Математика Жалпы орта білім беру мектептерінде тригонометрия курсын о?ыту ?дістемесі (9 класс)

Мекеменің атауы: Есілбай жалпы орта білім беру мектебі
Автордың аты жөні: Абылгазинова Айымгүл Сайлауқызы
Аты : " Жалпы орта білім беру мектебінде тригонометрия курсын
оқыту ерекшеліктері "
Қала, елді мекеменің атауы: Павлодар облысы, Шарбақты ауданы,
Есілбай ауылы.
Жалпы орта білім беру мектебінде тригонометрия курсының теориялық негіздері
1. Мектеп курсындағы тригонометрия курсының мазмұны
Орта мектепте математиканы оқытудың білімдік мақсаты – барлық оқушыларды математика ғылымының негізі болатын білімдер жүйесімен және ол білімдерді саналы түрде қолдана алудың іскерліктері мен дағдыларын берік қалыптастыру болып табылады.
Ал мектеп курсында оқылатын тригонометриялық материал мазмұнын математиканы оқыту мақсаты мен міндеттері анықтайды, яғни тригонометриялық материал мазмұнына, қабылданған мақсатты тиімді жүзеге асыруға болатын ұғымдар енгізіледі.
Мектеп курсында оқылатын тригонометриялық материал мазмұнын негізінен шартты түрде мынадай бөлімдерге бөлуге болар еді:
Бұрыштың тригонометриялық функцияларының шамалары, олардың арасындағы байланыс.
Тригонометриялық өрнектер және оларды түрлендіру
Тригонометриялық функиялар және олардың қасиеттері, графиктері.
Кері тригонометриялық функциялар .
Тригонометриялық теңдеулер және теңсіздіктер, тригонометриялық теңдеулер және теңсіздіктер жүйелері.
Тригонометрия курсын оқып, үйрену негізінен 8-сыныптан басталады. Геометрия сабағында тік бұрышты үшбұрыштың сүйір бұрышының синусы, косинусы, тангенсі, котангенсі анықтамасы беріледі.Мұндағы
sinА=ВСАВ sinВ=АСАВ В
cosА=АСАВ cosВ=ВСАВtg А=ВСАС tg В=АСВС
ctg А=АСВС ctg В=ВСАС
А С
теңдіктерін салыстыра отырып, sinА=cosВ=cos90-α т.т формулаларын қорыту.
300, 450 , 600 бұрыштардың синусы, косинусы, тангенсі, котангенсінің шамаларын есептеп осы бұрыштардың шамалары үшін кестені
құру. (1.1 кесте)
кесте 1.1
300 450 600
sinα122232cosα322212tgα33 1 3ctgα3 1 33Пифагор теоремасын, теңдеудің қасиетін пайдалана отырып негізгі тригонометриялық алты теңдікті қорыту. Осы теңдіктерді пайдалана отырып, бұрыштың синусы, косинусы, тангенсі, котангенсінің шамаларын анықтау, олардың арасындағы байланыс. Тік бұрышты үшбұрыштарды шешу, синустар және косинустар теоремалары, оларды пайдалана отырып, кез-келген үшбұрышты шешу геометрия курсының негізгі тақырыптарының бірі.
2. Тригонометрия курсын оқытуда оқушының жіберетін қателіктері.
1) Оқушылардың жіберетін негізгі қателіктерді төмендегі кесте арқылы көрсетуге болады (1.2 кесте)
Кесте 1.2
Тақырыпформулалар Формула бойынша есеп шығару барысында жіберілетін қателер
11 Бұрыштың градустық және радиандық өлшемдерінің арасындағы байланыс 1800=πрадианп0=πп1800радианп радиан=1800пπsin1,cos2т.т.Түрде берілген триг. функ.мен түрлендіруді орындай алмау
22 Кезкелген бұрыштың тригонометрия-лық функциялары sinα=уаcosα=хаtgα=уахаctgα=хауаБірлік шеңбердің α бұрышына сәйкес нүктесінің абсциссасы мен ординатасын , таңбаларын шатастыру.
33 Негізгі тригонометрия-лық функциялар 1.sin2α+cos2α=1 2. tgα=sinαcosα 3. cgtα=cosαsinα 4. tgαctgα=1 5. 1+tg2α=1cos2α 6. 1+ctg2α=1sin2αТаңбаларын шатастыру.Есептерді шығару барысында формулаларды тиімді пайдалана алмау.
