Методичний посібник з дисципліни Вища математика для студентів спеціальності Будівництво та експлуатація будівель і споруд
ДВНЗ «ЛУГАНСЬКИЙ БУДІВЕЛЬНИЙ КОЛЕДЖ»
МЕТОДИЧНИЙ ПОСІБНИК
ЕЛЕМЕНТИ ЛІНІЙНОЇ АЛГЕБРИ
з дисципліни «ВИЩА МАТЕМАТИКА»
для вищих навчальних закладів І рівня акредитації зі спеціальності
5.06010101 «Будівництво та експлуатація будівель і споруд»
Луганськ
2014
Укладач: Хорунжа І.О.
викладач математики
вищої категорії
Матеріали розглянуто та схвалено на засіданні циклової комісії природничо-математич-них дисциплін
Протокол №
Від_____________20__року Голова циклової комісії
___________Л.Г.Піддубна
ЗМІСТ
1. Вступ ........4
2. Основна частина.......6
3. Електронний посібник на паперових носіях.7
Матриці. Види матриць..8
Дії над матрицями.13
Застосування матриць у будівельній справі..14
Визначники. Властивості визначників.......16
Правило трикутників.17
Мінори та алгебраїчні доповнення.18
Обернена матриця.22
Системи лінійних рівнянь. Метод Крамера.......23
4. Література....30
ВСТУП
Питання гуманізації і гуманітаризації освіти, на сучасному етапі, вимагають істотних змін характеру відносин між студентом і викладачем, організації навчально-виховного процесу. Дефіцит гуманності породжує бездуховність освіти зокрема та усього суспільства в цілому. Під тиском індустріального, технічного і ринкового розвитку суспільства освіта втрачає гуманістичний зміст (тобто орієнтацію на розвиток особистості) і перетворюється на вивчення вузького спектра професійних знань і вмінь. Але освіта в її гуманістичному розумінні – це не просто навчання. Завдання освіти простіше порівняно з проблемою виховання людини у всій повноті її життєдіяльності.
Освіта сьогодні – це не лише передавання людині певної суми знань про суспільство, природу, людину та її погляди і мислення, а виховання інтелектуально розвиненої, творчої особистості, формування в неї загальнолюдських, моральних цінностей і переконань, ідеалів, звичок, прагнень і почуттів.
Гуманізація освіти вимагає від викладача прийняття студента таким, яким він є. Викладач повинен пройнятися почуттями і переживаннями. Виявити щирість і відвертість.
Одна з основних задач вивчення математики полягає у тому, щоб надати студентам комплекс математичних знань, необхідних для вивчення загальноосвітніх та спеціальних дисциплін , сформувати навики математичних досліджень та використовувати їх в практичній діяльності.
Використання комп’ютерних технологій в навчальному процесі відкриває неосяжні можливості при вивченні всіх дисциплін, сприяє підвищенню зацікавленості студентів до дисципліни, спрощує процес самостійного вивчення матеріалу, дає змогу виконувати самоконтроль та самовдосконалення.
Зацікавленість студентів до сучасної техніки сприяє подоланню страхів та невпевненості при вивченні математики, переоцінки ставлення до дисципліни. Студент вливаючись в процес навчання, у наступній послідовності викладач – комп’ютер – студент, більш не сприймає дисципліну як найскладнішу, що у світі гуманізації освіти спрямовує навчальну діяльність студента на подолання труднощів, які виникають при вивченні математики.
ОСНОВНА ЧАСТИНА
Важливе місце при вивченні дисципліни «Вища математика» займає тема «Елементи лінійної алгебри», вивчення якої невід’ємно пов’язано з успішним засвоєнням розділів програми та застосування її при вивченні спецдисциплін.
Електронний посібник розраховано для студентів, які навчаються за спеціальністю 5.06010101 «Будівництво та експлуатація будівель і споруд». Формат посібника дозволяє використовувати його на лекційних і практичних заняттях з використанням мультімедійної установки або персональних комп’ютерів. Посібник також може використовуватись для самостійного вивчення матеріалу та при підготовці до модульної контрольної роботи чи іспиту.
