Элективный курс «Элементы комбинаторики и теории вероятностей» для 9 класса
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
«Новодемкинская средняя общеобразовательная школа
имени Назипа Думави» Аксубаевского муниципального района
Республики Татарстан
«Расмотрено» «Утверждено» «Согласовано»
на заседании ШМО директор МБОУ Член районной
Руководитель ШМО «Новодемкинская СОШ» экспертной группы
_________________ _____________________ элективных программ
Г.И.Сафина Э.З.Хайрутдинова __________________
Протокол №___от от «___»__________2012г. Г.А.Хузахметова
«___»___________2012г. Приказ№____от
«____»___________2012г.
Элективный курс
«Элементы комбинаторики и теории вероятностей»
для 9 класса
Выполнила: учитель математики высшей квалификационной катего-рии МБОУ «Новодемкинская сред-няя общеобразовательная школа имени Назипа Думави» Аксубаев-ского муниципального района Республики Татарстан
Хайбуллина Роза Хизбулловна
2012 г.
Пояснительная записка
В содержание среднего образования России вносятся существенные изменения, в частности, в программу по математике основной школы включаются теория вероятностей и элементы статистики. Теория вероятностей-это математическая наука о случайном и закономерностях случайного. В школьном курсе математики и других естественных наук господствовала только одна идея - о существовании жестких связей между явлениями и событиями. Эти связи представлены в форме законов физики, химии, математики; даже в курсе истории нет места случайности: он построен так, что складывается впечатление, что все события предопределены и закономерны.
Но окружающий нас мир полон случайностей. Это землетрясения, ураганы, подъемы и спады экономического развития, войны, болезни, случайные встречи и так далее. Впрочем, мысль о том .что в окружающем мире много случайного, останется очевидной, но бесплодной, если не научиться измерять случайность числом, вычислять шансы различных событий. Теория вероятностей в средней школе -это признание обществом необходимости формирования современного мировоззрения, для которого одинаково важны представления и о жестких связях, и о случайном. Без знаний понятий и методов теории вероятностей и статистики невозможна организация эффективного конкурентоспособного производства, внедрение новых лекарств и методов лечения в медицине, обеспечение страховой защиты граждан от непредвиденных обстоятельств, проведение обоснованной социальной политики.
Данный элективный курс разработан в рамках предпрофильной подготовки для ориентации учебно-воспитательного процесса на удовлетворение потребностей учащихся в углублении их знаний, умений и навыков по математике и готовит обучающихся к переходу в старшем звене на профильный уровень обучения. Он предназначен для учащихся 9 класса и рассчитан на 10 часов.
Курс ориентирован на развитие у школьника умений решать задачи практического характера: представление данных в таблицах и диаграммах; описательная статистика; случайные события и вероятность; математическое описание случайных событий; вероятности случайных событий; сложение и умножение вероятностей; элементы комбинаторики. Он развивает умение работать с информацией, представленной в виде таблиц, графиков, диаграмм, производить интерпретацию результатов, полученных при исследованиях и опросах общественного мнения.
Задачи по теории вероятности и комбинаторике входят в состав ГИА(ЕГЭ) по математике.
Данный курс направлен на реализацию межпредметных связей, углубленного изучения многих вопросов, поможет учащимся быстрее войти в проблематику новой содержательной линии школьного курса математики, проявить интерес к данному разделу математики и ее приложениям, почерпнуть дополнительные знания и расширить свой кругозор, изучая новый курс.
Цели элективного курса:
Формирование умений решать комбинаторные задачи путем систематического перебора возможных вариантов, а так же использовать правила умножения, известные формулы.
Закрепление полученных знаний в результате изучения теоретических приложений на примере решения прикладных задач.
Овладение конкретными математическими знаниями, необходимыми для применения в практической деятельности, для продолжения образования.
Формирование качеств прикладного стиля мышления, необходимого для продуктивной жизни в обществе.
Формирование представлений об идеях и методах математики, о математике как форме описания и методе познания действительности.
Развитие школьников с разделом дискретной математики на популярном уровне.
Задачи элективного курса:
Расширение представлений учащихся об элементах комбинаторики, методах решения задач нетрадиционного курса математики.
Убеждение их в практической значимости владения основными приемами решения задач с опорой на ребенка на процессы, наблюдаемые в окружающем мире, на их реальный жизненный опыт.
Формирование представлений учащихся об объективности математических соотношений, встречающихся в реальной действительности.
Расширение своего кругозора и мировоззрения.
Реализация внутрипредметных связей.
Облегчение подготовки учащихся к экзаменам как в школе, так и при поступлении в общеобразовательные учреждения после окончания школы.
Формы обучения:
Лекции
Работа в группе
Практикумы по решению задач
Самостоятельная работа
Тестирование
После изучения курса учащиеся должны:
Знать основные понятия теории вероятностей и математической статистики.
Уметь вычислять вероятности событий, пользуясь различными определениями вероятности и формулами.
Видеть в конкретных научных, технических, житейских проблемах вопросы, задачи, допускающие решения методами теории вероятностей, уметь формулировать и решать такие задачи.
Уметь представить событие в виде комбинации нескольких элементарных событий.
Уметь использовать приближенные формулы для вычисления вероятностей.
Различать дискретные и непрерывные случайные величины.
Уметь находить числовые характеристики случайных величин.
Уметь решать простейшие задачи математической статистики.
Уметь интерпретировать полученные результаты.
Формы организации учебных занятий:
На занятиях предполагается использование различных форм активного обучения: учебные исследования, опрос общественного мнения, интерактивные занятия.
Формы контроля
Текущий контроль проводится в форме собеседования с учащимися по решению практических задач.
Тематический контроль предполагает проверку выполнения тестовых заданий, самостоятельных работ.
Итоговый контроль происходит в форме выполнения итогового теста.
Возможные критерии оценок.
Критерии при выставлении оценок могут быть следующие.
Оценка «отлично» - учащийся демонстрирует сознательное и ответственное отношение, сопровождающееся ярко выраженным интересом к учению; учащийся освоил теоретический материал курса, получил навыки в его применении при решении конкретных задач; в работе над индивидуальными домашними заданиями уча щийся продемонстрировал умение работать самостоятельно, твор чески. Как правило, для получения высокой оценки учащийся дол жен показать не только знание теории и владение набором стан дартных методов, но и известную сообразительность, математи ческую культуру.
Оценка «хорошо» - учащийся освоил идеи и методы данного курса в такой степени, что может справиться со стандартными за даниями; выполняет домашние задания прилежно (без проявления явных творческих способностей); наблюдаются определенные по ложительные результаты, свидетельствующие об интеллектуаль ном росте и о возрастании общих умений учащегося.
Оценка «удовлетворительно» - учащийся освоил наиболее простые идеи и методы курса, что позволило ему достаточно ус пешно выполнять простые задания.
Учебно – тематическое планирование
№
Тема
Кол-во часов (теор./ практ.)
Вид занятия
1
Описательная статистика. Статистические характеристики:
среднее арифметическое,
размах,
мода,
медиана,
дисперсия
3
(1/2)
Беседа
Решение задач
Практическая работа
2
Статистические исследования:
сбор и группировка данных,
наглядное представление информации,
диаграммы.
1
(-/1)
Беседа
Решение задач
Практическая работа
3
Элементы комбинаторики:
правило умножения,
перестановки, факториал,
размещения,
сочетания.
2
(1/1)
Лекция
Решения задач
4
Элементы теории вероятностей
случайные события,
элементарные события,
противоположные события, диаграммы Эйлера
несовместные события.
2
(1/1)
Лекция
Решение задач
5
Задачи по теории вероятностей и комбинаторике в ГИА
1
(-/1)
Практическая работа
6
Итоговое занятие
1
(-/1)
Итоговый тест
Содержание программы.
На изучение данного курса отводится 10 часов.
Тема 1. Описательная статистика. Статистические характеристики:
среднее арифметическое, размах, мода, медиана, дисперсия ( 3ч.)
Форма занятий: объяснение, практическая работа.
Методы обучения: выполнение тренировочных задач.
Формы контроля: проверка самостоятельно решенных задач, самостоятельная работа.
Тема 2. Статистические исследования: сбор и группировка данных, наглядное представление информации. Построение столбчатых и круговых диаграмм, графиков (1 ч.)
Форма занятий: объяснение, практическая работа.
Методы обучения: выполнение тренировочных задач, творческие задания.
Формы контроля: проверка самостоятельно решенных задач, самостоятельная работа.
Тема 3. Элементы комбинаторики. Задачи по комбинаторике, факториал, перестановки, размещения, сочетания. Правило умножения (2 ч.)
Форма занятий: лекция, устные упражнения, письменные упражнения.
Методы обучения: выполнение тренировочных задач, творческие задания.
Формы контроля: проверка самостоятельно решенных задач, самостоятельная работа
Тема 4. Элементы теории вероятности: случайные события, элементарные события, достоверные и невозможные события, противоположные события, диаграммы Эйлера, несовместные события. Статистическое и классическое определения вероятности. (2ч.)
Форма занятий: лекция, устные упражнения, письменные упражнения.
Методы обучения: выполнение тренировочных задач, творческие задания.
Формы контроля: проверка самостоятельно решенных задач.
Тема 5. Задачи по теории вероятности и комбинаторике в ГИА(1ч.)
Форма занятий: объяснение, устные упражнения, письменные упражнения.
Методы обучения: выполнение тренировочных задач.
Формы контроля: проверка самостоятельно решенных задач.
Итоговое занятие.(1ч.)
В процессе изучения тем элективного курса обучающиеся составляют задачи по изученному материалу, решают их. На итоговом занятии защита презентации «Задачи по статистике, комбинаторике и теории вероятностей» и выполнения итогового теста..
Тема 1. Описательная статистика. Статистические характеристики: среднее арифметическое, размах, мода, медиана, дисперсия (3ч.)
Занятие 1
Тема: «Среднее значение».
Цель урока: формирование у учащихся понятия среднего арифметического числового набора, умения находить среднее арифметическое.
Ход урока.
Объяснение нового материала.
1.Рассматриваются данные о производстве пшеницы в России в 1995-2001гг. (таблица 1).
Таблица 1 Производство пшеницы в России в 1995-2001г.г.,
Год
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
Производство млн.тонн
30,1
34.9
44,3
27,0
31,0
34,5
47,0
Как видно из таблицы 1, производство пшеницы в разные годы различается.
Вопрос: как вы думаете, почему производство пшеницы в разные годы различается, от чего это зависит. (Погодные условия, площади посева, внесение удобрений, обработка от вредителей и т.п.).
Делается вывод о том, что для полного представления о производстве пшеницы в стране лучше использовать среднее значение за ряд лет. Вычисление среднего значения. Найденное значение называется средним арифметическим. Даётся определение среднего арифметического.
Средним арифметическим нескольких чисел называется число, равное отношению суммы этих чисел к их количеству.
2.Графическое изображение наборов чисел и среднего арифметического на числовой прямой. Среднее арифметическое - точка равновесия.
Средний урожай ( 35,5)
25 30 35 40 45 50 Рис.1
Вывод: среднее арифметическое числового набора характеризует в целом положение этого набора на числовой прямой.
3.Числа в наборах часто приходится обозначать буквами с порядковым номером. Например, набор чисел х1,х2,х3,..,хn или у1,у2,у3,..,уn. Номера чисел называются индексами. Среднее арифметическое принято обозначать
·х. Тогда среднее арифметическое набора чисел х1,х2,х3,..,хn запишется так:
·х=(х1 + х2 + х3 +..+ хn) : n , где n-количество чисел в данном наборе данных.
