Сборник типовых расчетов по теме Основы тригонометрии

ОАОУ СПО «Астраханский социально-педагогический колледж»



Сборник типовых расчетов

по теме: Основы тригонометрии

для студентов 1 курса

специальностей:

050146 «Преподавание в начальных классах»

050141 «Физическая культура»

040401 «Социальная работа»

050710 «Специальное дошкольное образование»

050715 «Коррекционная педагогика в начальном образовании»

050144 «Дошкольное образование»

















2014
Содержание

13 TOC \o "1-3" \h \z \u 1413 LINK \l "_Toc247623377" 14Решение варианта №0 13 PAGEREF _Toc247623377 \h 1431515
13 LINK \l "_Toc247623379" 14Контрольная работа 13 PAGEREF _Toc247623379 \h 1481515
13 LINK \l "_Toc247623380" 14Справочный материал 13 PAGEREF _Toc247623380 \h 14201515
13 LINK \l "_Toc247623381" 14Перечень литературы 13 PAGEREF _Toc247623381 \h 14241515
15 Контрольная работа
Тема: «Тригонометрия»
Цель работы: «отработать практические навыки в применении тригонометрических формул для преобразования тригонометрических выражений, в решении тригонометрических уравнений и неравенств, в применении преобразований графиков для построения графиков тригонометрических функций».

Задание №1.
Упростите выражение:
;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415.


Задание №2.
Вычислите значения всех тригонометрических функций угла
·, если известно, что
13 EMBED Equation.3 1415;
sin (=13 EMBED Equation.3 1415, ((((13 EMBED Equation.3 1415(;
13 EMBED Equation.3 1415;
13
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·15, 13 EMBED Equation.3 1415((((;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415.


Задание №3.
Вычислите, применяя таблицу значений:
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equati
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·on.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415.


Задание №4.
Определите знак выражения:

13 EMB
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
· 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415.





Задание №5.
Упростите, применяя формулы приведения:

13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·6.
Найдите:
13 EMBED Equation.3 1415, если 13 EMBED Equation.3 1415- угол III четверти;
13 EMBED Equation.3 1415, если 13 EMBED Equation.3 1415- угол II четверти;
13 EMBED Equation.3 1415, если 13 EMBED Equation.3 1415- угол III четверти;
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415, если 13 EMBED Equation.3 1415- угол III четверти.
13 EMBED Equation.3 1415, если 13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415, если 13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415, если 13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415, если 13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415, если 13 EMBED Equation.3 1415
· - угол I четверти,
· – угол I четверти;
13 EMBED Equation.3 1415, если 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415;
, 13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415, если 13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415, если 13 EMBED Equation.3 1415
· - угол I четверти,
· – угол I четверти;
13 EMBED Equation.3 1415, если 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415, если 13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415, если 13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415, если 13 EMBED Equation.3 1415- угол III четверти;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415, если 13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415, если 13 EMBED Equation.3 1415
· - угол I четверти,
· – угол I четверти;
13 EMBED Equation.3 1415.



Задание №7.
Вычислите без помощи калькулятора:
13 EMBED Equation.3
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
;
;
13 EMBED Equation.3 1415.



