Использование программы GeoGebra для самоконтроля и самооценки процесса и результатов деятельности при решении заданий с параметрами

Мосолова Н.А.
МАОУ Видновская гимназия г. ВидноеИспользование программы GeoGebra для самоконтроля и самооценки процесса и результатов деятельности при решении заданий с параметрами.
« Математик, который не является в
известной мере поэтом, никогда не
будет настоящим математиком»
К. Вейерштрасс
« Параметр – это величина, входящая в математическую формулу и сохраняющая постоянное значение в пределах одного явления или для данной частной задачи, но при переходе к другому явлению или другой задаче меняющая свое значение» ( Толковый словарь русского языка под редакцией Д. Н. Ушакова)
Задачи с параметрами традиционно считаются наиболее трудными. Это связано, видимо, с тем, что часто они являются исследовательскими, т. е. при их решении надо не просто применить те или иные формулы, а найти те значения параметра, при которых выполнено некоторое условие для корней. При этом не всегда требуется искать сами корни, а бывает, что их и вовсе невозможно найти. Задачи, в которых невозможно найти корни или построить график, - самые трудные.
Нельзя научиться решать любые задачи с параметрами, как нельзя научится решать и любую задачу без параметра. Мы привыкли всюду применять формулы, а в задачах с параметрами не сразу можно понять, какую формулу надо применить. Бывает, что проще обойтись без всяких формул, а может быть, и не существует формул, с помощью которых решается задача, и нужно выбрать какой-то другой способ решения. При решении задач с параметрами надо всегда активно использовать соображения, исходящие из здравого смысла.
Главное, прежде чем решать задачи с параметрами, надо научиться решать классические задачи без параметров.
Единого « рецепта» решения задач с параметрами не существует. Наиболее понятный способ состоит в том, что сначала находятся все решения, а затем отбираются те, которые удовлетворяют дополнительным условиям.
Часто, глядя на задачу, школьники иногда даже не представляют, с чего можно начать и даже прочитав решение, не всегда его понимают.
Рассмотрим одно из решений неравенства с параметром, где при решении нужно использовать графики функций, которые натолкнут учащегося на дальнейшее решение.
1. При каких значениях параметра а неравенство имеет хотя бы одно неположительное решение.
Решение:
Приведём неравенство к виду .
График функции у = х2+2х + 1= (х+1)2 – парабола, полученная из параболы у = х2, параллельным переносом вдоль ос Ох на 1 .
График функции f(x) = , стоящий в правой части неравенства, при каждом значении параметра а получается их графика функции
y = х – 3|x|+4= параллельным переносом на а единиц вдоль оси Ох.

Решением исходного неравенства является множество всех таких х, для которых точки на графике функции f(x) расположены не ниже точек графика функции у = (х +1)2.
Имеются два критических положения графика функции f(x), удовлетворяющие условию задачи.
(1) График функции f(x) проходит через точку (0;1) как указано на рисунке. Из уравнения 4(х - а) + 4 = 1 при х=0 получаем а = 0,75.
(II) График функции f(x) проходит через точку во второй четверти как указано на рисунке. В этом случае прямая у = -2(х - а) + 4 является касательной к графику функции у = (х +1)2.
Используем условия касания графиков функций. Из равенства значений производных данных функций получаем уравнение 2х + 2 = - 2, т.е. х = - 2 – абсцисса точки касания графиков. Тогда из условия совпадения ординат получаем ( -2 +1)2 = -2( - 2 – а) + 4 или а = -3,5.
Следовательно, при -3,5 а 0,75 исходное неравенство имеет хотя бы одно неположительное решение.
Ответ:
2. Найдите все значения а, при каждом из которых неравенство
|x-a2| - x-120 выполняется при любом допустимом значении х.
Решение: Найдем ОДЗ: х - 12 0, .
Введём замену а2=t, t ≥ 0, получили неравенство |x-t| ≥x-12 , возведем в квадрат обе части неравенства, получим х2 – 2tx + t2 ≥ x - 12.
Преобразовывая получаем квадратное неравенство относительно х,
x2 – x(2t+1) + t2+ 12≥ 0 , a>0 ,чтобы квадратное неравенство выполнялось при любом допустимом значении х необходимо, чтобы D ≤ 0,
т. е D = (2t+1)2 – 4(t2 + 12 ) = 4t2 + 4t + 1 – 4t2 – 2 = 4t -1 ≤0, t ≤14,
|a| ≤ 12 , -12≤a≤12.
Решим это неравенство графически: построим графики двух функций
f(x)= |x-a2| и y = x-12
3. Найдите все значения параметра а, при которых данное уравнение имеет три решения |( 2x –a)2 - |x| - 28| + 2 |x| = 16.
Будем решать с использованием графиков. Все эти графики легко построить в системе GeoGebra.
Решения будут, если 16 – 2|x| ≥ 0, |x|≤ 8, -8≤x≤8.
Этот важный факт, он будет использован позже.
Теперь преобразуем наше уравнение.

