План-конспект урока Методы решения логарифмических уравнений и неравенств (10 класс)

МБОУ «Средняя общеобразовательная школа № 19 с углубленным изучением отдельных предметов»

Урок по теме: "Методы решения логарифмических уравнений и неравенств" (10 класс)

Урок подготовил
учитель математики
Гимаева Зульфира Ибраевна

Набережные Челны
2016 год

Цели урок:

образовательная: формирование знаний о разных способах решения логарифмических уравнений, умений применять их в каждой конкретной ситуации и выбирать для решения любой способ;
развивающая: развитие умений наблюдать, сравнивать, применять знания в новой ситуации, выявлять закономерности, обобщать; формирование навыков взаимоконтроля и самоконтроля;
воспитательная: воспитание ответственного отношения к учебному труду, внимательного восприятия материала на уроке, аккуратности ведения записей.
Тип урока: урок ознакомления с новым материалом.
Оборудование: мультимедиа проектор, [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] к уроку.
Технологии, используемые на уроке: педагогика сотрудничества, групповая технология, информацоинно-коммутативная технология.
«Изобретение логарифмов, сократив работу астронома, продлило ему жизнь».
(французский математик, астроном
П.С. Лаплас)
Ход урока
I. Постановка цели урока.
Изученные определение логарифма, свойства логарифмов и логарифмической функции позволят нам решать логарифмические уравнения. Все логарифмические уравнения, какой бы сложности они не были, решаются по единым алгоритмам. Эти алгоритмы рассмотрим сегодня на уроке. Их немного. Если их освоить, то любое уравнение с логарифмами будет посильно каждому из вас.
Запишите в тетради тему урока: «Методы решения логарифмических уравнений». Приглашаю всех к сотрудничеству.

II. Актуализация опорных знаний.
Подготовимся к изучению темы урока. Каждое задание вы решаете и записываете ответ, условие можно не писать. Работайте в парах.
(Демонстрируется слайды с заданиями для устной работы).
1) При каких значениях х имеет смысл функция:
а) [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
б)[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
в) [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
г) [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
(По каждому слайду сверяются ответы и разбираются ошибки).
2) Совпадают ли графики функций?
а) y = x и [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
б) [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] и [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
3) Перепишите равенства в виде логарифмических равенств:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
4) Запишите числа в виде логарифмов с основанием 2:
4 =
- 2 =
0,5 =
1 =
5) Вычислите: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
III. Ознакомление с новым материалом.
Демонстрируется на экране высказывание:
«Уравнение – это золотой ключ, открывающий все математические сезамы». Современный польский математик С. Коваль.
Попробуйте сформулировать определение логарифмического уравнения. (Уравнение, содержащее неизвестное под знаком логарифма).
Рассмотрим простейшее логарифмическое уравнение: log аx = b
(где а>0, a
· 1 ). Так как логарифмическая функция возрастает (или убывает) на множестве положительных чисел и принимает все действительные значения, то по теореме о корне следует, что для любого b данное уравнение имеет, и притом только одно, решение, причем положительное.
Вспомните определение логарифма. (Логарифм числа х по основанию а – это показатель степени, в которую надо возвести основание а, чтобы получить число х). Из определения логарифма сразу следует, что аb является таким решением.
Запишите заголовок: Методы решения логарифмов.
1 метод. По определению логарифма.
Так решаются простейшие уравнения вида [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Решить уравнение : [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Как вы предлагаете его решать? (По определению логарифма).
Решение. [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], Отсюда 2х – 4 = 4; х = 4.
Ответ: 4.
В этом задании 2х – 4 > 0, так как [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]> 0, поэтому посторонних корней появиться не может, и проверку нет необходимости делать. Условие 2х – 4 > 0 в этом задании выписывать не надо.
2 метод. Потенцирование (переход от логарифма данного выражения к самому этому выражению).
Рассмотрим пример : [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Какую особенность вы заметили? (Основания одинаковы и логарифмы двух выражений равны). Что можно сделать? (Потенцировать).
При этом надо учитывать, что любое решение содержится среди всех х, для которых логарифмируемые выражение положительны.
Решение 1. ОДЗ:[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Потенцируем исходное уравнение [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], получим уравнение 2x + 3 = х + 1.
Решаем его: х = -2. Это решение не подходит ОДЗ, значит, данное уравнение корней не имеет.
Можно решить это уравнение иначе – переходом к равносильной системе:
Уравнение [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ][ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
(Система содержит избыточное условие – одно из неравенств можно не рассматривать).
Решение 2. Уравнение [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] равносильно системе:
13 INCLUDEPICTURE
· "http://festival.1september.ru/articles/583024/f_clip_image041.gif" \* MERGEFORMATINET 1415
Эта система решений не имеет.