Задание №8.
Выполните задания, используя формулы двойного и половинного угла:
Доказать тождество 13 EMBED Equation.3 1415;
Упростите 13 EMBED Equation.3 1415;
Вычислить 13 EMBED Equation.3 1415;
Найти значение выражения 13 EMBED Equation.3 1415;
Найдите 13 EMBED Equation.3 1415;
Вычислить, не используя калькулятора 13 EMBED Equation.3 1415;
Доказать тождество 13 EMBED Equation.3 1415;
Вычислить 13 EMBED Equation.3 1415;
Упростите 13 EMBED Equation.3 1415;
Вычислить 13 EMBED Equation.3 1415;
Преобразовать выражение 13 EMBED Equation.3 1415;
Упростить 13 EMBED Equation.3 1415;
Вычислите 13 EMBED Equation.3 1415;
Упростите 13 EMBED Equation.3 1415;
Найдите 13 EMBED Equation.3 1415;
Упростите 13 EMBED Equation.3 1415;
Вычислить 13 EMBED Equation.3 1415;
Упростите выражение 13 EMBED Equation.3 1415;
Доказать тождество 13 EMBED Equation.3 1415;
Упростите 13 EMBED Equation.3 1415;
Вычислить 13 EMBED Equation.3 1415;
Найти значение выражения 13 EMBED Equation.3 1415;
Найдите 13 EMBED Equation.3 1415;
Вычислить, не используя калькулятора 13 EMBED Equation.3 1415;
Доказать тождество 13 EMBED Equation.3 1415;
Вычислить 13 EMBED Equation.3 1415;
Упростите 13 EMBED Equation.3 1415;
Преобразовать выражение 13 EMBED Equation.3 1415;
Вычислите 13 EMBED Equation.3 1415;
Упростите 13 EMBED Equation.3 1415.


Задание №9.
Выполните задания, используя формулы преобразования суммы одноименных тригонометрических функций в произведение и формулы преобразования произведения в сумму:
Верно ли равенство 13 EMBED Equation.3 1415;
Вычислить 13 EMBED Equation.3 1415 если 13 EMBED Equation.3 1415;
Упростите выражение 13 EMBED Equation.3 1415;
Вычислить 13 EMBED Equation.3 1415;
Преобразуйте в произведение и вычислите: 13 EMBED Equation.3 1415;
Доказать тождество 13 EMBED Equation.3 1415;
Преобразовать в произведение: 13 EMBED Equation.3 1415;
Вычислить 13 EMBED Equation.3 1415;
Упростите 13 EMBED Equation.3 1415;
Найдите значение выражения 13 EMBED Equation.3 1415;
Верно ли равенство 13 EMBED Equation.3 1415;
Доказать, что 13 EMBED Equation.3 1415;
Преобразуйте в произведение 13 EMBED Equation.3 1415;
Вычислить 13 EMBED Equation.3 1415;
Найдите значение выражения: 13 EMBED Equation.3 1415;
Упростите выражение 13 EMBED Equation.3 1415;
Вычислить 13 EMBED Equation.3 1415;
Верно ли равенство 13 EMBED Equation.3 1415;
Доказать, что 13 EMBED Equation.3 1415;
Упростите выражение 13 EMBED Equation.3 1415
Вычислить: 13 EMBED Equation.3 1415;
Преобразовать в произведение: 13 EMBED Equation.3 1415;
Доказать тождество 13 EMBED Equation.3 1415;
Вычислить 13 EMBED Equation.3 1415;
Упростите выражение 13 EMBED Equation.3 1415;
Проверить, что 13 EMBED Equation.3 1415;
Верно ли равенство 13 EMBED Equation.3 1415;
Доказать, что 13 EMBED Equation.3 1415;
Верно ли равенство 13 EMBED Equation.3 1415;
Разложите на множители 13 EMBED Equation.3 1415.


Задание №10.
Постройте графики тригонометрических функций:
а) 13 EMBED Equation.3 1415; б) .
а) 13 EMBED Equation.3 1415; б) .
а) 13 EMBED Equation.3 1415; б) 13 EMBED Equation.3 1415
а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
а) 13 EMBED Equation.3 1415 б)13 EMBED Equation.3 1415
а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
а) б) 13 EMBED Equation.3 1415
а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
а) 13 EMBED Equation.3 1415 б)13 EMBED Equation.3 1415
а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
а) 13 EMBED Equation.3 1415 б)13 EMBED Equation.3 1415
а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415


Задание №11.
Вычислить:
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415.




