Методические рекомендации по выполнению ВСР по дисциплине ОУД.03 Математика:алгебра, начала математического анализа, геометрия
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ ТАТАРСТАН
ГАПОУ «Чистопольский сельскохозяйственный техникум имени Г.И. Усманова»
МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА
на тему: «Методическое пособие для изучения дисциплины ОУД.03 «МАТЕМАТИКА: алгебра, начала математического анализа, геометрия» по темам, выносимым на самостоятельное изучение»
по спец. 35.02.05 «Агрономия»
35.02.08 «Электрификация и автоматизация с/х»
21.02.04 «Землеустройство»
38.02.01 «Экономика и бухгалтерский учёт по отраслям»
Разработала преподаватель: Рыбина Н.П.
РАССМОТРЕНО
на заседании цикловой комиссии
Естественно-научные и социально-
экономические дисциплины
Протокол №____ от _______
Председатель комиссии:
____________ФАТХУТДИНОВА А.Р.
Чистополь – 2015 г.
МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА
На тему: Методическое пособие для изучения дисциплины ОУД.03 «МАТЕМАТИКА: алгебра, начала математического анализа, геометрия» по темам, выносимым на самостоятельное изучение.
Цель: Оказание методической помощи студентам при изучении дисциплины ОУД.03 «МАТЕМАТИКА: алгебра, начала математического анализа, геометрия» по темам, выносимым на самостоятельное изучение.
План подготовки
Составление плана методической разработки.
Изучение литературы по вопросам.
Накопление методического материала.
План методической разработки
Введение.
Основная часть.
Заключение.
Список использованной литературы.
ВВЕДЕНИЕ
Самостоятельная работа студентов проводится с целью:
систематизации и закрепления полученных теоретических знаний и практических умений студентов;
углубления и расширения теоретических знаний;
формирования умений использовать нормативную, правовую, справочную документацию и специальную литературу;
развития познавательных способностей и активности студентов: творческой инициативы, самостоятельности, ответственности и организованности;
формирования самостоятельности мышления, способностей к саморазвитию, самосовершенствованию и самореализации;
развития исследовательских умений;
Роль этого вида учебной деятельности особенно возрастает в настоящее время, когда перед учебными заведениями поставлена задача формирования у студентов потребности к постоянному самообразованию, умений самостоятельной познавательной деятельности.
В учебном процессе среднего специального учебного заведения выделяют два вида самостоятельной работы:
аудиторная;
внеаудиторная.
Аудиторная самостоятельная работа по дисциплине выполняется на учебных занятиях под непосредственным руководством преподавателя и по его заданию.
Внеаудиторная самостоятельная работа выполняется студентом по заданию преподавателя, но без его непосредственного участия.
При разработке рабочей программы по профессиональному модулю при планировании содержания внеаудиторной самостоятельной работы преподавателем устанавливается содержание и объем теоретической учебной информации и практические задания по каждой теме, которые выносятся на внеаудиторную самостоятельную работу, определяются формы и методы контроля результатов.
Содержание внеаудиторной самостоятельной работы определяется в соответствии с рекомендуемыми видами заданий согласно рабочей программы профессионального модуля.
Видами задания для внеаудиторной самостоятельной работы могут быть:
для овладения заданиями: чтение текста (учебника, первоисточника, дополнительной литературы); составление плана текста; графическое изображение структуры текста; конспектирование текста; выписки из текста; работа со словарями и справочниками; ознакомление с нормативными документами; учебно-исследовательская работа; использование аудио- и видеозаписей, компьютерной техники и Интернета и др;
для закрепления и систематизации знаний: работа с конспектом лекции (обработка текста); повторная работа над учебным материалом (учебника, первоисточника, дополнительной литературы, аудио- и видеозаписей); составление плана и тезисов ответа; составление таблиц для систематизации учебного материала; изучение нормативных материалов; ответы на контрольные вопросы; аналитическая обработка текста (аннотирование, рецензирование, реферирование, контент-анализ и др.);подготовка сообщений к выступлению на семинаре, конференции; подготовка рефератов, докладов; составление библиографии, тематических кроссвордов; тестирование и др.;
для формирования умений: решение задач и упражнений по образцу; решение вариативных задач и упражнений; выполнение чертежей, схем; выполнение расчетно-графических работ;
решение ситуационных производственных (профессиональных) задач; подготовка к деловым играм; проектирование и моделирование разных видов и компонентов профессиональной деятельности; подготовка курсовых и дипломных работ (проектов); экспериментально-конструкторская работа; упражнения на тренажере; упражнения спортивно-оздоровительного характера; рефлексивный анализ профессиональных умений с использованием аудио- и видеотехники и др.
Педагогическое руководство внеаудиторной самостоятельной работой заключается в том, чтобы правильно определить объем и содержание домашнего задания. Студентам важно знать и то, как следует выполнять эти задания, какими приемами и методами пользоваться, какова методика самостоятельной работы. Здесь очень важны систематические указания преподавателя и показ им образца выполненного задания, а также упражнения студентов в применении тех или иных методов самостоятельной работы.
В последнее время широкое распространение получили различные виды инструктивно-методических указаний к самостоятельной работе: общие, относящиеся в одинаковой мере к любому профессиональному модулю или учебной дисциплине, и конкретные – для отдельных профессиональных модулей или учебных дисциплин.
Виды заданий для внеаудиторной самостоятельной работы, их содержание и характер могут иметь вариативный и дифференцированный характер, учитывать специфику специальности, изучаемого профессионального модуля или учебной дисциплины, индивидуальные особенности студента.
В качестве форм и методов контроля внеаудиторной самостоятельной работы студентов могут быть использованы семинарские занятия, коллоквиумы, зачеты, тестирование, самоотчеты, контрольные работы, защита творческих работ и др.
Критериями оценки результатов внеаудиторной самостоятельной работы студента являются:
уровень освоения студентом учебного материала;
умения студента использовать теоретические знания при выполнении практических задач;
сформированность общеучебных умений;
обоснованность и четкость изложения ответа;
оформление материала в соответствии с требованиями.
Целью данной методической разработки является оказание методической помощи студентам при изучении тем, выносимых на самостоятельное изучение и удобство контроля и оценки выполнения самостоятельных работ.
ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ
Программа учебной дисциплины ОУД.03 «МАТЕМАТИКА: алгебра, начала математического анализа, геометрия» предназначена для реализации требований к минимуму содержания и уровню подготовки выпускников среднего профессионального образования по специальностям 35.02.05 «Агрономия», 35.02.08 «Электрификация и автоматизация с/х», 21.02.04 «Землеустройство», 38.02.01 «Экономика и бухгалтерский учёт по отраслям» и является единой для всех форм обучения, а также для всех видов и типов образовательных учреждений, реализующих основные профессиональные программы среднего профессионального образования.