Використання посібника на заочному відділенні дозволяє заощадити час та опрацювати зі студентами значну частину матеріалу на заняттях.
Посібник включає в себе всі розділи даної теми, а саме:
Матриці. Види матриць;
Дії над матрицями;
Застосування матриць у будівельній справі;
Визначники. Властивості визначників;
Правило трикутників;
Мінори та алгебраїчні доповнення;
Обернена матриця;
Системи лінійних рівнянь. Метод Крамера.
Теоретичні відомості надаються стисло для використання їх для практичного застосування. З метою закріплення матеріалу надані практичні завдання. Правильність вирішення практичних завдань перевіряється програмою. За допомогою посилань студент може переходити на потрібний йому розділ або приклад.
Пояснювальна записка до методичних вказівок
Вища математика відноситься до однієї з основних дисциплін фундаментального циклу, яка спрямована на вивчення основних положень лінійної алгебри диференціального та інтегрального числення, теорії імовірності та узагальнення можливостей практичного використання вивчених методів при вирішенні практичних задач у конкретній науково-практичній діяльності.
Мета вивчення дисципліни – забезпечити фундаментальне засвоєння теоретичних курсів з вищої математики. Та опрацювати практичні завдання.
Мета даних методичних вказівок допомогти студентам самостійно розібрати, систематизувати та засвоїти основні поняття лінійної алгебри, мати змогу самостійно відпрацювати основні методи матричного числення, використовувати вивчені методи при вирішенні задач не тільки з вищої математики, а і застосовувати їх при вивченні спец дисциплін, таких як технічна механіка, електротехніка в будівництві, економіка будівництва та інших.
Методичні вказівки включають основні поняття лінійної алгебри та приклади розв’язування задач. Дані методичні рекомендації допоможуть студентові-заочнику розібрати теоретичний матеріал та виконати практичну частину домашньої контрольної роботи з даної теми. Студенти денного відділення можуть використовувати дані методичні вказівки при вивченні окремих тем даного розділу. які виносяться на самостійне опрацювання.
М А Т Р И Ц І
Матриці вперше з’явились у середині 19-го століття у працях англійських математиків Гамільтона (1805-1865) і Келі (1821-1895). Зокрема Келі створив алгебру (числення) матриць (цей термін також належить йому і походить від латинського слова matrix – список, реєстр.
§1 Первісні поняття
Таблиця чисел 13 EMBED Equation.3 1415, де m – число рядків і n - число стовпчиків називається матрицею.
Числа, які утворюють матрицю, називаються її елементами.
В загальному вигляді елементи матриці позначаються буквами з двома індексами, розташованими внизу.
Перший індекс означає номер рядочка, а другий – номер стовпчика, в яких знаходиться даний елемент.
Сама таблица записується або в круглих дужках, або в здвоєних вертикальних прямих рисках, або в квадратних дужках. Для запису матриці ми будемо застосовувати великі букви латинського алфавіту та символ 13 EMBED Equation.3 1415.
Матриця, яка має m рядочків і n стовпчиків, називаеться матрицею розміру m(n . Число m рядочків і n стовпчиків може бути довільным.
В залежності від цього розглядаються частинні види матриць:
матриця-рядок: 13 EMBED Equation.3 1415 розміру 1(n;
матриця-стовпчик: 13 EMBED Equation.3 1415 розміру m(1;
матриця називається квадратною, якщо число рядків дорівнює числу стовпчиків, тобто m = n. В цьому випадку число m = n називається порядком квадратної матриці. В загальному виді квадратна матриця А n-го порядку запишеться так:
13 EMBED Equation.3 1415
Елементи 13 EMBED Equation.3 1415 утворюють головну діагональ квадратної матриці, а елементи 13 EMBED Equation.3 1415 – другорядну.
Квадратна матриця, в якої відмінними від нуля являються тільки елементи, які стоять на головній діагоналі, називаеться діагональною.
Діагональна матриця D n-го порядку має вид:
13 EMBED Equation.3 1415
Діагональна матриця, у якої всі елементи головної діагоналі дорівнюють 1, називається одиничною. Її позначають буквою E.
