Интегрированный урок Применение производной при решении физических задач (11-й класс)

Интегрированный урок "Применение производной при решении физических задач" (11-й класс)
Учитель математики Куц Федор Иванович
Учитель физики Овчар Сергей Александрович.
Цели:
Повторить, обобщить и систематизировать знания о производной.
Закрепить навыки нахождения производных.
Проверить уровень сформированности навыка нахождения производных, способствовать выработке навыков в применении производной к решению физических задач.
Развивать логическое мышление, память, внимание и самостоятельность.
Оборудование: Мультимедийный экран, карточки с задачами по физике.
Ход урока
Организационный момент
Учитель математики: Здравствуйте. У нас сегодня необычный урок. Он будет объединять математику с физикой.
Тема нашего урока “Применение производной при решении физических задач”
Учитель физики – Перед тем, как перейти к решению задач, давайте повторим теоретические вопросы кинематики и динамики.
Актуализация знаний
(Фронтально, ответить на вопросы и записать формулы на доске):
Что такое мгновенная скорость?
Что такое ускорение?
Записать уравнение зависимости координаты от времени для равномерного движения x(t) = x 0+ vt
Записать уравнение зависимости проекции вектора перемещения от времени для равномерного движения sx(t) = vxt
Записать уравнение зависимости координаты от времени для равнопеременного движения x(t) = x0+ v0xt + axt2/2
Записать уравнение зависимости проекции скорости от времени для равнопеременного движения vx (t)= v0x + axt
Записать формулы проекции перемещения для равнопеременного движения s x(t) = v0xt+axt2/2
Записать формулу кинетической энергии E = mϑ22 .
Записать формулу работы F = ma.
Учитель физики: Повторив вопросы, давайте решим задачу по теме «кинематика».
Учитель физики обращает внимание на экран, где спроектирована задача:
№1. Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = -2 + 4t + 3t2. Найдите ее скорость и ускорение в момент времени t = 2с. (х – координата точки в метрах, t – время в секундах).
Решим задачу физическим способом: x(t) = x0 + v0xt+axt2/2
1) x0 = - 2м; v0x= 4 м/с; ax= 3∙2 = 6(м/с)2.
2) vx (t)= v0x + axt; vx (t) = 4 + 6t; v x (2) = 4 + 6∙2 = 16(м/с).
Ответ:vx =16м/с; ax= 6 м/с2.
Учитель математики: А теперь я хочу забрать инициативу и предложить ребятам вопрос, который мы изучали на уроках математики.
Пусть тело движется по закону S(t) = f(t). Рассмотрим пройденный телом путь за время от t0 до t0+ ∆t, где ∆t- приращение аргумента. В момент времени t0 телом пройден путь S(t0), в момент t0 + ∆t – путь S(t0+ ∆t). Поэтому за время ∆t тело прошло путь S(t0+ ∆t) - S(t0), т.е. мы получили приращение функции. Средняя скорость движения за этот промежуток времени v = S(t0+ ∆t) - S(t0)∆t = ∆S∆t. Чем меньше промежуток времени t, тем точнее мы можем узнать с какой скоростью движется тело в момент t. Устремив t → 0, получим мгновенную скорость – числовое значение скорости в момент t этого движения:
v = lim t → 0∆S∆t= Sʹ(t). Скорость – производная от пути по времени.
Еще раз вспомним определение ускорения: a(t) = ∆v∆t .
Применив выше изложенный материал, можно сделать вывод: при t → 0 a(t) = vʹ (t) Ускорение – есть производная от скорости по времени.
Итак, в чем состоит физический смысл производной? Ведь не даром у нас урок физики и математики (сформулировать: физический смысл производной заключается в том, что производная от пути по времени есть мгновенная скорость, а производная от скорости есть ускорение.)
– Так с помощью чего можно найти мгновенную скорость?
Теперь вернемся к решенной на доске задаче. Мы ее решили, используя только знания физики, а т.к. мы вспомнили, в чем же заключается физический смысл производной, давайте решим эту же задачу, используя производную:
x(t) = - 2 + 4t + 3t2.
v (t) = xʹ(t) = 4 + 6t.
v (2) = 4 + 6∙2 = 16 (м/с).
a(t) = vʹ (t) = 6 м/с2.