Освоение содержания учебной дисциплины ОУД.03. «Математика: алгебра, начала математического анализа, геометрия» обеспечивает достижение студентами следующих результатов:
личностных:
сформированность представлений о математике как универсальном языке науки, средстве моделирования явлений и процессов, идеях и методах математики;
понимание значимости математики для научно-технического прогресса, сформированность отношения к математике как к части общечеловеческой культуры через знакомство с историей развития математики, эволюцией математических идей;
развитие логического мышления, пространственного воображения, алгоритмической культуры, критичности мышления на уровне, необходимом для будущей профессиональной деятельности, для продолжения образования и самообразования;
овладение математическими знаниями и умениями, необходимыми в повседневной жизни, для освоения смежных естественно-научных дисциплин и дисциплин профессионального цикла, для получения образования в областях, не требующих углубленной математической подготовки;
готовность и способность к образованию, в том числе самообразованию, на протяжении всей жизни; сознательное отношение к непрерывному образованию как условию успешной профессиональной и общественной деятельности;
готовность и способность к самостоятельной творческой и ответственной деятельности;
готовность к коллективной работе, сотрудничеству со сверстниками в образовательной, общественно полезной, учебно-исследовательской, проектной и других видах деятельности;
отношение к профессиональной деятельности как возможности участия в решении личных, общественных, государственных, общенациональных проблем;
метапредметных:
умение самостоятельно определять цели деятельности и составлять планы деятельности; самостоятельно осуществлять, контролировать и корректировать деятельность; использовать все возможные ресурсы для достижения поставленных целей и реализации планов деятельности; выбирать успешные стратегии в различных ситуациях;
умение продуктивно общаться и взаимодействовать в процессе совместной деятельности, учитывать позиции других участников деятельности, эффективно разрешать конфликты;
владение навыками познавательной, учебно-исследовательской и проектной деятельности, навыками разрешения проблем; способность и готовность к самостоятельному поиску методов решения практических задач, применению различных методов познания;
готовность и способность к самостоятельной информационно-познавательной деятельности, включая умение ориентироваться в различных источниках информации, критически оценивать и интерпретировать информацию, получаемую из различных источников;
владение языковыми средствами: умение ясно, логично и точно излагать свою точку зрения, использовать адекватные языковые средства;
владение навыками познавательной рефлексии как осознания совершаемых действий и мыслительных процессов, их результатов и оснований, границ своего знания и незнания, новых познавательных задач и средств для их достижения;
целеустремленность в поисках и принятии решений, сообразительность и интуиция, развитость пространственных представлений; способность воспринимать красоту и гармонию мира;
предметных:
сформированность представлений о математике как части мировой культуры и месте математики в современной цивилизации, способах описания явлений реального мира на математическом языке;
сформированность представлений о математических понятиях как важнейших математических моделях, позволяющих описывать и изучать разные процессы и явления; понимание возможности аксиоматического построения математических теорий;
владение методами доказательств и алгоритмов решения, умение их применять, проводить доказательные рассуждения в ходе решения задач;
владение стандартными приемами решения рациональных и иррациональных, показательных, степенных, тригонометрических уравнений и неравенств, их систем; использование готовых компьютерных программ, в том числе для поиска пути решения и иллюстрации решения уравнений и неравенств;
сформированность представлений об основных понятиях математического анализа и их свойствах, владение умением характеризовать поведение функций, использование полученных знаний для описания и анализа реальных зависимостей;
владение основными понятиями о плоских и пространственных геометрических фигурах, их основных свойствах; сформированность умения распознавать геометрические фигуры на чертежах, моделях и в реальном мире; применение изученных свойств геометрических фигур и формул для решения геометрических задач и задач с практическим содержанием;
сформированность представлений о процессах и явлениях, имеющих вероятностный характер, статистических закономерностях в реальном мире, основных понятиях элементарной теории вероятностей; умений находить и оценивать вероятности наступления событий в простейших практических ситуациях и основные характеристики случайных величин;
владение навыками использования готовых компьютерных программ при решении задач.
Изучение программного материала должно способствовать формированию у студентов математического мышления.
Рабочая программа рассчитана на 234 час аудиторных занятий, 117 часов – ВСР по спец. «Землеустройство», «Электрификация и автоматизация с/х» и «Экономика и бухгалтерский учёт по отраслям»; 156 часов - аудиторных занятий,78 часов – ВСР по специальности «Агрономия» для базового уровня профессионального образования.
Для развития творческой активности студентов рекомендуется выполнение ими самостоятельных творческих работ по данной дисциплине.
Самостоятельная работа при изучении дисциплины ОУД.03. «Математика: алгебра, начала математического анализа, геометрия»
Систематическая проработка конспектов занятий учебной и специальной литературы (по вопросам к параграфам, главам учебных пособий, составленным преподавателем)
ВСР №1. Составление компьютерной презентации на тему «Развитие понятия о числе»
1 сл. Титульник-название и тема
2 сл. Определение
3 сл. Примеры
4 сл. Из истории…
5 сл. Литература
ВРС №2. Мини проект «Использование чисел и математических понятий в профессиональной деятельности»
ТитульникСодержание.
Гипотеза.
Основная часть.
Заключение.
6. Список литературы.
ВСР №3 Решение задач на проценты
Полное решение с пояснением данных задач по номеру студента в списке.
Задачи на проценты
Городской бюджет составляет 98 млн. р., а расходы на одну из его статей составили 50%. Сколько рублей потрачено на эту статью бюджета?
Городской бюджет составляет 50 млн. р., а расходы на одну из его статей составили 35%. Сколько рублей потрачено на эту статью бюджета?
Городской бюджет составляет 42 млн. р., а расходы на одну из его статей составили 7,5%. Сколько рублей потрачено на эту статью бюджета?
Городской бюджет составляет 68 млн. р., а расходы на одну из его статей составили 22,5%. Сколько рублей потрачено на эту статью бюджета?
Городской бюджет составляет 97 млн. р., а расходы на одну из его статей составили 12,5%. Сколько рублей потрачено на эту статью бюджета?
Городской бюджет составляет 48 млн. р., а расходы на одну из его статей составили 30%. Сколько рублей потрачено на эту статью бюджета?
Городской бюджет составляет 67 млн. р., а расходы на одну из его статей составили 17,5%. Сколько рублей потрачено на эту статью бюджета?
Городской бюджет составляет 99 млн. р., а расходы на одну из его статей составили 20%. Сколько рублей потрачено на эту статью бюджета?
Городской бюджет составляет 69 млн. р., а расходы на одну из его статей составили 22,5%. Сколько рублей потрачено на эту статью бюджета?
Городской бюджет составляет 77 млн. р., а расходы на одну из его статей составили 12,5%. Сколько рублей потрачено на эту статью бюджета?
(Задачи на нахождение процента).
Число хвойных деревьев в парке относится к числу лиственных как 7:13. Сколько процентов деревьев в парке составляют лиственные?
Число хвойных деревьев в парке относится к числу лиственных как 2:23. Сколько процентов деревьев в парке составляют лиственные?
Число хвойных деревьев в парке относится к числу лиственных как 23:27. Сколько процентов деревьев в парке составляют лиственные?
Число хвойных деревьев в парке относится к числу лиственных как 3:22. Сколько процентов деревьев в парке составляют лиственные?
Число хвойных деревьев в парке относится к числу лиственных как 43:7. Сколько процентов деревьев в парке составляют лиственные?
Число хвойных деревьев в парке относится к числу лиственных как 89:11. Сколько процентов деревьев в парке составляют лиственные?
Число хвойных деревьев в парке относится к числу лиственных как 7:3. Сколько процентов деревьев в парке составляют лиственные?
Число хвойных деревьев в парке относится к числу лиственных как 59:41. Сколько процентов деревьев в парке составляют лиственные?
Число хвойных деревьев в парке относится к числу лиственных как 9:41. Сколько процентов деревьев в парке составляют лиственные?
Число хвойных деревьев в парке относится к числу лиственных как 77:23. Сколько процентов деревьев в парке составляют лиственные?
( Задачи на вклады).
Сберегательный банк начисляет на срочный вклад 20% годовых. Вкладчик положил на счет 500 р. Какая сумма будет на этом счете через год, если никаких операций со счетом проводиться не будет?
Сберегательный банк начисляет на срочный вклад 15% годовых. Вкладчик положил на счет 1400 р. Какая сумма будет на этом счете через год, если никаких операций со счетом проводиться не будет?
Сберегательный банк начисляет на срочный вклад 17% годовых. Вкладчик положил на счет 1500 р. Какая сумма будет на этом счете через год, если никаких операций со счетом проводиться не будет?