2. Закрепление изученного материала.
№№. 1 – 3 (устно).
№№5,7.
3. Итоги урока.
4. Домашнее задание.
Выучить определение среднего арифметического, выполнить письменно №№4.6.
Занятие 2
Тема: «Медиана. Мода. Размах».
Цель урока: ввести понятие медианы числового набора и сформировать умение находить медиану.
Ход урока.
1. Проверка домашнего задания.
Фронтально проверить выполнение домашнего задания. Задания, вызвавшие затруднения, вынести на доску.
2. Актуализация опорных знаний.
Что называется средним арифметическим числового набора? Может ли среднее значение не совпадать ни с одним из чисел набора?
№8
Вычислите среднее арифметическое чисел. Отметьте числа и среднее значение обоих наборов на числовой прямой.
а) 1,2,3,4,5. б) 1,2,3,4,100.
а)
·х=3; б)
·х=(1+2+3+4+100):5=22
Среднее значение первого набора показывает расположение чисел набора и их центра. А вот среднее значение второго набора не будет описывать основной ряд чисел, так как есть одно резко выделяющееся значение (выброс) 100.
3.Объяснение нового материала.
1.Среднее арифметическое – не единственная мера положения набора чисел на числовой прямой. Если есть выбросы, то надежной статистической характеристикой данного набора является медиана - «середина».
Дать определение и обозначение медианы.
Медианой набора n различных чисел называют такое число(скажем m), которое обладает следующим свойством: количество чисел набора, меньших либо равных m, равно количеству чисел набора , больших либо равных m. Медианой набора n различных чисел (среди которых могут быть совпадающие)называется: а) число, стоящее посередине (на месте с номером[n/2]+1) в упорядоченном по возрастанию ряду этих чисел, если n нечетно. б) полусумма чисел, стоящих на средних местах( с номерами n/2 и n/2+1) в упорядоченном наборе этих чисел, если n четно.
Вывод: медиана практически не чувствительна к значительным отклонениям отдельных крайних значений наборов чисел (всё равно показывает среднее типичное значение). В статистике это свойство называется устойчивостью. Устойчивость статистического показателя – очень важное свойство. Оно страхует нас от случайных ошибок и отдельных недостоверных данных.
2.Мода – число, которое встречается в данном наборе чаще других.
3. Иногда интересны не только средне значения или медианы, но и другие величины, связанные с наборами различных чисел. Для этого нужно знать именно наибольшие и наименьшие значения. В спортивных соревнованиях (бег, прыжки в длину и в высоту и т.п.). При проектировании моста нужно знать максимальный уровень подъёма воды в реке. Часто бывает важно знать не только «среднее», «типичное» значение в наборе чисел, но и иметь представление о том, насколько числа в наборе отличаются друг от друга или от «среднего», «типичного значения». Самый простой такой характеристикой является размах.
Разность между наибольшим и наименьшим числом называется размахом набора чисел.
Размах- ещё одна статистическая характеристика набора данных. Размах показывает, насколько велико рассеивание (разброс) значений в числовом наборе.
4. Закрепление изученного материала.
№9.
На соревнованиях по фигурному катанию судьи поставили спортсмену следующие оценки: 5,2; 5,4; 5,5; 5,4; 5,1; 5,1; 5,4; 5,5; 5,3. Для полученного набора чисел найдите среднее арифметическое, размах и моду. Что характеризует каждый из этих показателей?
Ответ. Среднее арифметическое
·х
· 5,32 характеризует средний уровень оценок. Размах 5,5-5,1=0,4 характеризует разброс оценок, а мода равна 5,4 – оценка, встречающаяся чаще других.
№11.
Найдите наибольшее и наименьшее значения, размах, среднее значение, медиану и моду набора чисел: 17; 19; 5; 41; 47; 13; 19.
Для нахождения медианы упорядочим данный набор чисел: 5; 13; 17; 19; 19; 41; 47.
Ответ: xmax=47; xmin=5; R=47-5=42;
·x=(17+19+5+41+47+13+19):7=23; m=19; moda=19.
3)№12.
Найдите моду набора чисел: а) 5; 2; 4; 5; 5; 5; 4; 4; 5; 5; 5; б) 2; 3; 4; 5.
Ответ: а) мода равна 5; б) данный набор моды не имеет.
5.Итоги урока.
6.Домашнее задание. Выучить определение медианы, моды и размаха, №№.10,13.
Занятие 3
Тема: « Дисперсия. Обозначения и формулы».
Цель урока: ввести понятие дисперсии и сформировать умение находить дисперсию числового набора.
Ход урока.
1.Проверка домашнего задания.
Фронтально проверить выполнение домашнего задания. Задания, вызвавшие затруднения, вынести на доску.
2.Актуализация опорных знаний.
Что называется размахом числового набора?
№14.
Температура на планете Меркурий колеблется от минус 150 градусов Цельсия до плюс 350. Найдите размах изменения температуры на планете.
Ответ: 350-(-150)=500 градусов Цельсия.
№15.
Размах некоторого числового набора равен нулю. Что можно сказать про этот набор?
Ответ: все числа этого набора одинаковые.
№16. Известно, что набор состоит из натуральных чисел. Может ли для этого набора быть дробным числом: а) мода; б) размах; в) медиана; г) среднее арифметическое?
Ответ: а) нет; б) нет; в) да; г) да.
Что такое упорядоченный набор чисел? Что называется медианой упорядоченного набора чисел? Может ли медиана не совпадать ни с одним из набора чисел? Какое число является медианой упорядоченного набора, содержащего нечётное количество чисел? Чётное количество чисел? Когда медиана точнее характеризует набор в целом, чем среднее арифметическое? Как выяснить есть ли выбросы в наборе чисел? (Ответ. Если величина |x-m| достаточно большая, то x и m далеко друг от друга, значит, есть выброс. Если мала, то x и m близки, и выбросов не было.) Что называется модой? Любой ли набор чисел имеет моду? Может ли набор чисел иметь более одной моды? Может ли мода не совпадать ни с одним из чисел набора?
3.Объяснение нового материала
Зная только размах, мы не можем судить о том, как расположены числа в имеющемся наборе. На примере рассматривается нахождение отклонений от среднего. Что можно сказать о числе, если его отклонение отрицательно? Положительно? Даётся основное свойство отклонений: сумма отклонений чисел от среднего арифметического этих чисел равна нулю.
Задача. В таблице показано число посетителей выставки в разные дни недели:
День недели
Пн
Вт
Ср
Чт
Пт
Сб
Вс
Число посетителей
604
638
617
636
625
713
724
Найдите среднее значение числа посетителей и отклонения от среднего для указанного набора данных (с помощью калькулятора). Что характеризует положительное и отрицательное отклонение от среднего?
Ответ:
·х=(604+638+617+636+625+680+708):7=4508:7=644. Отклонения
Число
Посетителей
Среднее
Значение
Отклонения
604
644
- 40
638
- 6
617
- 24
636
- 8
625
- 19
680
36
708
64
Если отклонение отрицательно, то число посетителей меньше среднего, а если положительное, то число посетителей больше среднего. Размах - слишком грубая мера разброса (рассеивания) чисел в наборе, поскольку учитывает только два из них – наименьшее и наибольшее. Наиболее полной характеристикой разброса набора чисел является набор их отклонений от среднего арифметического. Но когда набор велик, рассматривать набор отклонений неудобно. Нужно описать разнообразие чисел в наборе одной характеристикой, одним числом. Для того чтобы мера разброса чисел не зависела от их количества в наборе, в качестве такой меры берут среднее арифметическое квадратов отклонений. Вводится определение и обозначение дисперсии. Даётся формула.
Среднее арифметическое квадратов отклонений от среднего значения называется в статистике дисперсией набора чисел.
Таблица 4. Производство пшеницы в России в 1995-2001г.г.,млн.тонн
Год
Производство
Отклонение от среднего
Квадрат отклонения
1995
30,1
-5,4
29,16
1996
34,9
-0,6
0,36
1997
44,3
8,8
77,44
1998
27,0
-8,5
72,25
1999
31,0
-4,5
20,25
2000
4,5
-1,0
1,00
2001
47,0
11,5
132,25
Вычислим дисперсию. Для расчета дисперсии следует сложить все значения в столбце Квадрат отклонения« и разделить на количество слагаемых:
(29,16+0,36+77,44+72,25+20,25+1,00+132,25):7=47,53.
4. Закрепление изученного материала.
№ 17 Учащиеся учатся составлять таблицу отклонений, квадратов отклонений, вычислять дисперсию.
2)№18.
5. Итоги урока.
6. Домашнее задание. Выучить определение дисперсии, выполнить самостоятельную работу по теме «Размах и дисперсия». (Приложение1)
Тема 2. Статистические исследования: сбор и группировка данных, наглядное представление информации. Построение столбчатых и круговых диаграмм, графиков (1 ч.)
Занятие 4
Цель урока: формировать умения извлекать информацию из таблиц и диаграмм, определять по диаграммам наибольшие и наименьшие данные, сравнивать величины. Повторить тему «Столбчатые и круговые диаграммы», закрепить навыки их построения. Рассмотреть понятия полигона и гистограммы, научить учащихся строить полигоны и гистограммы по статистическим данным. Воспитывать аккуратность и внимательность, развивать навыки работы на компьютере.
Ход урока:
Проверка домашнего задания.
Фронтально проверить выполнение домашнего задания. Задания, вызвавшие затруднения, вынести на доску.
2. Актуализация опорных знаний.
а) Индивидуальная работа учащихся по карточкам с последующей проверкой с помощью проектора на компьютере.
Карточка №1.
Закинул старик в реку невод. Пришел невод с таким уловом ( в порядке вытаскивания):
П,О,Л,С,Я,П,К,О,З,К,П,К,Я,С,О,П,П,Л,О,О,Л,С,О,П,Л,П,К,Л,К,П,П,С,П,З,К,Я,П,З,С,О,О,Я,П,П,О,Л,С,Л,С,П,О,П,Л,К,С,О,Я,Л,П,С,О,Л,П,О,К,Л,П,О,О,П,О,Я,Л,П,С,П,О,Л,П,З.
Буквами обозначены: З – золотая рыбка; К – карась; Л – лещ; О – окунь; П – пескарь; С – сом; Я – язь.
Составьте таблицу абсолютных и относительных частот.
Какой процент пойманной рыбы составляют золотые рыбки
3.Оцените, какой вид рыбы наиболее и наименее распространены в местах, где старик закинул невод.
Карточка №2.
Девятиклассники разгадывали кроссворд ( каждый самостоятельно). После этого они сравнили число неразгаданных слов. Данные приведены в таблице:
Имя
Вася
Петя
Валя
Катя
Гена
Аня
Число неразгаданных слов
3
2
1
2
4
3
Имя
Гоша
Вера
Оля
Дима
Галя
Паша
Число неразгаданных слов
1
2
3
3
2
4
Имя
Таня
Зоя
Боря
Лена
Тоня
Ваня
Число неразгаданных слов
3
2
4
2
1
3
Для каждого количества неразгаданных слов найдите число ребят, не разгадавших ровно столько слов.
Составьте таблицу относительных частот.
Найдите процент ребят, не разгадавших более двух слов.
Найдите среднее число неразгаданных слов в кроссворде.
б) Фронтальный опрос по вопросам.
1.Роль статистических исследований в современном мире.
2. Дайте определение таблицы частот. Приведите примеры.
