Решение задач повышенной сложности при подготовке к ГИА по геометрии

1- 3
Дано.ABCD- трапеция
A=8 , b=6 , R=5.
Найти. AB , СD,площадь ABCD,h1, h2.

1случай. Решение.
ABCD- равнобедренная трапеция. Из
· ОАН2 прямоугольного по теореме Пифагора ОН2=2 Аналогично из
·ОВН1 ОН1=4, тогда Н1 Н2 =1.
АК=1 Из
·АВК прямоугольного по теореме Пифагора АВ=.
Sтр=h=1=7
2случай.
ABCD- равнобедренная трапеция .Из
·ODH2 прямоугольного по теореме Пифагора ОН2=3 ,из
·ОСН1 прямоугольного по теореме Пифагора ОН2=4, тогда Н1 Н2=7
АК=1 Из
·АВК прямоугольного по теореме Пифагора АВ=.
Sтр=h=
·7=49.
Ответ:
Н1 Н2
АВ
Sтр

1

7

7

49

Задача № 4
Найдите угла А, В ,С и D трапеции.

Дано:
ABCD – трапеция,
ВС=6, AD=8
Найти:

Решение:
Из вершины опустим высоту .
Из задачи 1 следует, что .
По свойству равнобедренной трапеции .
Так же по свойству равнобедренной трапеции .
Рассмотрим - прямоугольный. По определению тангенса острого угла прямоугольного треугольника получим:

По условию задачи трапеция вписана в окружность. Следовательно, .

Ответ:

Задача № 5
Найти диагонали трапеции.
Дано: –трапеция, . Найти: .

Решение:
По свойству равнобедренной трапеции .
Рассмотрим – прямоугольный. По теореме Пифагора

Ответ:

Задача № 6
Найти угол между диагоналями трапеции.
Дано: –трапеция,
.
Найти: .

Решение:
Пусть
Площадь трапеции можно найти по формуле:

По свойству равнобедренной трапеции Следовательно, формула принимает вид:

Из задачи 3 известно, что Составим и решим уравнение:

Ответ:

Задача №7

Найти длину отрезка МN, параллельного АD, проходящего через точку пересечения диагоналей трапеции.
Решение:
Длина отрезка, проходящего через точку пересечения диагоналей трапеции, параллельно основаниям, есть среднее гармоническое оснований трапеции.
Значит, МN =13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415, где 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 и 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415основания трапеции 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 МN=13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415=13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415=613 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
Ответ: 613 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415

Задача №8
Найти длину отрезка средней линии трапеции АВСD, заключенного между диагоналями (длину отрезка ЕF).
Решение:
В треугольнике АСD ЕN – средняя линия ЕN АD и ЕN=АD.
В треугольнике ВСD FN – средняя линия FN ВС и FN=ВС. Тогда ЕF= ЕN- FN=( АD- ВС)
Значит, длина отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции, равна полуразности оснований.
Длина отрезка равна =1
Ответ: 1
Задача №9
В каком отношении отрезок МN делит площадь трапеции (вычислить 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415).
Решение:
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415=13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415, где 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415и13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415высоты трапеций MNCB и ADNM соответственно. Так как 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415, то 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415=13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
Значит, 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415=13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415=13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
Ответ: 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
Задача №10.

Найти высоту треугольника ADF, где F – точка пересечения продолжений боковых сторон.
Решение: 1 способ.
Рассмотрим прямоугольный 13 EMBED
·Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 28

2 способ.
Треугольники 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415подобны по двум углам (угол 13 EMBED Equation.3 1415-общий, угол 13 EMBED Equation.3 1415 равен углу 13 EMBED Equation.3 1415 как соответственные углы при параллельных прямых 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415).
Значит, 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415.
Пусть 13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415, тогда 13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415+7 (13 EMBED Equation.3 1415= 7 из задачи № 1)
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415=21. Значит, 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ:28

Задача №11
Известны длины оснований a=8 см и b=6 см вписанной в окружность трапеции АВСD, ВС||АD и радиус окружности R=5 см. Найдите площади четырех треугольников, на которые делят диагонали трапецию.

Дано: АВСD - трапеция,
ВС||АD
основания 8 см и 6 см
R=5

Найти S треугольников, на которые диагонали делят трапецию

Решение:
1.
· ВОС подобен
· АОD по двум углам (13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415ВОС =13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 СОD (вертикальные), 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415ОВС = 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415ОDА (накрест лежащие при параллельных прямых (ВС и АD) и секущей ВD).
k = 4/3
Отношение S подобных треугольников равно k2
Обозначим S
· ВОС за х, тогда S
· АОD = 16/9х
S
· ВОА = S
· СОD = 4/3х (см. БЗ 2.8)
2. S
· АВСD = 1/2* (8+6)*7=49
S
· АВСD = S
· ВОА+ S
· АОD + S
· ВОС +S
· СОD
х+ 16/9х+4/3х+4/3х = 49
х= 9 см2 - S
· ВОС
S
· АОD = 16/9*9=16 см2
S
· ВОА = S
· СОD = 4/3*9=12 см2
Ответ: 9 см2, 16 см2 , 12 см2

Задача №12
а) Найдите длину отрезка, .параллельного основаниям трапеции, который делит трапецию на две равновеликие трапеции.

Дано: АВСD - трапеция,
ВС|| АD
основания 8 см и 6 см

Найти: длину MN

Решение:
Согласно БЗ2.12 MN = 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415= 413 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 см

б) Найдите длину отрезка, .параллельного основаниям трапеции, который делит трапецию на две подобные трапеции.

Дано: АВСD - трапеция,
ВС|| АD
основания 8 см и 6 см

Найти: длину MN

Решение:
Согласно БЗ2.11 MN = 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 = 513 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415см

Задача №13
Можно ли в трапецию вписать окружность?

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы противоположных сторон равны. (БЗ2.5)
Проверим АВ + СD = ВС + АD,
8 см + 6 см 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 513 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415см+513 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415см
В данную трапецию окружность вписать нельзя.

Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeРисунок 2