Сберегательный банк начисляет на срочный вклад 14% годовых. Вкладчик положил на счет 1000 р. Какая сумма будет на этом счете через год, если никаких операций со счетом проводиться не будет?
Сберегательный банк начисляет на срочный вклад 15% годовых. Вкладчик положил на счет 900 р. Какая сумма будет на этом счете через год, если никаких операций со счетом проводиться не будет?
Сберегательный банк начисляет на срочный вклад 11% годовых. Вкладчик положил на счет 900 р. Какая сумма будет на этом счете через год, если никаких операций со счетом проводиться не будет?
Сберегательный банк начисляет на срочный вклад 20% годовых. Вкладчик положил на счет 1100 р. Какая сумма будет на этом счете через год, если никаких операций со счетом проводиться не будет?
Сберегательный банк начисляет на срочный вклад 12% годовых. Вкладчик положил на счет 600 р. Какая сумма будет на этом счете через год, если никаких операций со счетом проводиться не будет?
Сберегательный банк начисляет на срочный вклад 12% годовых. Вкладчик положил на счет 900 р. Какая сумма будет на этом счете через год, если никаких операций со счетом проводиться не будет?
Сберегательный банк начисляет на срочный вклад 12% годовых. Вкладчик положил на счет 900 р. Какая сумма будет на этом счете через год, если никаких операций со счетом проводиться не будет?
(Задачи на уценку товара).
Товар на распродаже уценили на 20%, при этом он стал стоить 880 р. Сколько стоил товар до распродажи?
Товар на распродаже уценили на 50%, при этом он стал стоить 810 р. Сколько стоил товар до распродажи?
Товар на распродаже уценили на 20%, при этом он стал стоить 780 р. Сколько стоил товар до распродажи?
Товар на распродаже уценили на 50%, при этом он стал стоить 940 р. Сколько стоил товар до распродажи?
Товар на распродаже уценили на 50%, при этом он стал стоить 680 р. Сколько стоил товар до распродажи?
Товар на распродаже уценили на 20%, при этом он стал стоить 840 р. Сколько стоил товар до распродажи?
Товар на распродаже уценили на 25%, при этом он стал стоить 810 р. Сколько стоил товар до распродажи?
Товар на распродаже уценили на 40%, при этом он стал стоить 870 р. Сколько стоил товар до распродажи?
Товар на распродаже уценили на 15%, при этом он стал стоить 680 р. Сколько стоил товар до распродажи?
Товар на распродаже уценили на 50%, при этом он стал стоить 980 р. Сколько стоил товар до распродажи?
(Задачи на прибыль предприятия).
Государству принадлежит 80% акций предприятия, остальные акции принадлежат частным лицам. Общая прибыль предприятия после уплаты налогов за год составила 60 млн. р. Какая сумма из этой прибыли должна пойти на выплату частным акционерам?
Государству принадлежит 90% акций предприятия, остальные акции принадлежат частным лицам. Общая прибыль предприятия после уплаты налогов за год составила 80 млн. р. Какая сумма из этой прибыли должна пойти на выплату частным акционерам?
Государству принадлежит 90% акций предприятия, остальные акции принадлежат частным лицам. Общая прибыль предприятия после уплаты налогов за год составила 30 млн. р. Какая сумма из этой прибыли должна пойти на выплату частным акционерам?
Государству принадлежит 90% акций предприятия, остальные акции принадлежат частным лицам. Общая прибыль предприятия после уплаты налогов за год составила 50 млн. р. Какая сумма из этой прибыли должна пойти на выплату частным акционерам?
Государству принадлежит 60% акций предприятия, остальные акции принадлежат частным лицам. Общая прибыль предприятия после уплаты налогов за год составила 40 млн. р. Какая сумма из этой прибыли должна пойти на выплату частным акционерам?
Государству принадлежит 60% акций предприятия, остальные акции принадлежат частным лицам. Общая прибыль предприятия после уплаты налогов за год составила 30 млн. р. Какая сумма из этой прибыли должна пойти на выплату частным акционерам?
Государству принадлежит 10% акций предприятия, остальные акции принадлежат частным лицам. Общая прибыль предприятия после уплаты налогов за год составила 90 млн. р. Какая сумма из этой прибыли должна пойти на выплату частным акционерам?
Государству принадлежит 90% акций предприятия, остальные акции принадлежат частным лицам. Общая прибыль предприятия после уплаты налогов за год составила 20 млн. р. Какая сумма из этой прибыли должна пойти на выплату частным акционерам?
ВСР №4. Составление таблицы «Прямая и обратная пропорциональность. Квадратичная и кубическая функции»
Составление таблицы данного вида:
Прямая пропорциональность Обратная пропорциональность Квадратичная функция Кубическая функция
Свойства Общая характеристика примеры ВСР №5. Составление компьютерной презентации по теме : «Корни, степени и логарифмы.»Составление таблицы данного вида:
Корни степени логарифмы.»Свойства Общая характеристика примеры ВСР №6. Составление кроссворда по теме: «Корни, степени, логарифмы»
В кроссворде должно быть не меньше 24 слов. Из них 12 по горизонтали, 12 по вертикали.
Вопросы должны быть написаны на основе основных определений.
ВСР №7-8. Составление тестов по теме: «Корни, степени, логарифмы»
Тесты должны быть в 2-х вариантах. В каждом варианте по 10 вопросов. На каждый вопрос нужно написать 4 варианта ответов. В конце теста приложить ключ с ответами. Могут использоваться вопросы как теоретические, так и практические.
Например:
Сколько корней имеет данное уравнение у=2х+5?
1.2 2.4 3.0 4.1
ВСР №9-10. Решение задач на основные свойства логарифмов. Решение логарифмических уравнений и неравенств
Задания.
1. Найти значение выражения
I II
а) log6144 – log64 + ; а) log3135 – log35 + ;
б) ; б) ;
в) в)
Решить уравнения
I II
а) log0,5(x2-3x) = -2; а) log0,2(x2+4x) = -1;
б) log32x – 3 = 2·log3x б) 4– 3·lgx = lg2x
3. Решить неравенство
I II
log4(x+1)< -0,5 log0,5(x-1)> -2
4. Найти производные функций
I II
а) f(x) = x2·3x; а) f(x) = 5x·x3;
б) f(x) = log5(3-2x) б) f(x) = ln(x2-3x)
ВСР №11. Решение задач по теме «Геометрические фигуры на плоскости»
Заполнение рабочей тетради.
Содержание:
Пояснительная записка.
1. Треугольники
1.1. Прямоугольный треугольник.
1.2. Равнобедренный треугольник.
1.3. Равносторонний треугольник.
2. Четырехугольники.
2.1. Параллелограмм.
2.2. Прямоугольник.
2.3. Ромб.
2.4. Квадрат.
2.5.Трапеция.
3. Задачи по планиметрии, входящие в содержание ЕГЭ.
4. Проверочная работа.
Список использованной литературы
1. Треугольники
Во всяком треугольнике сумма углов равна 180° или ᴫ радиан.
Всякий внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, не смежных с ним.
142621040005
ﮮВСК=ﮮА+ﮮВ
Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то и третьи углы равны.
Опр. Высотой треугольника называется перпендикуляр, опущенный из любой вершины треугольника к прямой, содержащей противолежащую сторону треугольника.4236085170180
Высота BD обозначается буквой h.
Опр. Биссектрисой треугольника называется отрезок
биссектрисы любого угла этого треугольника
от вершины до пересечения
с противоположной стороной.
Все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке,лежащей всегда внутри треугольника и являющейся центром вписанной окружности.
Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону треугольника на части, пропорциональные прилежащим сторонам.
Три высоты треугольника всегда пересекаются в одной точке, которая называется орто центром.
Опр. Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий произвольную его вершину с серединой противолежащей стороны.