3. Дайте определение таблицы относительных частот. Приведите примеры.
3. Объяснение нового материала:
Для наглядного представления данных, полученных в результате статистического исследования, широко используются различные способы их изображения.
Одним из хорошо известных вам способов наглядного представления ряда данных является построение столбчатых и круговых диаграмм.
Диаграмма, показывающая, как целое делится на части в виде секторов круга, углы, которых пропорциональны долям единого целого, называется круговой диаграммой.
Столбчатые диаграммы используются тогда, когда хотят проиллюстрировать динамику изменения данных во времени или распределение данных, полученных в результате статистического исследования.
Круговые диаграммы используются для наглядного изображения соотношения между частями исследуемой совокупности.
Рассмотрим данные положения на следующих примерах.
Задание 1.
На основе изучения затрат времени на изготовление одной детали рабочими цеха была составлена таблица относительных частот.
Время, ч
0,5
0,6
0,7
0,8
Относительная частота, %
16
21
39
24
Постройте столбчатую и круговую диаграммы.
Задание выполняется учащимися в тетрадях с последующей проверкой с помощью проектора.
13 EMBED Excel.Sheet.8 1415
13 EMBED Excel.Sheet.8 1415
Динамику изменения статистических данных во времени часто иллюстрируют с помощью полигона. Для построения полигона отмечают в координатной плоскости точки, абсциссами которых служат моменты времени, а ординатами – соответствующие им статистические данные. Соединив последовательно эти точки отрезками, получают ломаную, которую называют полигоном.
Задание 2.
По таблице карточки №2 и результатам работы второго ученика постройте полигон относительных частот.
Учащиеся выполняют задание в тетрадях, учитель демонстрирует решение через проектор при проверки.
Интервальные ряды данных изображаются с помощью гистограмм. Гистограмма представляет собой ступенчатую фигуру, составленную из сомкнутых прямоугольников. Основание каждого прямоугольника равно длине интервала, а высота – частоте или относительной частоте. Таким образом, в гистограмме, в отличии от столбчатой диаграммы. Основания прямоугольников выбираются не произвольно. А строго определены длиной интервала.
№19
На партии из 50 электроламп изучали продолжительность их горения (в часах). По результатам составили таблицу:
Продолжительность горения, ч
До 200
200-400
400-600
600-800
800-1000
1000-1200
1200-1400
1400-1600
Частота
1
3
5
9
16
9
5
2
По результатам данной таблицы постройте гистограмму, учитель демонстрирует решение через проектор при проверке.
4. Закрепление изученного материала: Решить №№20,23.
5. Итоги урока.
6. Домашнее задание. Решить №№ 22,24 .(Творческое задание. По собственным статистическим исследованиям выполните предыдущие задания.)
Тема 3. Элементы комбинаторики. Задачи по комбинаторике, факториал, перестановки, размещения, сочетания. Правило умножения (2 ч.)
Занятие 5
Цель урока: Сформировать данные понятия, уделить внимание различным комбинациям и показать, что они относятся к классическим задачам комбинаторики, сформировать основные умения находить перестановки, размещения, сочетания, разбиения.
Ход урока:
Проверка домашнего задания.
Лекция.
Немного истории.
В математике и ее приложениях часто приходится иметь дело с различного рода множествами и подмножествами: устанавливать их связь между элементами каждого, определять число множеств или их подмножеств, обладающих заданным свойством. Такие задачи приходится рассматривать при определении наиболее выгодных коммуникаций внутри города, при организации автоматической телефонной связи, работы морских портов, при выявлении связей внутри сложных молекул, генетического кода, а также в лингвистике, в автоматической системе управления, значит и в теории вероятностей, и в математической статистике со всеми их многочисленными приложениями.
Поговорим об одном из разделов теории вероятности – комбинаторике.
Комбинаторика - ветвь математики, изучающая комбинации и перестановки предметов. Еще комбинаторику можно понимать как перебор возможных вариантов. Комбинаторика возникла в 17 веке. Долгое время она лежала вне основного русла развития математики. С задачами, в которых приходилось выбирать те или иные предметы, располагать их в определенном порядке и отыскивать среди разных расположений наилучшие, люди столкнулись еще в доисторическую эпоху, выбирая наилучшее положение охотников во время охоты, воинов – во время битвы, инструментов - во время работы. Комбинаторные навыки оказались полезными и в часы досуга. Нельзя точно сказать, когда наряду с состязаниями в беге, метании диска, прыжках появились игры, требовавшие, в первую очередь, умения рассчитывать, составлять планы и опровергать планы противника. Со временем появились различные игры (нарды, карты, шашки, шахматы и т.д.). В каждой из этих игр приходилось рассматривать различные сочетания фигур, и выигрывал тот, кто их лучше изучил, знал выигрышные комбинации и умел избегать проигрышных. Не только азартные игры давали пищу для комбинаторных размышлений математиков. Еще с давних пор дипломаты, стремясь к тайне переписки, изобретали сложные шифры, а секретные службы других государств пытались эти шифры разгадать. Стали применять шифры, основанные на комбинаторных принципах, например, на различных перестановках букв, заменах букв с использованием ключевых слов и т.д. Комбинаторика как наука стала развиваться в 18 веке параллельно с возникновением теории вероятностей, так как для решения вероятностных задач необходимо было подсчитать число различных комбинаций элементов. Первые научные исследования по комбинаторике принадлежат итальянским ученым Дж.Кардано, Н.Тарталье (1499-1557), Г.Галилею (1564-1642) и французским ученым Б.Паскалю (1623-1662) и П.Ферма. Комбинаторику как самостоятельный раздел математики первым стал рассматривать немецкий ученый Г.Лейбниц в своей работе “ Об искусстве комбинаторики ”, опубликованной в 1666 году. Он также впервые ввел термин “комбинаторика”. Значительный вклад в развитие комбинаторики внес Л.Эйлер. В современном обществе с развитием вычислительной техники комбинаторика “добилась” новых успехов. В настоящее время в образовательный стандарт по математике включены основы комбинаторики, решение комбинаторных задач методом перебора, составлением дерева вариантов (еще его называют “дерево возможностей”) с применением правила умножения. Так, например, “дерево возможностей” помогает решать разнообразные задачи, касающиеся перебора вариантов происходящих событий. Каждый путь по этому “дереву” соответствует одному из способов выбора, число способов выбора равно числу точек в нижнем ряду “дерева”. Правило умножения заключается в том, что для того, чтобы найти число всех возможных исходов независимого проведения двух испытаний А и В, следует перемножить число всех исходов испытания А и число всех исходов испытания В. В задачах по комбинаторике часто применяется такое понятие как факториал (в переводе с английского “factor” - “множитель”). Итак, произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно называют n-факториалом и пишут: n!=1 2 3 (n-1) n В комбинаторике решаются задачи, связанные с рассмотрением множеств и составлением различных комбинаций из элементов этих множеств. В зависимости от правил составления можно выделить три типа комбинаций: перестановки, размещения, сочетания.
Размещения (без повторений).
Решим следующие задачи:
Задача 1.
Даны три элемента: А,Б,В, Составим из них соединения по одному элементу – это А,Б,В, Такие соединения называются размещениями из трех элементов по одному, их количество равно 3.
Составим теперь из этих элементов такие соединения по два элемента, которые отличаются друг от друга либо порядком, либо самими элементами (хотя бы одним). Получим соединения: АБ, АВ, БВ, БА, ВА, ВБ. Такие соединения называются размещениями из трех элементов по два, их количество равно 6.
Составим из этих элементов соединения по три в каждом, отличающиеся либо порядком элементов, либо самими элементами. Это АБВ, АВБ, БАВ, БВА, ВАБ, ВБА – размещения из трех элементов по три, их количество равно 6.
Задача 2.
Даны четыре элемента: А, Б, В, Г, Составим из них соединения по одному – это А, Б, В, Г. Такие соединения называются размещениями их четырех элементов по одному, их количество равно 4.
Составим из этих четырех элементов такие соединения по два элемента, которые отличаются друг от друга либо порядком, либо самими элементами (хотя бы одним). Получим соединения АБ, АВ, АГ, БВ, БГ, ВГ, БА, ВА, ГА, ВБ, ГБ, ГВ. Они называются размещениями из четырех элементов по два: их 12. Соединения АБ и БА отличаются порядком элементов, АБ, АГ – одним элементом, АБ, ВГ – самими элементами.
Определение. Размещениями называются соединения, содержащие по n элементов из числа данных m элементов (где m13 EMBED Equation.DSMT4 1415n) и различающиеся либо порядком элементов, либо самими элементами.
Число размещения из m элементов по n обозначается символом 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Решим задачу «Четверо вокруг стола» с привлечением дерева возможных вариантов.
Задача 3.
Сколькими способами можно разместить четырех человек (А, Б, В, Г) вокруг стола, на котором стоят четыре прибора – золотой (з), серебряный (с), мельхиоровый (м), фарфоровый (ф)?
Существует четыре способа занять место самым почетным золотым прибором, т.е. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415(см. дерево вариантов). В каждом из этих четырех случаев имеются три способа занять место за серебряным прибором.
Таким образом, занять два места за золотым и серебряным прибором можно 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 способами, т.е. 13 EMBED Equation.DSMT4 141513 EMBED Equation.DSMT4 1415. В каждом из этих 12 случаев есть два способа занять место за мельхиоровым прибором. Значит, имеются 13 EMBED Equation.DSMT4 1415способа занять место за золотым, серебряным и мельхиоровым приборами, т.е. 13 EMBED Equation.DSMT4 141513 EMBED Equation.DSMT4 1415 Наконец, остается усадить последнего человека за фарфоровый прибор. Итак, существуют 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 способов занять все четыре места, т.е. 13 EMBED Equation.DSMT4 141513 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Для отыскания решения этой задачи (и множества других комбинаторных задач) используют принцип умножения. Этот принцип позволяет произвести подсчет кольцевых ветвей дерева если каждая основная ветвь делится на одно и то же число ветвей и каждая из получивших ветвей делится на одно и то же число ветвей и т.д., то количество кольцевых ветвей равно произведению этих чисел.
У рассмотренного нами дерева 4 основных ветви, каждая из которых делится на 3, каждая из вновь полученных делится на две ветви, а затем от каждой следующей идет одна ветвь. Число решений – это количество кольцевых ветвей, которое определяется как 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Рассуждая аналогично, получим
13 EMBED Equation.DSMT4 141513 EMBED Equation.DSMT4 1415; 13 EMBED Equation.DSMT4 141513 EMBED Equation.DSMT4 1415;
13 EMBED Equation.DSMT4 141513 EMBED Equation.DSMT4 1415; 13 EMBED Equation.DSMT4 141513 EMBED Equation.DSMT4 1415;
13 EMBED Equation.DSMT4 141513 EMBED Equation.DSMT4 1415
Анализируя полученные равенства, можно сказать, что при определении 13 EMBED Equation.DSMT4 1415надо записать произведение трех множителей, первый из которых 7, а остальные на 1 меньше предыдущего, т.е.
13 EMBED Equation.DSMT4 141513 EMBED Equation.DSMT4 1415
Существует формула числа размещений из m элементов по n элементов в таком виде:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Найти: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Задача 4.
Сколькими способами можно выбрать три лица различные должности из 10 кандидатов?
Решение: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Задача 5.
В пятом классе изучают 11 предметов. Сколькими способами можно составить расписание занятий на понедельник, если в этот день недели должно быть 5 уроков по разным предметам?
Решение: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Задача 6.