Наприклад, одинична матриця n-ого порядку має вид:
13 EMBED Equation.3 1415
Матриця з яким завгодно числом рядочків і стовпчиків, всі елементи якої дорівнюють 0, називается нульовою матрицею і позначається символом 0.
Матриця розміром 113 EMBED Equation.3 14151 містить лише один елемент. Це матриця першого порядку. Наприклад, матриця 13 EMBED Equation.3 1415. Таким чином яке завгодно число ми розглядаємо як матрицю першого порядку. Поняття “матриця” включає в себе поняття “число”.
§2 Додавання матриць та множення на число
В повсякденній практиці матриці зустрічаються набагато частіше ніж нам здається.
Щоб помножити матрицю А на число 13 EMBED Equation.3 1415треба на це число помножити кожен елемент матриці;
Щоб додати дві матриці А і В треба скласти кожен елемент матриці А з відповідним елементом матриці В. Тобто:13 EMBED Equation.3 1415де 13 EMBED Equation.3 1415і 13 EMBED Equation.3 1415 – елементи матриць-доданків, 13 EMBED Equation.3 1415, якщо для цих елементів виконується операція додавання.
Це зауваження суттєве. Зрозуміло, що додавати ми можемо лише матриці однакових розмірів.
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415
=13 EMBED Equation.3 1415.
§3 Множення матриць
Щоб краще зрозуміти операцію множення матриць між собою знову звернемось до прикладу із виробництва.
ЗАДАЧА
Таблиця 1.
Цех
Вироби-S
Вироби-V
І
1,5
2
ІІ
1,3
2,4
ІІІ
2
3
Комбінат ЖБК має три цехи в кожному з яких виготовляють різні види виробів. Об’єм виробництва за квартал задається таблицею 1.
За цей час витрати на виробництво 1 тисячі штук виробів по сировині, ел. енергії і воді задаються таблицею 2.
Таблиця 2.
Вироби
Сировина, тис. грив.
Ел. енергія. тис. грив
Вода тис. грив
S
20
3
0,5
V
30
2
0,3
Знайти матрицю витрат на виробництво по цехах для сировини, ел. енергії і води за І кв..
Перейдемо до матриць, позначивши матрицю таблиці 1 через А, таблиці 2 – через В.
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.
Очевидно, що для того, щоб визначити витрати першого цеху на сировину ми повинні відповідно поелементно перший рядок матриці А помножить на перший стовпчик матриці В і знайти суму. Тобто перший цех витратить на сировину 13 EMBED Equation.3 1415. Аналогічно знайдемо витрати цього цеху на ел. енергію 13 EMBED Equation.3 1415; на воду 13 EMBED Equation.3 1415
Далі перейдемо до другого цеху, тобто візьмемо другий рядок матриці А і по черзі помножимо його на перший, другий і третій стовпчики матриці В. Теж саме проробимо і з третім рядком. Одержимо матрицю розміром 13 EMBED Equation.3 1415, три рядочки якої –три цехи, а три стовпчики витрати в цих цехах на сировину, ел. енергію і воду. Остаточно матимемо.
13 EMBED Equation.3 1415.
З цього прикладу наглядно видно, що матрицю А можна множити на матрицю В, якщо їх розміри узгоджені: число стовпців А дорів нює числу рядків В. При цьому добутком 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 є така матриця С елементи сij якої є сума до бутків елементів і-го рядка матриці А на j-й стовпець матриці В, тобто 13 EMBED Equation.3 1415
Зверніть увагу на те, що розміри матриці 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – 13 EMBED Equation.3 1415, а розміри матриці 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – 13 EMBED Equation.3 1415. Тобто про комутативність операції множення матриць не може бути й мови. В загальному випадку 13 EMBED Equation.3 1415, а інколи 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 навіть неможливо виконати – розміри не узгоджені.
Завдання для опрацювання:
Знайти 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 і 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, де 13 EMBED Equation.3 1415
Розв. 13 EMBED Equation.3 1415 ,
13 EMBED Equation.3 1415.
Отже у загальному випадку 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, Хоча можливі випадки, коли ця рівність виконується і тоді матриці А і В називаються комутативними.