Три медианы треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка всегда находится внутри треугольника, являясь его центром тяжести.
3503295171450Точка пересечения медиан треугольника
делит каждую медиану в отношении 2˸1
( считая от вершины).
Сумма квадратов медиан равна
трем четвертям суммы квадратов
сторон треугольника.
AM=ma , CN=mc , BD=mbm2a+m2b+ m2c=(a2+b2+c2) ,
где ma- медиана стороны а
mb-медиана стороны b
mc -медиана стороны с.
Для вычисления площади треугольника можно воспользоваться одной из следующих формул:
S=aha , где а-основание треугольника,
ha- соответствующая высота.
S=absinC , где а и b - стороны, С - угол между ними.
S=pr, где p=(a+b+c)/2 -полупериметр, r- радиус
вписанной окружности.
S= , где а,b,с - стороны,
R- радиус описанной окружности.
S= - Формула Герона, где а,b,с - стороны,
p=(a+b+c)/2-полупериметр.
Опр. Окружность называется описанной около
треугольника, если она проходит через все его вершины.
4807585140970
Три перпендикуляра к сторонам треугольника,
проведенные через их середины, пересекаются в одной точке, являющейся центром описанной
окружности.
R=AO=BO=CO
Опр. Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон.
Центр окружности, вписанной в треугольник,
является точкой пересечения его биссектрис r=OK
OK ┴ AC
4045585112395
Теорема косинусов
Квадрат любой стороны треугольника равен сумме двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.
a2= b2+ c2- 2bc·cosα
3978910132715
ﮮА=α, ﮮВ=β, ﮮС=γ
Теорема синусов
Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.
==
Сумма всех сторон любого треугольника называется его периметром и обозначается Р∆АВС .
Р∆АВС=АВ+ВС+АС
Решение задач
1. Найти радиус окружности, описанной около треугольника со сторонами 8, 15, 17.
Решение: Радиус описанной окружности можно выразить из формулы:
S=. Отсюда R=
Чтобы найти площадь треугольника, зная его стороны, используют формулу Герона:
S=
p=(a+b+c)/2
p=_________________________
S=______________________________________________________________
R=______________________________________________________________
Ответ:___________
2. Радиус окружности, описанной около треугольника АВС, равен 5.Сторона АС=5, высота ВD=4. Найти длину стороны ВС.
Дано: Решение:
АС=5
ВD=4
R=5
Найти: ВС
Для решения этой задачи используем такой прем: возьмем две подходящие по условию формулы площади треугольника
S=bhb и S=,
и приравняем их bhb=.
Разделим обе части равенства на множитель b≠0: hb=
Подставим в полученное равенство известные величины: 4= и выразим а=_____________________
Ответ: ВС=________________
3. Найти синус угла А в треугольнике АВС, если ВС=3√3, АС=15, угол В равен 60°.
Дано: Решение:
∆АВС
ВС= 3√3 По теореме синусов
АС=15440753599060
ﮮВ=60°
Найти: sin A
=
Выразим из этого равенства sin A=__________________________
_______________________________________
Ответ:__________
4. В треугольнике АВС углы В и С соответственно равны и .
Найти длину стороны АС, если АВ=.
Дано: Решение:
∆АВС
ﮮВ=
ﮮС= По теореме синусов:
АВ= ______________________
Найти: АС
Выразим АС=_____________________________________
Ответ:_______________
5. В треугольнике АВС даны три стороны а=√10,b=2, c=3. Найти его медиану ma
Дано: Решение:
∆АВС
а=√10 По теореме косинусов:
b=2
c=3 b2=a2+c2- 2ac·cos В 467423533655
Найти: ma
Выразим из формулы cosВ
cosB=______________________________
cosB=___________________________________________________
Рассмотрим ∆АВК: по теореме синусов АК2=АВ2+ВК2-2·АВ·ВК·cos B
Медиана АК=ma делит сторону ВС пополам,т.е. ВК===______
АК2=__________________________________________________________
АК=________
Ответ:___________
6. Найти меньшую высоту треугольника со сторонами 13 см, 14 см, 15 см.
Дано:
∆АВС
а=13 см Меньшей будет высота, 42265608890
b=14 см проведенная к большей
c=15 см. стороне-hc.
Найти:
h Вспомним прием, использующий
две формулы площади.
Запишите эти Формулы:
______________________________________________
Найдем площадь треугольника____________________________________________________
Зная площадь треугольника, из второй формулы найдем высоту hchc=_________________________________________________
Ответ:___________
1.1. Прямоугольный треугольник.
Треугольник называется прямоугольным, если у него есть прямой угол.
Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.
Сторона прямоугольного треугольника, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой, две другие стороны называются катетами.4969510186690
Признаки равенства прямоугольныхтреугольников.
1. Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого треугольника, то такие треугольники равны.
( Признак равенства по гипотенузе и острому углу)
2. Если катет и противолежащий ему угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему углу другого треугольника, то такие треугольники равны.
(Признак равенства по катету и противолежащему углу)
3. Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого треугольника, то такие треугольники равны.
( Признак равенства по гипотенузе и катету)
В прямоугольном треугольнике катет, 496951068580
противолежащий углу 30°, равен половине гипотенузы.
АС=0,5АВ
Теорема Пифагора
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
a2 + b2= c2
Из теоремы Пифагора следует, что в прямоугольном треугольнике любой из катетов меньше гипотенузы.
Пусть АС- перпендикуляр, проведенный из точки А на прямую а, и В- любая точка прямой а, отличная от С. В этом случае отрезок АВ называется наклонной, проведенной из точки А к прямой а.
Точка В называется основанием наклонной,
а отрезок ВС называется проекцией наклонной.515048590170
Если к прямой из одной точки проведены перпендикуляр и наклонные, то:
каждая наклонная больше перпендикуляра;
равные наклонные имеют равные проекции;
из двух наклонных больше та, у которой проекция больше.
Центр описанной около прямоугольного треугольника окружности совпaдает с серединой гипотенузы.
Радиус описанной окружности равен половине гипотенузы.
R==AO=OB=OC4540885135255
Отрезок ОС является и радиусом описанной окружности и медианой, проведенной к гипотенузе.
Т.о., медиана, проведенная к гипотенузе в прямоугольном треугольнике, равна половине гипотенузы. ОС=.
Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.
544576028575Рассмотрим прямоугольный треугольник с прямым углом С и острым углом при вершине А, равным α.
Синусом угла α называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
138811064135
Косинусом угла α называется отношение
прилежащего катета к гипотенузе.
1330960142875
Тангенсом угла α называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету.
Катет ВС-противолежащий к углу α, tgα==
катет АС- прилежащий к углу α.
Катет прямоугольного треугольника есть
среднее пропорциональное между гипотенузой и его проекцией на гипотенузу.
a2 = a1·c
417893585725
b2 = b1· c
Высота прямоугольного треугольника, опущенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу.
В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С, АD и BD- проекции катетов АС и ВС на гипотенузу АВ.
AC=
BC=
CD=
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.
S= (1)
(2) h=h- высота, проведенная к
гипотенузе
Если формулу (2) подставить в формулу (1),
получим S=
Центр тяжести прямоугольного треугольника отстоит от сторон а, b и с на расстоянии , , соответственно.
,
Решение задач.
1. В прямоугольном треугольнике один из острых углов равен 60°, а сумма гипотенузы и меньшего катета равна 18 м. Найти гипотенузу.
Дано: Решение
∆АВС ﮮВ=90°- 60°=30°
ﮮА=90° Обозначим АС=хﮮС=60° В треугольнике против4664710144780
СВ+АС=18 большего угла лежит большая
Найти: сторона. В ∆АВС против
СВ меньшего угла ﮮВ=30°
лежит меньший катет АС.
Обозначим АС=х.