44 Келтіру формулалары sinπ2±α=cosα, sin3π2±α=±cosαcosπ2±α=-sinα,cos3π2±α=±sinαtgπ2±α=∓ctgα,tg3π2±α=∓ctgα.sinπ±α=∓sinα, sin2π±α±sinαcosπ±α=-cosα,cos2π±α=cosαtgπ±α=±tgα,tg2π±α=±tgαТаңбаларын шатастыру. Қай кезде функцияның кофункцияға ауысатынын, қай кезде ауыспайтынын айқындап алмау.
55 Қосу формулалары sinα±β=sinαcosβ±sinβcosαcosα+β=cosαcosβ-sinαsinβcosα-β=cosαcosβ+sinαsinβtgα+β=tgα+tgβ1-tgαtgβtgα-β=tgα-tgβ1+tgαtgβАргументтің кез-келген мәнінде формуланы дұрыс түсініп лайдалана алмау.
66 Қос бұрыштың тригонометрия-лық функциялары sin2α=2sinαcosαcos2α=cos2α-sin2αtg2α=2tgα1-tg2αАргумент α3,α2,,2α,3α,5α, т.т. ға тең болған жағдайларда формуланы дұрыс танып, пайдалана алмау.
77Қосындыны көбейтіндіге түрлендіру sinα±sinβ=2sin12α±βcos12α∓βcosα+cosβ=2cos12α+βcos12α-βcosα-cosβ=-2sin121+βsin12α-βtgα±tgβ=sinα±βcosαcosβАргументтің кез-келген мәнінде формуланы дұрыс пайдалана алмау.
88Көбейтіндіні қосындыға түрлендіру sinαcosβ=12sinα-β+sinα+βsinαsinβ=12cosα-β-cosα+βcosαcosβ=12cosα-β+cosα+βАргументтің кез-келген мәнінде формуланы дұрыс пайдалана алмау.
99 Дәрежені төмендету формулалары sin2α=1-cos2α2cos2α=1+cos2α2tg2α=1-cos2α1+cos2αАргументтің кез-келген мәнінде формуланы дұрыс пайдалана алмау.Пайдалану ретін дұрыс анықтай алмау.
110 Тригонометриялық функцияларды жарты аргументтің тангенсі арқылы өрнектеу sinα=2tgα21+tg2α2cosα=1-tg2α21+tg2α2tanα=2tgα21-tg2α2Аргументтің кез-келген мәнінде формуланы дұрыс пайдалана алмау.Пайдалану ретін дұрыс анықтай алмау.
Бір-бірінен тәуелсіз деп үш топ формулаларын есептеуге болады:
1) Негізгі тригонометриялық теңбе-теңдіктер
2) Қосу формулалары
3) Аттас тригонометриялық функциялардың қосындысын немесе айырмасын көбейтіндімен алмастыру.
Әр формуланы оқушыларды қатыстыра отырып қорытқаннан кейін бұл формулалардың бәрін анықтама кітапшасын жасап, сол кітапшаға жүйелеп жазып отыруды талап еткен жөн, яғни әр оқушыда қолдан жасалған формулалар таблицасы болуы керек. Бұл келешекте анықтамалық материал қызметін атқаратын болады.
2) Тригонометриялық функциялардың басқа функциялармен комбинацияларын дұрыс ретті пайдалана алмау.
Мысал:
Теңдеуді шешіңз: 1+2cos2х=2 sin22х
Теңдеудің екі жағын да квадраттап, келесі теңдеуді аламыз:
1+cos2х=2sin22х енді cos2x=t қосымша белгілеуін енгізсек, бұл теңдеу келесі теңдеуге түрленеді:
1+t=21-t22t2+t-1=0t1=12, t2=-1t-ның орнына мәндерін қойып, cos2х=12 және cos2х=-1 теңдеулерін аламыз, бұдан
2х=±π3+2πп және 2х=π+2πпх=π6+πп , пϵZ, және х=π2+πп , пϵZ, екені шығады.
Бұл теңдеудің шешімі 1+cos2х≥0 және sin2х≥0 шарттарын қанағаттандыруы керек
.у=cosх жұп функция болғандықтан, бірінші теңсіздік х-тің кез-келген мәні үшін орындалады, ал екінші теңсіздіктің шартына х-тің табылған мәндері сәйкес келе ме жоқ па оны тексеруіміз керек.
Ендеше х-тің мәндерін екінші теңсіздікке қою арқылы тексереміз:
1) sin2х=sin2π6+πп=sinπ3+2πп=sinπ3>0 , sin2х≥0 шарты орындалады.
2) sin2х=sin2-π6+πп=sin-π3+2πп=-sinπ3<0 , sin2х≥0 шарты орындалмайды.