Задание №12.
Найти значение выражения:

13 EMBED Equation.3 1415;

13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;

13 EMBED Equation.3 1415;


13 EMBED Equation.3 1415






Задание №13.
Решите тригонометрическое уравнение:

cos x – 2 = 0 ;
cos 2x = -13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
2sin x + 13 EMBED Equa
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415 tg 2x + 1 = 0;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
sin 2x = 0;


Задание №14.
Решите простейшее тригонометрическое уравнение:
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;

Задание №15.
Решите тригонометрическое уравнение, проводимое к квадратному:
3tg13 EMBED Equation.3 1415x - tg 2x = 0;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
5cos13 EMBED Equation.3 1415 - 6cos x + 1 = 0;
13 EMBED Equation.3 1415;
cos13 EMBED Equation.3 14152x - sin13 EMBED Equation.3
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
3tg13 EMBED Equation.3 1415x - tg 2x = 0;
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415.


Задание №16
Решите тригонометрическое уравнение, разложением левой части на множители:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·tion.3 1415.


Задание №17.
Решите однородное тригонометрическое уравнение:
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMB
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·15;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415.

Задание №18.
Решите уравнение преобразованием суммы тригонометрических функций в произведение или преобразованием произведения тригонометрических функций в сумму:
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equat
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415.


Задание №19.
Решите уравнение с использованием тригонометрических формул:
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
cos2x+sinx=0;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 14
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·



Задание №20.
Решите неравенство:
а) 13 EMBED Equation.3 1415;
а) 13 EMBED Equation.3 1415;
а) 13 EMBED Equation.3 1415;
а) 13 EMBED Equation.3 1415;
а) 13 EMBED Equation.3 1415;
а) 13 EMBED Equation.3 1415;
а) 13 EMBED Equation.3 1415;
а) 13 EMBED Equation.3 1415;
а) 13 EMBED Equation.3 1415;
а) 13 EMBED Equation.3 1415;
а) 13 EMBED Equation.3 1415;
а) 13 EMBED Equation.3 1415;
а) 13 EMBED Equation.3 1415;
а) 13 EMBED Equation.3 1415;
а) 13 EMBED Equation.3 1415;
а) 13 EMBED Equation.3 1415;
а) 13 EMBED Equation.3 1415;
а) 13 EMBED Equation.3 1415;
а) 13 EMBED Equation.3 1415;
а) 13 EMBED Equation.3 1415;
а) 13 EMBED Equation.3 1415;
а) 13 EMBED Equation.3 1415;
а) 13 EMBED Equation.3 1415;
а) 13 EMBED Equation.3 1415;
а) 13 EMBED Equation.3 1415;
а) 13 EMBED Equation.3 1415;
а) 13 EMBED Equation.3 1415;
а) 13 EMBED Equation.3 1415;
а) 13 EMBED Equation.3 1415;
а) 13 EMBED Equation.3 1415.
б) 13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415;
б) 13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415;
б) 13 EMBED Equation.3 1415;
б) 13 EMBED Equation.3 1415;
б) 13 EMBED Equation.3 1415;
б) 13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415;
б) 13 EMBED Equation.3 1415;
б) 13 EMBED Equation.3 1415;
б) 13 EMBED Equation.3 1415;
б) 13 EMBED Equation.3 1415;
б) 13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415;
б) 13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415;
б) 13 EMBED Equation.3 1415;
б) 13 EMBED Equation.3 1415;
б) 13 EMBED Equation.3 1415;
б) 13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415;
б) 13 EMBED Equation.3 1415;
б) 13 EMBED Equation.3 1415;
б) 13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415;
б) 13 EMBED Equation.3 1415.

Решение варианта №0
Пример. Найдите cos( если sin (=13 EMBED Equation.3 1415, ((((13 EMBED Equation.3 1415(.
Решение. Из формулы 13 EMBED Equation.3 1415 находим 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415.
Так как угол лежит в III четверти, cos(=13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: cos( = 13 EMBED Equation.3 1415.
Пример. Докажите тождество
13 EMBED Equation.3 1415
Решение. Выпишем и преобразуем в данном тождестве левую часть.
13 EMBED Equation.3 1415
После преобразования получили
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: ч. т. д.

