Факультативный курс по математике (11 класс) Решение систем линейных уравнений с помощью матриц

Решение систем линейных уравнений с помощью матриц Учитель математики высшей категории:
Ржанникова Ольга Николаевна

г.Южно-Сахалинск
2015
СОДЕРЖАНИЕ
Введение……………………………………………………………………3
Матрицы
2.1 Понятие матрицы……………………………………………………….4
2.2 Действия над матрицами……………………………………………….8
2.3 Обратная матрица……………………………………………………...10
Определители
3.1.Свойства определителя………………………………………………..12
3.2 Способы вычисления определителя………………………………….13
«звездочка»
через алгебраические дополнения
Способы решения систем линейных уравнений
4.1 Метод Крамера………………………………………………………....14
4.2 Метод Гаусса………………………...………………………...……….17
4.3 Матричный метод………………...……………...…………………….20
Заключение………………………………………………………………..23
Список используемой литературы………………………………………25
ВВЕДЕНИЕ
В жизни бывают такие ситуации, которые, порой, ставят в тупик многих людей. К числу таких ситуаций относятся и различные математические задачи. Ученые XVI – XVII вв. давно пришли к выводу, что иногда необходимо найти не просто одно неизвестное, а сразу несколько. Тогда возник вопрос: «Как найти сразу несколько неизвестных?» Долгое время работали над этим вопросом и пришли к выводу, что выход есть. Ведь можно решать целые системы уравнений с несколькими неизвестными! И это действительно так. Очень важен тот факт, что решение систем линейных уравнений составляет существенную часть при численном решении разнообразных прикладных и бытовых задач. Классическим разделом алгебры является линейная алгебра, т.е. теория векторных пространств и модулей, частью которых являются сформировавшиеся еще в XIX в. теория линейных уравнений и теория матриц. В данной области работали многие ученые-математики, но реальных результатов достигли всего несколько ученых, а именно: Гаусс и Крамер. В 1750 году было установлено правило, применимое к любой системе n линейных уравнений с n неизвестным, оно носит название «правило Крамера». Позже был разработан метод Гаусса, он отличался тем, что система линейных уравнений могли иметь бесконечное множество решений или вообще их не иметь. Потом появился матричный способ решения систем линейных уравнений. Он основан на выше сказанных методах, но число переменных теперь могло полностью не соответствовать количеству уравнений.
В школьном курсе изучения математики рассматривается решение систем линейных уравнений, но не достаточно подробно. Мы знаем только два способа решения системы линейных уравнений: подстановкой и сложение. Если же вдруг возникнет ситуация, где требуется найти n неизвестных при m уравнениях:
137160017081500
a11x1+a12x2+a13x3+…a1nxn=b1
a21x1+a22x2+a23x3+…a2nxn=b2
………………………………………………
am1x1+am2x2+am3x3+…amnxn=bmиспользовать способы подстановки и сложения нелогично, сложно, иногда, даже невозможно. Поэтому мы решили более углубленно изучить другие способы решения систем линейных уравнений.
Изучение данной темы очень обширный и трудный материал, поэтому разделим тему на два этапа. На первом этапе изучим три способа решения систем линейных уравнений: метод Крамера, метод Гаусса и матричный способ. Для этого нам потребуется также изучить понятие матрицы и определителя и виды их нахождения.
МАТРИЦЫ
Понятие матрицы впервые появилось в середине XIX в. в работах У.Гамильтона и А.Кели. Фундаментальные результаты в теории матриц принадлежат К.Вейерштрассу, К.Жордану.
Матрица – это таблица чисел, составленная определенным образом.
Матрицу обозначают большой латинской буквой, например А, записывается она в большие круглые скобки в виде:
2628900134620a11 a12 … a1na21 a22 … a2n… … … …
am1 am2 … amn00a11 a12 … a1na21 a22 … a2n… … … …
am1 am2 … amn
217170068580А =
00А =


.
В матрице буквой m обозначается количество строк, а буквой n – количество столбцов.
Если m ≠ n, то матрицу А называют прямоугольной. Если же m = n, т.е. число строк равно числу столбцов, то матрица А называется квадратной.
Пример:
2743200819152 1 3 4 5 6
1 2 3 1 -1 0
002 1 3 4 5 6
1 2 3 1 -1 0

