Развитие исследовательских навыков при решении задач по теории вероятностей с игральными костями

Яковлева Татьяна Петровна,
доцент кафедры математики и физики
Камчатского государственного университета
имени Витуса Беринга,
кандидат педагогических наук, доцент,
г. Петропавловск - Камчатский
Развитие исследовательских навыков при решении
заданий по теории вероятностей с игральными костями
Современное образование, как и общество, не стоит на месте, двигается вперед. Сегодня в различных областях нашей жизни требуются творческие, активные, неординарные личности. Успешность их развития зависит от того, какими знаниями, умениями и навыками они овладели, обучаясь в школе.
При изучении математики путь такого развития состоит в формировании у учащихся характерных для этого предмета приемов мыслительной деятельности. Поэтому очень важно, чтобы в структуру умственной деятельности школьников помимо алгоритмических умений вошли исследовательские приемы и методы.
С точки зрения М.В. Степановой, «исследовательский метод можно определить как самостоятельное… решение учащимися новой для них проблемы… Применение исследовательского метода возможно в ходе решения сложной задачи…» [ 8. С. 9-10].
К видам сложных задач можно отнести нестандартные задачи, практические задачи, задачи повышенной трудности, головоломки и другие. Решение таких задач позволяет учащимся накапливать опыт в формировании исследовательских навыков: сопоставление, наблюдение, выявление несложных математических закономерностей, высказывание догадок, предположение, нуждающихся в доказательстве [3].
Одним их эффективных средств формирования таких навыков, являются игральные кости (игральные кубики). Предлагаемые ниже задания и задачи разнообразны и по содержанию, и по форме. Игральные кубики имели важное значение в жизни маленького ребенка. Но их роль не снижается и в период обучения в школе, в частности, при обучении математике.
Задания с кубиками позволяют развивать: увеличить вариативность методов обучения и усилить их эффективность; активизировать дифференцированный подход, проблемный, поисковый характер обучения. Опытный учитель может сам продумать и определить путь использования той или иной задачи, а также, какими знаниями должны при этом обладать учащиеся.
Задача 1. На какую сумму очков, выпавших при подбрасывании двух игральных костей, разумно делать ставку?
Решение. Перечислим возможные суммы и способы их получения (табл. 1).
Таблица 1
Сумма
очков Число
способов Возможные варианты
2 1 1 + 1
3 2 1 + 2; 2 + 1
4 3 1 + 3; 3 + 1; 2 + 2
5 4 1 + 4; 4 + 1; 2 + 3; 3 + 2
6 5 1 + 5; 5 + 1; 2 + 4; 4 + 2; 3 + 3
7 6 1 + 6; 6 + 1; 2 + 5; 5 + 2; 3 + 4; 4 + 3
8 5 2 + 6; 6 + 2; 3 + 5; 5 + 3; 4 + 4
9 4 3 + 6; 6 + 3; 4 + 5; 5 + 4
10 3 4 + 6; 6 + 4; 5 + 5
11 2 5 + 6; 6 + 5
12 1 6 + 6
Видно, что целесообразно сделать ставку на выпадение суммы 7 очков, поскольку она получается наибольшим количеством вариантов, а, следовательно, имеет больше шансов на выпадение, чем другие суммы.
Ответ. На 7 очков.
Задача 2. Рассказывают, что однажды к Г. Галилею явился солдат и попросил помочь ему в решении вопроса, который длительное время не давал ему покоя. Какая сумма 9 или 10 очков при бросании трех костей выпадает чаще?
Решение. Может показаться, что шансы равны, так как каждая сумма из 9 и 10 очков может быть получена одним их шести способов:
9=1+2+6=1+3+5=1+4+4=2+2+5=2+3+4=3+3+3;
10=1+3+6=1+4+5=2+2+6=2+3+5=2+4+4=3+3+4.
Однако с учетом перестановок для суммы 9 очков получается 25 различных способов (6+6+3+3+6+1), а для суммы 10 очков – 27 различных способов (6+6+3+6+3+3). Как видно, шансы этих случайных событий довольно близки между собой и относятся к друг другу как 25 : 27, что и вызвало затруднения солдата.
Ответ. Чаще выпадает сумма 10.
Задача 3. Петя и Ваня играют в игру, кто больше наберет очков при подбрасывании кубика. Пете записывают два очка, если на кубике выпадет четное число очков, и ноль очков, если выпадет нечетное число очков. Ване в результате того же подбрасывания кубика записывают три очка, если выпадает число очков, кратное трем, и ноль очков во всех остальных случаях. На сколько больше очков наберет Петя по сравнению с Ваней при одном подбрасывании кубика?
Решение. Базовое множество данного испытания состоит из элементов е1, е2, е3, е4, е5, е6 (еi – выпадение i очков). Пусть число очков, записанных Пете, – случайная величина Х, а число очков, записанных Ване, – случайная величина Y. Изобразим графически Х и Y (рис. 1).

