Синус, косинус и тангенс двойного угла
Класс 10-А дата: 15.02.2017
Урок № 62
Тема. Синус, косинус и тангенс двойного угла.
Цель:
Вывести формулы тригонометрии, позволяющие выразить sin2x, cos2x, tg2x через sinx, cosx, tgx, показать многообразие их применения.
Выработать навыки и умения использовать полученные формулы в тригонометрических преобразованиях.
Развивать математическое мышление учащихся, умение видеть и применять изученные тождества.
Побуждать учащихся к преодолению трудностей в процессе умственной деятеятельности, к самоконтролю, самоанализу.
Тип урока: изучение нового материала
Ход урока
І. Организационный момент. Проверка готовности к уроку. Наличие тетрадей, дневника, учебника. Проверка отсутствующих
IІ. Проверка домашнего задания
ІІІ. Актуализация опорных знаний.
) Проверим, как вы знаете изученные формулы суммы и разности аргументов для синуса, косинуса, тангенса, тригонометрические тождества, значения тригонометрических функций некоторых углов.
Проведем игру “Лото”.
Задание: Продолжите равенство (учащиеся на карте закрывают фишкой правильный ответ)([ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]):
cos2x + sin2x =
sinx / cosx =
sin(x + y) =
sinxcosy – cosxsiny =
cosxcosy – sinxsiny =
tg(x + y) =
cos
·/4 =
sin
·/6 =
Проверка:
карта №1 не закрыты tg(x – y), v3/2;
карта №2 --------------- cos(x – y), -1.
Оценка:
“5” выполнено без ошибок;
“4” -------------- с 1 ошибкой;
“3” -------------- 2-3 ошибки.
Б) Вспомним формулы сокращенного умножения.
Чему равен квадрат суммы и разности (х + (–)у)2?
Представьте в виде суммы: (cosx + sinx)2
Чему равна разность квадратов?
Представьте в виде произведения: cos2x – sin2x
IV. Изучение нового материала.
Сообщение темы, цели урока.
Сегодня на уроке выведем тригонометрические формулы двойного аргумента, рассмотрим многообразие их применения для упрощения выражений, нахождения значений. Постарайтесь запомнить данные формулы, научиться их применять.
Попробуйте самостоятельно, используя тригонометрические формулы суммы и разности аргументов, получить формулы двойного аргумента.
Учащимся раздаются карточки – опоры ([ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]), с помощью которых они доказывают тождества:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Вывод затем показывают на доске, остальные записывают в тетрадь.
Учитель: Всегда ли справедливы данные формулы?
Вывод: Формулы “синус двойного аргумента”, “косинус двойного аргумента” справедливы для любых значений аргумента.
Формула “тангенс двойного аргумента” справедлива лишь для тех значений аргумента х, для которых определены tgx, tg2x, 1- tg2x
·?0.
Формулы двойного аргумента можно применять и в тех случаях, когда место аргумента х занимает более сложное выражение.
Примеры: Продолжите:
cos(8x –14y) = cos2(4x – 7y) =
tg(4
·/3 – 6t) =
sinx / 4 =
sin10x =
cos48 =
cos23,5t – sin23,5t =
sin7xcos7x =
IV. Закрепление изученного материала:
А)(См. задачник “Алгебра и начала анализа” 10-11 кл., автор А.Г. Мордкович):
устно №464(а, в);
№465(а, в);
№466(а, б).
Б) Докажите тождества:
cos2x = 1 – 2sin2x
cos2x = 2cos2x – 1
1 + sin2x = (cosx + sinx)2
1 – sin2x = (cosx – sin)2
tgx + ctgx = 2 / sin2x
B) Сократите дробь: (1 + sin2x) / cos2x
Решение заранее написано на доске. Учащиеся должны объяснить ход решения.