А =

А – прямоугольная матрица.
3086100539753 1 2
4 -1 0
1 3 5
003 1 2
4 -1 0
1 3 5

В =

В – квадратная матрица.
Если А - квадратная матрица, то имеет смысл говорить об ее порядке: так в приведенном примере матрица В - квадратная и ее порядок равен трем (т.к. число строк равно числу столбцов равно трем).
Существуют и другие виды матриц:
Матрица-строка: элементы матрицы расположены в одну строку (m = 1):
А = (a11 a12 … an).
Так как у всех элементов матрицы-строки первый индекс один и тот же, то его часто опускают, записывая матрицу строку порядка n в виде:
А = (a1 a2 … an).
Матрица-столбец: элементы матрицы составляют только один столбец (n = 1):
3429000175260а11
а12
…
а1m
00а11
а12
…
а1m

2971800109220А =
00А =

Второй, одинаковый для всех элементов, индекс обычно опускают, записывая матрицу-столбец порядка m в виде:
3429000140335а1
а2
…
аm
00а1
а2
…
аm
2971800483235А =
00А =

Нуль-матрица (матрица произвольного порядка, все элементы которой равны нулю):
3086100-1289050 0 … 0
0 0 … 0
…………
0 0 … 0
000 0 … 0
0 0 … 0
…………
0 0 … 0

26289009525А =
00А =

Нуль-матрица в матричном исчислении является аналогом нуля в множестве всех вещественных чисел.
Единичная матрица (элементы, расположенные вдоль первой главной диагонали равны 1, а остальные равны 0).
Понятие единичной матрицы относится только к квадратной матрице.
Таким образом,
342900063501 0 0
0 1 0
0 0 1
001 0 0
0 1 0
0 0 1

308610030480I =
00I =

I – является единичной матрицей для квадратной матрицы третьего порядка.
Матрица I обладает тем свойством, что А ∙ I = I ∙ A = A.
Транспонированная матрица (матрица, у которой соответствующие столбцы и строки поменяли местами). Обозначают транспонированную матрицу Aт.
Например: если2857500271780А =
00А =
3314700157480а11 а12 а13
а21 а22 а23
00а11 а12 а13
а21 а22 а23

то транспонированной матрицей будет:
2857500393065Ат =
00Ат =
3314700164465а11 а21
а12 а22
а13 а23
00а11 а21
а12 а22
а13 а23

Присоединенная матрица (матрица, составленная из алгебраических дополнений). Обозначают присоединенную матрицу А.
2857500357505А =
00А =
3314700128905А11 А12 А13
А21 А22 А23
А31 А32 А33
00А11 А12 А13
А21 А22 А23
А31 А32 А33

Алгебраическим дополнением элемента аij (i, j = 1, 2, 3) называют его минор (величина (определитель) полученная в результате вычеркивания одной строки и соответствующего столбца), взятый со знаком «+», если сумма его индексов равна четному числу (i + j = 2К) и взята со знаком «–», если сумма его индексов нечетная (i + j = 2К – 1).
А11 = а22 а23
а32 а33
, А12 = - а21 а23
а31 а33
, …, А33 = а11 а12
а21 а22
Квадратная матрица всегда имеет определитель, который обозначается
det A = а11 а12
а21 а22
для матрицы
2971800120650а11 а12 а13
а21 а22 а23
00а11 а12 а13
а21 а22 а23

251460030480А =
00А =

Если det A = 0, то матрица А называется вырожденной, если же det A ≠ 0, то А – невырождена.
ДЕЙСТВИЯ НАД МАТРИЦАМИ
Определение: Две матрицы А и В одинакового размера считаются равными, если элементы матрицы А равны соответствующим элементам матрицы В.
Две матрицы А и В одинакового размера можно складывать и вычитать. Если

3429000-1270b11 b12 b13
b21 b22 b23
00b11 b12 b13
b21 b22 b23
1828800-1270а11 а12 а13
а21 а22 а23
00а11 а12 а13
а21 а22 а23