Пример. Упростите выражение:
13 EMBED Equation.3 1415
Решение. Проведем ряд преобразований, используя соотношение между тригонометрическими функциями одного аргумента.
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: sin (.
Пример. Найдите знак числа:
13 EMBED Equation.3 1415
Решение. Знаки тригонометрических функций определяются в зависимости от того, в какой четверти лежит рассматриваемый угол. Нам нужно определить в какой четверти находится каждый из рассматриваемых аргументов и определить знаки тригонометрических функций в каждой из четвертей.
0(13 EMBED Equation.3 1415(13 EMBED Equation.3 1415 ( I четверть 13 EMBED Equation.3 1415( 0,
13 EMBED Equation.3 1415(13 EMBED Equation.3 1415(( ( II четверть 13 EMBED Equation.3 1415( 0,
2((2,3((13 EMBED Equation.3 1415 ( I четверть 13 EMBED Equation.3 1415( 0.
Подводя итоги, получаем, что наше число отрицательное 13 EMBED Equation.3 1415(0.
Ответ: число отрицательное.

Пример. Вычислите: 13 EMBED Equation.3 1415
Решение. Для вычисления нужно воспользоваться табличными значениями тригонометрических функций, и помнить, что синус функция нечетная.
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 12а + 3.
Пример. Вычислить: 13 EMBED Equation.3 1415
Решение. Период функции 13 EMBED Equation.3 1415 равен 3600; поэтому можно опустить целое число периодов:
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
Пример. Вычислить значение следующих углов:
а) 13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415
Решение. а) 13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: а) 13 EMBED Equation.3 1415;
б) 13 EMBED Equation.3 1415.
Пример. Найдите значение 13 EMBED Equation.3 1415 без помощи таблиц.
Решение. По формулам половинного аргумента находим
13 EMBED Equation.3 1415
Так как 13 EMBED Equation.3 1415получаем 13 EMBED Equation.3 1415. Данный ответ можно преобразовать.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
Пример. Упростить выражение:
Решение. Для упрощения этого выражения будем использовать формулы приведения и четность тригонометрических функций.
=13 EMBED Equation.3 1415=
=13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 1.

Пример. Упростить выражение:
Решение. Для упрощения этого выражения воспользуемся формулами сложения:

13 EMBED Equation.3 1415
Ответ:13 EMBED Equation.3 1415

Пример. Доказать тождество:
Доказательство. Для доказательства этого тождества воспользуемся тригонометрическими формулами удвоенного аргумента и основными тригонометрическими тождествами.
13 EMBED Equation.3 1415 Ответ: тождество верно

Пример. Преобразовать в произведение: 13 EMBED Equation.3 1415
Решение. Для преобразования воспользуемся формулами преобразования суммы одноименных тригонометрических функций в произведение:
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415

Пример. Преобразовать в сумму:
Решение. Для преобразования воспользуемся формулами преобразования произведения в сумму:
13 EMBED Equation.3 1415

Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415


Пример. Построить график функции 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. Последовательность построения графика:
Строим график функции 13 EMBED Equation.3 1415;
Графика функции 13 EMBED Equation.3 1415 сдвигаем на 13 EMBED Equation.3 1415 влево вдоль оси абсцисс, получаем график функции 13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED GraphCtrl.Document 1415

Пример. Построить график функции 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. Последовательность построения графика:
Строим график функции 13 EMBED Equation.3 1415;
Графика функции 13 EMBED Equation.3 1415 опускаем на 3 единицы вниз вдоль оси ординат, получаем график функции 13 EMBED Equation.3 1415.

13 EMBED GraphCtrl.Document 1415

Пример. Построить график функции 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. Последовательность построения графика:
Последовательность построения графика:
Строим график функции 13 EMBED Equation.3 1415;
График функции13 EMBED Equation.3 1415 растягиваем вдоль оси абсцисс в 3 раза, получаем график 13 EMBED Equation.3 1415;
Графика функции 13 EMBED Equation.3 1415 растягиваем вдоль оси ординат в 2 раза, получаем график функции 13 EMBED Equation.3 1415;
График функции 13 EMBED Equation.3 1415 симметрично отображаем относительно оси абсцисс, получаем график функции 13 EMBED Equation.3 1415.


