Занятие по математике (2 курс) Решение задач прикладного характера на составление дифференциальных уравнений
ЗАНЯТИЕ ПО МАТЕМАТИКЕ (2 КУРС)
Решение задач прикладного характера на составление дифференциальных уравнений.
Вид занятия: Применение знаний, умений и навыков полученных при изучении дифференциальных уравнений.
Цели занятия:
Учебные: показать алгоритм решения задач на составление дифференциальных уравнений, познакомить с математическими моделями в физике, биологии, экономике. Учащиеся должны понимать сущность приложения математики к решению технических задач, которая заключается в том, что задачу переводят на язык математики, решают ее, как принято в математике, и интерпретируют на языке исходных данных.
Воспитательные. Формировать научное мировоззрение. Продолжить знакомить учащихся с понятием математического моделирования, рассказать о том, что одними и теми же дифференциальными уравнениями можно описывать совершенно разные реальные процессы, например электротехнические, механические и другие, т.е. дифференциальные уравнения как математические модели обладают большой общностью и в этом их важное философское и познавательное значение.
Межпредметные связи. Рассматриваемые на занятии математические модели в физике, биологии, экономике помогут увидеть силу межпредметных связей, важную роль математики, дающей мощный аппарат для решения многих задач, которые выдвигаются и успешно решаются в различных областях науки и практики.
Мотивация познавательной деятельности учащихся. Показать практическую значимость изучаемого материала, его широкое применение в общетехнических и специальных дисциплинах. Многие производственные процессы описываются дифференциальными уравнениями. Поэтому важно не только уметь решать сами дифференциальные уравнения, но и уметь составлять эти уравнения исходя из практической потребности.
Основные знания и умения: иметь понятие о решении несложных задач на составление дифференциальных уравнений по физике, электротехнике, экономике.
Обеспечение занятия:
Раздаточный материал: Опорный конспект с планом занятия и набором задач для решения.
Технические средства обучения: использование фрагментов из компьютерной программы обучения «Функции и графики», компьютерная презентация конструкторской задачи.
Литература: 1. Валуцэ И.И. Математика для техникумов
2. Соловейчик И.Л. Сборник задач по математике для техникумов
3. Баврин И.И. Начала анализа и математические модели в естествознании и
экономике.
4. Филимонова Е.В. Математика (среднее профессиональное образование).
Вопросы и упражнения для выполнения на занятии
Какое уравнение называется дифференциальным?
Назовите виды дифференциальных уравнений.
Решите уравнение: 2уdx = (1+x)dy. Найти уравнение интегральной кривой, проходящей через точку (1; 4). Задача Коши.
Скорость размножения некоторых бактерий пропорциональна их количеству М в рассматриваемый момент времени t. Найти зависимость количества бактерий от времени. Начальные условия М =М13 EMBED Equation.3 1415 при t =0
Скорость распада радия пропорциональна его начальному количеству R в данный момент времени t. Найти закон радиоактивного распада. Начальные условия R = R0 при t =0.
Скорость изменения количества населения прямо пропорциональна этому количеству А на данный период времени. Построить математическую модель прироста (убыли) населения. Начальные условия А = А при t =0.
Решить уравнение: ху'+ у = х13 EMBED Equation.3 1415 (х
· 0).
Инженерно-конструкторская задача. Найти форму автомобильной фары так, чтобы все лучи от зеркала фары шли цилиндрическим световым пучком.
Задача «Истощение ресурсов» В 1980 году для обеспечения пищей одного человека требовалась площадь 0,1 га и на земном шаре было 4000 млн га пахотной земли. Предположим, что с 1980 г эти условия по настоящее время не изменились и не изменятся в будущем, а также не появились и не появятся новые источники пищи. Тогда население Земли должно быть ограничено количеством 40 000 млн человек. Когда будет достигнут этот предел насыщения, если в 1980 году оно составляло 3600 млн человек и непрерывно растет со скоростью 1,7 % в год.
Дополнительные задачи: Скорость прямолинейного движения точки выражается формулой V = 3 + 4 t . Найдите уравнение движения точки, если S = 10 м при t =1 c
Подумайте, какая функция может являться решением уравнения: у'' = - k2 у (уравнение гармонических колебаний). Вторая производная функции равна самой функции с точностью до постоянного множителя.
Запишите домашнее задание №10, 107 учебник И.И. Валуцэ стр.351
«Скорость обесценивания оборудования вследствие его износа в данный момент времени пропорциональна его фактической стоимости »
Подведение итогов урока
Информация.
Математическая модель, основанная на некотором упрощении, никогда не бывает тождественна рассматриваемому объекту, не передает всех его свойств и особенностей, а является его приближенным отражением. Однако, благодаря замене реального объекта соответствующей ему моделью появляется возможность математически сформулировать задачу его изучения и воспользоваться для анализа его свойств математическим аппаратом, который не зависит от конкретной природы данного объекта. Этот аппарат позволяет единообразно описать широкий круг фактов и наблюдений, провести их детальный количественный анализ, предсказать, как поведет себя объект в различных условиях, т.е. прогнозировать результаты будущих наблюдений.
