Урок на тему «Предмет стереометрии, ее основные понятия и аксиомы»

Урок на тему «Предмет стереометрии, ее основные понятия и аксиомы»
Цели урока:
Образовательные:
Сформировать представления учащихся о логическом строении геометрии, о стереометрии, как разделе геометрии, изучающем свойства фигур в пространстве, о сходстве и различиях планиметрии и стереометрии.
Сформировать представления о точках, прямых и плоскостях, как основных понятиях стереометрии, о геометрических телах и их поверхностях.
Познакомить учащихся с возможностями изображения пространственных фигур и их взаимного расположения, их символическими обозначениями.
Изучить аксиомы стереометрии, учить применять их к решению задач.
Развивающие:
систематизировать представления учащихся о дедуктивном методе построения теории и рассуждений;
развивать их умения пользоваться эмпирическими методами познания, иллюстрировать различные пространственные конфигурации с помощью моделей;
формировать умение описывать соотношения между пространственными объектами на языке математики;
развивать умения осознанно применять аналитико-синтетические методы при решении задач.
Воспитательные:
Формировать мировоззрение учащихся через раскрытие взаимосвязи изучаемой информации с реальной действительностью, демонстрацию того, что стереометрия, с одной стороны, является результатом социального опыта, развития культуры, целенаправленной деятельности человека, с другой стороны, строится в соответствии со своими внутренними потребностями и логикой.
Продолжить знакомство с ролью и функциями математики как науки в развитии практической деятельности человека, воспитание привычки к выполнению эстетических требований.
Структура урока:
 Актуализация знаний. 1.1. Мобилизующее начало урока, вводные слова учителя о начале изучения нового раздела геометрии. 2 мин.
1.2. Беседа о логическом строении геометрии на примере планиметрии с целью подготовки к формированию представлений о содержании и строении стереометрии. 4 мин.
1.3. Беседа о стереометрии, как разделе геометрии, изучающем свойства фигур в пространстве с целью формирования представлений о геометрических телах и их поверхностях. 5 мин.
1.4. Устная работа с моделями и предметами окружающей обстановки с целью закрепления представлений о геометрических телах и их границах, а также с целью выделения плоскости, как еще одного основного понятия геометрии, и мотивации необходимости введения аксиом стереометрии. 4 мин.
1.5. Подведение итога 1 этапа, постановка проблемы, выделение подпроблем. мин.
2. Формирование новых знаний и способов действия. 2.1.Самостоятельная работа исследовательского характера с целью решения поставленной проблемы. 8 мин.
2.2. Коллективное обсуждение результатов самостоятельной работы. 12 мин.
2.3. Беседа с целью знакомства учащихся со способами изображения пространственных фигур и их взаимного расположения, их символическими обозначениями, демонстрация возможности иллюстрации на рисунке результатов самостоятельной работы и содержания аксиом. 10 мин.
2.4. Обобщающая беседа с целью подведения итогов этапа. мин.
3.Применение знаний, формирование умений и навыков. 3.1. Решение задач с целью формирования умений по применению аксиом.
3.2. Обсуждение полученных результатов. 15 мин.
2 мин.
3.3. Подведение итога урока. Постановка домашнего задания. 1 мин.
Ход урока.
Актуализация знаний.
Мобилизующее начало урока.
Беседа о логическом строении геометрии на примере планиметрии с целью подготовки к формированию представлений о содержании и строении стереометрии.
Учитель: Ребята, уже с 7 класса вы начали изучать такой предмет, как геометрия, а именно один раздел геометрии – планиметрию. Вспомним историю развития этой науки.
«Презентация 1»
Учитель: Как нам уже известно, геометрия делится на планиметрию и стереометрию. С планиметрией мы знакомились с 7 по 9 класс. Вспомним её основные понятия и сведения.
- Что изучается в курсе планиметрии.
- Какие фигуры являются (ключевыми) основными в курсе планиметрии
-Сформулируйте систему аксиом планиметрии.
Таким образом, мы с вами обобщили наши знания о курсе планиметрии.
А сегодня перед нами стоит следующая задача: Узнать, а что же такое стереометрия, рассмотреть её основные понятия и аксиомы.
Беседа о стереометрии, как разделе геометрии, изучающем свойства фигур в пространстве с целью формирования представлений о геометрических телах и их поверхностях.
Учитель: Стереометрия –это раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве. На основе данного определения попробуем ответить на те же вопросы.
-Что изучается в курсе стереометрии. «Презентация 2»
Ученики: В курсе стереометрии изучаются свойства фигур в пространстве.
Учитель: Какие фигуры являются (ключевыми) основными в курсе стереометрии.
Ученики: Основные фигуры – точка, прямая и плоскость.
Учитель: Сформулируйте систему аксиом стереометрии.
