Интегрированный урок алгебры и начала анализа в 11 классе на тему Применение производной для решения физических задач
Тема: Використання похідної для розв’язування фізичних задач.
Мета: Закріпити знання учнів про похідну і можливості
її використання у фізиці для розв’язування задач;
розвивати логічне мислення учнів,уміння застосо-
вувати знання з математики до фізичних процесів
та явищ;
виховувати пізнавальний інтерес учнів.
Обладнання:таблиці,індивідуальні картки.
Тип уроку:узагальнення і систематизації знань
Хід уроку.
1.Мотивація навчання і повідомлення теми уроку.
Сьогодні наш урок присвячено похідній.Пригадаємо,які по-
няття та формули пов’язані з ключовим словом «похідна».
2.Актуалізація знань учнів.(проводить вчитель математики)
Механічний Означення Геометричний
зміст зміст
Історична
довідка Таблиця Правила знаходження
похідних похідних
(Означення похідної, її геометричний та механічний зміст, історична довідка про виникнення поняття похідної повторюються у вигляді повідомлень учнів)
Отже,ви пригадали поняття похідної,а тепер згадаємо таблицю по-
хідних та правила їх знаходження.(Усно,фронтально).
Обчислити похідну функції:
У=9х2
У=5х-5
x=sin2t
X=sin0,5t
X=13 EMBED Equation.3 1415t6
У=413 EMBED Equation.3 1415
У= (2х+1)2
Х=cos2t
Х=tgt ctgt
Х=cos(
·-3t)
У=7sinx
У=13 EMBED Equation.3 1415
X=sin(2t+
·)
Х=sin2х+cos2х
Х=3t2-5t+6
У=8tgx
У=13 EMBED Equation.3 1415
Х=tg2x
X=t5
X=t
Щоб згадати правила застосування похідних,пропоную гру-тест
«Обираємо правильну відповідь».Правильно вибрана відповідь
відповідає певній букві.Прочитавши зашифроване слово,ви маєте
змогу одразу ж оцінити свої знання (завдання виконується письмово)
Варіант-1 Варіант-2.
1.Знайдіть похідні функцій:
a) у=(1+sinx)cosx а)у=(1-cosx)sinx
A) cos2x Б) cos2x-sinx А) sin2x С) cosx-cos2x
В) cos2x+sinx Г) інша. К) cos2x+cosx Г) інша.
б) у =13 EMBED Equation.3 1415 б) у=13 EMBED Equation.3 1415
А) 13 EMBED Equation.3 1415 Ф) 13 EMBED Equation.3 1415 Р) 13 EMBED Equation.3 1415 У) 13 EMBED Equation.3 1415 Б) 13 EMBED Equation.3 1415 Н) 13 EMBED Equation.3 1415
2.Точка рухається за законом 2.Точка рухається за законом
S(t)=3t2-2t+4. S(t)=4t2-2t+1.
Знайдіть швидкість руху в момент часу t=2(t-у секундах,у-у метрах).
А)10 Т) – 10 І)8 Г)12 У)– 14 П)14 Н)12 І) 9
3.Кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функції
F(x)=sinx у точці х0 = 13 EMBED Equation.3 1415 F(x)=cosx у точці х0= 13 EMBED Equation.3 1415
дорівнює:
А) 0,5 Б) – 0,5 В) – 13 EMBED Equation.3 1415 А) –13 EMBED Equation.3 14150,5 Е)0,5 К) 13 EMBED Equation.3 1415
4.Розв’язати рівняння F(х)=0, якщо
F(x)=
·8х-4х2 F(x) =13 EMBED Equation.3 1415
А)–1 Б)0 М)2 О)1 М)0 К)1 Н)2 Р)–1
(браво) (супер)
3.Узагальнення поняття похідної .( Вчитель фізики)
Сьогодні ви дізнаєтеся ,що похідна широко використовується у фізиці.