Рис. 1. Графическое изображение Х и Y
Х может принимать одно из двух возможных значений: х1 = 0 и х2 = 2. Значению х1 = 0 благоприятствует выпадение граней с нечетным числом очков (т.е. исходы е1, е3, е5), а значению х2 = 2 – выпадение граней с четным числом очков (т.е. исходы е2, е4, е6).
Y также может принимать одно из двух значений у1 = 0 и у2 = 3. Значению у1 = 0 благоприятствуют исходы е1, е2, е4, е5, а значению у2 = 3 – исходы е3 и е6.
В задаче требуется найти разность Х – Y, которая также является случайной величиной, которую обозначим Z. Построим таблицу 2 и найдем значение разности Z = Х – Y для каждого исхода испытания.
Таблица 2
Исход е1 е2 е3 е4 е5 е6
Х 0 2 0 2 0 2
Y 0 0 3 0 0 3
Z = Х – Y 0 2 – 3 2 0 – 1
Построим графическое изображение Z (рис. 2).

Рис. 2. Графическое изображение Z
Найдем закон ее распределения (табл. 2).
Ответ. См. таблицу 3.
Таблица 3
z1 – 3 – 1 0 2
P(z1)
Задача 4. Два игрока бросают игральную кость сериями по очереди, складывая количество выпавших очков; в любой момент времени игрок может остановиться и передать ход другому игроку, но если выпало одно количество очко, то очки серии «сгорают» и ход автоматически передается противнику. Какой стратегии разумно придерживаться игроку? Возможны два подхода к выбору стратегии:
по количеству набранных очков в серии;
по числу подбрасываний в серии.
Решение 1 (по количеству набранных очков). Пусть мы набрали N очков в данной серии. Рассмотрим случайную величину Х = {число очков серии после следующего броска}. Построим граф распределения случайной величины Х (рис. 3).
Найдем математическое ожидание как вес всего графа:

Продолжение станет не выгодным, если , то есть


Рис. 3. Граф распределения случайной величины Х
Таким образом, при продолжение игры становится для игрока невыгодным.
Решение 2 (по числу сделанных бросков). Пусть n – число бросков. Рассмотрим случайную величину Х1 = {число очков при одном бросании}, которая имеет следующий закон распределения (табл. 4).
Таблица 4
Х1 0 2 3 4 5 6
Р
Найдем математическое ожидание случайной величины Х1:

тогда

Заметим, что М[nХ1] является случайной величиной, которая отлична от нуля, если в серии ни разу не выпало одно очко (табл. 5).
Таблица 5
х 0
Р
По ее закону распределения вычислим математическое ожидание
а

Продолжение серии бросков будет невыгодным, если
,
то есть
,
, .
Значит, следует делать не более пяти бросков в серии.
Ответ. 1) при продолжение игры становится для игрока невыгодным; 2) следует делать не более пяти бросков в серии.
Задача 5. Перекатите этот кубик (рис. 4) за 6 ходов так, чтобы он добрался до 7-го квадрата и при этом сверху была бы его грань с 6 точками. А каждый ход вы можете передвигать кубик на четверть оборота вверх, вниз, влево или вправо, но не по диагонали.

Рис. 4. Первоначальное расположение кубика
Ответ. Рис. 5.

Рис. 5. Перекатывание кубика
Задача 6. Вы видите на рис. 6, как король Страны Головоломок играет с дикарем в кости.