Ученики: Мы затрудняемся с ответом на 3 вопрос.
Подведение итога 1 этапа, постановка проблемы, выделение подпроблем.
Учитель: Сегодня на нашем уроке нам предстоит дать ответ на этот вопрос. И так мы уже узнали некоторые сведения о стереометрии , и теперь нам предстоит сформулировать аксиомы стереометрии.
Формирование новых знаний и способов действия.
Самостоятельная работа исследовательского характера с целью решения поставленной проблемы.
Цель: Установить соотношения, определяющие взаимное расположение точек, прямых и плоскостей в пространстве.
Инструктаж: Работа будет выполняться в тройках. На каждый стол выдаются карточки с заданиями. На выполнение заданий отводится 7-10 минут. В результате выполнения задания вам нужно сформулировать ваше предположение о том, каким должен быть ответ на поставленный в карточке вопрос.
Задание:
Карточка 1. (аксиома 1)
Исследовательская задача: С помощью моделей исследовать взаимное расположение точек и плоскости, выявить условие задания плоскости с помощью точек.
Сконструируйте модель (плоскость, точки). С помощью модели проверьте, каким может быть взаимное расположение точек и плоскости?
Используя модель, выясните, сколько точек достаточно выбрать, чтобы единственным образом задать плоскость? Каким должно быть их взаимное расположение?
Сделайте вывод о том, сколько, по вашему мнению точек нужно выбрать и как их расположить, чтобы через эти точки проходила единственная плоскость.
Карточка 2. (аксиома 2)
Исследовательская задача: С помощью моделей, исследовать взаимное расположение прямой и плоскости, выявить условие принадлежности прямой плоскости.
Сконструируйте модель (плоскость и прямая). С помощью модели проверьте, каким может быть взаимное расположение прямой и плоскости?
Сколько общих точек могут иметь прямая и плоскость, как их взаимное расположение зависит от числа общих точек? При каком условии прямая принадлежит плоскости?
Сделайте вывод о том, сколько, по вашему мнению общих точек достаточно иметь прямой и плоскости, чтобы вся прямая принадлежала плоскости.
Карточка 3. (аксиома 3)
Исследовательская задача: С помощью моделей, исследовать взаимное расположение двух плоскостей, выявить условие принадлежности прямой плоскости.
Сконструируйте модель (2 плоскости). С помощью модели проверьте, каким может быть взаимное расположение двух плоскостей?
Сколько общих точек могут иметь 2 плоскости, как их взаимное расположение зависит от числа общих точек? При каком условии плоскости пересекаются?
Сделайте вывод о том, сколько, по вашему мнению общих точек достаточно иметь 2 плоскостям, чтобы все эти точки лежали в одной плоскости.
Обсуждение полученных результатов.
Учитель: Теперь обсудим полученные результаты и запишем их к себе в тетради, кто работал с карточкой 1? Продемонстрируйте нам полученные модели.
Каким же может быть взаимное расположение точек и плоскости?
Ученики: точки могут лежать в плоскости, а могут и не лежать в плоскости.
Учитель: сколько точек достаточно выбрать, чтобы единственным образом задать плоскость?
Ученики: достаточно выбрать 3 точки.
Учитель: Каким должно быть их взаимное расположение?
Ученики: они не должны лежать на одной прямой.
Учитель: Верно, какой же вывод вы сделали, сколько, по вашему мнению точек нужно выбрать и как их расположить, чтобы через эти точки проходила единственная плоскость.
Ученики: Через любые 3 точки, не лежащие на 1 прямой, проходит плоскость и при том только одна.
Учитель: хорошо, верно. Запишем полученную аксиому.
Теперь обсудим результат работы со 2 карточкой.
Учитель: Продемонстрируйте нам полученные модели.
Каким может быть взаимное расположение прямой и плоскости?
Ученики: прямая может лежать в плоскости, может пересекать её, а может не лежать в плоскости.
Учитель: Сколько общих точек могут иметь прямая и плоскость, как их взаимное расположение зависит от числа общих точек?
При каком условии прямая принадлежит плоскости?
Ученики: прямая и плоскость имеют не менее одной общей точки. Если прямая и плоскость имеют 1 общую точку, то они пересекаются, если 2 общие точки и более, то прямая лежит в плоскости.
Учитель: Сколько, по вашему мнению общих точек достаточно иметь прямой и плоскости, чтобы вся прямая принадлежала плоскости?
Ученики: Если 2 точки лежат в плоскости, то и все точки этой прямой лежат в этой плоскости.
Учитель: Хорошо. Запишем полученные результаты.
И перейдем к обсуждению 3 карточки.
Продемонстрируйте нам полученные модели.
Каким может быть взаимное расположение двух плоскостей?