V. Закрепеление изученного материала
Учебник № 498, 500, 501, 502
VI Подведение итогов урока
VII. Домашнее задание решать № № _____________________________
cos(x-y)
tgx
sinxcosy + cosxsiny
1
tgx+
·2
2
сos(x+y)
1
2
sinxcosy + cosxsiny
·3
2
cos(x-y)
tgx
sinxcosy + cosxsiny
1
tgx+tgy
1-tgxtgy
cos(x+y)
1
2
·2
2
sin(x-y)
-1
1
tgx+tgy
1-tgxtgy
tg(x-y)
sin(x-y)
tgx
·2
2
сos(x+y)
1
2
sinxcosy + cosxsiny
·3
2
cos(x-y)
tgx
sinxcosy + cosxsiny
1
tgx+tgy
1-tgxtgy
cos(x+y)
1
2
·2
2
sin(x-y)
-1
1
tgx+tgy
1-tgxtgy
tg(x-y)
sin(x-y)
tgx
·2
2
сos(x+y)
1
2
sinxcosy + cosxsiny
·3
2
Карточки – опоры
№1
Выразите sin2x через sinx, cosx.
Для этого: 1) представьте 2х в виде (х + х);
2) воспользуйтесь формулой синуса суммы аргументов.
№2
Докажите тождество:
cos 2x = cos2x – sin2x
Для этого: 1) представьте 2х в виде (х + х);
2) воспользуйтесь формулой косинуса суммы
аргументов: cos(x+y)=cosxcosy – sinxsiny
3) упростите полученное выражение.
№3
Докажите тождество:
2tgx
tg2x = 1 - tg2x
Для этого: 1) представьте 2х в виде (х + х);
2) воспользуйтесь формулой тангенса суммы аргументов;
3) упростите полученное выражение, приведя подобные слагаемые в числителе, а в знаменателе произведение одинаковых множителей замените степенью.
Карточки – опоры
№1
Выразите sin2x через sinx, cosx.
Для этого: 1) представьте 2х в виде (х + х);
2) воспользуйтесь формулой синуса суммы аргументов.
№2
Докажите тождество:
cos 2x = cos2x – sin2x
Для этого: 1) представьте 2х в виде (х + х);
2) воспользуйтесь формулой косинуса суммы
аргументов: cos(x+y)=cosxcosy – sinxsiny
3) упростите полученное выражение.
№3
Докажите тождество:
2tgx
tg2x = 1 - tg2x
Для этого: 1) представьте 2х в виде (х + х);
2) воспользуйтесь формулой тангенса суммы аргументов;
3) упростите полученное выражение, приведя подобные слагаемые в числителе, а в знаменателе произведение одинаковых множителей замените степенью.
Карточки – опоры
№1
Выразите sin2x через sinx, cosx.
Для этого: 1) представьте 2х в виде (х + х);
2) воспользуйтесь формулой синуса суммы аргументов.
№2
Докажите тождество:
cos 2x = cos2x – sin2x
Для этого: 1) представьте 2х в виде (х + х);
2) воспользуйтесь формулой косинуса суммы
аргументов: cos(x+y)=cosxcosy – sinxsiny
3) упростите полученное выражение.
№3
Докажите тождество:
2tgx
tg2x = 1 - tg2x
Для этого: 1) представьте 2х в виде (х + х);
2) воспользуйтесь формулой тангенса суммы аргументов;
3) упростите полученное выражение, приведя подобные слагаемые в числителе, а в знаменателе произведение одинаковых множителей замените степенью.
Карточки – опоры
№1
Выразите sin2x через sinx, cosx.
Для этого: 1) представьте 2х в виде (х + х);
2) воспользуйтесь формулой синуса суммы аргументов.
№2
Докажите тождество:
cos 2x = cos2x – sin2x
Для этого: 1) представьте 2х в виде (х + х);
2) воспользуйтесь формулой косинуса суммы
аргументов: cos(x+y)=cosxcosy – sinxsiny
3) упростите полученное выражение.
№3
Докажите тождество:
2tgx
tg2x = 1 - tg2x
Для этого: 1) представьте 2х в виде (х + х);
2) воспользуйтесь формулой тангенса суммы аргументов;
3) упростите полученное выражение, приведя подобные слагаемые в числителе, а в знаменателе произведение одинаковых множителей замените степенью.
Заголовок 1 Заголовок 315