A = ,В =,
то
1714500119380А ± В =
00А ± В =
26289005080а11±b11 а12±b12 а13±b13
а21±b21 а22±b22 а23±b23
00а11±b11 а12±b12 а13±b13
а21±b21 а22±b22 а23±b23

,
то есть при сложении или вычитании матриц одинакового размера мы складываем или вычитаем соответствующие элементы матриц А и В. Заметим, что если матрицы А и В – разных размеров, то их нельзя складывать или вычитать.
Пример:
Сложить матрицы
2171700355602 -4 1
3 0 2
002 -4 1
3 0 2
342900355601 2 -3
2 -4 5
001 2 -3
2 -4 5

А = , В =

Здесь А и В - прямоугольные матрицы типа 2 × 3. Складываем их соответствующие элементы:
34290006985 3 -2 -2
5 -4 7
00 3 -2 -2
5 -4 7
10287006985 1 + 2 2-4 -3+1
2+3 -4+0 5+2
00 1 + 2 2-4 -3+1
2+3 -4+0 5+2

С = А+В = =
Далее, для того, чтобы умножить матрицу на число достаточно все элементы матрицы умножить на это число.
217170084455а11 а12 а13
а21 а22 а23
00а11 а12 а13
а21 а22 а23
342900084455αа11 αа12 αа13
αа21 αа22 αа23
00αа11 αа12 αа13
αа21 αа22 αа23

α ∙ А = α =
.
Отсюда следует, что если все элементы матрицы А имеют общий множитель α, то его можно вынести за знак матрицы А.
Пример:
205740096520 2 -1 4
0 5 -3
-2 1 0
00 2 -1 4
0 5 -3
-2 1 0

Умножим матрицу А = на число k = 3.
Решение: умножая каждый элемент матрицы А на 3, получим
2057400166370 3 -3 12
0 15 -9
-6 3 0
00 3 -3 12
0 15 -9
-6 3 0

3А =
Умножение матриц не всегда возможно. Мы можем умножать только такие матрицы А и В, если их размеры согласованы таким образом, что число столбцов матрицы А равнялось бы числу строк матрицы В. В противном случае умножение матриц невозможно.
При выполнении этого условия умножения матриц А ∙ В выполняется по следующему правилу:
331470031115 а11b11+а12b21 а11b12 + а12b22
а21b11+а22b22 а21b12 + а22b22
00 а11b11+а12b21 а11b12 + а12b22
а21b11+а22b22 а21b12 + а22b22
194310055245b11 b12
b21 b22
00b11 b12
b21 b22
102870055245а11 а12
а21 а22
00а11 а12
а21 а22

А ∙ В =∙=
Заметим, что произведение матриц некомутативно, т.к. мы видим, что если А ∙ В существует, то В ∙ А не существует, т.е.
А ∙ В ≠ В ∙ А
Пример:
1943100-31753 1
1 -1
003 1
1 -1
800100-31752 -1
1 3
002 -1
1 3

Пусть А = , В = . Найдем произведение АВ:
685800692152 -1
1 3
002 -1
1 3
5029200692155 3
6 -2
005 3
6 -2
2514600692152∙3 + (-1)∙1 2∙1 +(-1)∙(-1)
1∙3 + 3 ∙1 1∙(-1) +3∙(-1)
002∙3 + (-1)∙1 2∙1 +(-1)∙(-1)
1∙3 + 3 ∙1 1∙(-1) +3∙(-1)
1714500692153 1
1 -1
003 1
1 -1

А ∙ В = ∙ = =
Заметим, что деление матриц до сих пор не определено.
ОБРАТНАЯ МАТРИЦА
Понятие обратной матрицы существует только для квадратной матрицы. Пусть дана матрица А.
262890038100а11 а12 а13
а21 а22 а23
а21 а22 а23
00а11 а12 а13
а21 а22 а23
а21 а22 а23

А =(1)
Определение: Матрица А-1 называется обратной по отношению к матрице А, если выполнено равенство:
А А-1 = А-1 А = I,
где I – единичная матрица.
Обратная матрица А-1 находиться по следующему правилу:
2628900160020А11 А21 А31
А12 А22 А32
А13 А23 А33
00А11 А21 А31
А12 А22 А32
А13 А23 А33