В подальших викладках в позначенні добутку матриць 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 значок 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 будемо опускати тобто вважатимемо, що 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Нульова О і одинична Е=І матриці відіграють ту саму роль при множенні матриць, що й числа 0 і 1 при множенні чисел.
Приклади для самоперевірки
Розвґязати
Задано 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Обчислити 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Знайти суму та різницю матриць 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 . 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
§4 Застосування матриць у будівельній справі
З А Д А Ч А
Підрядник-будівник уклав договір на зведення таких будівель: 3 житлових будинка, 5 зупинок автотранспорту і 9 торгівельних модулів.
Для будівництва потрібно: профілі, ліс, скло, фарба. Кількість сировини, а також робочої сили на кожний вид будівлі виражено у деяких умовних одиницях і дається такою матрицею:
13 EMBED Equation.3 1415
Одиниця сталі коштує 12 у.о., одиниця лісу – 7 у.о., одиниця скла – 5 у.о., одиниця фарби – 4 у.о., одиниця робочої сили – 10 у.о.
Визначити:
1). Загальну кількість потрібних матеріалів і робочої сили ;
2). Вартість матеріалів і робочої сили для кожного виду будівель;
3). Загальну вартість матеріалів і робочої сили для кожного виду будівель.
УВАГА:
Усі цифри, які входять у задачу умовні і не відповідають дійсним даним
Розв’язання:
Договір, укладений підрядником на зведення будівель, надамо матрицею-рядком 13 EMBED Equation.3 1415. Щоб дізнатися кількість необхідних матеріалів, треба помножити матриці В та А і знайти добуток ВА у вказаному порядку, тобто матрицю В помножити справа на матрицю А,. Цей добуток має сенс. У результаті будемо мати матрицю. Розмір якої (1х5), оскільки (1х3)(3х5) = (1х5), тобто будемо мати вектор-рядок з п’ятьма елементами. Отже, загальна кількість матеріалів, необхідних на всі будівлі, в компактному запису має вигляд:
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415
Застосували правило множення матриць.
Таким чином підрядник будівник повинен придбати: сталі 110 одиниць, лісу 246 одиниць, скла 134 одиниці, фарби 66 і робочої сили 154.
2. Щоб дізнатися вартість матеріалів і робочої сили для кожного виду будівель розмістимо ціни матеріалів у вектор-стовпець і дістанемо:
13 EMBED Equation.3 1415
Помножимо тепер справа матрицю А на вектор-стовпець С за правилом множення матриць і дістанемо вектор-стовпець з трьома елементами, оскільки розмір матриці
АС= (3х5)(5х1)=(3х1).
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415=
13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415
Множення цих матриць в іншому порядку СА не має сенсу. Чому ?
Отже вартість матеріалів і робочої сили для житлового будинку – 409 у.о., для зупинки автотранспорту – 280 у.о., для торгівельного модуля – 321 у.о..
3. Щоб відповісти на трете запитання задачі. Складемо добуток матриць:
ВАС = (ВА)С =13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415=5516
ВАС= В(АС)= 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415= 5516
Отже загальна вартість усіх будівель 5516 умовних одиниць.
§5 Визначники
З кожною квадратною матрицею пов`язують певну числову характеристику, яка і називається визначником, який відповідає цій матриці. Визначник квадратної матриці A позначається одним із символів: det A, або 13 EMBED Equation.3 1415, або
·, або
·(A), або в розгорнутому виді
13 EMBED Equation.3 1415.
Порядок визначника визначається за порядком квадратної матриці для якої обчислюється визначник. Наприклад А=(2х2) – визначник другого порядку, В=(4х4) – визначник четвертого порядку.
Визначником другого порядку, який відповідає матриці
13 EMBED Equation.3 1415, називають число 13 EMBED Equation.3 1415.
Властивості визначників
Безпосереднє обчислення визначників при
·13 EMBED Equation.3 1415 надзвичайно громіздке. При 13 EMBED Equation.3 1415 необхідно обчислити 5 визначників четвертого порядку або 5(4=20 визначників третього порядку або 60 визначників другого порядку. Щоб цього уникнути розглянемо основні властивості визначників, які полегшують їх обчислення.