3) sin2х=sin2π2+πп=sinπ+2πп=sinπ=0 , sin2х≥0 шарты орындалады.
Сонымен теңдеуді жауабы: х=π6+πп , пϵZ, және х=π2+πп , пϵZ, екені шығады.
Тригонометриялық теңдеулерді шешуді ең алдымен теңдеуді қарапайым теңдеуге келтіруден бастау керек екенін оқушы берік түсінуі қажет және қарапайым теңдеулерді шешу формулаларының қорытылуын саналы түрде меңгеріп, формулаларды берік есте ұстауын талап ету қажет. Синус және косинус функцияларының мәндері -1;0;1 сандарына тең болған жағдайлар үшін, яғни дербес жағдайлар үшін дайын формулаларды есте ұстаудың да маңызы зор екенін де ұмытпаған жөн.
Мысалы: «Қарапайым тригонометриялық функциялардың шешімдерінің формулалары» (1.3 кесте)
Кесте 1.3
Теңдеу Шешу формуласы
sinx=aу=-1narcsina+πn, nϵZcosx=ay=±arccosa+2πn, nϵZtgx=ay=arctga+πn, nϵZctgx=ay=arcctga+πn, nϵZДербес шешулер
sinx=-1y=-π2+2πn, nϵZsinx=0y=πn, nϵZsinx=1y=π2+2πn, nϵZcosx=-1y=π+2πn, nϵZcosx=0y=π2+πn, nϵZcosx=1y=2πn, nϵZ«Тригонометриялық теңсіздіктерді және теңсіздіктер жүйесін шешу» тақырыбын өту де осы ретпен жүргізіледі, бірақ онда бірлік шеңберді пайдалана отырып, формулаларды қорытып алу тиімді болады.
Мысалы: «Қарапайым тригонометриялық теңсіздіктерді шешу формулалары» (1.4 кесте)
Кесте 1.4
Теңдеу Шешу формуласы
sinx>aarcsina+2πn;π-arcsina+2πn;n∈Zsinx≥aarcsina+2πn;π-arcsina+2πn;n∈Zsinx<aπ-arcsina+2πn;arcsina+2πn;n∈Zsinx≤aπ-arcsina+2πn;arcsina+2πn;n∈Zcosx>a-arccosa+2πn;arccosa+2πn,n∈Zcosx≥a-arccosa+2πn;arccosa+2πn,n∈Zcosx<aarccosa+2πn;2π-arccosa+2πn,n∈Zcosx≤aarccosa+2πn;2πarccosa+2πn,n∈Ztgx>aarctga+πn;π2+πn,nϵZtgx≥aarctga+πn;π2+πn,nϵZtgx<a-π2+πn;arctga+πn,nϵZtgx≤a-π2+πn;arctga+πn,nϵZҚолданылған әдебиеттер
1. «Математика» пәні бойынша мемлекеттік орта білім беру стандарт. /Б.Б.Баймұқанов, Е.О.Медеуов, Қ.Ж.Ағанина, Т.Ә.Әбдібаева, Н.И.Рүстемова, М.Ө. Кенжебаева.- ҚР: 2000 ж.
2. Жалпы білім беретін мектептердің 5-11 сыныптарына арналған бағдарлама. / Б.Б.Баймұқанов, С.Е. Шәкілікова, Е.О.Медеуов , А.Е.Әбілқасымова. – 2002 ж
3. Выбор методов обучения в средней школе./ Бабанский Ю.К. - М: «Педагогика», 1981.
4. Математиканы оқытудың теориясы мен әдістемесі. /А.Е.Әбілқасымова. - «Білім», 2005.
5. Жаңа білім берудегі жаңа үрдістер (Открытая школа). / Жадрина М.Ж. - 5-2004.
6. Қазақстан Республикасы білім және ғылым Министрлігі Ы.Алтынсарин атындағы ұлттық білім беру академиясы «2010-2011 жылында Қазақстан Республикасы жалпы білім беру ұйымдарында ғылым негіздерін оқыту ерекшеліктері туралы ӘДІСТЕМЕЛІК НҰСҚАУ ХАТ » Астана, 2010
7. Тригонометрия» қолданбалы курс бағдарламасы //«МФ» № 2, 2010 ,
25-26 б.
8. Роль и место творческих задач при изучении элементов математического анализа / Шабанова М.В.. Автореф. Дисс. Канд. Пед. Наук-М; 1994-21с.
9. А.Кононов, Сборник задач для старшеклассников, М: «Айрис Пресс», 2002-356с.
10. А.А.Панчишкин Е.Т.Шавгулидзе Тригонометрические функции в задачах , М:«Наука», 1986-160с.