Т.к. в прямоугольном треугольнике катет, противолежащий углу 30° равен половине гипотенузы, то ВС=_________
ПО условию СВ+АС=18
Составим уравнение: __________________
и решим его _________________________
_________________
Ответ: СВ=
2. Катеты прямоугольного треугольника равны 8 дм и 18 дм. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
Дано: Решение
______ 1) Радиус окружности, описанной около
_______
_______ прямоугольного треугольника
равен_____________________________
Найти: _______________________________
________ 2) По теореме Пифагора найдем
гипотенузу:______________________
__________________________________
3) R=____________________________
Ответ:________________
3. В прямоугольном треугольнике один из углов равен 30°, а больший катет равен 6 м. Найти две другие стороны этого треугольника.
Дано: Решение
_______ 1) В треугольнике против большего угла
_______ лежит ____________________________
______ В ∆АВС большим будет катет ________477901074295
Найти: 2) Напишите катет, лежащий напротив
________ угла 30° ____________, обозначим его х,
он равен половине__________________.
3) По теореме Пифагора составим уравнение _________________________________
и решим его __________________________________
_____________________________________________
_____________________________________________
Ответ: ____________________
4. В прямоугольном треугольнике один угол 60°, а сумма гипотенузы и меньшего катета равна 28 см. Найдите гипотенузу.
Решение
_______ __________________ _________________
_______ ___________________________________
_______ ___________________________________
_______ __________________________________
_______ __________________________________
5. В прямоугольном треугольнике острые углы относятся как 1:2. Найдите гипотенузу, если меньший катет равен 7 см.
Решение
_______ __________________ _________________
_______ ___________________________________
_______ ___________________________________
_______ __________________________________
_______ __________________________________
6. В прямоугольном треугольнике один острый угол равен 45°. Найдите катеты, если их сумма равна 42 м.
Решение
_______ __________________ _________________
_______ ___________________________________
_______ ___________________________________
_______ __________________________________
_______ __________________________________
7. В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки 5 см и 12 см. Найти катеты треугольника.
4550410114300Дано: Решение
∆АВС
ﮮС=90°
АD=5 см E и F - точки касания
DB=12 см вписанной окружности и
О-центр вписан.окр. соответствующих катетов .
Найти: По свойству касательных к
АС окружности, проведенныхСВ из одной точки: АD=АF,
ВD=ВЕ, FС=ЕС.
(Действительно, ∆А FО=∆АDО, т.к. имеют общую гипотенузу АО и по одному равному катету FО=DО=r)
Пусть ЕС=х, тогда по теореме Пифагора для ∆АВС:
(5+х)2+(12+х)2=(5+12)2
____________________________________________________
_____________________________________________________
__________________________________________________________________
_______________________________________________________________
_________________________________________________________________
АС=_______, ВС=_______
Ответ:________________
8. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 26 см, а его катеты относятся как 5:12. Найти больший катет треугольника.
Дано: Решение
∆АВС Запишите теорему Пифагора
ﮮС=90° для ∆АВС:______________________(1)
АВ=26 см Выразим АС из пропорции в условии454088598425
АС:СВ=5:12 _______________________________
Найти: и подставим в формулу (1)
СВ _______________________________
_________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
Ответ: __________
9. Найти площадь прямоугольного треугольника, если его катеты относятся как 3:4, а гипотенуза равна 25.
Дано: Решение
_______ __________________ ________________
_______ __________________________________
_______ __________________________________
_______ __________________________________
_______ __________________________________
Ответ:__________
10. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 13 см, а один из катетов 5 см. Найти площадь этого треугольника.
Дано: Решение
_______ __________________ ________________
_______ __________________________________
_______ __________________________________
_______ __________________________________
_______ __________________________________
Ответ:__________
11. Один из катетов прямоугольного треугольника равен 12 см, а гипотенуза больше другого катета на 8 см. Найти гипотенузу.
Дано: Решение
_______ __________________ ________________
_______ __________________________________
_______ __________________________________
_______ __________________________________
_______ __________________________________
Ответ:__________
12. В прямоугольном треугольнике один катет равен 3 см, радиус описанной окружности равен 2,5 см. Найти другой катет и площадь треугольника.
Дано: Решение
_______ __________________ ________________
_______ __________________________________
_______ __________________________________
_______ __________________________________
_______ __________________________________
Ответ:__________
13. Вокруг прямоугольного треугольника с катетами 8 см и 6 см описана окружность. Найти ее радиус.
Дано: Решение
_______ __________________ ________________
_______ __________________________________
_______ __________________________________
_______ __________________________________
_______ __________________________________
Ответ:__________
14. В прямоугольном треугольнике медиана, опущенная из прямого угла, равна одному из катетов. Найти меньший угол треугольника.
476948595250Дано: Решение
∆АВС Известно, что в прямоугольном
ﮮС=90° треугольнике медиана, опущенная на
СК- медиана гипотенузу равна половине
СК=АС гипотенузы.
Найти: АС=СК=_____=________=____
∆АКС - ________________________
ﮮА=60°
ﮮВ=________________________
В прямоугольном треугольнике против угла 30° лежит_____________________________________________________________АС=_______________
Ответ:_____________
15. Один из катетов прямоугольного треугольника равен 6 см, другой катет равен 8 см. Найти длину медианы,проведенной к гипотенузе.
Дано: Решение 512191025400
_______ По тереме Пифагора:
________ ______________________________
________ В прямоугольном треугольнике
Найти: медиана, опущенная на гипотенузу
_______ равна__________________________
__________________________________
__________________________________
Ответ:__________
16. В прямоугольном треугольнике даны гипотенуза а и угол 60°. Найти периметр данного треугольника.
Дано: Решение:
_________ ﮮА=_______________________
_________ Катет, лежащий против угла_____4526915186690
_________ _____________________________
СВ=__________
Найти: Синус острого угла в прямоугольном_________ треугольнике равен отношению
_____________________________
_______________________________
sin B=_______________________
Выразим АС=_______________________
Р∆АВС=АС+СВ+АВ=________________________________
________________________________________________
Ответ:_______________
1.2. Равнобедренный треугольник.
Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны.
Равные стороны треугольника называются боковыми сторонами, а третья сторона называется основанием.
443611053975
В ∆АВС АВ=СВ, значит, ∆АВС- равнобедренный с основанием АС. АВ и АС-боковые стороны.
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
ﮮА=ﮮС
Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.
В равнобедренном треугольнике медиана,
проведенная к основанию, является
биссектрисой и высотой.
ВD- медиана, биссектриса и высота ∆АВС.
В равнобедренном прямоугольном треугольнике каждый острый угол равен 45°.
Решение задач.
1. Найти площадь равнобедренного прямоугольного треугольника по его гипотенузе, равной 4√2.
Дано:
∆АВС-равнобедр.
ﮮС=90°
АВ= 4√2
Найти:S∆АВС
Решение51409602540
∆АВС-равнобедренный, следовательно АС=____=хПо теореме Пифагора составим уравнение:_________________________
и решим его ____________________________________________________
_________________________________________________
_______________________________________
Площадь прямоугольного треугольника находится по формуле S∆АВС=____________________
S∆АВС=_____________
Ответ: ____________
2. Периметр равнобедренного треугольника равен 35 м. Одна сторона в 3 раза больше другой. Найдите стороны треугольника.
Решение
Пусть боковая сторона треугольника х, тогда основание ________
Р=________________________
______________________________
Ответ:______________________
3. В равнобедренном треугольнике угол, противолежащий основанию
равен 120°, а биссектриса, проведенная к основанию, равна 8 см. Найти боковую сторону.