Розглянемо таблицю:
1
S-переміщення, v-швидкість
·s=v(t)
·t
V(t)=Sґ(t)
2
А-робота , F-сила
·А=F(х)
·х
F(х)=Аґ(х)
3
А-робота,N-потужність
·А=N(t)
·t
N(t)=Аґ(t)
4
m-маса тонкого стержня ,
·-лінійна густина
·m=
·(х)
·х
·(х)=mґ(х)
5
q-електричний заряд,І-сила струму
·q=І(t)
·t
I(t)=qґ(t)
6
Q-кількість теплоти,с-теплоємність
·Q=с(t)
·t
C(t)=Qґ(t)
4.Розв’язування фізичних задач:
Нерівномірний рух.
Що характеризує середня швидкість?
Як визначити середню швидкість?
Що таке миттєва швидкість?Як перейти від середньої швид-
кості до миттєвої?
(учні відповідають)
А * vc1= 13 EMBED Equation.3 1415, (
·t2<
·t1) .
·S3
·S2 vc2= 13 EMBED Equation.3 1415 , (
·t3<
·t2)
·S1
Vc3= 13 EMBED Equation.3 1415, (
·s2<
·s1), (
·s3<
·s2).
Миттєва швидкість тіла в точці А дорівнює відношенню зміни пере -
мі щення до зміни проміжку часу,коли t0.Чим тоді є швидкість?
(V=Xґ)
Чим є похідна швидкості по часу?(а=vґ)
Чим є похідна механічної роботи по часу?(N=Aґ)
Чим є похідна величини заряду по часу?(І=qґ)
Задача №1.
Тіло рухається прямолінійно за законом х=1+2t+t2. Визначити його
миттєву швидкість у момент часу t=2c.
А)х=1+2t+t2 Розв’язання: v (t)=xґ(t)
t=2c xґ= (1+2t+t2) = 2+2t
v=? V=2+22=6(м/с)
Б) Розв’язання: х=х0+v0t+ 13 EMBED Equation.3 1415 ; х=1+2t+t2.
Порівнюємо:v0t=2t; v0=2(м/с); 13 EMBED Equation.3 1415=t2; тоді v =2+22=6(м/с); 13 EMBED Equation.3 1415=1; а=2(м/с).
Який із способів простіший? Звісно, перший.
Задача №2.
V=3+t. Знайти прискорення тіла через 4с. після початку руху.
Швидкість тіла, яке рухається прямолінійно, визначається формулою
V=3+t Розв’язання: a=vґ
t=4c a =3ґ+tґ
a=? а = tґ=1(м/с2)
Задача №3.
Кулька скочується з похилої площини висотою h .Знайти швидкість
в нижній точці похилої площини.
v h h =13 EMBED Equation.3 1415; v=hґ; v=(13 EMBED Equation.3 1415)ґ; v=13 EMBED Equation.3 1415=gt; v=gt.
Задача№4.
Знайти швидкість при русі тіла ,кинутого вертикально вгору,якщо
h=v0t -13 EMBED Equation.3 1415.
Розв’язання: v=hґ; v=(v0 - 13 EMBED Equation.3 1415)ґ; v=v0- 13 EMBED Equation.3 1415; v=v0-gt.
.
Учням пропонується різнорівнева самостійна робота за вибором.
Середній рівень.
1)Знайти силу F,що діє на тіло масою 10кг, якщо воно рухається по закону: а)х=2t; б)х=10-3t; в)х=6+4t2; г)х=10-4t-2t2.
2)Висота при вільному падінні h=13 EMBED Equation.3 1415.Як змінюється з часом швидкість?
3)Координата тіла ,підкинутого вертикально вгору,змінюється за законом h=v0t-13 EMBED Equation.3 1415.Як змінюється з часом швидкість?
Достатній рівень.