Ответ: v =16м/с; a = 6 м/с2.
Вопрос: Какое решение вам больше нравится? Почему?
Вывод учащихся.
№ 2 .На доске в условии задачи № 1 заменить t2 на t3: x(t) = -2 + 4t + 3t3 и задать вопрос:
А смогли бы вы решить эту задачу физическим способом, используя тот теоретический материал, который мы повторили в начале урока? Почему нет?
x(t) = -2 + 4t + 3t3.
v (t) = xʹ(t) = 4 + 9t2.
v (2) = 4 + 6∙22 = 4 + 24 = 28(м/с).
a(t) = vʹ (t) =18t.
a(2) = 9 ∙2 = 18( м/с2).
Ответ. v (2) = 28м/с; a(2) = 18м/с2.
Учитель физики: Рассмотрим различные виды физических величин, которые удобнее находить через производную. ( Таблица проецируется на экран)
v=S'(t)v-скоростьS-перемещение t - время v=Sta=v(t)a-ускорениеv-скоростьa=vtω=φ'(t)ω-угловая скоростьφ-движение по окружностиω=φtF=A'(s)F-силаA-работаS- перемешение F=ASN=A'(t)N-мощностьA-работаN=Atρ=m'(l)ρ-линейная плотностьm-масса тонкого стержняl-длинаρ=mlI=q'(t)I-сила токаq-электрический зарядI=qtρ=m'(V)ρ-объемная плотностьm-массаV-объемρ=mVc=Q'(t)c-удельная теплоемкостьQ-количество теплотыm-массаc=QmΔT№ 3. Два тела совершают прямолинейное движение по законам:
S1 (t) = 3t- 2t+10, S2 (t) = t+ 5t + 1, где t – время в секундах, а S1 (t), S2 (t) – пути в метрах, пройденные, соответственно, первым и вторым телами. Через сколько секунд, считая от t=0, скорость движения первого тела будет в два раза больше скорости движения второго тела?
На доске задачу 3 решает средний ученик,
Решение. v1 (t) = S1ʹ(t) = 6t – 2; v2 (t) = S2ʹ(t) = 2t + 5.
Составим уравнение, отвечающее вопросу задачи: v1 (t) = 2v2 (t), т. е. 6t – 2 = 2(2t + 5).
6t – 2 = 4t + 10; 2t = 12; t = 6(с).
Ответ. t = 6(с).
№ 4.Маховик вращается вокруг оси по закону φ(t) = t4- 5t. Найдите его угловую скорость ω в момент времени 2с ( φ - угол вращения в радианах, ω - угловая скорость в рад/с).
Решение.ω(t)=φ'(t)ω(t) = (t4- 5t)ʹ = 4t3- 5.
ω(2) = 4∙23- 5= 32 – 5 = 27 (рад/с).
Ответ. ω(2) = 27 (рад/с).
№ 5.Тело массой 2 кг движется прямолинейно по закону x(t) = 2- 3t + 2t2. Найдите скорость тела и его кинетическую энергию через 3с после начала движения. Какая сила действует на тело в этот момент времени? (t измеряется в секундах, х – в метрах).
Решение.
Учитель математики: v (t) = xʹ(t)
v (t) = (2- 3t + 2t2) ʹ= - 3 + 4t.
v (3)= - 3 + 4∙3 = 9(м/с).
Учитель физики: E = mϑ22E = 2кг∙(9м/с)22 = 81Дж.
F = ma.
Учитель математики: a(t) = vʹ (t).
a(t) = (- 3 + 4t)ʹ = 4 (м/с2).
Учитель физики F = 2кг ∙ 4 м/с2 = 8 Н.
Ответ. E = 81Дж, F = 8 Н.
№ 6. Количество электричества, протекающее через проводник, начиная с момента t=0, задается формулой q = 3t2 + t + 2. Найдите силу тока в момент времени t = 3c.
Решение. I(t) = qʹ(t) ; I(t) =(3t2 + t + 2)ʹ = 6t +1; I(3) = 6∙3 +1 =19(A)
Ответ: 19А.