Дано: Решение
∆АВС:АВ=ВС Т.к. ВК - биссектриса ﮮАВС, 4388485140970
ﮮАВС=120° то ﮮАВК=ﮮКВС=_________
ВК-биссект. В равнобедренном
ВК=8 см. треугольнике биссектриса
Найти: является также __________
АВ __________________________
Следовательно, ∆АВК- ____________________________
cos ABK=__________________
отсюда АВ=________________________________________
Ответ: __________
4. В равнобедренном треугольнике основание равно 12√3, угол при вершине 120°. Определите проекцию высоты на боковую сторону.
Дано:
∆АВС:АВ=ВС
АС= 12√3
ﮮАВС=120°
ВD-высота Решение
Найти: В равнобедренном треугольнике 4236085112395
ВК высота является также_______
_______________________________
ﮮАВD=_______________
АD=DС==_________________
Т.к. ВD-высота, то ∆АВD-___________________________
sin ABD=____________________Отсюда АВ=_____________________________
tg ABD=_____________________Отсюда BD=___________________________
DK перпендикуляр к АВ, следовательно DK-высота в ∆АВD
DВ2=АВ·ВК Отсюда ВК=________________________________________
Ответ:________________
5. В равнобедренном треугольнике углы при основании 30°, а высота, опущенная на это основание, равны 3. Найти радиус описанной окружности треугольника.
Дано:
∆АВС:АВ=ВС
ﮮА=ﮮС=30°
ВD- высота
ВD=3409321076835
Найти:
R Решение
Из формулы S= выразим R:
R= (1)
Т.к. ∆АВС равнобедренный а=b.
Площадь ∆АВС можно найти по формуле: S= (2)
Подставьте формулу (2) в формулу (1) :
R=______________________________
Рассмотрим ∆АВD-____________________________
Против угла А, равного 30° лежит катет _________, равный ________________________________________________________________
Значит, АВ=_________________
R=_______________________________________
Ответ:__________________
6. Боковая сторона равнобедренного треугольника, основание которого равно 4, делится точкой касания вписанной в него окружности в отношении 3:2, считая от вершины. Найти периметр треугольника.
Дано: Решение
∆АВС:АВ=ВС Центром вписанной окружности
АС=4 является_____________________
ВЕ:ЕА=3:2 ____________________________
Найти: В равнобедренном треугольнике
Р∆АВС биссектриса ВD является также
_____________________________460756063500
АD= DС=__________________
Ключом для решения данной задачи является теорема:
" Если из какой-либо точки проведены две касательные к окружности, то отрезки касательных равны, а центр окружности лежит на биссектрисе угла, образованного этими касательными".
Следовательно, АD=АЕ=______
Из соотношения ВЕ:ЕА=3:2 находим ВЕ=______________________________
АВ=_________________________________
Р∆АВС =__________________________________________________
Ответ:________________
7. Найти высоту и площадь равнобедренного треугольника, если его основание равно 16, а боковая сторона 10.
Дано: Решение
_______ __________________ ________________
_______ __________________________________
_______ __________________________________
_______ __________________________________
_______ __________________________________
Ответ:__________
8. Высота равнобедренного треугольника равна 15 см. Основание больше боковой стороны на 15 см. Найти основание этого треугольника.
Дано: Решение
_______ __________________ ________________
_______ __________________________________
_______ __________________________________
_______ __________________________________
_______ __________________________________
Ответ:__________
9. В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 5 см, а косинус угла при основании 0,6. Найти радиус вписанного круга.
Дано: Решение
_______ __________________ ________________
_______ __________________________________
_______ __________________________________
_______ __________________________________
_______ __________________________________
Ответ:__________
1.3. Равносторонний треугольник.
Треугольник называется равносторонним 3493135138430
(или правильным), если все его стороны
равны между собой.
В равностороннем треугольнике каждая медиана515048511430 совпадает с биссектрисой и высотой,
проведенными из той же вершины.37026855080
ma=la=ha=...=hcОртоцентр, центр тяжести, центр вписанной
и описанной окружности в равностороннем
494982541275треугольнике совпадают.
Все углы в равностороннем треугольнике равны.
445135271780 ﮮА=ﮮВ=ﮮС=60°
Решение задач.
1. Радиус окружности равен 10. Найти длину медианы вписанного в нее правильного треугольника.
Дано: Решение:
∆АВС:АВ=ВС=АС
R=10 R=
BD -медиана482663512065
Найти: a==√3R
BD BD==________________
BD=____________________________
Ответ:_______________
2. Около равнобедренного треугольника описана окружность радиуса .
Угол при основании треугольника 60°. Найти площадь треугольника.
Дано: Решение
∆АВС:АВ=АС Т.к. ∆АВС-равнобедренный, то
R= ﮮBАC=____________________
ﮮBАC=60° ﮮАBC=____________________
Найти: Следовательно, ∆АВС-_______4731385117475
S∆АВС __________________________________________
Из ∆АВD: sin B=________________
AD=__________________
AB=√3R
S∆АВС =________________________________
________________________________________________________________
Ответ:__________
3. Найти радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника, боковая сторона равна 2√3, а угол при вершине 60°.
Дано: Решение
_______ __________________ ________________
_______ __________________________________
_______ __________________________________
_______ __________________________________
_______ __________________________________
Ответ:__________
4. Найти площадь равностороннего треугольника со стороной а=12√3.
Дано: Решение
_______ __________________ ________________
_______ __________________________________
_______ __________________________________
_______ __________________________________
_______ __________________________________
Ответ:__________
5. Площадь равностороннего треугольника равна . Найти длину его биссектрисы.
Дано: Решение
_______ __________________ ________________
_______ __________________________________
_______ __________________________________
_______ __________________________________
_______ __________________________________
Ответ:__________
2. Четырехугольники.
Отрезки, соединяющие противолежащие вершины
четырехугольника, называются диагоналями. АС и ВD -диагонали
Стороны четырехугольника, исходящие из одной вершины, называются соседними сторонами.
Стороны, не имеющие общего конца, называются противоположными.
АВ и СD, ВС и АD.
2.1. Параллелограмм.
Параллелограмм - это четырехугольник, у которого противолежащие стороны параллельны.
Свойства параллелограмма:
95948579375
Противолежащие стороны равны.
АВ=СD, ВС=АD
Противолежащие углы равны.
ﮮА=ﮮС, ﮮB=ﮮD
Сумма углов, прилегающих к произвольной стороне4893310136525
равна 180°.
ﮮА+ﮮB =ﮮB +ﮮС=ﮮС+ﮮD= ﮮD+ ﮮА=180°
Диагонали параллелограмма пересекаются
и точкой пересечения делятся пополам.
ВО=ОD, АО=ОС
Две диагонали параллелограмма делят его на четыре
равновеликих треугольника.529336092075
center0
Диагональ параллелограмма делит его на два
равновеликих треугольника. ∆АВD=∆ВDС
Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов
всех его сторон.
Признаки параллелограмма:
Если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой
пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник- параллелограмм.
Если в четырехугольнике противолежащие стороны попарно равны, то этот четырехугольник - параллелограмм.
Если в четырехугольнике две противолежащие стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник - параллелограмм.
Условимся высотой параллелограмма называть перпендикуляр, проведенный из вершины этого
параллелограмма к не прилегающей стороне.
h=bsinaПлощадь498856012700 параллелограмма равна произведению
основания на высоту.
S= a ha= b hb
(Через сторону параллелограмма и проведенную к ней высоту)
S= a b sin α
(Через две стороны параллелограмма и угол между ними)
S=d1 d2 sin β
( Через диагонали параллелограмма и угол между ними)
51314358890
Решение задач
40671753492501. Площадь параллелограмма равна 120, стороны 15 и 10. Найти высоту.
SАВСD=120 S=a •b• sin α Выразим из этой
a=15 формулы sinα=___________
b=10 _______________________
Найти: Рассмотрим ∆АКD-
h прямоугольный.