Теперь построим графики трёх функций f= y = 44 - |x| h= 3|x| + 12

Точки пересечения параболы и ломаных найти несложно
44 - |x| = 3|x| + 12 |x| = 8
Находим а.
| ( 2x-a)2 – 36| =0, 2x – a = ± 6, a = ± 22, ±10.
Решением будет значение а = ±10.
Мосолова Н.А.
МАОУ Видновская гимназия г. ВидноеИспользование программы GeoGebra для самоконтроля и самооценки процесса и результатов деятельности при решении заданий с параметрами.
« Математик, который не является в
известной мере поэтом, никогда не
будет настоящим математиком»
К. Вейерштрасс
« Параметр – это величина, входящая в математическую формулу и сохраняющая постоянное значение в пределах одного явления или для данной частной задачи, но при переходе к другому явлению или другой задаче меняющая свое значение» ( Толковый словарь русского языка под редакцией Д. Н. Ушакова)
Задачи с параметрами традиционно считаются наиболее трудными. Это связано, видимо, с тем, что часто они являются исследовательскими, т. е. при их решении надо не просто применить те или иные формулы, а найти те значения параметра, при которых выполнено некоторое условие для корней. При этом не всегда требуется искать сами корни, а бывает, что их и вовсе невозможно найти. Задачи, в которых невозможно найти корни или построить график, - самые трудные.
Нельзя научиться решать любые задачи с параметрами, как нельзя научится решать и любую задачу без параметра. Мы привыкли всюду применять формулы, а в задачах с параметрами не сразу можно понять, какую формулу надо применить. Бывает, что проще обойтись без всяких формул, а может быть, и не существует формул, с помощью которых решается задача, и нужно выбрать какой-то другой способ решения. При решении задач с параметрами надо всегда активно использовать соображения, исходящие из здравого смысла.
Главное, прежде чем решать задачи с параметрами, надо научится решать классические задачи без параметров.
Единого « рецепта» решения задач с параметрами не существует. Наиболее понятный способ состоит в том, что сначала находятся все решения, а затем отбираются те, которые удовлетворяют дополнительным условиям.
Часто, глядя на задачу, школьники иногда даже не представляют, с чего можно начать и даже прочитав решение, не всегда его понимают.
Рассмотрим одно из решений неравенства с параметром, где при решении нужно использовать графики функций, которые натолкнут учащегося на дальнейшее решение.
1. При каких значениях параметра а неравенство имеет хотя бы одно неположительное решение.
Решение:
Приведём неравенство к виду .
График функции у = х2+2х + 1= (х+1)2 – парабола, полученная из параболы у = х2, параллельным переносом вдоль ос Ох на 1 .
График функции f(x) = , стоящий в правой части неравенства, при каждом значении параметра а получается их графика функции
y = х – 3|x|+4= параллельным переносом на а единиц вдоль оси Ох.

Решением исходного неравенства является множество всех таких х, для которых точки на графике функции f(x) расположены не ниже точек графика функции у = (х +1)2.
Имеются два критических положения графика функции f(x), удовлетворяющие условию задачи.
(1) График функции f(x) проходит через точку (0;1) как указано на рисунке. Из уравнения 4(х - а) + 4 = 1 при х=0 получаем а = 0,75.
(II) График функции f(x) проходит через точку во второй четверти как указано на рисунке. В этом случае прямая у = -2(х - а) + 4 является касательной к графику функции у = (х +1)2.
Используем условия касания графиков функций. Из равенства значений производных данных функций получаем уравнение 2х + 2 = - 2, т.е. х = - 2 – абсцисса точки касания графиков. Тогда из условия совпадения ординат получаем ( -2 +1)2 = -2( - 2 – а) + 4 или а = -3,5.
Следовательно, при -3,5 а 0,75 исходное неравенство имеет хотя бы одно неположительное решение.
Ответ:
2. Найдите все значения а, при каждом из которых неравенство
|x-a2| - x-120 выполняется при любом допустимом значении х.
Решение: Найдем ОДЗ: х - 12 0, .
Введём замену а2=t, t ≥ 0, получили неравенство |x-t| ≥x-12 , возведем в квадрат обе части неравенства, получим х2 – 2tx + t2 ≥ x - 12.
Преобразовывая получаем квадратное неравенство относительно х,
x2 – x(2t+1) + t2+ 12≥ 0 , a>0 ,чтобы квадратное неравенство выполнялось при любом допустимом значении х необходимо, чтобы D ≤ 0,
т. е D = (2t+1)2 – 4(t2 + 12 ) = 4t2 + 4t + 1 – 4t2 – 2 = 4t -1 ≤0, t ≤14,
|a| ≤ 12 , -12≤a≤12.
Решим это неравенство графически: построим графики двух функций
f(x)= |x-a2| и y = x-12

3. Найдите все значения параметра а, при которых данное уравнение имеет три решения |( 2x –a)2 - |x| - 28| + 2 |x| = 16.
Будем решать с использованием графиков. Все эти графики легко построить в системе GeoGebra.
Решения будут, если 16 – 2|x| ≥ 0, |x|≤ 8, -8≤x≤8.
Этот важный факт, он будет использован позже.
Теперь преобразуем наше уравнение.

Теперь построим графики трёх функций f= y = 44 - |x| h= 3|x| + 12


Точки пересечения параболы и ломаных найти несложно
44 - |x| = 3|x| + 12 |x| = 8
Находим а.
| ( 2x-a)2 – 36| =0, 2x – a = ± 6, a = ± 22, ±10.
Решением будет значение а = ±10.