В соревнованиях высшей лиги по футболу участвуют 18 команд. Борьба идет за золотые, серебряные и бронзовые медали. Сколькими способами могут быть распределены медали между командами?
Решение: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Задача 7.
Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 2, 4, 6, 7, 9?
Решение: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Задача 8.
Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 0, 2, 4, 6, 7?
Решение: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Задача 9.
В профком избрано 9 человек. Из них надо выбрать представителя, его заместителя, секретаря и культорга. Сколькими способами это можно сделать?
Решение: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Задача 10.
Сколькими способами можно опустить 5 писем в 11 почтовых ящиков, если в каждый ящик опускают не более одного письма?
Решение: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Правила суммы и произведения
Правило суммы: если элемент можно выбрать различными способами и независимо от него элемент можно выбрать различными способами, то выбрать все различные комбинации элементов « или » можно сделать способами.
Правило произведения: если элемент можно выбрать различными способами и независимо от него элемент можно выбрать различными способами, то все различные комбинации элементов « и » можно выбрать способами.
Правила суммы и произведения естественным образом обобщаются и на случай комбинаций многих элементов, а именно, если первый элемент совокупности из различных элементов можно выбрать способами, второй способами и так далее, -й элемент способами, то всевозможных комбинаций соответственно и .
Факториал
Произведение первых натуральных чисел называется n-факториал и обозначается n!; По определению: .
Перестановки без повторений
Перестановкой из элементов (или -перестановкой) называется -элементное упорядоченное множество, составленное из элементов -элементного множества.
Иначе: Перестановкой из элементов (или -перестановкой) называется размещение из элементов по без повторений.
Число перестановок из элементов без повторений обозначается от французского слова perturbation.
Теорема: число способов расположить в ряд различных объектов есть
Замечание: Рекуррентная формула: .
Перестановки симметричных объектов
различных предметов можно расположить по кругу способами, а если их можно еще и переворачивать, то различными способами.
Размещения без повторений
Подсчитаем количество способов расположить различных элементов по различным позициям (). Такие расположения называются размещениями, а их количество, от французского слова arrangement обозначается . В случае, если количество предметов совпадает с количеством имеющихся мест, и это уже изученная задача о числе перестановок.
Если из объектов выбирают штук, то число выборов последнего объекта есть невыбранных объектов, что означает наличие возможности выбора последнего выбранного объекта. То же, другими словами: после выбора первых элемента остается выбрать элемент.
Теорема: число размещений различных элементов по различным позициям есть
,
или, в терминах факториалов,
.
Примечание: заметим, что в случае, когда число мест, по которым размещают предметы, совпадает с количеством самих предметов, т. е. когда , рассматриваемая задача становится задачей о числе перестановок. В нашем случае при этом мы получаем в знаменателе дроби ноль факториал, и для того, что бы разные формулы, соответствующие одной и той же задаче, приводили к одинаковым результатам, полагают, что .
Сочетания
Подсчитаем количество способов, которыми можно выбрать из различных предметов. Такие выборки называются сочетаниями, а их количество обозначается .
При , выбрать k предметов из n можно способами, переставляя их способами:
.
Рекуррентная формула: .
Свойства сочетаний: ;.
Перестановки с повторениями
Пусть даны элементов первого типа, второго типа, ..., -го типа, всего элементов. Способы разместить их по различным местам называются перестановками с повторениями. Их количество обозначается .
Теорема: число перестановок с повторениями есть
.
Размещения с повторениями
Пусть даны различных видов предметов, которые можно разместить по различным местам, причем выбирать предметы можно с повторениями (т.е. можно выбрать несколько предметов одного вида). Такие выборки называются размещениями с повторениями, а их количество вычисляется по формуле: .
Сочетания с повторениями
Пусть имеются предметы различных видов предметов, и из них составляются наборы, содержащие элементов. Такие выборки называются сочетаниями с повторением. Их число обозначается .
Теорема: число сочетаний с повторениями может быть вычислено по формулам:
.
Домашнее задание:№№25-30.
Занятие 6
Цель урока: углубить и систематизировать знания учащихся при решении задач по комбинаторике.
Ход урока:
Решение задач.
Приложение 2
Приложение 3
Приложение 4
Домашнее задание: №42,44,48.
Тема 4. Элементы теории вероятности: случайные события, элементарные события, достоверные и невозможные события, противоположные события, диаграммы Эйлера, несовместные события. Статистическое и классическое определения вероятности. (2ч.)
Занятие 7-8
Цель урока: проводить случайные эксперименты, в том числе с помощью компьютерного моделирования, интерпретировать их результаты, уметь приводить примеры достоверных и невозможных событий, объяснять значимость маловероятных событий в зависимости от их последствий, решать задачи на нахождение вероятностей событий в экспериментах с равновозможными исходами, приводить примеры противоположных событий, использовать при решении задач свойство вероятностей противоположных событий.
Теоретические сведения
1 Случайные события.
Случайное явление – явление, исход которого однозначно не определен. Это понятие можно трактовать в достаточно широком смысле. А, именно: все в природе достаточно случайно, появление и рождение любого индивидуума есть случайное явление, выбор товара в магазине также случайное явление, получение оценки на экзамене есть случайное явление, заболевание и выздоровление есть случайные явления и т.д.
Примеры случайных явлений:
Производится стрельба из орудия, установленным под заданным углом к горизонту. Попадание его в цель случайно, но попадание снаряда в некоторую “вилку”, есть закономерность. Можно указать расстояние, ближе которого и дальше которого, снаряд не полетит. Получится некоторая “вилка рассеивания снарядов”
Одно и тоже тело взвешивается несколько раз. Строго говоря, каждый раз будут получаться разные результаты, пусть отличающиеся на ничтожно малую величину, но отличаться.
Самолет, летая по одному и тому же маршруту, имеет некоторый полетный коридор, в пределах которого может лавировать самолет, но никогда у него не будет строго одинакового маршрута
Спортсмен никогда не сможет пробежать одну и туже дистанцию с одинаковым временем. Его результаты также будут находиться в пределах некоторого численного промежутка.
Опыт, эксперимент, наблюдение являются испытаниями
Испытание – наблюдение или выполнение некоторого комплекса условий, выполняемых неоднократно, причем регулярно повторяющихся в оной и тоже последовательности, длительности, с соблюдением иных одинаковых параметров.
Рассмотрим выполнение спортсменом выстрела по мишени. Чтобы он был произведен, необходимо выполнить такие условия как изготовка спортсмена, зарядка оружия, прицеливание и т.д. “Попал” и “не попал” – события, как результат выстрела.
Событие – качественный результат испытания.
Событие может произойти или не произойти События обозначаются заглавными латинскими буквами. Например: D =”Стрелок попал в мишень”. S=”Вынут белый шар”. K=”Взятый наудачу лотерейный билет без выигрыша.”.
Подбрасывание монеты – испытание. Падение ее “гербом” – одно событие, падение ее “цифрой” – второе событие.
Любое испытание предполагает наступления нескольких событий. Одни из них могут быть нужными в данный момент времени исследователю, другие – не нужными.
Событие называется случайным, если при осуществлении определенной совокупности условий S оно может либо произойти, либо не произойти. В дальней шем, вместо того чтобы говорить “совокупность условий S осуществлена”, будем говорить кратко: “произведено испытание”. Таким образом, событие будет рассматри ваться как результат испытания.
Примеры:
Стрелок стреляет по мишени, разделенной на четыре, области. Выстрел – это испытание. Попадание в определенную область мишени – событие.
В урне имеются цветные шары. Из урны наудачу берут один шар. Извлечение шара из урны есть испытание. Появле ние шара определенного цвета – событие.
Виды случайных событий
1. События называют несовместными, если появле ние одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании.
Из ящика с деталями наудачу извлечена деталь. Появление стандартной детали исключает появление нестандартной детали. События появилась стандартная деталь” и с появилась не стандартная деталь” – несовместные.
Брошена монета. Появление “герба” исключает по явление надписи. События “появился герб” и “появилась надпись” – несовместные.
Несколько событий образуют полную группу, если в результате испытания появится хотя бы одно из них. Другими словами, появление хотя бы одного из событий полной группы есть достоверное событие.
В частности, если события, образующие полную группу, попарно несов местны, то в результате испытания появится одно и только одно из этих событий. Этот частный случай представляет для нас наибольший интерес, поскольку используется далее.
Примеры:
Приобретены два билета денежно-вещевой лотереи. Обязательно произойдет одно и только одно из следующих событий:
1. “выигрыш выпал на первый билет и не выпал на второй”,
2. “выигрыш не выпал на первый билет и выпал на второй”,
3. “выигрыш выпал на оба билета”,
4. “на оба билета выигрыш не выпал”.
Эти события обра зуют полную группу попарно несовместных событий,
Стрелок произвел выстрел по цели. Обязательно прои зойдет одно из следующих двух событий: попадание, промах. Эти два несовместных события также образуют полную группу.
2. События называют равновозможными, если есть осно вания считать, что ни одно из них не является более возможным, чем другое.
Примеры:
Появление “герба” и появление надписи при бросании монеты – равновозможные события. Действительно, предполагается, что монета изготовлена из однородного материала, имеет правильную цилиндрическую форму, и наличие чеканки не оказывает влияния на выпадение той или иной стороны монеты.
Появление того или иного числа очков на брошенной игральной кости – равновозможные события. Действительно, предпо лагается, что игральная кость изготовлена из однородного материала, имеет форму правильного многогранника, и наличие очков не оказы вает влияния на выпадение любой грани.
3. Событие называется достоверным, если оно не может не произойти
4. Событие называется не достоверным, если оно не может произойти.
5. Событие называются противоположным к некоторому событию, если оно состоит из не появления данного события. Противоположные события не совместимые, но одно из них должно обязательно произойти. Противоположные события принято обозначать как отрицания, т.е. над буквой пишется черточка. События противоположные: А и
·; U и
· и т.д. .
2. Классическое определение вероятности
Вероятность – одно из основных понятий теории вероятностей.
Существует несколько определений этого понятия. Приведем определение, которое называют клас сическим. Далее укажем слабые стороны этого определе ния и приведем другие определения, позволяющие пре одолеть недостатки классического определения.
Рассмотрим ситуацию: В ящике содержится 6 оди наковых шаров, причем 2 – красные, 3- синие и 1-белый. Очевидно, возмож ность вынуть наудачу из урны цветной (т. е. красный или синий) шар больше, чем возможность извлечь белый шар. Эту возможность можно охарактеризовать числом, которое и называют вероятностью события (появления – цветного шара).
Вероятность – число, характеризующее степень воз можности появления события.
В рассматриваемой ситуации обозначим:
Событие А =”Вытаскивание цветного шара”.
Каждый из возможных результатов испытания (испытание состоит в извлечении шара из урны) назовем элементарным (возможным) исходом и событием. Элементарные исходы можно обозначать буквами с индексами внизу, например: k1, k2.
В нашем примере 6 шаров, поэтому 6 возможных исходов: появился белый шар; появился красный шар; появился синий шар и т.д. Легко видеть, что эти исходы образуют полную группу попарно несовместных событий (обязательно появится только один шар) и они равновозможные (шар вынимают наудачу, шары одинаковы и тщательно перемешаны).