205740069850 1
det A
00 1
det A

21717009398000А-1 = (2)
,
где det A есть определитель матрицы А, Аij – алгебраические дополнения элементов матрицы А, но матрица (2) транспонированная по сравнению с А.
Очевидно, что поскольку в (2) det A стоит в знаменателе, то он не должен равняться нулю (т.к. на ноль делить нельзя). Отсюда следует, что обратная матрица существует только лишь для таких матриц А, которые невырождены.
Пример. Найти обратную матрицу для
26289001073151 3 -1
0 2 -1
4 5 0
001 3 -1
0 2 -1
4 5 0

А =
Решение.
Прежде всего выясним, существует ли для А обратная. Иначе говоря, является ли А невырожденной (т.е. det A ≠ 0).
274320012700034290001270001 3 -1
det A =0 2 -1 = -12+8+5≠ 0; det A =1
4 5 0
Следовательно,
А – невырождена, а поэтому имеет обратную. Для ее вычисления найдем все алгебраические дополнения матрицы А.
45720001625600041148001625600026289001625600021717001625600010287001625600057150016256000
354330072390А13 = = -8
00А13 = = -8
148590072390А12 = - = -4
00А12 = - = -4
072390А11 = =5
00А11 = =5
2 -10 -1 0 2
0439420А21 = - = -5
00А21 = - = -5
5 0 4 0 4 5
46863001206500042291001206500027432001206500022860001206500011430001206500068580012065000
171450030480А22 = =4
00А22 = =4
354330030480А23 = - =7
00А23 = - =7
3 -11 -11 3
102870039751000571500397510000511810А31 = = -1
00А31 = = -1
5 04 04 5
457200019304000411480019304000274320019304000228600019304000
3543300102870А33 = =2
00А33 = =2
1600200102870А32 = - =1
00А32 = - =1
3 -11 -11 3
2 -10 -10 2

По формуле (2) составляем обратную матрицу А-1.
2743200850905 -5 -1
-4 4 1
-8 7 2
005 -5 -1
-4 4 1
-8 7 2

24003001092201
1
001
1

251460013335000-571500306197000А-1 = (3)
.
Проверим, что, действительно, (3) – обратная матрица. Для этого проверим условие (получение единичной матрицы).
38862001403351 0 0
0 1 0
0 0 1
001 0 0
0 1 0
0 0 1
16002001403351 3 -1
0 2 -1
4 5 0
001 3 -1
0 2 -1
4 5 0
2628900140335 5 -5 -1
-4 4 1
-8 7 2
00 5 -5 -1
-4 4 1
-8 7 2