№1Заряд q на пластинах конденсатора коливального контура змінюється з часом t за законом q=10-6cos104
·t. Записати закон залежності сили струму від часу і=і(t).Визначити період і частоту коливань у контурі,
амплітуду коливань заряду і амплітуду коливань сили струму.
g=10-6cos104
·t і=і(t)=? Т=? gm=? Іm=?
·=?
Розв’язання: а)і=qґ; і =(10-6cos104
·t)ґ; і= -10-6104
·sin104
·t; і= -10-2
·sin104
·t;
і=- 0,0314sin104
·t; і=0,0314cos(104
·t+13 EMBED Equation.3 1415).
б) Іm= 0,0314A ; І m =31,4мА.
в) q = qmcos104
·t ;
·t =104
·t ; 13 EMBED Equation.3 1415
г) Т= 13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415= 2104с = 0,2мс ;
д)
· = 13 EMBED Equation.3 1415 ; 13 EMBED Equation.3 14155103=5кГц.
№2Коливальний контур складається з конденсатора ємністю 1мкФ і ко-
тушки індуктивністю 4Гн.Амплітуда коливань заряду на конденсаторі становить 100мкКл.Написати рівняння q=q(t), і=і(t); 13 EMBED Equation.3 1415u=u(t).Визначити амплі-туди коливань сили струму та напруги.
С=1мкФ ; L=4ГН ; qm=100мккл; q= q(t)=? І = і(t)=? u=u(t)=? іm=? Um=?
Розв’язання: 1)1мкФ=10-6Ф; 100мкКл=10010-6Кл=10-4Кл;
2)Т=2
·
·LC ;Т=2
·
·10-64 =2
·210-3=4
·10-3(с);
3) 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
4)q = qmcos
·t ; q=10-4cos0,5103t ; q=10-4cos500t;
5)і=q, і= -10-4500sin500t; і= -0,05sin500t= 0,05А= 50мА;
6)с = q ; и= q ; и= 10-4cost = 102cos500t = 100cos500t;
И с 10-6
Иm=100в.
№3 Під час обертання дротяної рамки в однорідному магнітному полі потік магнітної індукціі, який пронизує її, змінюється залежно від часу за законом : Ф=0,01sin10
·t.Обчислити похідну (Ф) і написати формулу залежності ЕРС від часу: е=е(t).В якому положенні була рамка на початку відліку часу? Яка частота обертання рамки? Чому дорівнюють максимальні значення магнітного потоку та ЕРС?
Ф=0,01sin10
·t; е=е(t)=?
·=? Фm=? Еm=?
Розв’язання:
а)Рамка паралельна до силових ліній. е=13 EMBED Equation.3 1415; е=-Ф .е=(0,01sin10
·t) ; у=0,01
·10cos10
·t ; е=0,314cos10
·t.
б) 13 EMBED Equation.3 1415t=2
·
·t; 10
·t=2
·
·t; 10=2
· ; звідки
·=5Гц.
в) 13 EMBED Equation.3 1415m=0?01Вт;
г) Еm=0?314В.
№4Вторинна обмотка трансформатора , що має 99 витків, пронизується магнітним потоком, який змінюється з часом за законом Ф=0,01sin100
·t.
Написати формулу, що виражає залежність ЕРС вторинної обмотки від часу,
і визначити діюче значення ЕРС.
N2=99, Ф= 0,01sin100
·t, е(t)=? Е=?
Розв’язання: е1= - Ф (в одному витку). е1=-( 0,01sin100
·t),
е1=0,0113 EMBED Equation.3 1415100
·cos100
·t, е1=
·cos100
·t,
Еm=еN2, Еm= 3,1413 EMBED Equation.3 141599=311В.
е =(
·cos100
·t)N2, е =311cos100
·t, тоді Е = 13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415=
=2,23В13 EMBED Equation.3 141599=220В.
№5 Тіло здійснює гармонічні коливання за законом х=0,05cos10
·t (усі оди-
ниці вимірюються в СІ). Як записується закон зміни швидкості для цього
руху?