Основні властивості визначників
Визначник транспонованої матриці дорівнює визначнику початкової матриці;
( транспонована, це матриця у якої замінили місцями строки і стовпчики)
Якщо один з рядків (стовпчиків) складається тільки з нулів, то визначник дорівнює нулю;
При перестановці місцями двох рядків ( стовпчиків) визначника дістаємо визначник протилежного знаку;
Визначник. який має два однакові рядки (стовпчика), дорівнює нулю;
Якщо всі елементи деякого рядка(стовпчика) визначника помножити на число К, то сам визначник помножується на К;
Якщо один з рядків (стовпчиків) визначника пропорційний другому рядку, то визначник дорівнює нулю.
Визначник не змінюється, якщо до елементів одного з рядків (стовпчиків) додаються елементи другого рядка(стовпчика) помножені на одне й те саме число.
§6 Правило трикутників
Для обчислення визначників 3-го порядку застосовують і інші методи наприклад правило трикутника,.
За правилом трикутника маємо:
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415.
Тут кожен з шести доданків своїм множником обов’язково містить один елемент з кожного рядочка і один елемент з кожного стовпчика. Причому, перший доданок – добуток елементів головної діагоналі, множники другого і третього стоять у вершинах рівнобедрених трикутників з основами паралельними головній діагоналі. Наступні три доданки розміщені аналогічно до другорядної діагоналі.
Схематично для визначника 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 це правило можна записати так:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415+13 EMBED Photoshop.Image.5 \s 1415 –13 EMBED Photoshop.Image.5 \s 1415
Тренувальні вправи
Обчислити; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415;
§7 Мінор
Мінором 13 EMBED Equation.3 1415елемента 13 EMBED Equation.3 1415 матриці 13 EMBED Equation.3 1415 n-го порядку називається визначник порядку 13 EMBED Equation.3 1415, відповідний тій матриці, яка одержується із матриці А після викреслювання i-го рядочка і j-го стовпчика.
Мінор позначається 13 EMBED Equation.3 1415
Наприклад
А=13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Обчислити мінори для кожного елемента матриці А
13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415-?
§8 Алгебраїчні доповнення
Алгебраїчним доповненням елемента 13 EMBED Equation.3 1415 матриці А на називається мінор цього елемента взятий зі знаком “ + “, якщо (i+j) - парне число або зі знаком “-”, якщо (i+j) - непарне
Алгебраїчне доповнення позначається 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
А=13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Знайти 13 EMBED Equation.3 1415
§9 Обчислення визначників за допомогою алгебраїчних доповнень.
Алгебраїчні доповнення застосовуються при розкладанні визначника в рядок, що в свою чергу застосовується для обчислення визначників п-го (п
·3) порядку.
Дана матриця п-го порядку
13 EMBED Equation.3 1415.
Визначник цієї матриці можна записати у вигляді:
13 EMBED Equation.3 1415=det А=13 EMBED Equation.3 1415,
де 13 EMBED Equation.3 1415- мінор елемента 13 EMBED Equation.3 1415
або 13 EMBED Equation.3 1415=det А=13 EMBED Equation.3 1415,
де 13 EMBED Equation.3 1415- алгебраїчне доповнення елемента 13 EMBED Equation.3 1415
Визначником порядку n, відповідним матриці 13 EMBED Equation.3 1415, називають число 13 EMBED Equation.3 1415.
Таким чином ми визначили детермінанти (міжнародна назва визначників) квадратних матриць n-го порядку для 13 EMBED Equation.3 1415N.
Для 13 EMBED Equation.3 1415 одержимо:
13 EMBED Equation.3 1415.
Обчислити визначник третього порядку за допомогою алгебраїчних доповнень розкладанням по елементам другого рядка:
13 EMBED Equation.3 1415
Обчислити 13 EMBED Equation.3 1415.
Розвязок: 13 EMBED Equation.3 1415.