Есть еще один вариант решения – переход к следствию из данного уравнения. При неравносильных преобразованиях найденное решение необходимо проверить подстановкой в исходное уравнение.

Решение 3. [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Сделаем проверку: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]неверно, так как не имеет смысла.
Ответ: корней нет.

Вопрос классу: Какое из этих трех решений вам больше всего понравилось? (Обсуждение способов).
Вы имеете право решать любым способом.

3. Введение новой переменной.
Рассмотрим пример. [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Что вы заметили? (Это квадратное уравнение относительно log3x).
Ваши предложения? (Ввести новую переменную)
Решение. ОДЗ: х > 0.
Пусть [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], тогда уравнение примет вид:[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Дискриминант D > 0. Корни по теореме Виета:[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Вернемся к замене: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]или [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Решив простейшие логарифмические уравнения, получим:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]; [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Ответ: 27; [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]

4. Логарифмирование обеих частей уравнения.
Решить уравнение:[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Решение: ОДЗ: х>0, прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Применим свойство логарифма степени:
(lgx + 3) lgx =[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
(lgx + 3) lgx = 4
Пусть lgx = y, тогда (у + 3)у = 4
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], (D > 0) корни по теореме Виета: у1 = -4 и у2 = 1.
Вернемся к замене, получим: lgx = -4,[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]; lgx = 1, [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Ответ: 0,0001; 10.

5. Приведение к одному основанию.
Решите уравнение: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Решение: ОДЗ: х>0. Перейдем к основанию 3.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] или [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]; [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Ответ: 9.

6. Функционально-графический метод.
Решить графически уравнение: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]= 3 – x.
Как вы предлагаете решать?
(Строить по точкам графики двух функций у = log2x и y = 3 – x и искать абсциссу точек пересечения графиков).
Посмотрите ваше решение на слайде.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Есть способ, позволяющий не строить графики. Он заключается в следующем: если одна из функций у = f(x) возрастает, а другая y = g(x) убывает на промежутке Х, то уравнение f(x)= g(x) имеет не более одного корня на промежутке Х.
Если корень имеется, то его можно угадать.
В нашем случае функция [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]возрастает при х>0, а функция y = 3 – x убывает при всех значениях х, в том числе и при х>0, значит, уравнение [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]имеет не более одного корня. Заметим, что при х = 2 уравнение обращается в верное равенство, так как [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Ответ: 2.
IV. Первичное закрепление.
Демонстрируется высказывание:
«Правильному применению методов можно научиться,только применяя их на различных примерах». (Датский историк математики Г. Г. Цейтен)

Предложите метод решения уравнений:
1) [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
2) [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
3) [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
4) [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
5) [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
6) [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
V. Домашнее задание.
Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений “Алгебра и начала анализа” Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров и др.
№340(1), №345(1, 3), №379(3), №391(1), №389(2) – 2 способа решения.

VI. Подведение итогов урока.
Какие методы решения логарифмических уравнений мы рассмотрели на уроке?
На следующих уроках рассмотрим более сложные уравнения. Для их решения пригодятся изученные методы.
Демонстрируется последний слайд:
«Что есть больше всего на свете?Пространство.Что мудрее всего?Время.Что приятнее всего?Достичь желаемого». Фалес

Желаю всем достичь желаемого. Благодарю за сотрудничество и понимание.
Заголовок 1Заголовок 2Заголовок 315