В 1917 году Эйнштейн сделал первую попытку применить общую теорию относительности для описания пространственно временной структуры Вселенной. А основные уравнения теории относительности – это дифференциальные уравнения, имеющие множество решений. Отсюда множество моделей Вселенной.
Дифференциальные уравнения показательного роста (убывания).
Дифференциальные уравнения имеют большое прикладное значение, являясь мощным орудием исследования задач естествознания и техники, они широко используются в механике, астрономии, физике, во многих задачах химии, биологии. Это объясняется тем, что весьма часто объективные законы, которым подчиняются те или иные явления (процессы), записываются в форме дифференциальных уравнений, а сами эти уравнения являются средством для количественного выражения этих законов. Например, законы механики Ньютона позволяют механическую задачу описания движения системы материальных точек или твердого тела свести к математической задаче нахождения решений дифференциальных уравнений. Расчет радиотехнических схем и вычисление траектории спутников, исследование устойчивости самолета в полете и выяснение течения химических реакций – все это производится путем изучения и решения дифференциальных уравнений.
Мы будем рассматривать дифференциальное уравнение вида:
f’(x) = k f(x)
где k – const , причем k может быть: k > 0 или k < 0.
Зная формулу производной показательной функции, легко догадаться, что решением этого уравнения, является любая функция вида:
f(x) = C e kx,
где C– const.
т.к. C – произвольная постоянная, то уравнение имеет бесконечно много решений.
Смысл дифференциального уравнения заключается в том, что скорость изменения функции в точке x пропорциональна значению самой функции в этой точке.
Приведем примеры, в которых величины изменяются по указанному закону.
Если r' (t) скорость радиоактивного распада в момент времени t, то скорость уменьшения массы пропорциональна его количеству.
r'(t) = – k x(t)
Значит, решением уравнения, является функция r'(t) = С e-kt. Найдем из условия, что в начальный момент времени масса радиоактивного вещества была равна:
r(0) = rо ,
r(0) = С*e-k*0 ,
где r (0) = С. Отсюда r(t) = ro · e-kt
Промежуток времени T, через который масса радиоактивного вещества уменьшится в 2 раза называют “периодом полураспада”, зная Т, можно найти k:
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Логарифмируя по основанию е, получаем -k T = – ln 2 ,
13 EMBED Equation.3 1415
Например, для радия период полураспада 13 EMBED Equation.3 1415. Поэтому, 13 EMBED Equation.3 1415, следовательно, через 1 млн. лет от начальной массы ro останется.
13 EMBED Equation.3 1415
Задача: Скорость размножения бактерий m'(t) связана с массой m(t) бактерий в момент времени t уравнением:
m' (t) = km(t),
где k > 0, зависящее от вида бактерий и внешних условий.
Решениями этого уравнения являются функции m(t) = C · e kt.
Постоянную C можно найти из условия, что в момент t = 0 масса mo бактерий известна, тогда
m(t) = mo · e kt.
Задача. Два тела имеют одинаковую температуру – 1000. Они вынесены на воздух, его температура 00. Через 10 мин. температура одного тела стала 800, а второго – 640. Через сколько минут после начала остывания разность их температур будет равна 250.
Дано:
To = 1000
T1 = 00
t = 10 мин.
T1 = 800
T2 =640
T1(t2) – T2(t2) = 250
Найти: t2
Решение:
Имеем уравнение: T’(t) = -k (To – T1) (1)
T1 – температура окружающей среды To – T1 = C · e-kt
Рассмотрим функцию: f(t) = To(t) – T1.
Из уравнения (1) имеем f’(t) = -k*f(t),
f(t) = C · e-kt, при t = 0 f(0) = C · e-kt = C
1000 = C
Значит, 800= 1000 · e-10k, e-10k = 0,8
-10k = ln 0,8, 13 EMBED Equation.3 1415
k = 0,022
2) 640 = 1000 · 1000 · e-10k, тогда e-10k = 0,64, следовательно -10 k = ln 0,64, 13 EMBED Equation.3 1415
Следовательно 13 EMBED Equation.3 1415
T2(t) = 100 e-0,045,
T1(t) – T2(t) = 25
Ответ: t = 31,06 мин.
Задача. Задача о гармонических колебаниях.
В практике часто встречаются процессы, которые периодически повторяются например, колебательные движения маятника, струны, пружины, процессы связанные с переменным электрическим током, магнитным полем и т.д. Решение многих таких задач сводится к решению дифференциальных уравнений
y '' = – k 2y
где k – заданное положительное число
Решением является функция вида y= c1 sin kx + c2 cos kx
Инженерно-конструкторская задача. Найти форму автомобильной фары так, чтобы все лучи от зеркала фары шли цилиндрическим световым пучком. (Демонстрация презентации).