Обчислити визначник четвертого порядку. 13 EMBED Equation.3 1415
Означення , яке сформульоване вище, вперше у вигляді теореми подав видатний французький вчений Лаплас.
Т.3. (теорема Лапласа) Сумма добутків елементів якого небудь рядочка матриці А порядку 13 EMBED Equation.3 1415 на їх алгебраїчне доповнення дорівнює визначнику матриці:
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415. (1.4)
Формулу (1.4) називають розкладом визначника за елементами i-го рядочка.
Обчислити визначник четвертого порядку за допомогою алгебраїчних доповнень розкладанням по елементам другого рядка:
13 EMBED Equation.3 1415
Визначники третього порядку обчислюються або за правилом трикутників, або за допомогою алгебраїчних доповнень
§10 Обернена матриця
Квадратна матриця А називається не виродженою, якщо det A13 EMBED Equation.3 1415.
Матриця А-1 називається оберненою до не виродженої матриці А, якщо
АА-1=А –1А=Е.
Для знаходження оберненої матриці другого порядку використовують формулу:
13 EMBED Equation.3 1415,
де 13 EMBED Equation.3 1415алгебраїчні доповнення відповідних елементів.
Правило знаходження А-1 .
Щоб дістати обернену матрицю А-1 до даної матриці А, треба в останній замінити всі елементи aij їхніми алгебраїчними доповненнями Аij , транспонувати і здобуту матрицю помножити на 13 EMBED Equation.3 1415.
Обернену матрицю застосовують для розв’язування матричних рівнянь (матеріал для самостійного вивчення)
Обчислення обернених матриць
А=13 EMBED Equation.3 1415
Обчислимо за правилом трикутників:
det А=13 EMBED Equation.3 1415
Далі знаходимо алгебраїчні доповнення елементів матриці А:
13 EMBED Equation.3 1415 ; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415;13 EMBED Equation.3 1415;13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415;13 EMBED Equation.3 1415
Так звана приєднана матриця має вигляд:13 EMBED Equation.3 1415
Підставляємо в формулу оберненої матриці
13 EMBED Equation.3 1415
Преревірка:
13 EMBED Equation.3 1415
§11 Системи лінійних рівнянь
Наша мета – навчитися оперувати з системами лінійних алгебраїчних рівнянь загального виду: 13 EMBED Equation.3 1415 (1.1)
де m и n – довільні цілі додатні числа, 13 EMBED Equation.3 1415 - дійсні коефіцієнти системи, i = 1, 2,, m; j = 1, 2,, n; число 13 EMBED Equation.3 1415 - вільний член i-го рівняння.
При 13 EMBED Equation.3 1415 лінійну систему 13 EMBED Equation.3 1415 (1.1о)
називають однорідною (ОСЛАР), асоційованою з системою (1.1).
Існують системи з єдиним розв’язком , з кількістю розв`язків більше одного, і такі які не мають розв`язків.
§12 Метод Крамера
Т.1. (Правило Крамера). Якщо визначник 13 EMBED Equation.3 1415 СЛАР (1.1) при 13 EMBED Equation.3 1415 відмінний від нуля, то система рівнянь має один єдиний розв`язок , який знаходиться за формулами
13 EMBED Equation.3 1415, j = 1, 2,, n.
Так, як однорідна СЛАР (1.1о) завжди має тривіальний розв`язок , то він буде єдиним, якщо її визначник 13 EMBED Equation.3 1415.
Т.2. ОСЛАР (1.1о) при 13 EMBED Equation.3 1415 має ненульовий розв`язок тоді і тільки тоді, коли її визначник 13 EMBED Equation.3 1415 дорівнює нулю.
Цей факт стає очевидним, якщо в формули Крамера підставити 13 EMBED Equation.3 1415=0 і13 EMBED Equation.3 1415.
Приклад:
Розв’язати системи:
13 EMBED Equation.3 1415
єдиний розв’язок.
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415.
Визначники можна обчислювати за правилом трикутника
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.