Составим соотношение для синуса угла А в этом треугольнике:___________________________________________
Отсюда hb=________________________
Ответ:_____________________
2. Стороны параллелограмма равны соответственно 6 и 16, а его тупой угол равен 120°. Найти длину меньшей диагонали параллелограмма.
Дано:
АВСD-параллелограмм
а=16 Решение
b=6524573590805
ﮮАDС=120° Т.к. сумма углов, прилегающих к произвольной
Найти: стороне равна 180°. ﮮА+ﮮB=180°, то найдем
ВD величину угла А:__________________________
Рассмотрим ∆АВD:
по теореме косинусов найдем ВD:______________________
_____________________________________________________________
Ответ:__________________
2.2. Прямоугольник.
Прямоугольник- это параллелограмм, к которого все
углы прямые.
Прямоугольник обладает всеми свойствами параллелограмма и имеет свои особые свойства:
В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам.
522668574930
Прямоугольник имеет две оси симметрии,
которые совпадают с серединными перпендикулярами
к его сторонам.
Вокруг любого прямоугольника можно описать окружность с центром в точке пересечения
диагоналей и радиусом,
равным половине диагонали
АС=2R538861036830
Площадь прямоугольника можно определить:
- через его стороны
3041015114300 S=ab- через диагонали и угол между ними
516001093980
В прямоугольнике квадрат диагонали равен сумме квадратов двух его смежных сторон.
d2 =a2 +b2
Решение задач
1. В прямоугольнике АВСD АВ=СD=а, ﮮВАС=60°. Определите периметр прямоугольника, его диагонали и площадь.
Дано: Решение
____________ Найдем угол АСВ:_______________________________484568597155
____________ Рассмотрим ∆АВС-_______________________
____________ АС=____________________
Найти:
___________ Найдем ВС=_____________
_________________________
Р АВСD=________________________
___________________________________
S АВСD=___________________________________________________________
Ответ:_______________________
2. Во сколько раз изменится площадь прямоугольника, если каждую его сторону увеличит в 3 раза ?______________________________________________________________
______________________________________________________________
Ответ:__________
2.3. Ромб.
Ромбом называется параллелограмм, у которого547433576835
все стороны равны.
Ромб обладает всеми свойствами параллелограмма
и имеет свои особые свойства:
Диагонали ромба взаимно перпендикулярны.
Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.
В любой ромб можно вписать окружность с центром в точке пересечения его диагоналей.
5245735118110
Площадь ромба может быть определена:
- через диагонали
160845538100
- через сторону и угол ромба
1740535119380
- через сторону и высоту507428595885
190754066675
- через сторону и радиус вписанной окружности
23196550
Диагонали ромба можно вычислить, зная его сторону а и угол α:
d1=2a·sin(α/2)
d2=2a·cos(α/2)
d12+d22=4a2
Радиус окружности, вписанной в ромб, можно вычислить:
1905000114300- через высоту ромба
- через диагонали ромба и сторону486473564135
- через площадь r=
Решение задач
1. В ромбе длины диагоналей 10 см и 15 см. Найти площадь ромба.
Решение:
_________________________________________________________________
__________________________________________________________________
Ответ:____________
2. Площадь ромба равна 24, а одна из диагоналей 6. Найти длину стороны ромба.
Решение:
Зная площадь ромба и одну диагональ. можно вычислить другую диагональ из формулы:3751580228600
Выразим d2 =_______________________
Найдем сторону ромба с помощью формулы:
4a2= d12+d22
_______________________________________________________________
_____________________________________________________________
Ответ:__________
3. Диагональ ромба образует с его стороной угол 25°. Найти больший угол ромба.
Решение:
_________________________________________________________________
__________________________________________________________________
Ответ:____________
2.4. Квадрат.
Квадрат - это прямоугольник, у которого все стороны равны.
Свойства квадрата:
У квадрата все углы прямые. 366458549530
Диагонали квадрата равны и пересекаются под прямым углом.
Квадрат имеет четыре оси симметрии- прямые, проходящие:474091033655
- через его диагонали;
- через середины противоположных сторон
Радиус описанной окружности
22790159525 475043568580
Радиус вписанной окружности
24911050
3845560198755
Площадь квадрата
158813519050
Диагональ делит квадрат на два равных прямоугольных треугольника.
Диагональ квадрата со стороной а найдем по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника:
d2=а2+а2
d2=2а2
d=√2а или а=
Решение задач
1. Найти сторону квадрата, равновеликого прямоугольнику со сторонами 9 см и 4 см.
Решение:
_________________________________________________________________
__________________________________________________________________
Ответ:____________
2. Во сколько раз изменится площадь квадрата, если его сторону увеличить в 5 раз ?Решение:
_________________________________________________________________
__________________________________________________________________
Ответ:____________
3. Найти площадь квадрата, вписанного в окружность радиусом R=3см.
Решение:
Рассмотрим ∆АОD- прямоугольный со сторонами
АО=ОD=R
По теореме Пифагора: АD2=___________________
___________________________________________
359410117475 ___________________________________________
_________________________________
____________________
Ответ:_____________________
4. Сторона квадрата равна 12 см. Найти радиус окружности, вписанной в квадрат.
Решение:
_________________________________________________________________
__________________________________________________________________
Ответ:____________
2.5. Трапеция.
Опр. Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны.
Параллельные стороны называются основаниями трапеции.486473592075
Не параллельные стороны называются боковыми
сторонами.
Условимся высотой трапеции называть перпендикуляр, опущенный из произвольной точки основания трапеции на другое основание.
Опр. Средней линией трапеции называется
отрезок, соединяющий середины боковых 46170859525сторон.
AK=KB; CL=LD
KL-средняя линия трапеции.Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их439801069850 полусумме.
206438598425
Опр. Трапеция, у которой боковые стороны равны,
называется равнобокой (равнобедренной).
АВ=СDУ равнобокой трапеции:324548564770
- углы при основании равны ﮮА=ﮮD, ﮮB=ﮮC
- диагонали равны ВD=АС
Опр. Прямоугольной называется трапеция, у которой4589780158750
одна боковая сторона перпендикулярна основаниям.
Свойства трапеции.
Окружность можно вписать в трапецию, если сумма
ее боковых сторон равна сумме оснований.
АВ+СD=ВС+АD5140960114300
Центр вписанной в трапецию окружности- точка пересечения биссектрис внутренних углов.
Радиус вписанной окружности равен половине высоты.
center0
Площадь трапеции можно определить :- через полусумму оснований ( среднюю линию трапеции) и высоту
1338580114300
- через диагонали и угол между ними
97980585725
Вокруг любой равнобокой трапеции можно описать окружность.
Если трапеция вписана в окружность, то она равнобокая.
Решение задач
1. В равнобокой трапеции большее основание равно 3,7 , боковая сторона равна 1,5 , а угол между ними равен 60°. Найдите среднюю линию трапеции.
Решение:
Дано:
________ Проведем перпендикуляры ВЕ и СК
________ к прямой АD:___________________438848520955
________ ∆АВЕ и ∆СКD-__________________
________ ﮮАВЕ=ﮮКСD=________________
_________ АЕ=КD=___________
Найти: ЕК=_____________________
_________ Т.к. ЕК=ВС, то средняя линия трапеции:___________________
______________________________________
Ответ:_________
2. Найдите площадь равнобедренной трапеции, диагональ которой равна 3√2 и составляет с основанием угол 45°.
center0
Дано:
___________
___________
___________
_____________
Решение:
Запишите формулу площади трапеции:
__________________________________
Высоту найдем из ∆ АСH - ___________________ и _____________________,
т.к. ﮮАСЕ=_______________= ﮮ _________
По теореме Пифагора:
_______________________________________
_______________________________________
Ответ: ____________________
3. Задачи по планиметрии, входящие в содержание ЕГЭ.