Рис. 6. Игра в кости
Это необычная игра. В ней один игрок, подбросив кость, складывает число, выпавшее на верхней грани, с любым числом на одной из четырех боковых граней. А его соперник складывает все остальные числа на трех боковых гранях. Число на нижней грани не учитывается. Это простая игра, хотя математики расходятся во мнениях относительно того, какое именно преимущество имеет бросающий кость над своим соперником. В настоящий момент дикарь бросает кость, в результате этого броска король опередил его на 5 очков. Скажите, какое число должно было выпасть на кости?
Принцесса Загадка ведет счет выигрышам дикаря. Если это число перевести в привычную для дикаря бунгалозскую систему, то оно окажется еще больше. У дикарей из Бунгалозии, как нам хорошо известно, на каждой руке только по три пальца, так что они привыкли к шестеричной системе счисления. Отсюда возникает одна любопытная задача из области элементарной арифметики: мы просим наших читателей перевести число 109 778 в бунгалозскую систему, дабы дикарь узнал, сколько золотых монет он выиграл.
Решение. Кость должна выпасть единицей вверх. Если прибавить сюда 4 на боковой грани, то это дает сумму, равную 5. Сумма оставшихся чисел на боковых гранях (5, 2 и 3) равна 10, что, дает другому игроку преимущество в 5 очков. В шестеричной системе число 109778 запишется 2204122. Цифра справа представляет единицы, следующая цифра дает число шестерок, третья справа цифра означает число «тридцатишестерок», четвертая цифра показывает число «порций» по 216 и т. д. Эта система основана на степенях 6 вместо степеней 10, как это имеет место в десятичной системе счисления.
Ответ. 2204122.
Задача 7. Дана кость, три грани которой помечены цифрой 1, а три другие – цифрой 0. Будем бросать ее 600 раз и после каждого записывать результат в виде групп, из четырех цифр каждая. Построить генератор случайных чисел с основанием два – последовательность (таблица) из нулей и единиц.
Ответ. Табл. 6.
Таблица 6
0011
1011
0110
1111
1010 0011
1101
0111
1100
1101 0001
0001
0111
0000
0011 1100
1001
0110
1000
0011 1100
0001
0111
0111
0010 0100
1000
1111
1111
1010 0110
0001
1001
0001
1001 0101
1100
0000
1101
1100 0010
1001
0111
0101
1111 1001
1110
1000
1110
1110
0101
1111
0000
1011
1110 0101
0011
0111
1101
0111 1101
0101
1011
1100
0110 0110
1100
0011
1001
0000 1110
0100
0000
0110
0011 1111
0000
1101
1110
0000 1000
1101
1101
1100
1101 0101
0001
1010
0010
0100 0000
1111
0100
0101
0001 0010
1000
1111
1111
1100
1101
1001
0000
1010
0001 0100
0001
1000
1100
1011 1110
0101
1111
1001
1101 0011
0011
0100
1000
1010 1011
0010
1101
1111
0011 0010
0010
1101
0111
0111 0100
1001
1010
1111
0001 1010
0011
0011
1011
0111 0101
1001
1001
1011
0010 1110
0011
1010
1010
1101
Задача 8. Поставим две фишки, красную и синюю, на противоположные клетки доски (рис. 7).
Подбросим две кости, красную и синюю:
а) если число, выпавшее на красной кости, четно, красная фишка делает один шаг направо, а если нечетно, то красная фишка делает один шаг вверх;
б) если число, выпавшее на синей кости, четно, синяя фишка делает один шаг налево, а если нечетно, то синяя фишка делает один шаг вниз.
С какой вероятностью фишки встретятся?

Рис. 7. Первоначальное расположение фишек
Решение. Если три последовательных бросания дали следующие результаты рис. 8а, то передвижения будут такими, как показано на рис. 8б.

Рис. 8. Передвижение фишек
После трех подбрасываний костей фишки окажутся на диагонали доски, и именно на этой диагоналии может произойти встреча. Чтобы смоделировать эту ситуацию, можно воспользоваться таблицеq случайных чисел как с основанием десять, так и с основанием шесть.
Например, если взять половину таблицы (табл. 6), то с помощью первых шести цифр можно смоделировать три последовательных бросания двух костей:
0 7 0 9 2 5,
что дает
ЧН ЧН ЧН
и приводит к таким передвижениям (рис. 8в), т.е. в данном случае фишки встретятся.
Соответственно, последовательность 2 3 9 2 2 4 приводит к таким передвижениями фишек (в данном случае они встретятся) (рис. 9а).

Рис. 9. Передвижение и встреча фишек
Из 100 групп по шесть цифр к встрече фишек приводят 28. чтобы проанализировать ситуацию, гораздо проще начать с рассмотрения доски размером 3 × 3 и исследовать перемещение фишек после двух последовательных бросаний двух костей.
Заменим Ч и Н на 0 и 1 соответственно (рис. 9б). Все возможные перемещения двух фишек рассмотрены в таблице 7.
В шести случаях из шестнадцати фишки встречаются. Следовательно, вероятность встречи равна:
Использование дерева позволяет проанализировать ситуацию еще одни способом (рис. 10). Заметим для начала, что вероятность попадания фишки в клетку А (или в клетку В) равна: а вероятность попасть в клетку Б равна: поскольку в эту клетку можно попасть двумя способами. Теперь можно построить дерево (рис. 10).
Таблица 7
0000 В А 0001 В Б 0010 Б А 0011 Б Б Встреча
0100 В Б 0101 В В Встреча
0110 Б Б Встреча
0111 Б В 1000 Б А 1001 Б Б Встреча
1010 А А Встреча
1011 А Б 1100 Б Б Встреча
1101 Б В 1110 А Б 1111 А В
Это позволяет еще раз найти вероятность встречи:

Аналогичное дерево, построенное для доски 4×4, дает вероятность встречи двух фишек:

в то время как проведенное моделирование дало приближенное значение 0,28.