13 EMBED GraphCtrl.Document 1415

Пример. Вычислить 13 EMBED Equation.3 1415
Решение. 13 EMBED Equation.3 1415 так как 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
Пример. Вычислить 13 EMBED Equation.3 1415
Решение. 13 EMBED Equation.3 1415, так как 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415

Пример. Решить уравнение 13 EMBED Equation.3 1415
Решение. Введем новую переменную y = sin x, где 13 EMBED Equation.3 1415. Тогда данное уравнение можно записать в виде 13 EMBED Equation.3 1415. Мы получили квадратное уравнение. Его корнями являются 13 EMBED Equation.3 1415 Следовательно, 13 EMBED Equation.3 1415 В первом случае получим решения
13 EMBED Equation.3 1415
Во втором случае имеем: 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ:13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Пример. Решить уравнение 3 cos2 x – 5 cos x – 2 = 0.
Решение. Это уравнение является квадратным относительно cos x.
Обозначив cos x = t, где 13 EMBED Equation.3 1415 получим
3t2 – 5t – 2 = 0
13 EMBED Equation.3 1415 ; 13 EMBED Equation.3 1415.
Уравнение cos x =2 не имеет корней, так как 213 EMBED Equation.3 1415[-1; 1].
Уравнение cos x = - 1/3 имеет корни
x = ± arccos (-1/3) + 2 Пn, n13 EMBED Equation.3 1415Z,
x = ±(П – arcos 1/3) + 2 Пn, n13 EMBED Equation.3 1415 Z.
 Ответ:  x =±(П – arcos 1/3) + 2 Пn, n13 EMBED Equation.3 1415 Z.

Пример. Решим уравнение 13 EMBED Equation.3 1415:
Решение. Уравнение данного вида называется однородным тригонометрическим уравнением. Значения х, при которых cos x = 0, не является решением данного уравнения, так как если cos x = 0, то должно выполняться равенство 13 EMBED Equation.3 1415, а косинус и синус не могут быть одновременно равными нулю. Поэтому можно обе части уравнения разделить на 13 EMBED Equation.3 1415 и при этом получить уравнение, равносильное данному уравнению 13 EMBED Equation.3 1415.
Вводим новую переменную 13 EMBED Equation.3 1415, получаем
13 EMBED Equation.3 1415 откуда t=1 или t= 1/3.
Следовательно, tgx = 1 или tgx = 1/3.
Решая простейшие т тригонометрические уравнения получаем корни
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415

Пример. Решить уравнение 3 sin x – 5 cos x = 0.
Решение.  Уравнение данного вида относится к однородным уравнениям первой степени. Разделим обе части уравнение на cos x(cos x13 EMBED Equation.3 14150, иначе и sin x был бы равен 0, что  невозможно, так как cos2 x + sin2 x =1). Получив уравнение, равносильное данному:
3 tg x – 5 = 0, tg x = 5/3 .
Корни этого уравнения x = arctg 5/3 + Пn, n13 EMBED Equation.3 1415Z.
Ответ: x = arctg 5/3 + Пn, n13 EMBED Equation.3 1415 Z.