№7. В тонком неоднородном стержне длиной 25см его масса (в г) распределена по закону m = 2l2 + 3l , где l – длина стержня, отсчитываемая от его начала. Найти линейную плотность в точке:
отстоящей от начала стержня на 3см;
в конце стержня.
Решение. ρ(l) = mʹ( l); ρ(l)= (2l2 + 3l)ʹ = 4l +3; ρ(3)= 4∙3+3= 15(г/см).
ρ(25)= 4∙25+3= 103(г/см)
Ответ: 15г/см; 103г/см.
№ 8.Электрическая цепь состоит из источника тока и реостата. ЭДС источника ε = 6 В, его внутреннее сопротивление r = 2 Ом. Сопротивление реостата можно изменять в пределах от 1 Ом до 5 Ом. Чему равна максимальная мощность тока, выделяемая на реостате?
Решение.
Учитель физики:
Максимальная мощность достигается в том случае, когда сопротивление нагрузки равно внутреннему сопротивлению источника тока, т.е. при R= r. В нашем случае с данным реостатом это возможно.
Закон Ома для полной цепи: I = εr+R .
Мощность тока, выделяемая на реостате: P = IU= I2R = Rε2r+R2.
При R= r имеем: P = Rε2r+R2.= rε2r+r2. = ε24rP= 624∙2 = 4,5 (Вт).
Учитель математики:
Исследуем выражение для мощности на экстремум по сопротивлению:
Pʹ(R) =Rε2r+R2ʹ = ε2∙r+R2 -Rε2∙2r+R r+R4 = ε2∙r+R-2R∙(r+R) r+R4 =ε2∙r+R-2R r+R3 = ε2∙r-R r+R3.
Решив уравнение Pʹ(R) = 0,т.е. ε2∙r-R r+R3 = 0, имеем R= r = 2.
При 1 ≤ R ≤ 2, Pʹ(R) > 0, при 2 ≤ R ≤ 2, Pʹ(R) < 0,следовательно, при R = 2 Ом мощность P достигает наибольшего значения. P (2) = 2∙622+22 = 4,5 (Вт).
Ответ. 4,5 (Вт).
№ 9. Частица совершает гармонические колебания по закону x(t) = 24 cos π12 t см. Определите проекцию скорости частицы и ее ускорения на ось Ох в момент времени t = 4с.
Решение. v (t) = xʹ(t) = (24 cos π12 t)ʹ = -24∙ π12 sin π12 t = -2π sin π12 t;
v (4) = -2π sin (π12∙ 4) = -2π∙32 = - 3π.
a(t) = vʹ (t) =(-2π sin π12 t)ʹ = -2π ∙ π12cos π12 t = - π26 cos π12 t;
a(4) = - π26 cos ( π12∙ 4) = - π26∙12 = - π212∙
Ответ. v (4) = - 3π, a(4) = - π212∙
Учитель математики:
Теперь переходим к решению небольшой самостоятельной работы. В ней вы должны показать свое умение решать задачи, которые мы сегодня рассмотрели.
Самостоятельная работа в двух вариантах
Задания 1 варианта:
1.Точка движется прямолинейно по закону x(t)=2t3 + t - 3. В какой момент времени ускорение будет равно 24 м/с2. (х – координата точки в метрах, t- время в секундах)
2.Колебательное движение точки описывается уравнением x = 0,05 cos 20πt .Найти проекцию скорости и проекцию ускорения спустя 160 с.
Задания 2 варианта
Материальная точка движется по прямой так, что ее координата в момент времени t равна x(t) = t4- 2t. Найдите ускорение точки в момент времени t =3 с.
Колебание маятника совершается по закону x = 0,2sin10πt . Определите проекцию скорости маятника и ускорение через 140 с.
Итог урока
– Мы сегодня повторили применений производной в кинематике, но возможности применения производной намного шире, в чем мы сегодня и убедились: ее можно применять при изучении многих вопросов по динамике, так же при изучении электромагнитных явлений, в оптических явлениях, при решении задач по ядерной физике. Те вопросы, которые мы сегодня рассмотрели, помогут вам при решении задач по математике и физике на экзаменах
Учитель математики: А я хочу закончить наш урок высказыванием русского ученого Михаила Васильевича Ломоносова, в котором как нам кажется, мы сегодня убедились
«Слеп физик без математики»