Элементарные исходы, в которых интересующее нас событие наступает, назовем благоприятствующими исходами этому событию. В нашем примере благоприятствуют со бытию А (появлению цветного шара) следующие 5 исхо дов:
Таким образом, событие А наблюдается, если в испы тании наступает один, безразлично какой, из элементар ных исходов, благоприятствующих А. Это появление любого цветного шара, которых в ящике 5 штук
Вероят ностью события А будем считать число, равное отношению количества благоприятствующих событию А эле ментарных исходов к их общему количеству. Обозначают Р(А)
В рассмат риваемом примере элементарных исходов 6; из них 5 благоприятствуют событию А. Следовательно, Р(А)=5/6. Это число дает ту количественную оценку степени возможности появления цветного шара.
Определение вероятности:
Вероятностью события А называется отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу.
Р(А)=m/n или Р(А)=m: n, где:
m -число элементарных исходов, благоприятствую щих А;
п - число всех возможных элементарных исходов испытания.
Здесь предполагается, что элементарные исходы не совместные, равновозможные и образуют полную группу.
Из определения вероятности вытекают следующие ее свойства:
1. Вероятность достоверного события равна единице.
Действительно, если событие достоверно, то каждый элементарный исход испытания благоприятствует собы тию. В этом случае m = n следовательно, p=1
2. Вероятность невозможного события равна нулю.
Действительно, если событие невозможно, то ни один из элементарных исходов испытания не благоприятствует событию. В этом случае m=0, следовательно, p=0.
3.Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и еди ницей. 0
В последующих темах будут приведены теоремы, которые позволяют по из вестным вероятностям одних событий находить вероятно сти других событий.
Промер. В группе студентов 6 девушек и 4 юношей. Какова вероятность того, что наудачу выбранный студент будет девушка? будет юноша?
pдев = 6 / 10 =0,6 pюн = 4 / 10 = 0,4
Понятие “вероятность” в современные строгие курсы теории вероятностей построены на теоретико-множественной основе. Рассмотрим некоторые моменты такого подхода.
Пусть в результате испытания наступает одно и только одно из событий: wi (i=1, 2, . п). События wi,- называется элементарными событиями (элементарными исходами). Отсюда следует, что элементарные события попарно несовместны. Множество всех элементарных событий, которые могут появиться в испытании, называют пространством элементарных событий (греческая буква омега заглавная), а сами элементарные собы тия – точками этого пространства..
Событие А отождествляют с подмножеством (пространства ), элементы которого есть элементарные исходы, благоприятствующие А; событие В есть подмножество , элементы которого есть исходы, благоприятствующие В, и т, д. Таким образом, множества всех со бытий, которые могут наступить в испытании, есть множество всех подмножеств , Само наступает при любом исходе испытания, поэтому – достоверное событие; пустое подмножество пространства - -невозможное событие (оно не наступает ни при каком исходе испытания).
Элементарные события выделяются из числа всех событий тем, по каждое из них содержит только один элемент
Каждому элементарному исходу wi ставят в соответствие поло жительное число рi - вероятность этого исхода, причем сумма всех рi равна 1 или со знаком суммы этот факт запишется в виде выражения:
По определению, вероятность Р(А) события А равна сумме вероят ностей элементарных исходов, благоприятствующих А. Поэтому вероятность события достоверного равна единице, не возможного – нулю, произвольного – заключена между нулем и еди ницей.
Рассмотрим важный частный случай, когда все исходы равновоз можные, Число исходов равно л, сумма вероятностей всех исходов равна единице; следовательно, вероятность каждого исхода равна 1/п. Пусть событию А благоприятствует m исходов.
Вероятность события А равна сумме вероятностей исходов, благоприятствующих А:
Р(А)=1/n + 1/n++1/n = n·1/n=1
Получено классическое определение вероятности.
Существует еще аксиоматический подход к понятию “вероятность”. В системе аксиом, предложенной. Колмогоровым А. Н, неопре деляемыми понятиями являются элементарное событие и вероятность. Построение логически полноценной теории вероятностей основано на аксиоматическом определении случайного события и его вероятно сти.
Приведем аксиомы, определяющие вероятность:
1. Каждому событию А поставлено в соответствие неотрицатель ное действительное число Р(А). Это число называется вероятностью события А.
2. Вероятность достоверного события равна единице:
3. Вероятность наступления хотя бы одного из попарно несов местных событий равна сумме вероятностей этих событий.
Исходя из этих аксиом, свойства вероятностей к зависимости между ними выводят в качестве теорем.
Ограниченность классического определения вероятности.
1. Классический способ опре деления вероятности не применим к бесконечным множествам. событий (исходов).
2. Наиболее слабая сторона классического определения состоит в том, что очень часто невозможно представить результат испытания в виде совокупности элементарных событий.
3. Еще труднее указать основания, позволяющие считать элементарные события равновозможными. Обычно о равно возможности элементарных исходов испытания говорят из соображений симметрии. Так, например, пред полагают, что игральная кость имеет форму правильного многогранника (куба) и изготовлена из однородного мате риала. Однако задачи, в которых можно исходить из соображений симметрии, на практике встречаются весьма редко.
Статистический способ подсчета вероятности.
Этот способ направлен на неоднократное установление частоты появления события с различным числом объектов в рамках некоторого испытания.
Пример. На бахче готовят партию из десятка тонн арбузов к отправке. Что бы убедиться в их спелости надо просмотреть все арбузы, но тогда придется каждый арбуз пометить и он окажется не пригодным к отправке. На практике можно провести серию испытаний. Выбираем произвольно 10 арбузов и установим число спелых из них. Пусть таких оказалось 9 арбузов, тогда частота р1=9/10. В другой партии их 15 арбузов оказалось 13 спелых, р2=13/15. В третей частота оказалась равной р3 =18/18, в четвертой – р4= 6/7. Все полученные числа будут группировать около некоторого числа, являющееся средним арифметическим вычисленных частот:
р= (р1.+ р2+ р3 + р4) / 4 = (9/10+13/15+18/18+6/7) =761 / 840 »0,9059.
Запишем статистический способ подсчета вероятности в общем виде:
p1=m1 / n1, p2=m2 / n2, p3=m3 / n3, . pi=mi / ni. 1Ј i Ј k
mi – число появления события,
ni - число проведенных опытов (наблюдений, испытаний),
pi – частота появления события в каждом опыте
k – опытов
Естественно предположить, что она будет различная. Вероятность рассматриваемого события будет равна среднему арифметическому полученных частот.
p=(p1 + p2+p3 + +pk) / k, где р – статистическая вероятность.
Вероятность события в данном испытании называется число, около которого “группируются” относительные частоты при нескольких
Для существования статистической вероятности собы тия А требуется:
а) возможность, хотя бы принципиально, производить неограниченное число испытаний, в каждом из которых событие А наступает или не наступает;
б) устойчивость относительных частот появления А в различных сериях достаточно большого числа испыта ний.
Недостатком статистического определения является неоднозначность статистической вероятности; значения которой “колеблется около какого-то теоретического числа, например: от 0,39 до 0,41 и др.
Примеры вычисления вероятностей
Вычислить вероятности, приведя полное объяснение.
1. Набирая номер телефона, абонент забыл одну цифру и набрал ее наудачу. Найти вероятность того, что набрана нужная цифра.
Решение. Обозначим через А событие – набрана нужная цифра. Абонент мог набрать любую из 10 цифр, поэтому общее число возможных элементарных исходов равно 10. Эти исходы несовместны, равновозможные и образуют полную группу. Благоприятствует собы тию А лишь один исход (нужная цифра лишь одна). Искомая веро ятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию, к числу всех элементарных исходов: Р (А)= 1/10.
2. Набирая номер телефона, абонент забыл последние две цифры и, помня лишь, что эти цифры различны, набрал их на удачу. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры,
Решение. Обозначим через В событие – набраны две нужные цифры. Всего можно набрать столько различных цифр, сколько может быть составлено размещений из десяти цифр по две, т. е. 10-9 = 90. Таким образом, общее число возможных элементарных исходов равно 90. Эти исходы несовместны, равновозможные и образуют полную группу. Благоприятствует событию В лишь один исход. Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благо приятствующих событию, к числу всех элементарных исходов; Р (В) = 1/90.
3. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков равна 4
Решение. Общее число равновозможных ис ходов испытания равно 6*6 = 36 (каждое число выпавших очков на одной кости может сочетаться со всеми числами очков другой кости). Среди этих исходов благоприятствуют событию А только 3 исхода: (I; 3), (3; I), (2; 2) (в скобках указаны числа выпавших очков). Следовательно, искомая вероятность P(A)=3:36=1/12.
4. В партии из 10 деталей 7 стандартных. Найти вероят ность того, что среди 6 взятых наудачу деталей 4 стандартных. Ответ 0,5
3. Вычисление вероятностей событий и комбинаторика.
Комбинаторные задачи в теории вероятностей имею большое практическое применение.. Рассмотрим решения некоторые из таких задач
Решить задачи средствами комбинаторики
1. Наудачу выбирается трехзначное число в десятичной записи числа, в которой нет нуля. Какова вероятность того, что у выбранного числа ровно 2 одинаковые цифры?
Решение. Представим себе, что на 9 одинаковых карточках написаны цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и эти карточки помещены в урну. Выбор наудачу трехзначного числа равносилен последова тельному извлечению с возвращением из урны 3 карточек и записы ванием цифр в порядке их появления. Следовательно, число всех элементарных исходов опыта равно 93 = 729. Количество благо приятных случаев для интересующего нас события подсчитаем так: 2 различные цифры х и у можно выбрать = 36 способами; если х и у выбраны, то из них можно составить 3 различных числа в которых встречается одна из выбранных цифр и другая – тоже три. Всего 6 раз, Число благоприятствующих случаев окажется равным 36 . Искомая вероятность равна: P=216/729=8/27.
Рекомендуется решить эту задачу, если в записи числа используется и цифра 0.
2. Из букв слова “ротор”, составленного с помощью разрезной азбуки, наудачу последовательно извлекаются 3 бук вы и складываются в ряд. Какова вероятность того, что получится слово “тор”?
Решение. Чтобы отличать одинаковые буквы друг от дру га, снабдим их номерами: plt p2, olf o3. Тогда общее число элемен тарных исходов равно: размещению из 5 по 3, равное 60. Слово “тор” получится в 1 ·2 ·2= 4 случаях. Это понятно из того, что, буква “Т может быть выбранной только 1 раз, буквы “О” и “Р” каждая по 2 раза. Р=4/60=1/15.
При подсчете числа благоприятных случаев мы здесь восполь зовались правилом произведения:
2. В партии из n деталей имеется f бракованных. Какова вероятность того, что среди наудачу отобранных k дета лей окажется s бракованных?
Решение. Количество всех элементарных исходов равно числу сочетаний из n по k. Бракованные детали. могут быть выбранными только из бракованных. Число выбора их равно числу сочетаний из f по s. Остались k-s выбранные не бракованные детали. Они будут выбраны из не бракованных деталей, число которых равно n-f. Вариантов их выбора равно числу сочетаний из n-f по k-s. Ответ:
4. В бригаде 4 женщины и 3 мужчин. Среди членов бригады разыгрываются 4 билета в театр. Какова вероятность того, что среди обладателей билетов окажется 2 женщины и 2 мужчин?
Решение. Применим схему статистического выбора. Из 7членов бригады 4 человека можно выбрать 35 способами, сле довательно, число всех элементарных исходов испытания равно 35. Далее, из 4 женщин можно выбрать 2 женщин 6 способами (число сочетаний из 4 по2). Аналогично, из 3 мужчин можно выбрать 2 мужчин 3 способами. Тогда число благоприятных случаев будет равно 6 · 3 = 18. Р=18/35.