Х=0,05cos10
·t v(t)- ?
Розв’язання: v= x; v=(0,05cos10
·t) , v=- 0,0513 EMBED Equation.3 141510
·sin10
·t=- 0,5
·sin10
·t=
= 0,5cos(10
·t+13 EMBED Equation.3 1415).
№6 При гармонічних коливаннях вздовж осі ОХ координата тіла змінюється
за законом х= 0,6 cos 3t (усі величини вимірюються у СІ). За яким зако-
ном змінюється з часом прискорення цього руху?
Х= 0,6cos3t, а(t)- ?
Розв’язання: v= x, v=(0,6cos3t), v=- 0,613 EMBED Equation.3 14153sin3t =-1,8sin3t,
а=v, а=(- 1,83sin3t)=-5,4cos3t=5,4cos(3t+
·)
№7 Визначіть гальмівну силу, що діє на автомобіль масою 2т, якщо рівняння
руху має вигляд х=5t- t2 ( усі величини вимірюються в СІ).
Х=5t- t2, M=2m=213 EMBED Equation.3 1415103кг, Fтр- ?
Розв’язання: Fтр=Fторм.=ma; х=v; v=a; v= (5t- t2)=5- 2t;
A=v= (5- 2t)=- 2(13 EMBED Equation.3 1415); Fтр= 213 EMBED Equation.3 141510313 EMBED Equation.3 1415(- 2)= - 413 EMBED Equation.3 1415103Н= - 4кН.
№8 Заряд на пластинах конденсатора змінюється з часом за законом
q= 513 EMBED Equation.3 141510-5cos200
·t. Виберіть рівняння залежності сили струму від
часу.
q=513 EMBED Equation.3 141510-5cos200
·t; і(t)=?
Розв’язання: і=q; і=(513 EMBED Equation.3 141510-5cos200
·t); і=- 513 EMBED Equation.3 141510-5 13 EMBED Equation.3 1415200
·sin200
·t=
=10-3 13 EMBED Equation.3 141510-5sin200
·t = - 10-2
·sin200
·t; і=10-2
·cos(200
·t+13 EMBED Equation.3 1415).
Високий рівень.
№1.Матеріальна точка, масою 10 грам, рухається так, що її координати
Змінюються з часом так: х=0,5cos 4t (м); у= 0,5 sin 4t.
Визначити силу, що діє на цю точку.
х=0,5cos4t; у=0,5sin4t; m=0,01 кг; F- ?
Розв’язання: F=ma; ах=vх; ау=vу; vx=x; vy=y; а2=ах2+ау2; а=13 EMBED Equation.3 1415;
vx=x; vx=(0,5cos4t)=- 2sin4t; vy=y, vy=(0,5sin4t)=2cos4t;
ах=vx=(- 2sin4t)=- 8cos4t; ay=vy=(2cos4t)=- 8sin4t;
a=13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415=8(13 EMBED Equation.3 1415)/
Тоді F=0,0113 EMBED Equation.3 14158=0,08Н.
5. Підведення підсумків уроку.
Література
Шкіль М.І., Слєпкань З.І., Дубинчук О.С. Алгебра і початки аналізу.- К.:
Зодіак-ЕКО,1995.
Литвиненко Г.М., Федченко Л.Я., Швець В.О. Збірник завдань для екзамену з математики на атестат про середню освіту.-Львів: ВНТЛ,1997.
Римкевич А.П. Збірник задач з фізики для 9-11 класів середньої школи.-
Х: Олант,2005.
ГБОУ ЛНР «Успенская гимназия №1»
«Использование производной для решения физических задач»
Интегрированный урок алгебры и началов
анализа в 11 классе
Подготовили:
учитель математики высшей категории
Антонова О. И.;
учитель физики высшей категории
Дабижа А.И.
2014-2015 уч.г.
Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native