Ученики: Плоскости могут пересекаться, а могут не пересекаться.
Учитель: Сколько общих точек могут иметь 2 плоскости, как их взаимное расположение зависит от числа общих точек?
При каком условии плоскости пересекаются?
Ученики: 2 плоскости могут иметь не менее 1 общей точки. Если 2 плоскости имеют 1 общую точку и более, то данные плоскости пересекаются.
Учитель: Какой вывод вы получили?
Ученики: Если 2 плоскости имеют 1 общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки эти плоскостей.
Учитель: Хорошо. Молодцы ребята, вы отлично справились с заданием. И мы продолжаем с вами работать дальше.
Беседа с целью знакомства учащихся со способами изображения пространственных фигур и их взаимного расположения, их символическими обозначениями, демонстрация возможности иллюстрации на рисунке результатов самостоятельной работы и содержания аксиом.
Учитель: Мы получили формулировки аксиом стереометрии, смогли продемонстрировать модели. Теперь нам необходимо научиться изображать пространственные фигуры и их взаимное расположение.
Учитель изображает у доски, ученики у себя в тетрадях.
Применение знаний, формирование умений и навыков.
Решение задач, с целью формирования умений по применению аксиом. (Один ученик выполняет задание у доски с комментированием, остальные у себя в тетрадях).
Задание 1 . Устное решение задач на применение аксиом.
Задание 2. Решение задач по готовым чертежам.
Задание 3. Решение задач у доски.
Задача № 7(Л.С. Атанасян и др.): Две прямые пересекаются в точке М. Докажите, что все прямые не проходящие через точку М и пересекающие данные прямые, лежат в одной плоскости. Лежат ли в одной плоскости все прямые, проходящие через точку М?
Анализ условия и требования задачи.
Дано: a∩b=М.
Доказать: все прямые, пересекающие a и b в точках отличных от М лежат в одной плоскости.
Поиск способа решения задачи.
Учитель: Рассмотрим требование задачи. Откуда может следовать вывод о том, что все прямые, удовлетворяющие определенному условию, лежат в одной плоскости?
– Если мы докажем, что произвольно выбранная прямая, удовлетворяющая данным условиям, принадлежит определенной плоскости, то это доказательство будет верным и для всех остальных прямых, удовлетворяющих данным условиям.
Следовательно, нужно рассмотреть некоторую прямую п, пересекающую данные прямые a и b, но не проходящую через точку М.
Учитель: Обратимся к условию задачи. Что следует из того, что «Две прямые пересекаются в точке М»?
– По теореме о пересекающихся прямых эти прямые лежат в одной плоскости (α).
Учитель:Что следует из того, что прямая п пересекает две данные прямые, но не проходит через т. М?
– Т. к. пересекающиеся прямые имеют единственную общую точку, то прямая п пересекает данные прямые в двух различных точках А и В.
Учитель:Как расположены точки А и В относительно плоскости α?
– Эти точки принадлежат плоскости α, т.к. они принадлежат прямым лежащим в этой плоскости.Учитель: Что следует из того, что прямая п проходит через точки А и В, лежащие в плоскости α?
– По аксиоме А2 вся эта прямая лежит в плоскости α.
Учитель: Что следует из того, что произвольно выбранная прямая, удовлетворяющая условиям задачи, принадлежит плоскости α?
– Из этого следует, что любая другая прямая, удовлетворяющая заданным условиям, также принадлежит плоскости α. Т. е. все прямые, пересекающие данные в точках отличных от М, лежат в одной плоскости. Ч.т.д.
Оформление решения.
Прямые a и b лежат в одной плоскости α, по теореме о пересекающихся прямых (следствие 2).
Пусть п пересекает прямые a и b соответственно в точках А и В.
А и В Є α (следствие из пп. 1 и 2)
пЄ α, на основании пп. 2, 3 и аксиомы А2.
Т.к. п произвольно выбранная прямая, пересекающая a и b в точках отличных от М, то все такие прямые лежат в одной плоскости α.
Анализ проведенного решения.
Учитель: Какую задачу решили? Какой факт установили?
– Все прямые, пересекающие две пересекающиеся прямые и не проходящие через точку их пересечения, лежат в одной плоскости.
Учитель: Как была решена задача? В чем особенность ее решения? Какие методы и приемы были использованы?
– При решении задачи мы опирались на аксиому А2 и следствие из аксиом.
Учитель: Решение данной задачи привело нас к формулировке одного следствия из аксиом, теперь попробуем его сформулировать.
4.2. Обсуждение полученных результатов. Подведение итогов урока.
Учитель: Подведем итоги нашего занятия.
Что нового вы сегодня узнали?
Сформулируйте систему аксиом стереометрии.
Вызвала ли данная исследовательская работа у вас затруднение?