Домашнее задание: Выполнить тест. Приложение 5.
Тема 5. Задачи по теории вероятности и комбинаторике в ГИА(1ч.)
Занятие 9
Цель урока: познакомить учащихся с решением некоторых типов заданий по теории вероятности и комбинаторике в едином государственном экзамене, предоставить учащимся шанс оценить свои возможности.
Ход урока:
Проверка домашнего задания.
Фронтально проверить выполнение домашнего задания. Задания, вызвавшие затруднения, вынести на доску.
Актуализация опорных знаний.
Повторить основные определения, формулы теории вероятностей.
Закрепление изученного материала.
Решение типовых примеров B10 ЕГЭ по математике
В данном уроке рассмотрены решения прототипов задания B10.(ЕГЭ) Для решения задач этого раздела выпускник должен продемонстрировать умение строить и исследовать простейшие математические модели. Для решения задач этого раздела необходимо выучить теоретический материал раздела «Теория Вероятности».
Пример 1: В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков. Результат округлите до сотых.
Решение: Итак, вероятность события - это отношение благоприятных исходов к общему количеству исходов. То есть, для нашего примера: чтобы найти вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков нужно разделить количество исходов при которых выпадает 8 очков на общее количество исходов. Всего возможно 36 вариантов исходов:
Первая игр. кость
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
3
Вторая игр. кость
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
Сумма очков
2
3
4
5
6
7
3
4
5
6
7
8
4
5
6
7
8
9
Первая кость
4
4
4
4
4
4
5
5
5
5
5
5
6
6
6
6
6
6
Вторая кость
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
Сумма очков
5
6
7
8
9
10
6
7
8
9
10
11
7
8
9
10
11
12
Благоприятные исходов 5 (первое число количество очков первой игральной кости, второе число количество очков второй игральной кости) : 2 и 6, 3 и 5, 4 и 4, 5 и 3, 6 и 2.
Таким образом, вероятность, что в сумме выпадет 8 очков равна:
P8=5/36
·0,14
Ответ к задаче, вероятность равна 0,14 или 14%.
Пример 2: В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно один раз.
Решение: Алгоритм решения задачи аналогичен алгоритму решению предыдущей задачи. Нужно определить сколько всего вариантов и сколько из них благоприятные варианты. Перечислим все варианты (О-выпал орел, Р-выпала решка):
А
Б
С
Д
Первый бросок
О
Р
О
Р
Второй бросок
О
Р
Р
О
Итак, всего возможно 4 варианта. Благоприятных вариантов 2 - вариант С и Д (только в них Орел выпадает ровно один раз). Следовательно, вероятность того, что орел выпадет ровно один раз равна:
РО=2/4=0,5
Ответ к задаче, вероятность равна 0,5 или 50%.
Пример 3: В чемпионате по гимнастике участвуют 20 спортсменок: 8 из России, 7 из США, остальные - из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая.
Решение: Итак, для решения B10 этого типа, как и в предыдущих задачах, нужно поделить количество благоприятных вариантов на общее количество вариантов.
Всего участников 20. Каждый из них может выступать первым. Следовательно, всего 20 вариантов.
Благоприятные исходы - когда первым выступает китайская спортсменка. Следовательно, всего 7 благоприятных исходов.
Таким образом, вероятность того, что первым выступает китайская спортсменка равна:
РК=7/20=0,35
Следовательно, ответ к задаче, вероятность равна 0,35 или 35%.
Пример 4: В среднем из 1000 садовых насосов, поступивших в продажу, 5 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.
Решение: то есть, из 1000 возможных вариантов, в пяти вариантах насос будет подтекать, а 995 подтекать не будет. Следовательно, вероятность этого события:
Р=995/1000=0,995
Ответ к задаче, вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает равна 0,995 или 99,5%.
Пример 5: В соревнованиях по толканию ядра участвуют 4 спортсмена из Финляндии, 7 спортсменов из Дании, 9 спортсменов из Швеции и 5 - из Норвегии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Швеции.
Решение: итак, каждый из выступающих спортсменов может выступать последним. Следовательно, всего 25 вариантов.
Есть 5 благоприятных вариантов (при котором последним выступает шведский спортсмен).
Значит вероятность равна:
Р=5/25=0,2
Следовательно, ответ к задаче, вероятность того, что последним будет выступать шведский спортсмен равна 0,2 или 20%.
Пример 6: Научная конференция проводится в 5 дней. Всего запланировано 75 докладов - первые три дня по 17 докладов, остальные распределены поровну между четвертым и пятым днями. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции?
Решение: если на первые три дня запланирована 51 доклад (количество дней умноженное на количество докладов в день), то на четвертый и пятый день останется 24 доклада. Учитывая, что эти доклады распределены поровну между четвертым и пятым днем, в пятый день выступит 12 человек. Благоприятный исход - если одним из этих 12 человек окажется профессор М. - 12 вариантов. Всего вариантов, семьдесят пять.
Таким образом, искомая вероятность равна:
Р=12/75=4/25=0,16
Следовательно, ответ к задаче, вероятность того, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции равна 0,16 или 16%.
Пример 7: Перед началом первого тура чемпионата по бадминтону участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 бадминтонистов, среди которых 10 участников из России, в том числе Руслан Орлов. Найдите вероятность того, что в первом туре Руслан Орлов будет играть с каким-либо бадминтонистом из России?
Решение: итак, всего у Руслана Орлова может быть 25 противников (всего 26 бадминтонистов, но один из них он сам). Благоприятный исход - если Руслан Орлов играет с кем-то из российских бадминтонистов. Благоприятных исходов 9 (всего 10 российских бадминтонистов, но Руслан Орлов один из них).
Значит искомая вероятность равна:
Р=9/26=36/100=0,36
Следовательно, ответ к задаче, вероятность того, что в первом туре Руслан Орлов сыграет с российским бадминтонистом равна 0,36 или 36%.
Пример 8: В сборнике билетов по биологии всего 55 билетов, в 11 из них встречается вопрос по ботанике. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по ботанике.
Решение: итак, для решения B10 этого типа, посчитаем сколько всего может быть исходов - 55 исхода (по количеству билетов). Благоприятными будет исход при котором в билете есть вопрос по ботанике - 11 исходов (по количеству билетов по ботанике). Следовательно, искомая вероятность равна:
Р=11/55=1/5=0,2
Ответ к задаче, вероятность того, что в случайно выбранном билете будет вопрос по ботанике равна 0,2 или 20%.
Итог урока.
Домашнее задание: Подготовить презентацию по теме «Задачи по статистике, комбинаторике и теории вероятностей»
Итоговое занятие.(1ч.)
Занятие 10
Цель урока: Выяснить степень усвоения учащимися программы курса.
Итоговый тест
по комбинаторике, теории вероятностей и статистике.
Выполните тест по комбинаторике, теории вероятностей и статистике и ответы оформите в виде таблицы (впишите в соответствующие клеточки)
В1
В2
В3
В4
В5
В6
В7
В8
В9
В10
В11
В12
В13
В14
В15
Отве-ты
1.Измеряя вес семи пришедших на урок учеников, учитель физкультуры получил ряд чисел: 51, 53, 59, 52, 55, 54, 51. Найти разность между модой и медианой этого ряда.
1) 1 2) -1 3) -2 4) 0
2.Маша в четверти получила по 12 предметам среднюю оценку 3,5. По скольким предметам она должна улучшить оценку на один балл, чтобы ее средняя оценка стала равной 4?
1) 1 2) 2 3) 3 4) 6
3.Учительница попросила пятерых опоздавших учеников выписать на доске время в минутах, которое они в среднем тратят на дорогу из дома до школы. Получились следующие данные: 20, 25, 35, 30, 40. На сколько среднее значение этого ряда превосходит его размах?
1) 10 2) 20 3) 5 4) 0
4.Сколько всего можно составить четырехзначных чисел, начинающихся с цифры 3 и состоящих из цифр 1, 2, 3, 4, в записи которых все цифры числа, кроме цифры 3, встречаются по одному разу, а цифра 3 не более двух раз?
1) 6 2) 90 3) 14 4) 24
5.Имеются 3 разноцветных мяча, 5 разноцветных кубиков и 4 разноцветных скакалки. Сколькими способами можно получить набор из двух мячей, двух кубиков и двух скакалок?
1) 180 2) 60 3) 23 4) 12
6. Автомобильные номера состоят из трех цифр. Найдите количество автомобильных номеров данной серии (буквы), все цифры в которых четные. (При решении учесть, что номера «000» не существует).
1) 125 2) 124 3) 120 4) 126
7.Найдите вероятность того, что в написании наудачу взятого двузначного числа встречается цифра 5.
1) 1/3 2) 3/5 3) 1/5 4) 2/5
8.Одновременно бросили две игральных кости. Какова вероятность того, что сумма очков не будет превышать трех?
1) 1/18 2) 5/36 3) 1/12 4) 5/12
9.В мешке находятся 3 черных кубика и 5 белых. Случайным образом из мешка достают два кубика. Какова вероятность того, что оба кубика белые?
1) 5/14 2) 1/3 3) 3/14 4) 2/3
10.В партии из 5 деталей находят 2 бракованных. Из партии наугад выбирают 2 детали. Какова вероятность того, что обе детали окажутся бракованными?
1) 0,4 2) 0,3 3) 0,2 4) 0,1
11.Из ста карточек, на которых написаны натуральные числа от 1 до 100, вытаскивают одну, затем еще одну. Какова вероятность того, что число, написанное на второй карточке, на 2 больше числа, написанного на первой?
1)1/1000 2) 2/990 3)99/1000 4) 98/9900
12. У мамы 3 груши и 2 яблока. Каждый день в течении пяти дней она дает сыну по одному фрукту. Какова вероятность того, что в первые три дня он получит все груши?
1) 0,1 2) 0,2 3) 0,3 4) 0,4
13.Решите уравнение (5п-7)!=18(5п-8)!
14. Из цифр 0, 1, 2, 3 случайным образом составляют двузначное число (повторение цифр допускается). Какова вероятность того, что получится число, кратное 4 ?
15. В квадратное уравнение х2 + bx + 15 = 0 в качестве коэффициента b поставили натуральное число от 1 до 10.Найдите вероятность того, что у полученного квадратного уравнения не будет корней.
Итог урока. Защита презентации.
Дидактический материал
№1
В каком году производство пшеницы было ближе всего к среднему показателю (таблица1).
№2
Вычислите среднее арифметическое данных чисел:
а) 8и 10; б)8,9 и 10.
№3
Придумайте три числа, среднее арифметическое которых совпадает со вторым по величине из этих чисел.
№4
Придумайте четыре таких числа, что их среднее арифметическое равно: а) второму по величине числу; б)третьему по величину; в) полусумме второго и третьего по величине из этих чисел.
№5
Отметьте числа на числовой прямой. Вычислите среднее арифметическое этих чисел и тоже отметьте его на числовой прямой:
а) 1,2,3,4,5; б)2,3,4,5.6; в)3,4,5,6,7; г)10,11,12,13,14.
Какую закономерность в поведении среднего значения можно заметить в каждом из случаев?
№6
В таблице 2 приведена урожайность зерновых культур в России в 1992-2001гг.
Год
1992
1993
1994
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
Урожай-ность,ц/га
18,0
17,1
15,3
13,1
14,9
17,8
12,9
14,4
15,6
19,4
а)Пользуясь таблицей 2 ,вычислите среднюю урожайность зерновых культур в России за пять лет с 1997 по 2001г.