Відповідь: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Тренувальні вправи
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
§13 Метод Жордана-Гауса
В основі цього методу лежить властивість системи, яка говорить про те, що розв’язки системи не зміняться, якщо ми в ній довільний рядок замінимо сумою цього рядка і якого-небудь іншого помноженого на довільне число. Застосовуючи таке перетворення (воно так і називається – перетворення Джордано-Гауса) декілька раз систему зводять до діагонального виду так, що в кожному рівнянні всі коефіцієнти при змінних крім одного обертаються в нулі. Таким чином кожне з рівнянь системи перетворюється на лінійне рівняння з однією змінною, яка легко знаходиться. Найкраще буде коли цей ненульовий коефіцієнт буде дорівнювати одиниці.
Алгоритм метода Жордана-Гаусса
Метод розберемо на прикладі , в якому потрібно знайти розв’язок системи. З коефіцієнтів системи ми створили розширену матрицю. Ранг розширеної матриці дорівнює рангу основної і дорівнює 4. Згідно з теоремою Кронекера-Капелі розв’язок системи існує і він єдиний.
13 EMBED Equation.DSMT4 141513 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 141513 EMBED Equation.DSMT4 1415
Наша мета в кожному із стовпчиків і в кожному рядку в основній матриці одержати одну одиницю, а решта елементів основної матриці повинні перетворенням Дж-Г перетворитися в нулі. При цьому буде змінюватись і стовпчик вільних членів системи. Третій стовпчик розширеної матриці уже містить два нулі, а тому доцільно залишити одиницю в другому рядку, а третій рядок замінити сумою цього рядка з другим, помноженим на 2. Ми зробили саме так, щоб на місці –2 в третьому стовпчику став 0. Таким чином в наступному запису матриці третій стовпчик зведений до потрібного нам виду. В ньому одна одиниця, а решта нулі. В тому рядочку (другому), де стоїть одиниця, при подальших перетвореннях Дж-Г уже не повинно бути інших одиниць, а тільки нулі. Далі розділивши перше рівняння (перший рядок матриці) на 2 (від цього розв’язки системи не зміняться) одержимо наступну матрицю, у якої на перетині першого рядочка і першого стовпчика стоїть одиниця. Тепер ця одиниця у нас буде ведучою, тобто, застосовуючи перетворення Дж-Г до другого, третього і четвертого рядочка ми будемо помножувати на деякі числа цю одиницю (разом з усім першим рядком) і додавати до інших рядків, домагаючись того, щоб решта елементів першого стовпчика перетворилась на нулі.
13 EMBED Equation.DSMT4 141513 EMBED Equation.DSMT4 141513 EMBED Equation.DSMT4 141513 EMBED Equation.DSMT4 1415
Після перетворення Дж-Г першого стовпчика у нас не було одиниці в другому, четвертому стовпчиках на перетині третього й четвертого рядків, а тому нам довелось четверте рівняння (четвертий рядок матриці) розділити на 8. Тепер другий елемент четвертого рядка одиниця, яка і стане ведучою.
13 EMBED Equation.DSMT4 141513 EMBED Equation.DSMT4 141513 EMBED Equation.DSMT4 1415
Після перетворення Дж-Г другого стовпчика, ми вимушені ведучим взяти елемент –1,75 з четвертого стовпчика, бо в третьому рядочку основної матриці всі інші елементи нульові. Але нам хочеться, щоб на місці –1,75 стояла одиниця. Вона там появиться, якщо ми третій рядок (третє рівняння) розділимо на –1,75, що ми й зробили. Після Дж-Г перетворення четвертого стовпчика можемо записати знову систему13 EMBED Equation.DSMT4 1415звідки одержимо: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, що і є відповіддю.