А∙А-1 =∙ =
.
Очевидно, выполнено и другое условие:
А-1 ∙ В = I
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
Неотъемлемой частью решения систем линейных уравнений (данными тремя способами) является вычисление определителя.
Всякой квадратичной матрице можно поставить в соответствие вещественное число, называемое определителем или детерминантом этой матрицы.
Для обозначения используют det A или ∆, записывают не в круглых скобках, а в вертикальных, прямых
∆ = а11 а12 а13
а21 а22 а23
а31 а32 а33
а11 а22 а33 - главная диагональ
а13 а22 а31 - побочная диагональ
Свойства определителя
Величина определителя не меняется, если у него заменить строки соответствующими столбцами:
а11 а12 а13
а21 а22 а23
а31 а32 а33 = а11 а21 а31
а12 а22 а32
а13 а23 а33
Величина определителя меняет знак, если у него поменять местами строки (столбцы):
а11 а12 а13
а21 а22 а23
а31 а32 а33 = – а31 а32 а33
а21 а22 а23
а11 а12 а13
Величина определителя умножается на k, если элементы какого-либо его столбца или строки умножаются на k:
К а11 а12 а13
К а21 а22 а23
К а31 а32 а33 а11 а12 а13
а21 а22 а23
а31 а32 а33 умножили на k
Величина определителя равна нулю, если элементы какого-либо столбца или строки равна нули.
Определитель равен нулю, если он имеет две одинаковые строки или два одинаковых столбца.
Вычисление определителя
«Звездочка»:
∆ = а11 а12 а13
а21 а22 а23
а31 а32 а33 = а11 ∙ а22 ∙ а33 + а12 ∙ а23 ∙ а31 + а21 ∙ а32 ∙ а13 –
(а31 ∙ а22 ∙ а13 + а21 ∙ а12 ∙ а33 + а32 ∙ а23 ∙ а11)
Пример:
∆ = 1 2 3
4 5 6
7 8 9 = 45+84+96 – 105-48-72= 180-120-60= 0
Способ вычисления определителя через алгебраические дополнения:
Сумма произведений элементов некоторой строки (столбца) определителя на алгебраическое дополнение этих элементов равна величине определителя покажем данный способ вычисления по первой строке
А11 = а22 а23
а32 а33
, А12 = - а21 а23
а31 а33
, …, А33 = а11 а12
а21 а22
Пример:
∆ = -7 2 6
-3 1 5
4 5 -3 = -7 + 2 + 6 = -7(-3-25)–2(9-20)+6(-15-4) = 7∙28+
+2∙11–6∙19 = 196+22–144 = 104
1 5
5 -3 -3 5
4 -3 -3 1
4 5 СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
МЕТОД КРАМЕРА
016002000
Способ решения линейных уравнений, о котором мы хотим рассказать основан на вычислении определителей, этот метод получил название в честь Габриеля Крамера (1704-1752) - швейцарского математика. Родился в Женеве. Установил и опубликовал (1750г.) правила решения систем n линейных уравнений с n неизвестными с буквенными коэффициентами (правило Крамера), заложил основы теории определителей, но при этом еще не пользовался удобным обозначением определителей.
I КРАТКАЯ ТЕОРИЯ
Пусть дана система линейных уравнений
182880020574000
a11x1+a12x2+a13x3+…a1nxn=b1
a21x1+a22x2+a23x3+…a2nxn=b2
………………………………………………
am1x1+am2x2+am3x3+…amnxn=bm(1)
Коэффициенты a11,12 … a1n, b1 ... bn считаются заданными .
Определитель n-го порядка ∆=|A|=|aij|, составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем системы (1). В зависимости от определителя системы (1) различают следующие случаи.
Если ∆ ≠ 0, то система (1) имеет единственное решение, которое может быть найдено по формулам Крамера :
х1 = ∆1 , х2 = ∆2 , хi = ∆i∆ ∆ ∆
где определитель n-го порядка ∆i ( i=1,2,...,n) получается из определителя системы путем замены i-го столбца свободными членами b1, b2, ..., bn.
Если ∆ = 0, то система (1) либо имеет бесконечное множество решений, либо несовместна, т.е. решений нет.
II АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ
Рассмотрим систему 3-х линейных уравнений с тремя неизвестными:
1828800635000a11x1+a12x2+a13x3 = b1
a21x1+a22x2+a23x3 = b2
a31x1+a32x2+a33x3 = b3(2)
1. В данной системе составим и найдем определитель:

а11 а12 а13
а21 а22 а23
а31 а32 а33
∆ =
2. Составить и вычислить следующие определители:
∆1 = b1 а12 а13
b2 а22 а23
b3 а32 а33 , ∆2 = а11 b1 а13
а21 b2 а23
а31 b3 а33 , ∆3 = а11 а12 b1
а21 а22 b2
а31 а32 b3