1. В треугольнике АВС угол С равен 90°, sin A=, AC=6. Найдите АВ.
Дано: Решение:
________ Запишите формулу для
________ вычисления синуса угла А:
________ sin A= ________________________
Найти: Выразите СВ=__________________
________ Составьте уравнение по теореме
Пифагора: _____________________
_______________________________
_________________________________
______________________________________
Ответ:_______________
2. В треугольнике АВС угол С равен 90°, sin A=. Найдите cos B.
Дано: Решение:
_________ Т.к. сумма острых углов в прямоугольном
_________ треугольнике равна ____, то ﮮВ=_____________
__________ Тогда cos В=cos(______________)=__________
Найти:
__________ Ответ:_________________
3. В треугольнике АВС угол С равен 90°, sin A=. Найти sin В.
Дано: Решение:
_________ Т.к. сумма острых углов в прямоугольном
_________ треугольнике равна ____, то ﮮВ=_____________
__________ Тогда sin В==____________________________
Найти:
__________ Ответ:_________________
4. В треугольнике АВС угол С равен 90°, cos A=, АС=4. Найдите высоту СК.
Дано: Решение:
________ Т.к. СК- высота ∆АВС, то СК___АВ
_________ Рассмотрим ∆АСК-_____________506476033020
_________ СК-противолежащий катет к углу А Запишите формулу для вычисления
_________ sin A в ∆ АСК:__________________
Найти: Выразите СК=__________________
_________ Зная значение cos A, найдите значение sin А:
_______________________________________________
________________________________________________
СК=_____________________________________________
Ответ:____________________
5. Один острый угол прямоугольного треугольника на 10˚ больше другого. Найдите больший острый угол.
____________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________
_____________________________
6. В треугольнике АВС угол С равен 90˚, угол А равен 60˚, АВ=8. Найдите АС.
___________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
___________________________________________________________
__________________________________________________________
Ответ:________________
7. . Найдите площадь квадрата, изображенного на рисунке. Размер каждой клетки 1 см ᵡ 1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
102235100965
8. Найдите площадь трапеции, изображенной на рисунке. Размер каждой клетки 1 см ᵡ 1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
203200135890
9 Найдите площадь параллелограмма, изображенной на рисунке. Размер каждой клетки 1 см ᵡ 1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
35941045085
ВСР №12. Составление таблицы по теме «Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве»
Прямые Плоскости
параллельны а в перпендикулярны а
с ……….. ВСР №13. Составление таблицы по теме «Параллельность в пространстве»
Примерная таблица:
Расположение прямых в пространстве
а
в
…… ………
ВСР №14-15. Решение задач по теме «Прямые и плоскости в пространстве»
Полное решение задач по вариантам
1 вариант.
Даны четыре точки, из которых три лежат на одной прямой. Верно ли утверждение, что все четыре точки лежат в одной плоскости.
2 вариант
а) Докажите, что все вершины четырехугольника АВСД лежат в одной плоскости, если его диагонали АС и ВД пересекаются.
b)Вычислите площадь четырехугольника, если АС перпендикулярна ВД. АС=10см., ВД=12см.
3 вариант
Даны две пересекающие прямые. Верно ли утверждение, что все прямые, пересекающие данные, лежат в одной плоскости. (Ответ обосновать)
4 вариант
Дан прямоугольник АВСД, О - точка пересечения его диагоналей. Известно, что точки А, В и О лежат в плоскости α..
а) Докажите, что точки С и Д также лежат в плоскости α.
b)Вычислите площадь прямоугольника, если АС=8см., угол АОВ равен 60° .
ВСР №16-17. Составление презентации по теме «Элементы комбинаторики»
1 сл. Титульник-название и тема
2 сл. Определение
3 сл. Примеры
4 сл. Из истории…
5 сл. Литература
ВСР №18. Составление тестов по теме «Комбинаторика»
Тесты в двух вариантах по 10 вопросов с 4-мя вариантами ответов. Ключ в конце.
Например:
Сколькими способами можно составить расписание одного учебного дня из 5 различных уроков?
1)302)1003)1204) 5
ВСР №19. Составление презентации «Декартовы координаты на плоскости и в пространстве»
1 сл. Титульник-название и тема
2 сл. Определение
3 сл. Примеры
4 сл. Из истории…
5 сл. Литература
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Данная методическая разработка является методическим пособием для изучения дисциплины Математика: алгебра, начала математического анализа, геометрия.
Студенты 1 курса, обучающиеся по специальностям 35.02.05 «Агрономия»,
35.02.08 «Электрификация и автоматизация с/х», 21.02.04 «Землеустройство», 38.02.01 «Экономика и бухгалтерский учёт по отраслям» самостоятельные работы выполняют в тетрадях, которые заводят специально для выполнения ВСР, презентации сдаются в электронном виде, студент имеет право предоставить сам.раб. в распечатанном виде(таблица, кроссворд, реферат и т.д.).
Защита самостоятельных работ осуществляется индивидуально, обсуждается на семинарских занятиях, на занятиях предметных кружков.
Самостоятельная работа оказывает значительное влияние на глубину и прочность знаний студентов по математике, на развитие их познавательной способности, на темп усвоения нового материала.
Совершенствование работы преподавателя происходит постоянно, оно может касаться как содержания, так и форм методической документации. Кроме того, облегчить работу студента – это прямая обязанность преподавателя.
Студентам предложенная форма так же нравится больше именно своей конкретностью, где понятно и задания и возможности выполнения. Сильные студенты на основе базовой задачи могут самостоятельно освоить даже пропущенный материал, да и слабых студентов возможность попробовать проработать задачу подталкивает к саморазвитию.
Практический опыт показывает, что:
Систематически проводимая самостоятельная работа при правильной ее организации способствует получению студентами более глубоких и прочных знаний по сравнению с теми, которые они приобретают при сообщении преподавателям готовых знаний.
Организация выполнения студентами разнообразных по дидактической цели и содержанию самостоятельных работ, способствуют развитию их познавательных и творческих способностей, развитию мышления.
При тщательно продуманной методике проведения самостоятельных работ ускоряются темпы формирования у студентов умений и навыков практического характера, что оказывает положительное влияние на формирование познавательных умений и навыков.
При оценке самостоятельной работы студентов необходим индивидуальный подход и любая самостоятельная работа, не зависима от оформления и объема заслуживает похвалу, что будет хорошим стимулом студенту к дальнейшей работе.
При оценке работ необходимо указать на ошибки и неточности, что исключить их повторения в следующих работах.
ИСПОЛЬЗУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
Селевко Г.К. Современные образовательные технологии. Учебное пособие для педагогических вузов и институтов повышения квалификации. Москва «Народное образование» 1998.
Семушина Л.Г., Н.Г.Ярошенко. Содержание и методы обучения в средних специальных учебных заведениях. Москва. «Высшая школа», 1990.
Применение современных технологий обучения студентов средних специальных учебных заведений. (Сборник материалов. Выпуск 1.) Москва, 1997.
Сборник инструктивно-методических материалов по организации учебного процесса в среднем профессиональном образовании. Москва НПЦ «Профессионал-Ф», 2003.
Система контроля качества подготовки студентов, обеспечивающая требования государственных стандартов. Москва, 1996.
Технологии обучения: Сущность, опыт применения и проблемы развития. (Доклады и материалы к научно-практической конференции). Москва, 1997.
Учебная и педагогическая деятельность в активных формах обучения. Методические рекомендации по изучаемой теме. Москва, 1989.
Математика: учебник А.А.Дадаян2-ое изд. – М.: ФОРУМ, 2008
Сборник задач по математике: учебное пособие для ссузов/ Н. В. Богомолов Дрофа, Москва,2007