятность суммы попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий, т.е.
P(A1+A2+…+Am)=P(A1)+P(A2)+…+P(Am).
Следствие 2. Сумма вероятностей событий, образующих полную систему попарно несовместных событий, равна единице.
Теорема 3.Вероятность суммы двух произвольных событий равна сумме вероятностей событий без вероятности их произведения, т.е.
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB).
События А и В называются независимыми, если появление одного из них не меняет вероятности появления другого. Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет.
Теорема об умножении вероятностей. Вероятность произведения независимых событий А и В вычисляется по формуле:
P(AB)=P(A)P(B).
Вероятность произведения зависимых событий вычисляется по формуле условной вероятности (см. далее).
Пример. Из карточек разрезной азбуки составлено слово «панорама». Карточки перемешали и наудачу по одной извлекают 5 карточек, выкладывая их в порядке извлечения. Найти вероятность того, что окажется составленным слово «роман».
Решение
В этой задаче можно воспользоваться произведением зависимых случайных событий
А – получение слова «роман»; В1 – извлечение первой карточки с буквой «р»;
В2 – извлечение второй карточки с буквой «о»; и т.д. Тогда А=В1 . В2 . В3 . В4 . В5
Р(А)=Р(В1) . Р(В2) . Р(В3) . Р(В4) . Р(В5)=
Пример. В трех ящиках имеется по 6 одинаковых изделий, среди которых соответственно 2,
1, 3 бракованных. Наугад из каждого ящика извлекают по одному изделию. Найти вероятность того, что среди них окажутся два качественных и одно бракованное изделия.
Решение
Для решения задачи рассмотрим события: А – извлечение двух качественных и одного бракованного изделий, В1 – извлечение качественного изделия из первого ящика;
В2 – извлечение качественного изделия из второго ящика; В3– извлечение качественного изделия из третьего ящика; извлечение бракованного изделия для каждого ящика является событиями Составим событие А и вычислим его вероятность
4. Отчет о проделанной работе должен содержать:
1. Тема работы.
2. Цель работы.
3. Задание.
4. Решение задач.
5. Вывод по работе.
5. Варианты заданий.
В-I.
1.Вычислите
2. Хоккейная команда состоит из 3 вратарей, 8 защитников и 12 нападающих. Сколькими способами можно образовать стартовую шестерку, состоящую из вратаря, двух защитников и трех нападающих?
3. В урне 12 белых и 8 черных шаров. Какова вероятность того, что наудачу вынутый шар будет белым?
В-II
1. Вычислите
2. В турнире участвуют 11 команд. Сколько вариантов распределения призовых мест между ними возможно?
3. В ящике 15 деталей, среди которых 10 окрашенных. Сборщик наудачу извлекает три детали. Найти вероятность того, что извлеченные детали окажутся окрашенными.
В-III
1. Вычислите
2. Сколько можно составить вариантов расписания занятий на один день, если всего изучается 12 предметов, а в расписании на день можно включить только 4 из них?
3. Устройство состоит из 5 элементов, из которых 2 изношены. При включении устройства включаются случайным образом 2 элемента. Найти вероятность того, что включенными окажутся неизношенные элементы.
В-IV
1.Вычислите
2. Сколькими способами можно выбрать двух дежурных, если в группе 27 человек?
3. Студент знает 20 вопросов из 25. Найти вероятность того, что студент знает предложенные ему экзаменатором 3 вопроса.
6. Контрольные вопросы.
1. Какие события называются независимыми?
2. Какие события называются совместными?
7. Перечень учебной и специальной литературы.
1. М. И. Каченовский, Ю. М. Колягин, A. Д. Кутасов, Г. Л. Луканкин, B. А. Оганесян, Г. Н. Яковлев. Алгебра и начала анализа. Часть 1. Учебник для средних специальных учебных заведений. Под ред. Г. Н. Яковлева – М.: Наука, 1981. – 336с.
2. Математика для техникумов. Алгебра и начала анализа: Учебник. Ч. 2/Каченовский М. .И., Колягин Ю. М., Кутасов А. Д., Лукан-кин Г. Л. и др.; Под ред. Г. Н. Яковлева.—3-е изд., перераб.—М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988.—272 с.
Интернет-ресурс.
1. Образовательный портал для студентов, абитуриентов и школьников. [Электронный ресурс]. (Webmath.ru). Дата обращения: 29.09.2014 г.
Практическое занятие №10
по теме: «Вычисление числовых характеристик дискретных случайных величин»
Цель занятия: сформировать навык нахождения числовых характеристик дискретной случайной величиной.
1. Необходимые материалы и литература:
1. Тетрадь для практических занятий.
2. Методические указания по выполнение практических работ по дисциплине «Математика»
3. Ручка, линейка, карандаш, циркуль.