б) Вычислите среднюю урожайность зерновых культур в России за пять лет с 1992 по 1996г.
в) Сравните среднюю урожайность за первые пять лет(1992-1996гг.) и за следующие пять лет(1997-2001гг.) Сильно ли различаются между собой эти средние значения по сравнению с изменчивостью урожайности за 10 лет?
№7
Придумайте пять чисел, среднее арифметическое которых равно: а) третьему по величине из них; б)четвертому по величине из них; в) второму по величине из них.
№8
Вычислите среднее арифметическое чисел. Отметьте числа и среднее значение обоих наборов на числовой прямой.
а) 1,2,3,4,5. б) 1,2,3,4,100.
№9
На соревнованиях по фигурному катанию судьи поставили спортсмену следующие оценки: 5,2; 5,4; 5,5; 5,4; 5,1; 5,1; 5,4; 5,5; 5,3. Для полученного набора чисел найдите среднее арифметическое, размах и моду. Что характеризует каждый из этих показателей?
№10
В таблице 3 приведены данные о производстве зерновых в России в 2000-2006гг.
Показатель
2000
2001
2002
2003
2004
2005
2006
Производство
зерновых, млн.т.
65,5
85.6
86,6
67,2
78,1
78,2
78,6
Урожайность зерновых,ц/га
15,6
19,4
19,6
17,8
18,8
18,5
18,9
Производство пшеницы, млн.т.
34,5
47,0
50,6
34,1
45,4
47,7
45,0
По таблице найдите наибольшее и наименьшее значения, размах:
а) производства зерновых в 2000-20006гг.;
б) производства пшеницы в 2000-2006гг.;
в) урожайности зерновых в 2000-2006гг.
№11
Найдите наибольшее и наименьшее значения, размах, среднее значение, медиану и моду набора чисел: 17; 19; 5; 41; 47; 13; 19.
№12.
Найдите моду набора чисел: а) 5; 2; 4; 5; 5; 5; 4; 4; 5; 5; 5; б) 2; 3; 4; 5.
№13
В наборе чисел 3; 8; 15; 24; 30; пропущено последнее число. Найдите это число, если размах равен 40.
№14.
Температура на планете Меркурий колеблется от минус 150 градусов Цельсия до плюс 350. Найдите размах изменения температуры на планете.
№15.
Размах некоторого числового набора равен нулю. Что можно сказать про этот набор?
№16.
Известно, что набор состоит из натуральных чисел. Может ли для этого набора быть дробным числом: а) мода; б) размах; в) медиана; г) среднее арифметическое?
№ 17
Для данных чисел вычислите среднее значение. Составьте таблицу отклонений от среднего и квадратов отклонений от среднего и вычислите дисперсию: а)-3,1,2,4; б)-1; -3; -2; 3; 3.
№18
Даны два набора чисел. Отметьте их на числовой прямой. Вычислите дисперсию каждого из этих наборов. Сравните дисперсии:
а) 2,3,4 и 6,7,8; б)3,5,7,9 и 12,14,16,18.
№19
На партии из 50 электроламп изучали продолжительность их горения (в часах). По результатам составили таблицу:
Продолжительность горения, ч
До 200
200-400
400-600
600-800
800-1000
1000-1200
1200-1400
1400-1600
Частота
1
3
5
9
16
9
5
2
По результатам данной таблицы постройте гистограмму
№20
Изучая профессиональный состав рабочих механического цеха, составили таблицу:
Профессия
Число рабочих
Наладчик
4
Револьверщик
2
Сверловщик
1
Слесарь
8
Строгальщик
3
Токарь
12
Фрезеровщик
5
Постройте столбчатую диаграмму. Характеризующую профессиональный состав рабочих этого цеха.
№21
В таблице показано распределение сотрудников отдела по стажу работы:
Стаж работы. Лет
3 и менее
4
5
6
7 и более
Относительная частота, %
8
12
16
24
40
Постройте круговую диаграмму, иллюстрирующую распределение сотрудников отдела по стажу работы.
№22
В таблице приведены значения среднемесячных температур воздуха ( в градусах Цельсия ) в городе за год:
Месяц
I
II
III
IV
V
VI
VII
VIII
IX
X
XI
XII
Среднемесячная температура, 0 С
-16
-10
-6
4
8
16
22
19
10
6
-3
-11
Постройте полигон, иллюстрирующий изменения среднемесячных температур за год.
№23
На основе опроса была составлена таблица распределения учащихся по времени, которое они затратили в определенный день на просмотр телепередач:
Время, ч
Частота
0-1
12
1-2
24
2-3
8
3-4
5
Пользуясь таблицей, постройте соответствующую гистограмму.
№24
Творческое задание. По собственным статистическим исследованиям выполните предыдущие задания.
№25
Сколькими способами можно составить расписание на один день, если в этот день предусмотрено 6 уроков по 6 разным предметам?
№26
Сколькими различными способами можно разместить на скамейке 10 человек?
№27
Сколько различных шестизначных чисел, кратных 5, можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 при условии, что цифры в числе не повторяются?
№28
Сколькими способами можно написать список учеников класса, в котором 20 человек и нет однофамильцев?
№29
Сколько чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, если число начинается: с цифры 4; с цифр 4 и 5; с цифр 4, 5 и 6?
№30
В 9 классе 15 предметов. Завучу школы нужно составить расписание на субботу, если в этот день 5 уроков. Сколько различных вариантов расписания можно составить, если все уроки различные?
№31
В школьной столовой на первое можно заказать борщ, солянку, грибной суп, на второе - мясо с макаронами, рыбу с картошкой, курицу с рисом, а на третье - чай и компот. Сколько различных обедов можно составить из указанных блюд?
№ 32
Свете на день рождения подарили 4 плюшевых игрушки, 2 мяча и 5 кукол. Мама положила все игрушки в большую коробку. Сколькими способами Света сможет достать из коробки 1 плюшевую игрушку, 1 мяч и 1 куклу? Ответ: 40
№ 33. Сколько четных двузначных чисел можно составить из цифр 0, 2, 3, 6, 7, 9? Ответ: 15
№34.
Мисс Марпл, расследуя убийство, заметила отъезжающее от дома мистера Дэвидсона такси. Она запомнила первую цифру “2”. В городке номера машин были трехзначные и состояли из цифр 1,2,3,4 и 5. Скольких водителей, в худшем случае, ей придется опросить, чтобы найти настоящего убийцу? Ответ: 25 человек
№35. Саша, Петя, Денис, Оля, Настя часто ходят в кафе. Каждый раз, обедая там, они рассаживаются по-разному. Сколько дней друзья смогут это сделать без повторения? Ответ: 120
№36.
Из учащихся пяти 11 классов нужно выбрать двоих дежурных. Сколько пар дежурных можно составить (ученики в паре не должны быть из одного класса)? Ответ: 10 пар.
№37. В 8 “а” классе лучше всех математику знают 5 учеников: Вася, Дима, Олег, Катя и Аня. На олимпиаду по математике нужно отправить пару, состоящую из 1 мальчика и 1 девочки. Сколькими способами учительница может эту пару выбрать? Ответ: 6 пар.
№38.
В 9 “б” классе 6 человек (Галя, Света, Катя, Оля, Максим, Витя) учатся на все пятерки. Департамент образования премировал лучших учащихся путевками в Анапу. Но, к сожалению, путевок всего четыре. Сколько возможно вариантов выбора учеников на отдых? Ответ: С46= 15
№39.
Пете на день рождения подарили 7 новых дисков с играми, а Вале папа привез 9 дисков из командировки. Сколькими способами они могут обменять 4 любых диска одного на 4 диска другого? Ответ: С47 *С49 =4410.
№40
В ювелирную мастерскую привезли 6 изумрудов, 9 алмазов и 7 сапфиров. Ювелиру заказали браслет, в котором 3 изумруда, 5 алмазов и 2 сапфиров. Сколькими способами он может выбрать камни на браслет? Ответ: С36* С59* С27=52920.
№41
В районе построили новую школу. Из пришедших 25 человек нужно выбрать директора школы, завуча начальной школы, завуча среднего звена и завуча по воспитательной работе. Сколькими способами это можно сделать? Ответ: 303600.
№42
В кабинете заведующего ювелирного магазина имеется код, состоящий из двух различных гласных букв русского алфавита, за которой следуют 3 различные цифры. Сколько вариантов придется перебрать мошеннику, чтобы раздобыть драгоценности, которые там хранятся? Ответ:4320.
№43
Из класса, в котором учатся 28 человек, назначаются на дежурcтво в столовую 4 человека. а) Сколькими способами это можно сделать? б) Сколько существует способов набрать команду дежурных, в которую попадет ученик этого класса Коля Васин? Ответ: а) С428=20475способами; б) С327=2925 способов.
№44
а) Спортивный клуб насчитывает 30 членов, из которых надо выделить 4 человека для участия в забеге на 1000 метров. Сколькими способами это можно сделать?
б) Сколькими способами можно составить команду из 4 человек для участия в эстафете 100 м + 200 м + 300 м + 400 м?
Ответ: а) С430= 27405; б) 657720 способами.
№45
Сколькими способами можно разрезать ожерелье, состоящее из 30 различных бусин на 8 частей (резать можно только между бусинами)?
Ответ: С830 способами
№46
В парламенте 30 депутатов. Каждые два из них либо дружат, либо враждуют, причем каждый дружит ровно с 6 другими. Каждые 3 депутата образуют комиссию. Найдите общее число комиссий, в которых все три члена попарно дружат или все трое попарно враждуют. Ответ: 1990 комиссий
№47
Сколько существует шестизначных чисел, у которых каждая последующая цифра меньше предыдущей?
Ответ: 210 чисел.
№48
Сколько слов можно составить из пяти букв А и не более чем из трех букв Б?
Ответ: 1+6+ С27 + С38= 84 слова.
№49
Сколькими способами можно выбрать четырех человек на четыре различные должности, если имеется девять кандидатов на эти должности? Ответ: 3024 способами.
№50
Имеется 20 человек – 10 юношей и 10 девушек. Сколько существует способов составить компанию, в которой было бы одинаковое число юношей и девушек?
Ответ: С1020=184756 способов.
№51.
В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков. Результат округлите до сотых.
№52.
В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно один раз.
№53.
В среднем из 1000 садовых насосов, поступивших в продажу, 5 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает
№54
В соревнованиях по толканию ядра участвуют 4 спортсмена из Финляндии, 7 спортсменов из Дании, 9 спортсменов из Швеции и 5 из Норвегии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Швеции.
№55
Научная конференция проводится в 5 дней. Всего запланировано 75 докладов первые три дня по 17 докладов, остальные распределены поровну между четвертым и пятым днями. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции?
№56
Конкурс исполнителей проводится в 5 дней. Всего заявлено 80 выступлений по одному от каждой страны. В первый день 8 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса?
№57.
В сборнике билетов по биологии всего 55 билетов, в 11 из них встречается вопрос по ботанике. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по ботанике.
№58
На чемпионате по прыжкам в воду выступают 25 спортсменов, среди них 8 прыгунов из России и 9 прыгунов из Парагвая. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что шестым будет выступать прыгун из Парагвая.
№59
. В среднем из 500 садовых насосов, поступивших в продажу, 4 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.
№60
В среднем из 2000 садовых насосов, поступивших в продажу, 14 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.
№61.
В чемпионате по гимнастике участвуют 50 спортсменок: 24 из США, 13 из Мексики, остальные из Канады. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Канады.
№62.