Розв’язати методом Джордано-Гауса систему:
13 EMBED Equation.DSMT4 141513 EMBED Equation.DSMT4 141513 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 141513 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 141513 EMBED Equation.DSMT4 1415
Необхідні пояснення. В першій матриці ми навмисне ще зберегли знаки рівності, в подальших матрицях (2,3,4,5,6,7,8) ми заміть стовпчика з рівностями ставимо вертикальну риску. Розв’язуючим рядком в першій матриці беремо перший, а ведучим елементом в ньому -–, що стоїть в другому стовпчику. Таким чином, ми “зануляємо” другий стовпчик. Робиться це так: перший (розв’язуючий) рядок перепишемо в матрицю 2 без зміни; замість другого рядочка запишемо суму його з першим помноженим на –4; замість третього рядочка запишемо суму його з першим помноженим на –2; замість четвертого рядочка запишемо суму його з першим помноженим на –1. В матриці 2 в другому стовпчику маємо всі нулі крім –1, яка стоїть в розв’язуючому рядку. В цій матриці розв’язуючим рядком візьмемо четвертий, а ведучим елементом в ньому буде –1 елемент першого стовпчика. “Зануляємо” перший стовпчик, для цього: ведучий рядок в матрицю 3 перепишемо без змін, замість третього рядочка запишемо суму його з четвертим помноженим на –3; замість другого рядочка запишемо суму його з четвертим помноженим на –1; замість першого рядочка запишемо суму його з четвертим помноженим на 2 (коротко: I=I+213 EMBED Equation.DSMT4 1415IV). Тепер в матриці 3 розв’язуючими можуть бути тільки другий і третій рядочки, а ведучими елементами в них можуть бути елементи третього і четвертого стовпчика. Але ж жоден з чотирьох елементів не дорівнює одиниці, а з ведучим неодиничним елементом важко працювати. Одиницю ми можемо одержати, поділивши другий чи третій рядок на коефіцієнти при 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 чи 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, але ж тоді ми раніше ніж того хотілося б ввійдемо в дробові обчислення. А тому треба, маніпулюючи другим і третім рядками, одержати 1 в третьому чи четвертому стовпчиках. Перш за все скоротимо друге й третє рівняння на 2. Це буде матриця 4. А тепер в матриці 5 замість другого рядочка запишемо суму цього рядочка з третім рядком і на перетині другого рядка і третього стовпчика одержимо так бажану нам одиницю. Другий рядок матриці 5 беремо за розв’язуючий, а ведучим елементом в ньому є тільки що одержана одиниця третього стовпчика. Цей стовпчик ми “зануляємо”, проробивши наступні дії: I=I-1013 EMBED Equation.DSMT4 1415IІ; IІІ=IІІ+813 EMBED Equation.DSMT4 1415IІ; IV=IV-813 EMBED Equation.DSMT4 1415IІ. Одержали матрицю 6. Третій рядочок в ній це рівняння 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 обидві частини якого ми можемо розділити на 103 і одержати рівняння рівносильне попередньому. Так ми прийшли до матриці 7, в якої за розв’язуючий візьмемо третій рядочок, а ведучим елементом в ньому буде одиниця з четвертого стовпчика. “Зануляючи ” цей стовпчик: I=I+12513 EMBED Equation.DSMT4 1415ІIІ; IІ=ІI-1113 EMBED Equation.DSMT4 1415ІIІ; IV=IV+9713 EMBED Equation.DSMT4 1415IIІ, одержимо відповідь 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Розв’язати методом Джордано-Гауса систему:
13 EMBED Equation.DSMT4 141513 EMBED Equation.DSMT4 141513 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 141513 EMBED Equation.DSMT4 141513 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 141513 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Тренувальні вправи:
Розв’язати системи:
а) 13 EMBED Equation.DSMT4 141513 EMBED Equation.3 1415Відп. (–1; –2; 1; 2)
ЛІТЕРАТУРА
1. Овчинніков П.П. Вища математика :Підручник. У2 ч.Ч.1: Лінійна і векторна алгебра: Аналітична геометрія: Вступ до математичного аналізу: Диференціальне і інтегральне числення. - К.:Техніка,2000.
2. Гетьманцев В.Д. Лінійна алгебра і лінійне програмування.–Київ”Либідь”,2001р.
3. Солодовников А.С.Торопа Г.А. Линейная алгебра с элеменнтами аналитической геометрии:Учеб.пособие для учащихся сред.спец.учеб.заведений.-М,:Высш.шк.,1987.-225с.:ил.
13PAGE 14315
13PAGE 14115
Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native