3. Воспользоваться формулой Крамера:
х1 = ∆1 , х2 = ∆2 , х3 = ∆3
∆ ∆ ∆
III ПРИМЕРРешить систему уравнений
240030016446500
х + 2у – 3z = 0
2х – у + 4z = 5
3х + у – z = 2
1. Составим и найдем определитель:
∆ = 1 2 -3
2 -1 4
3 1 -1 = 10 (∆ ≠ 0 => система совместна и имеет единственное решение)
2. Составить и вычислить следующие определители:
∆х = 0 2 -3
5 -1 4
2 1 -1 = 5 , ∆у = 1 0 -3
2 5 4
3 2 -1 = 20 , ∆z = 1 2 0
2 -1 5
3 1 2 = 15
3. По формуле Крамера найдем х, у, z
х =∆х = 5 = 1 , у = ∆у = 20 = 2 , z = ∆z = 15 = 3
∆ 10 2 ∆ 10 ∆ 10 2
4. Проверка
194310016891000
1 + 2 ∙ 2 – 3 ∙ 2 = 0
2 3 2 ∙ 1 – 1 ∙ 2 + 4 ∙ 2 = 5
2 3 3 ∙ 1 + 1 ∙ 2 – 2 = 2
2 3 Ответ: x = 0,5; y = 2; z = 1,5.
Этот способ более удобен и рационален, когда количество переменных равно количеству уравнений.
МЕТОД ГАУССА027940000
Численное решение линейных алгебраических уравнений с помощью определителей удобно производить для систем двух и трёх уравнений. В случае же систем большего числа уравнений гораздо выгоднее пользоваться методом последовательного исключения неизвестных, названным именем выдающегося немецкого математика и астронома Гаусса (коронованного титулом "Король математиков").
Гаусс занимался основной теоремой алгебры о количестве корней алгебраического уравнения, изложенная им четырьмя различными доказательствами, первое из которых было приведенное в его докторской диссертации. Его труды глубоко повлияли на развитие математической мысли, которая была неизменна многие столетия. Они оказали большое влияние на развитие высшей алгебры, теории чисел.
Поясним смысл метода Гаусса на системе четырёх уравнений с четырьмя неизвестными.
171450019367500
a11x + a12y + a13z + a14u = a1 (a)
a21x + a22y + a23z + a24u = a2 (б)
a31x + a32y + a33z + a34u = a3 (в)
a41x + a42y + a43z + a44u = a4 (г)
Допустим, что a = 0 (если a = 0 , то изменим порядок уравнений, в котором коэффициент при x = 0)
I шаг :Делим уравнение (a) на а11, умножаем полученное уравнение на а21 и вычитаем из (б); затем умножаем на а31 и вычитаем из (в); наконец умножаем на а41 и вычитаем из (г). В результате I шага приходим к системе:
182880017716500
x + b12y + b13z + b14u =b15 (д)
b22y + b23z + b24u =b25 (е)
b32y + b33z + b34u =b35 (ж)
b42y + b43z + b44u =b45 (з)
Причём b получается из a (где i- номер строки , а j-номер столбца) по следующим формулам:
bij = aij / а11
bij = aij – аi1b1i (i = 2,3,4; j = 2, 3, 4, 5)
II шаг:
Поступаем с уравнениями (е), (ж), (з) точно так же, как с уравнениями (а), (б), (в), (г). В итоге исходная система преобразуется к так называемому ступенчатому виду:
182880018161000
x + b12y+b13z+b14u=b15
y+c23z+c24u=c25
z+d34u=d35
u=e45
Из преобразованной системы все неизвестные определяются последовательно, без труда.
Пример:
Решить систему уравнений
01397000х1 + х2 – 0,5х3 = 2
3х1 – х2 – 3х3 = 7
х1 + 3х2 – 2х3 = 3
Проверим систему на совместность (найдем главный определитель):
1143000-317500228600-3175001 1 -0,5
-11430020955∆ =
00∆ =
3 -1 -3= 9 (∆ ≠ 0 => система совместна и имеет единственное решение)
1 3 -2
Составим соответствующую матрицу:
1257300189865003429001898651 1 -0,5 2
3 -1 -3 7
1 3 -2 3
001 1 -0,5 2
3 -1 -3 7
1 3 -2 3

2057400996950020574009969500× (-3)
-1143009525А =
00А =
+
19431003365500–
19431005778500
I шаг :Умножим первую строку на (-3) и сложим со второй, затем из первой строки вычтем третью. Получим следующую матрицу:
3429001492251 1 -0,5 2
0 -4 -1,5 1
0 -2 1,5 -1
001 1 -0,5 2
0 -4 -1,5 1
0 -2 1,5 -1
137160014922500
-114300173355А =
00А =