В чемпионате по гимнастике участвуют 64 спортсменки: 20 из Японии, 28 из Китая, остальные из Кореи. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Кореи.
№63
В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно два раза.
№64
В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно один раз.
№65
В случайном эксперименте симметричную монету бросают четырежды. Найдите вероятность того, что орел не выпадет ни разу.
№66
В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно один раз.
№67
10 рукописей разложены по 30 папкам (одна рукопись занимает 3 папки). Найдите вероятность того, что в случайно вы брошенных 6 папках не содержится целиком ни одной рукописи.
№68
Вы задались целью найти человека, день рождения которого совпадает с Вашим. Сколько незнакомцев Вам придется опросить, чтобы вероятность встречи такого человека была бы не меньше чем 0,5?
Приложение 1.
Самостоятельная работа по теме «Размах и дисперсия».
№1
Дан набор чисел 3; 1; 5; 2; -1; 0; 3; 4.
а) Найдите размах этого набора.
б) Найдите среднее значение, составьте таблицу квадратов отклонений от среднего.
в) Найдите дисперсию набора.
№2
Даны два набора чисел: 7; 4; 9; 8 и 2; -1; 4; 3.
а) Отметьте числа обоих наборов на числовой прямой.
б) Вычислите дисперсию каждого из наборов.
в) У какого набора дисперсия больше?
Приложение 5.
Тест
Элементы комбинаторики и теории вероятностей
Вариант 1
А1. Сколькими способами могут разместиться 4 человека в салоне автобуса на четырех свободных местах?
1) 4 2) 16 3) 24 4) 12
А2. Сколько существует вариантов выбора двух чисел из четырех?
1) 6 2) 4 3) 2 4) 8
А3. В шахматном турнире участвуют 9 человек. Каждый из них сыграл с каждым по одной партии. Сколько всего партий было сыграно?
1) 36 2) 18 3) 72 4) 16
А4. Выберите число, на которое не делится число 30!
1) 108 2) 91 3) 72 4) 62
А5. Сколькими способами могут разместиться 3 человека в четырехместном купе на свободных местах?
1) 36 2) 16 3) 24 4) 12
А6. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5 без повторений цифр?
1) 24 2) 36 3) 45 4) 60
А7. Вычислите число размещений по формуле .
1) 3024 2) 15120 3) 2520 4) 5400
А8. Вычислите число сочетаний .
1) 124 2) 136 3) 154 4) 168
А9. В партии из 2500 семян подсолнечника 50 семян не взошли. Какова относительная частота появления невсхожих семян?
1) 0,02 2) 0,05 3) 0,01 4) 0,025
А10. Какова вероятность того, что при бросании игрального кубика выпадет более 4 очков?
1) 2) 3) 4)
Тест
Элементы комбинаторики и теории вероятностей
Вариант 2
А1. Сколько пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5 без повторений цифр?
1) 25 2) 120 3) 60 4) 50
А2. Сколько существует вариантов выбора двух чисел из шести?
1) 12 2) 16 3) 10 4) 15
А3. В шашечном турнире участвуют 8 человек. Каждый из них сыграл с каждым по одной партии. Сколько всего партий было сыграно?
1) 36 2) 24 3) 28 4) 16
А4. Выберите число, на которое не делится число 20!
1) 76 2) 45 3) 46 4) 910
А5. Сколькими способами можно выбрать из восьми карандашей различного цвета четыре карандаша?
1) 1680 2) 840 3) 420 4) 240
А6. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 без повторений цифр?
1) 420 2) 360 3) 240 4) 180
А7. Вычислите число размещений по формуле .
1) 420 2) 360 3) 960 4) 840
А8. Вычислите число сочетаний .
1) 70 2) 64 3) 128 4) 32
А9. В партии из 500 деталей отдел технического контроля обнаружил 7 нестандартных деталей. Какова относительная частота появления нестандартных деталей?
1) 0,07 2) 0,35 3) 0,14 4) 0,035
А10. Какова вероятность того, что при бросании игрального кубика выпадет менее 4 очков?
1) 2) 3) 4)
Словарь терминов:
Благоприятствующее элементарное событие. Элементарное событие, при наступлении которого наступает событие А, называется элементарным событием ,благоприятствующим событию А.
Вероятность - числовая мера правдоподобия события. Вероятность принимает значения от 0 до1.
Выбор наудачу(случайный выбор) – выбор одного предмета из некоторого набора, при котором шансы на выбор любого предмета одинаковы.
Диаграмма-метод графического представления данных.который используется для наглядного их отображения и сравнения .Как правило. Диаграммы не дают точных значений, но лишь приблизительные.
Диаграмма круговая- диаграмма в виде круга, раздельного секторы. Каждый сектор показывает. Какую долю целого составляет та или иная величина в наборе данных. Обычно круговые диаграммы применяются для изображения состава населения, деления экономики на отрасли и т. п.
Диаграмма рассеивания- диаграмма , составления из точек на координатной плоскости. Диаграммы рассеивания применяются для изучения связей между различными характеристиками, например ростом и весом животного и т.д. Абсцисса и ордината каждой точки- значения этих характеристик.
Диаграмма столбиковая- диаграмма, наглядно показывающая соотношения между различными значениями. Каждое значение представляется в виде столбика, высота которого пропорциональна этому значению.
Дисперсия набора чисел – мера разброса значений числовых наборов. Дисперсия набора равно среднему квадрату отклонения чисел набора от среднего арифметического значения:
S2 = ((х1- х)2+ (х2- х)2+ (х1- х)2+.+ (х1- х)2) /n.
Достоверное событие- случайное событие, вероятность которого равна 1. Это событие обязательно происходит во время опыта.Примером достоверного события является событие «выпал либо орёл, либо решка» при бросании монеты.
Математическая монета-«идеальная» монета, которая падает вверх орлом с вероятностью 0,5. Все свойства настоящей монеты- размер, материал, достоинство- для математической монеты несущественны. Математическую монету еще называют симметричной монетой.
Медиана числового набора.- Медиана набора-число, которое характеризует расположение набора на числовой прямой. Чтобы найти медиану, набор чисел можно упорядочить по возрастанию. Если в полученном наборе нечетное количество чисел, то медиана – это число, стоящее посередине; если в полученном наборе четное количество чисел, то медиана равна полусумме двух чисел, стоящих посередине.
Наибольшее значение набора- число в наборе, которое не меньше, чем любое другое число этого набора.
Наименьшее значение набора- число в наборе, которое не больше, чем любое другое число этого набора.
Невозможное событие – случайное событие, вероятность которого в данном опыте равна нулю. Невозможное событие противоположно достоверному.
Независимые события. Два события А и В называются независимыми, если вероятность их пересечения равна произведению их вероятностей.
Несовместные события –два события, которые не могут наступить в одном и том же опыте вместе (одновременно). Примером несовместных событий являются противоположные события.
Орел-одна из сторон монеты(реверс).Другая сторона (аверс) называется решкой. Выпадение орла – одно из двух элементарных событий при бросании монеты.
Перестановка- один из способов нумерации элементов некоторого множества. Если в множестве n элементов , то существует n! Перестановок этих элементов.
Противоположное событие. Событием, противоположным событию А, называется событие А , состоящее в том , что событие А не наступило.
Размах набора- разность между наибольшим и наименьшим значениями этого набора.
Факториал. Факториалом натурального числа n называется произведение всех натуральных чисел, не превосходящих n. 0!=1, 1!=1.
Элементарное событие- простейшее событие, которое наступает в результате случайного опыта. Элементарное событие нельзя разложить на более простые.
Литература для ученика:
Тюрин Ю.Н., Макаров А.А. и др. Теория вероятностей и статистика. М.: МЦНМО: ОАО «Московские учебники», 2008 год.
Задачник-практикум по теории вероятностей с элементами комбинаторики и математической статистики Автор: Виленкин Н.Я., Потапов В.Г/ Издательство: Просвещение ,1979год.
Студенецкая В.Н. Решение задач по статистике, комбинаторике и теории вероятностей. Волгоград: Учитель,2005 год.
Виленкин Н.Я., Потапов В.Г. Задачник-практикум по теории вероятностей с элементами комбинаторики и математической статистики. М.: Просвещение, 1979
Ткачева М.В. Элементы статистики и вероятность: Учебное пособие для 7-9 классов общеобразовательных учреждений. М.: Просвещение, 2005год.
Депман И.Я, Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики. М.: Просвещение,1989 год.
Литература для учителя:
1. Тюрин Ю.Н., Макаров А.А. и др. Теория вероятностей и статистика. М.: МЦНМО: ОАО «Московские учебники», 2008 год.
2. Теория вероятностей и статистика: Методическое пособие для учителя / Ю.Н. Тюрин, А.А. Макаров, И.Р. Высоцкий, И.В. Ященко. – 2-е изд., исправленное и дополненное – М.: МЦНМО: МИОО, 2008год.
3. Студенецкая В.Н. Решение задач по статистике, комбинаторике и теории вероятностей. Волгоград: Учитель,2005 год.
4. Ткачева М.В. Элементы статистики и вероятность: Учебное пособие для 7-9 классов общеобразовательных учреждений. М.: Просвещение, 2005год.
5. Депман И.Я, Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики. М.: Просвещение,1989 год.
6.Газета «Математика» № 3 февраль 2010год. Издательский дом «Первое сентября».
Интернет ресурсы
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
http://www.problems.ru/
13PAGE 141215
13PAGE 146515
Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeРисунок 111Описание: aРисунок 112Описание: mРисунок 113Описание: bРисунок 114Описание: nРисунок 115Описание: aРисунок 116Описание: bcdot nРисунок 117Описание: m \cdot nРисунок 118Описание: kРисунок 119Описание: n_1
Рисунок 121Описание: kn_k Рисунок 122Описание: n_k ldots +
n_k Рисунок 123Описание: n_1 + n_2 + \ldots +
n_k Рисунок 137Описание: ncdot 1 = n!
Рисунок 138Описание:
P_n = n(n - 1)(n - 2) \cdot \ldots \cdot 2 \cdot 1 = n!
Рисунок 140Описание: n(n - 1)!Рисунок 141Описание: (n - 1)!frac{{(n - 1)!}}{2}Рисунок 142Описание: \frac{{(n - 1)!}}{2}Рисунок 143Описание: nРисунок 144Описание: kk <
nРисунок 145Описание: k <
nk = nРисунок 147Описание: k = nРисунок 154Описание: nРисунок 155Описание: kldots (n - k + 1)Рисунок 156Описание: A_{\,n}^{\,k} = n(n - 1)(n - 2) \ldots (n - k + 1)k = nРисунок 158Описание: k = n,k} Рисунок 164Описание: A_{\,n}^{\,k} P_k Рисунок 165Описание: P_k cdot k!}}Рисунок 166Описание: C_n^{\,k} = \frac{{A_{\,n}^{\,k} }}{{P_k }} = \frac{{n!}}{{(n -
k)!\,\, \cdot k!}}frac{{m - n +
1}}{n}Рисунок 167Описание: C_m^n = C_m^{n - 1} \frac{{m - n +
1}}{n}C_m^n = C_m^{m - n} Рисунок 168Описание: C_m^n = C_m^{m - n} n_2 Рисунок 171Описание: n_2 Рисунок 178Описание: nРисунок 179Описание: k,k} = n^k
Рисунок 180Описание: \bar A_{\,n}^{\,k} = n^k
Рисунок 181Описание: nРисунок 182Описание: k,k} Рисунок 183Описание: \bar C_n^{\,k}