1. 13 EMBED Equation.3 1415
2. 13 EMBED Equation.3 1415
3. 13 EMBED Equation.3 1415
4. 13 EMBED Equation.3 1415
5. 13 EMBED Equation.3 1415
Решаем квадратное уравнение относительно y':
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 следовательно 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Решим это уравнение, взяв +13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415, заменяем 13 EMBED Equation.3 1415 на 13 EMBED Equation.3 1415 получаем
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 ,умножаем обе части на dx, отсюда 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 это однородное уравнение.
Сделаем замену y= z x и продифференцируем ее по x, получим dy=x dz + z dx, подставляем 13 EMBED Equation.3 1415
Обе части делим на x получаем 13 EMBED Equation.3 1415, раскрываем скобки и приводим подобные 13 EMBED Equation.3 1415 , разделяем переменные 13 EMBED Equation.3 1415, интегрируем 13 EMBED Equation.3 1415, решением будет функция 13 EMBED Equation.3 1415 далее 13 EMBED Equation.3 1415, т.к 13 EMBED Equation.3 1415 , то 13 EMBED Equation.3 1415 раскрываем скобки 13 EMBED Equation.3 1415 в итоге получаем 13 EMBED Equation.3 1415 - это каноническое уравнение параболы с вершиной (13 EMBED Equation.3 1415; 0) и фокусом в точке (0;0).
Задача «Истощение ресурсов» В 1980 году для обеспечения пищей одного человека требовалась площадь 0,1 га и на земном шаре было 4000 млн га пахотной земли. Предположим, что с 1980 г эти условия по настоящее время не изменились и не изменятся в будущем, а так же не появились и не появятся новые источники пищи. Тогда население Земли должно быть ограничено количеством 40 000 млн человек. Когда будет достигнут этот предел насыщения, если в 1980 году оно составляло 3600 млн человек и непрерывно растет со скоростью 1,7 % в год.
Решение. А = А0 e кt
А0 = 3,6 · 109, А = 40 · 109, k = 0,017
40 · 109 = 3,6 · 109 · e 0,017t , t = (2 ln 10/3) /0,017
· 142 г.
Ответ: В 2122 году наступит предел насыщения
Беседа о бережном отношении к природе и ее богатствам.
ХРОНОМЕТРАЖ ОТКРЫТОГО ЗАНЯТИЯ
Вопросы и упражнения для выполнения на занятии
Какое уравнение называется дифференциальным?
Назовите виды дифференциальных уравнений.
3 мин
Решите уравнение: 2у dx = (1+x) dy. Найти уравнение интегральной кривой, проходящей через точку (1; 4). Задача Коши.
7 мин
Скорость размножения некоторых бактерий пропорциональна их количеству М в рассматриваемый момент времени t. Найти зависимость количества бактерий от времени. Начальные условия М =М13 EMBED Equation.3 1415 при t =0
Скорость распада радия пропорциональна его начальному количеству R в данный момент времени t. Найти закон радиоактивного распада. Начальные условия R = R0 при t =0.
Скорость изменения количества населения прямо пропорциональна этому количеству А на данный период времени. Построить математическую модель прироста (убыли) населения. Начальные условия А = А13 EMBED Equation.3 1415 при t =0.
15 мин
Решить уравнение: ху'+ у = х13 EMBED Equation.3 1415 (х
· 0 ).
10 мин
Инженерно-конструкторская задача. Найти форму автомобильной фары так, чтобы все лучи от зеркала фары шли цилиндрическим световым пучком.
25 мин
Задача «Истощение ресурсов» В 1980 году для обеспечения пищей одного человека требовалась площадь 0,1 га и на земном шаре было 4000 млн га пахотной земли. Предположим, что с 1980 г эти условия по настоящее время не изменились и не изменятся в будущем, а так же не появились и не появятся новые источники пищи. Тогда население Земли должно быть ограничено количеством 40 000 млн человек. Когда будет достигнут этот предел насыщения, если в 1980 году оно составляло 3600 млн человек и непрерывно растет со скоростью 1,7 % в год.
15 мин
Дополнительные задачи: Скорость прямолинейного движения точки выражается формулой V = 3 + 4 t . Найдите уравнение движения точки, если S = 10 м при t =1 c
Подумайте, какая функция может являться решением уравнения: у'' = - k2 у (уравнение гармонических колебаний). Вторая производная функции равна самой функции с точностью до постоянного множителя.
Резервное время 10 мин
Запишите домашнее задание №10, 107 учебник И.И. Валуцэ стр.351
«Скорость обесценивания оборудования вследствие его износа в данный момент времени пропорциональна его фактической стоимости »
Подведение итогов урока 5 мин
Решение задач прикладного характера на составление дифференциальных уравнений.
Преподаватель математики Елена Геннадьевна Шерстнева
13PAGE 15
13PAGE 14715
Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native