2. Порядок выполнения задания:
1. Повторить тему «Вычисление числовых характеристик дискретной случайной величины, заданной законом распределения»
2. На основе выданного задания выполнить необходимые действия.
3. Оформить отчет о практической работе.
3. Методические указания по выполнению работы.
Случайные величины
Под случайной величиной, связанной с некоторым опытом, понимается всякая величина, которая при осуществлении этого опыта принимает то или иное числовое значение. Например, в опыте с подбрасыванием игральной кости нас интересует число выпавших очков, т.е. величина, которая в зависимости от случая принимала одно из следующих шести значений: 1, 2, 3, 4, 5, 6. При стрельбе по мишени пятью выстрелами мы также имеем дело со случайной величиной (числом попаданий в мишень), которая могла принимать значения 0, 1, 2, 3, 4, 5. Примерами случайных величин могут служит также:
а) количество бракованных изделий в определенной партии;
б) величина надоя молока от одной коровы в течение года;
в) количество солнечных пятен с площадью, большей некоторого определенного значения, зарегистрированных астрономом в течение дня на солнечном диске;
г) число лепестков в цветке сирени;
д) количество дорожно-транспортных происшествий в городе в течение суток.
Для полной характеристики случайной величины необходимо, прежде всего, знать те значения, которые она может принимать. Но этого, разумеется, недостаточно. Помимо этого нужно знать, с какой вероятностью случайная величина принимает то или иное значение.
Будем обозначать случайную величину буквой , ее значения , а соответствующие вероятности, с которыми эти значения принимаются, буквами .
Если для случайной величины известны все значения , которые она может принимать, и все вероятности , с которыми эти значения принимаются, то говорят, что задан закон распределения случайной величины или просто распределение величины .
Закон распределения удобно записывать в виде следующей таблицы:
… …
… …
В первой строке таблицы записываются все значения случайной величины, а во второй строке под ними – соответствующие вероятности.
Рассмотрим случайных событий:
– случайная величина приняла значение ;
– случайная величина приняла значение ;
……………………………………………………….
– случайная величина приняла значение .
События несовместны, так как случайная величина при однократном осуществлении опыта может принять только одно из значений . Очевидно также, что сумма событий является достоверным событием, т.е.
,
Так как одно из значений случайная величина обязательно принимает.
Поэтому по теореме сложения для несовместных событий получаем
P P,
P+ P+…+ P
или в сокращенном виде , т.е. сумма всех чисел, стоящих во второй строке таблицы, дающей закон распределения случайной величины , должна быть равна единице.
Пример Задан закон распределения дискретной случайной величины Х:
xi 30 40 60
pi 0,5 0,2 0,3
Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение. Вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины .
Решение. Расчет ведем по формулам для числовых характеристик дискретных случайных величин.
Математическое ожидание:
.
Дисперсия:
Среднее квадратическое отклонение:
.
Для вычисления характеристик случайной величины воспользуемся свойствами математического ожидания и дисперсии:
,
.
4. Отчет о проделанной работе должен содержать:
1. Тема работы.
2. Цель работы.
3. Задание.
4. Решение задач.
5. Вывод по работе.
5. Варианты заданий.
Закон распределения дискретной случайной величины Х задан в таблице. Найти: 1)математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение; 2) вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины , пользуясь свойствами математического ожидания и дисперсии.
Номер задачи Условие задачи
1 xi 2 4 6 8 10
pi 0,2 0,3 0,1 0,2 0,2
2 xi 3 5 7 9 11
pi 0,3 0,2 0,2 0,1 0,2
3 xi 10 20 30 40 50
pi 0,1 0,2 0,1 0,2 0,4
4 xi 4 6 8 10 12
pi 0,2 0,3 0,1 0,2 0,2
5 xi 20 30 40 50 60
pi 0,1 0,2 0,1 0,2 0,4
pi 0,3 0,2 0,2 0,1 0,2
6. Контрольные вопросы.
1. Что такое случайная величина?
2. Как вычисляется математическое ожидание ДСВ?
3. Как вычисляется дисперсия ДСВ?
7. Перечень учебной и специальной литературы.
1. М. И. Каченовский, Ю. М. Колягин, A. Д. Кутасов, Г. Л. Луканкин, B. А. Оганесян, Г. Н. Яковлев. Алгебра и начала анализа. Часть 1. Учебник для средних специальных учебных заведений. Под ред. Г. Н. Яковлева – М.: Наука, 1981. – 336с.
2. Математика для техникумов. Алгебра и начала анализа: Учебник. Ч. 2/Каченовский М. .И., Колягин Ю. М., Кутасов А. Д., Лукан-кин Г. Л. и др.; Под ред. Г. Н. Яковлева.—3-е изд., перераб.—М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988.—272 с.
Интернет-ресурс.
1. Образовательный портал для студентов, абитуриентов и школьников. [Электронный ресурс]. (Webmath.ru). Дата обращения: 29.09.2014 г.