Пример. Решить уравнение sin x cos 2x – 1 + sin x – 2cos 2x = 0
Решение.  Способом группировки разложим левую часть исходного уравнения на множители:
2 cos 2x (sin x – 1) + (sin x –1) = (sin x – 1)(2 cos 2x + 1).
Уравнение (sin x – 1)(2 cos 2x + 1) = 0 равносильно совокупности уравнений
13 EMBED Equation.3 1415
Решив полученные уравнения, получаем:
a)      sin x – 1 = 0, sin x = 1, x = П/2 + 2 Пn, n13 EMBED Equation.3 1415Z;
б)   2 cos 2x + 1 = 0, cos 2x = -1/2, 2x = ± 2П/3 + 2Пn, n13 EMBED Equation.3 1415Z.
 Ответ: x = П/2 + 2Пn, n13 EMBED Equation.3 1415Z.
Пример. Решить уравнение 13 EMBED Equation.3 1415
Решение. Это однородное уравнение, но делить на 13 EMBED Equation.3 1415нельзя, так как 13 EMBED Equation.3 1415 может быть равным 0. Запишем уравнение иначе: 13 EMBED Equation.3 1415. Отсюда получаем два уравнения 13 EMBED Equation.3 1415.
Второе уравнение из двух полученных будет являться однородным уравнением первой степени. Разделим его на 13 EMBED Equation.3 1415.
Получим
13 EMBED Equation.3 1415 ( 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415

Пример. Решить уравнение 13 EMBED Equation.3 1415
Решение. Для решения данного тригонометрического уравнения воспользуемся формулами сложения: 13 EMBED Equation.3 1415
Получаем
13 EMBED Equation.3 1415.
Получили простейшее тригонометрическое уравнение. Частный случай.
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
Пример. Решим тригонометрическое неравенство 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. Решение данного тригонометрического уравнения будем производить пошагово.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]


Шаг 1. Начертим единичную окружность, отметим на оси ординат точку 13 EMBED Equation.3 1415и проведем через нее прямую, параллельную оси абсцисс. Эта прямая пересечет единичную окружность в двух точках. Каждая из этих точек изображает числа, синус которых равен13 EMBED Equation.3 1415.

[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]

Шаг 2. Эта прямая разделила окружность на две дуги. Выделим ту из них, на которой изображаются числа, имеющие синус больший, чем13 EMBED Equation.3 1415. Естественно, эта дуга расположена выше проведенной прямой.


[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]

Шаг 3.Выберем один из концов отмеченной дуги. Запишем одно из чисел, которое изображается этой точкой единичной окружности.



[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Шаг 4. Для того чтобы выбрать число, соответствующее второму концу выделенной дуги, "пройдем" по этой дуге из названного конца к другому. При этом напомним, что при движении против часовой стрелки числа, которые мы будем проходить, увеличиваются (при движении в противоположном направлении числа уменьшались бы). Запишем число, которое изображается на единичной окружности вторым концом отмеченной дуги.

Таким образом, мы видим, что неравенству13 EMBED Equation.3 1415 удовлетворяют числа, для которых справедливо неравенство13 EMBED Equation.3 1415. Мы решили неравенство для чисел, расположенных на одном периоде функции синус.
Все решения неравенства могут быть записаны в виде 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
Пример. Решим тригонометрическое неравенство 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. Решение неравенства будем производить пошагово.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]

Шаг 1. Начертим единичную полуокружность. Исключим верхнюю и нижнюю точки, так как они изображают числа, тангенс которых не существует. Отметим на линии тангенсов точку -1 и соединим эту точку с началом координат. Эта прямая пересечет единичную окружность. Точка пересечения изображает числа, тангенс которых равен -1.


[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]


Шаг 2. Выделим дугу, для точек которой тангенс больше или равен -1. Один из концов этой дуги уже обозначен числом13 EMBED Equation.3 1415.


[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]

Шаг 3. Второй конец дуги в случае решения неравенств с тангенсом всегда можно обозначить как арктангенс соответствующего числа. В данном случае это арктангенс -1, то есть13 EMBED Equation.3 1415.