Рис. 10. Построение дерева
Для доски размером n × n вероятность встречи двух фишек (после n бросаний двух костей) равна:


Задача 9. Однажды на занятии математического кружка Вадим тожественно заявил: « Я вычислил: случайности нет, все события достоверны. Подбрасываю идеальный игральный кубик. Бесспорно, что вероятность появления 1равна 1/6. при вторичном подбрасывании – тоже. Значит, если подбросить кубик дважды, то вероятность, что появится единица хотя бы один раз (при первом подбрасывании или при втором) равна Считая аналогично для шести подбрасываний кубика получи, что вероятность выпадения 1 хотя бы один раз из шести достигает единицы . Так же рассуждая относительно каждого другого числа очков на кубике, придем к выводу, что вероятность появления любого их них равна единице, т.е. выпадение любого числа очков при шестикратном подбрасывании кубика является достоверным событием.
Что вы скажите по поводу этих рассуждений?
Решение. Допущена ошибка в применении алгебры событий. «Хотя бы один раз» при двух подбрасываниях – это значит: выпала единица в первый раз и не выпала во второй , или не выпала в первый раз и выпала во второй , или выпала в первый раз и во второй . Соответствующая вероятность равна , а не , , как считал Вадим.
Более простой вариант применения алгебры событий – вычислить вероятность события – «ни одного раза в двух подбрасываниях», противоположного задуманному событию – «хотя бы один раз».
Событие «ни одного раза» означает: не выпала единица при первом подбрасывании и не выпала при втором подбрасывании . Вероятность этого события равна ; тогда вероятность задуманного события . Для шести подбрасываний кубика вероятность задуманного события равна , т.е. весьма далека от единицы – вероятности достоверного события.
Задача 10. В лабиринте (рис. 11) вы можете передвигаться с одного кубика на другой только в том случае, если количество точек на соответствующих гранях совпадает. Но вы можете переходить на любую из его видимых граней. Найдите путь от центрального кубика с тремя пустыми гранями.

Рис. 11. Лабиринт
Ответ. Рис. 12.

Рис. 12. Путь движение кубика
Таким образом, задания с игральными костями позволяют развивать исследовательские навыки у учащихся, обогащают их знания и опыт, учат ориентироваться в различных задачных ситуациях.
Список используемой литературы:
Глеман М., Варга Т. Вероятность в играх и развлечениях: элементы теории вероятностей в курсе сред. школы: пособие для учителя / пер. с фр. А.К. Звонкина. – М.: Просвещение, 1979. – 176 с.
Кордемский Б.А. Математика изучает случайности: пособие для учителя. – М.: Просвещение, 1975. – 223 с.
Кострикина Н.П. Задачи повышенной трудности в курсе математики 4-5 классов: Кн. для учителя. – М.: Просвещение, 1986. – 96 с.
Лойд С. Математическая мозаика: пер. с англ. / сост. и ред. М. Гарднер. – 2-е изд. – М.: Мир, 1984. – 311 с.
Лютикас В.С. Факультативный курс по математике: Теория вероятностей: учебное пособие для 9-11 кл. сред. шк. – М.: Просвещение, 1990. – 160 с.
Миттон Ж. Галилей / пер. с англ. В. Леви. – М.: ЗАО «Ассоциация КОН», 1998. – 32 с.
Мостеллер Ф. Пятьдесят занимательных вероятностных задач с решениями /пер. с англ. – М.: Наука, 1985. – 88 с.
Степанова М.В. Учебно-исследовательская деятельность школьников в профильном обучении: Учебно-методическое пособие для учителей / под ред. А.П. Тряпицыной . – СПб: КАРО, 2005. – 96 с.
Яковлева Т.П. Игральные кубики в обучении математике: Книга для учителя. – М.: Издательство «Спутник +», 2008. – 234 с.
Энциклопедия головоломок: книга для детей и родителей. – М.: АСТ-ПРЕСС, 1997. – 320 с.