МАТЕМАТИКА справочное пособие для студентов 2 курса специальности 21.02.05 «Земельно-имущественные отношения»
ГБУ КО ПОО « ОЗЁРСКИЙ ТЕХНИКУМ ПРИРОДООБУСТРОЙСТВА»
МАТЕМАТИКА
справочное пособие для студентов 2 курса
специальности 21.02.05 «Земельно-имущественные отношения»
Озерск
2015г.
Методическое пособие одобрено цикловой комиссией математических и естественнонаучных дисциплин Озерского техникума природообустройства.
Составила Белякова Л.И., преподаватель математики Озерского техникума природообустройства.
Рассмотрено на заседании ПЦК
Протокол №___ от «___»_______ 20___г.
Председатель ПЦК _____________ М.С. Леончук
Введение.
Справочное пособие составлено на основе программы учебной дисциплины «Математика». Справочник формул окажет помощь студентам второго курса в организации работы по овладению системой знаний, умений и навыков в объеме действующей программы по математике.
При пользовании справочным пособием, студентам необходимо обратить внимание на то, что основные понятия и определения, формулы расположены в порядке изучения дисциплины «Математика» на втором курсе.
Данное справочное пособие не заменяет учебника, но помогает в освоении теоретических знаний и практических навыков при изучении дисциплины «Математика».
Предел функции
График функции, предел которой при аргументе, стремящемся к бесконечности, равен L.
Предел функции (предельное значение функции) — одно из основных понятий математического анализа, значение, к которому функция в определённом смысле приближается при приближении аргумента к определённой точке.
Функция имеет предел в точке , если для всех значений , достаточно близких к , значение близко к .
Определения
Рассмотрим функцию , определённую на некотором множестве , которое имеет предельную точку (которая, в свою очередь, не обязана ему принадлежать).
Предел функции по ГейнеЗначение называется пределом (предельным значением) функции в точке , если для любойg последовательности точек , сходящейся к , но не содержащей в качестве одного из своих элементов, последовательность значений функции сходится к .
152401905
Предел функции по Коши.
Значение называется пределом (предельным значением) функции в точке , если для любого наперёд взятого положительного числа найдётся отвечающее ему положительное число такое, что для всех аргументов , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство .
Свойства пределов числовых функций
Пусть даны функции и .
Одна и та же функция в одной и той же точке может иметь только один предел.
Предел суммы равен сумме пределов:
Предел разности равен разности пределов:
Предел произведения равен произведению пределов:
Предел частного равен частному пределов.
Некоторые замечательные пределы.
Непрерывность функции.
функция f непрерывна в точке x0, предельной для множества E, если f имеет предел в точке x0, и этот предел совпадает со значением функции f(x0).
Производная функции.
Производной функции y = f ( x ) в точке x0 называется предел:
Если этот предел существует, то функция f(x) называется дифференцируемой в точке x0. Производная функции f(x) обозначается так:
Основные свойства производных и дифференциалов
Если u ( x ) ≡ const , то
u’ ( x ) ≡ 0 , du ≡ 0.
Если u ( x ) и v ( x ) - дифференцируемые функции в точке x0 , то:
( c u )’ = c u’ , d ( c u ) = c du , ( c – const );
( u ± v )’ = u’ ± v’ , d ( u ± v ) = du ± dv ;
( u v )’ = u’ v + u v’ , d ( u v ) = v du + u dv ;
Производная сложной функции.
Рассмотрим сложную функцию, аргумент которой также является функцией:
h ( x ) = g ( f ( x ) ).
Если функция f имеет производную в точке x0, а функция g имеет производную в точке f ( x0 ), то сложная функция h также имеет производную в точке x0 , вычисляемую по формуле:
h’ ( x0 ) = g’ ( f ( x0 ) ) · f’ ( x0 ) .
Исследование функции с помощью производной.
План исследования функции.
Для построения графика функции нужно:
1) найти область определения и область значений функции,
2) установить, является ли функция чётной или нечётной,
3) определить, является ли функция периодической или нет,
4) найти нули функции, и её значения при x = 0,
5) найти интервалы знакопостоянства,
6) найти интервалы монотонности,
7) найти точки экстремума и значения функции в этих точках,
8) проанализировать поведение функции вблизи “особых” точек и при больших значениях модуля x .
Производные основных элементарных функций
Неопределенный интеграл.
Неопределенный интеграл для функции f(x) - это совокупность всех первообразных данной функции.
Если функция f(x) определена и непрерывна на промежутке (a,b) и F(x) — ее первообразная, то есть при , то
,
где С — произвольная постоянная.
Свойства неопределённого интеграла
Если , то и , где - произвольная функция, имеющая непрерывную производную
Таблица основных неопределенных интегралов
Методы интегрирования
1. Метод введения нового аргумента. Если
то
где — непрерывно дифференцируемая функция.
2. Метод разложения. Если
то
3. Метод подстановки. Если — непрерывна, то, полагая
где непрерывна вместе со своей производной , получим
4. Метод интегрирования по частям. Если и — некоторые дифференцируемые функции от , то
Определённый интеграл
Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница.
Площадь криволинейной трапеции
Площадь фигуры, ограниченной линиями: x=a; x=b; y=0 и y=f(x)
x=a
y
x
y=f(x)
x=b
y=0
x1
y
x
y=g(x)
y=f(x)
x2
Площадь фигуры, ограниченной двумя функциями:
Приближенные методы вычисления определенного интеграла.
Метод прямоугольников
Пусть требуется определить значение интеграла функции на отрезке . Этот отрезок делится точками на равных отрезков длиной Обозначим через значение функции в точках Далее составляем суммы Каждая из сумм — интегральная сумма для на и поэтому приближённо выражает интеграл
Если заданная функция — положительная и возрастающая, то эта формула выражает площадь ступенчатой фигуры, составленной из «входящих» прямоугольников, также называемая формулой левых прямоугольников, а формула
выражает площадь ступенчатой фигуры, состоящей из «выходящих» прямоугольников, также называемая формулой правых прямоугольников. Чем меньше длина отрезков, на которые делится отрезок , тем точнее значение, вычисляемое по этой формуле, искомого интеграла.
Очевидно, стоит рассчитывать на большую точность если брать в качестве опорной точки для нахождения высоты точку посередине промежутка. В результате получаем формулу средних прямоугольников:
Где
Учитывая априорно большую точность последней формулы при том же объеме и характере вычислений её называют формулой прямоугольников
Метод трапеций
Если функцию на каждом из частичных отрезков аппроксимировать прямой, проходящей через конечные значения, то получим метод трапеций.
Площадь трапеции на каждом отрезке:
Погрешность аппроксимации на каждом отрезке:
где
Полная формула трапеций в случае деления всего промежутка интегрирования на отрезки одинаковой длины h:
где
Погрешность формулы трапеций:
где
Метод парабол (метод Симпсона).
Используя три точки отрезка интегрирования, можно заменить подынтегральную функцию параболой. Обычно в качестве таких точек используют концы отрезка и его среднюю точку. В этом случае формула имеет очень простой вид
.
МАТЕМАТИКА
справочное пособие для студентов 2 курса
специальности 21.02.05 «Земельно-имущественные отношения»
Составитель Л.И. Белякова
Озерский техникум природообустройства
238120, Калининградская область, г. Озерск, ул. Пограничная 23