Теперь, учитывая, что тангенс периодическая функция с периодом
·, получаем решения неравенства:13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
 Справочный материал

Таблица значений тригонометрических функций
13 EMBED Equation.3 1415 - радианы
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415 - градусы
13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3



1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415
0
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

1
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

0
13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

-1
13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

0

13 EMBED Equation.3 1415
1
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
0
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
-1

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415
0
13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415
1

13 EMBED Equation.3 1415
0
13 EMBED Equation.3 1415
1
13 EMBED Equation.3 1415
-
13 EMBED Equation.3 1415
-1
13 EMBED Equation.3 1415
0

13 EMBED Equation.3 1415
1

13 EMBED Equation.3 1415
-

13 EMBED Equation.3 1415
-1

13 EMBED Equation.3 1415
0

13 EMBED Equation.3 1415
-
13 EMBED Equation.3 1415
1
13 EMBED Equation.3 1415
0
13 EMBED Equation.3 1415
-1
13 EMBED Equation.3 1415
-

13 EMBED Equation.3 1415
1

13 EMBED Equation.3 1415
0

13 EMBED Equation.3 1415
-1

13 EMBED Equation.3 1415
-


Соотношение между тригонометрическими функциями
одного аргумента.
13 EMBED Equation.3 1415

Правило применения формул приведения.
Знак правой части определяется знаком левой части, считая 13 EMBED Equation.3 1415
Если приводимая функция имеет аргумент 13 EMBED Equation.3 1415 то название приводимой функции сохраняется.
Если приводимая функция имеет аргумент 13 EMBED Equation.3 1415 то название приводимой функции меняется синус на косинус, тангенс на котангенс и обратно.

Формулы приведения

13 EMBED Equation.3 1415-радианы
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415 - градусы
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415


Формулы сложения

13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415

Формулы двойного угла

13 EMBED Equation.3 1415










Формулы половинного аргумента

13 EMBED Equation.3 1415

Формулы преобразования суммы в произведение

13 EMBED Equation.3 1415

Формулы преобразования произведения в сумму

13 EMBED Equation.3 1415

Четность, нечетность,
периодичность тригонометрических функций

13 EMBED Equation.3 1415
Следовательно, 13 EMBED Equation.3 1415 - нечетные функции, 13 EMBED Equation.3 1415 - четная функция.
Наименьший положительный период функций 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 - 13 EMBED Equation.3 1415.
Наименьший положительный период функций 13 EMBED Equation.3 1415 - 13 EMBED Equation.3 1415

Преобразование графиков.
Функция
Преобразование графика функции 13 EMBED Equation.3 1415

[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Параллельный перенос вдоль оси OY на A единиц вверх, если А>0, и на |A| единиц вниз, если А<0.

[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Параллельный перенос вдоль оси OX на a единиц вправо, если a > 0, на |a| единиц влево, если a < 0.

[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Растяжение вдоль оси OY относительно оси OX в k раз, если k > 1, и сжатие в 1/k раз, если 0 < k < 1.

[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Сжатие вдоль оси OX относительно оси OY в k раз, если k > 1, и растяжение в 1/k раз, если 0 < k < 1.

[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Симметричное отражение относительно оси OX.

[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Часть графика, расположенная ниже оси OX, симметрично отражается относительно этой оси, остальная его часть остается без изменения.


Перечень литературы

Основная литература:

Ш.А. Алимов «Алгебра и начала анализа» 10-11 класс, «Просвещение», Москва 2014 г.
А.Н. Колмогоров «Алгебра и начала анализа» 9-10класс, «Просвещение», Москва 2014 г.



Дополнительная литература:

В.Т. Лисичкин «Математика», «Высшая школа», Москва 1991 г.
Н. В. Богомолов «Сборник дидактических заданий по математике», «Высшая школа», Москва 2013 г.
В.А. Подольский, А. М. Суходский. «Сборник задач по математике». Москва.: «Высшая школа»., 1978.-352 с.
И. Л. Зайцев. «Курс высшей математики для техникумов». Москва.: Гос. издат. физико-математич. литературы., 1961.-372 с.
А. Ю. Ключарев, Л. А. Андреева. Тригонометрия. Астрахань.: АГТУ., 2006.-76с.
Башмаков М.И. Алгебра и начала анализа 10-11 класс: М., Просвещение, 2014.
Богомолов Н.В. Практические занятия по математике, Изд-во «Высшая школа», 2008









13PAGE 15


13PAGE 14315



13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415



Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native1Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativecEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native