1828800831850019431008318500+
× (-2)
II шаг:
Третью строку умножим на (-2) и сложим со второй и получим матрицу ступенчатого вида:
1371600181610003429001816101 1 -0,5 2
0 -4 -1,5 1
0 0 4,5 3
001 1 -0,5 2
0 -4 -1,5 1
0 0 4,5 3

-1143001270А =
00А =

Вернемся к системе
2514600336552
3
002
3
182880014795500014795500
25146005778500х1 + х2 – 0,5х3 = 2х3 = –
2286000819155
3
005
3
–4х2 – 1,5х3 = 1х2 = 0
240030010604500 – 4,5х3 = 3х1 =
5715001301755 ; 0 ; -2
3 3
005 ; 0 ; -2
3 3

68580015430500114300015430500Ответ:
МАТРИЧНЫЙ СПОСОБ
Позже всех появился третий – матричный способ. Он основан на двух выше сказанных методах решения систем линейных уравнений. Матричный способ имеет преимущества над методами Крамера и Гаусса. Ведь зачастую бывает так, когда число переменных полностью не соответствовать количеству уравнений, тогда два других метода не эффективны и использование их невозможно. Потому и появился матричный способ, в котором допускается то факт, что количество переменных не соответствует числу уравнений.
Алгоритм решения:
Проверить систему на совместность (найти главный определитель).
Составить присоединенную матрицу (эта матрица составлена их алгебраических дополнений).
285750067310а11 а12 а13
а21 а22 а23
а21 а22 а23
00а11 а12 а13
а21 а22 а23
а21 а22 а23
Обозначение:
А =
Транспонируем присоединенную матрицу (нужно поменять местами соответствующие столбцы и строки).
285750067310а11 а21 а31
а12 а22 а32
а13 а23 а33
00а11 а21 а31
а12 а22 а32
а13 а23 а33
Обозначение:
Ат =
Составим обратную матрицу (эта матрица полученная из транспонированной, делением каждого элемента на главный определитель).
2743200113665а11 а21 а31
∆ ∆ ∆
а12 а22 а32
∆ ∆ ∆
а13 а23 а33
∆ ∆ ∆
00а11 а21 а31
∆ ∆ ∆
а12 а22 а32
∆ ∆ ∆
а13 а23 а33
∆ ∆ ∆
Обозначение:
А-1 =
Итог решения:
X = A-1 ∙ В
В – матрица столбец свободных членов.
Пример:
Решить матричным способом
114300-3175002х1 – 2х2 + 3х3 = 16
х1 + 3х2 – 2х3 = -3
3х1 + 4х2 + х3 = 10
1. Проверим систему на совместность.
9144001174750022860011747500
35433001416052(3+8) +2 (1+6) + 3(4-9)= 22+14-15=21
002(3+8) +2 (1+6) + 3(4-9)= 22+14-15=21
2971800273051 3
3 4
001 3
3 4
2171700273051 -2
3 1
001 -2
3 1
1257300273053 -2
4 1
003 -2
4 1
-228600141605 ∆=
00 ∆=
2 -2 3
1 3 -2 =2 + 2+3 =
3 4 1
∆ ≠ 0 => система совместна и имеет единственное решение
2. Составим присоединенную матрицу из алгебраических дополнений
2857500127002 -2 3
1 3 -2
3 4 1
002 -2 3
1 3 -2
3 4 1

А =
41148001092201 3
3 4
001 3
3 4
457200850903 -2
4 1
003 -2
4 1
24003001092201 -2
3 1
001 -2
3 1
28575001092200024003001092200041148001092200045720001092200091440085090004572008509000
А11 = = 11 А12 = – = -7А13 = = -5
4229100914402 -2
3 4
002 -2
3 4
22860001162052 3
3 1
002 3
3 1
57150091440-2 3
4 1
00-2 3
4 1
4229100914400046863009144000571500914400010287009144000274320011620500228600011620500
А21 = – = 14А22 = = -7А23 = – = -14
41148001225552 -2
1 3
002 -2
1 3
2514600742952 3
1 -2
002 3
1 -2
457200122555-2 3
3 -2
00-2 3
3 -2
2514600742950029718007429500411480074295004572000742950091440074295004572007429500
А31 = = -5А32 = – = 7А33 = = 8

Получим:
2857500-34290011 -7 -5
14 -7 -14
-5 7 8
0011 -7 -5
14 -7 -14
-5 7 8
А =

3. Транспонируем присоединенную матрицу (это значит соответствующие столбцы и строки поменять местами).
285750014478011 14 -5
-7 -7 7
-5 -14 8
0011 14 -5
-7 -7 7
-5 -14 8

Ат =
4. Составим обратную матицу (эта матрица, полученная из транспонированной, делением каждого элемента на главный определитель).
27432003683011 14 -5
21 21 21
-7 -7 7
21 21 21
-5 -14 8
21 21 21
0011 14 -5
21 21 21
-7 -7 7
21 21 21
-5 -14 8
21 21 21
27432003683011 14 -5
21 21 21
-7 -7 7
21 21 21
-5 -14 8
21 21 21
0011 14 -5
21 21 21
-7 -7 7
21 21 21
-5 -14 8
21 21 21

А-1 =
5. Итог решения.
217170016446516
-3
10
0016
-3
10
5715000122555 4
-1
2
00 4
-1
2
297180012255511∙16 + 14∙(-3) + -5∙10
21 21 21
-7∙16 + -7∙(-3) + 7∙10
21 21 21
-5∙16 + -14∙(-3) + 8∙10
21 21 21
0011∙16 + 14∙(-3) + -5∙10
21 21 21
-7∙16 + -7∙(-3) + 7∙10
21 21 21
-5∙16 + -14∙(-3) + 8∙10
21 21 21
34290016446511 14 -5
21 21 21
-7 -7 7
21 21 21
-5 -14 8
21 21 21
0011 14 -5
21 21 21
-7 -7 7
21 21 21
-5 -14 8
21 21 21

1943100122555∙
00∙

Х = ==

Ответ: (4; -1; 2)
Заключение:
Пример практической задачи для учащихся 11 классов:
За время летних каникул заработали 100 тысяч рублей. В банке, где мы решили поместить свои деньги на самых выгодных условиях, мы узнали о наличии особого вида сбережения – математического счета. Для таких счетов банк гарантирует свой обычный процент на момент открытия счета в двукратном размере при условии, если вкладчик разделит определенным образом свой вклад на три части в трех отделениях банка, если же вкладчик не сможет этого сделать, он получит обычный процент.
Условия банка следующие: разделить вклад на три части в отделениях банка А, Б, В так, чтобы
величина вклада в отделении Б равнялось сумме величины вклада в отделении А и удвоенной величины вклада в отделении В;
величина вклада в отделении В равнялось сумме удвоенной величины вклада в отделении А и утроенной величины вклада в отделении Б;
утроенная величина вклада в отделении А равнялось сумме удвоенной величины вклада в отделении Б и утроенной величины вклада в отделении В.
Почему банк предлагает такие явно невыгодные для себя условия математического счета.
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ
Составим систему уравнении согласно условиям, предложенные банком, где сумма денег в ячейке А = х, Б = y и В = z:
251460038735004 = x + 2z
z = 2x + 3y
3x = 2y + 3z
Преобразуем уравнения системы:
24003006921500x – y + 2z = 0
2x + 3y – z = 0
3x – 2y – 3z = 0
Данную систему решим методом Крамера:
1. Найдем главный определитель:
∆ = 1 -1 2
2 3 -1
3 -2 -3 = + + 2 = (-9 -2) + (-6+3) + 2(-4 -9 ) =
-11 -3 -26 = -40
3 -1
-2 -3 2 -1
3 -3 2 3
3 -2 ∆ ≠ 0 => система совместна и имеет единственное решение.
2. Найдем следующие определители:
∆х = 0, ∆y = 0, ∆z = 0
3. По формуле Крамера найдем х, у, z
x = 0, y = 0, z = 0
Ответ: система имеет только нулевое решение, поэтому банк без дополнительной траты средств привлекает новых вкладчиков.
7854315659701500