Доклад на тему: Особенности построения графиков функций заданных неявно и параметрически
Полякова О.Л.
Доклад
ОСОБЕННОСТИ Построения графиков функций
заданных неявно и параметрически
Из курса математического анализа известен стандартный алгоритм исследования явно заданных функций (область определения; множество значений; четность – нечетность; асимптоты; периодичность; нули; экстремумы; интервалы монотонности, выпуклости и вогнутости; точки перегиба). При параметрическом или неявном задании функции существует ряд специфических особенностей, отличающих построение графиков этих функций. Рассмотрим эти особенности на примерах.
Пример 1. Построить график функции 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 [2, с. 126].
Сначала строим графики функций 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 соответственно в системах координат 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415.
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Рис. 1 а) 13 EMBED Equation.3 1415
Рис. 1 б) 13 EMBED Equation.3 1415
Учитывая графическое изображение функций 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, исследуем функцию 13 EMBED Equation.3 1415 по схеме [3].
Область определения функции: 13 EMBED Equation.3 1415.
Множество значений функции: 13 EMBED Equation.3 1415.
Так13 EMBED Equation.3 1415как 13 EMBED Equation.3 1415- функция общего вида, а 13 EMBED Equation.3 1415- нечетная функция, то симметрии13 EMBED Equation.3 1415график не имеет.
При исследовании функции заданной параметрически, необходимо найти
особые точки (точка 13 EMBED Equation.3 1415 особая точка кривой, если 13 EMBED Equation.3 1415) и определить их вид.
Пусть, 13 EMBED Equation.3 1415- первая отличная от нуля производная и 13 EMBED Equation.3 1415- первая из производных, не коллинеарных вектору 13 EMBED Equation.3 1415. Тогда если:
13 EMBED Equation.3 1415 - нечетное, 13 EMBED Equation.3 1415 - четное – образ кривой в окрестности точки 13 EMBED Equation.3 1415 имеет такой же вид, как и в окрестности регулярной точки;
13 EMBED Equation.3 1415 - нечетное, 13 EMBED Equation.3 1415 - нечетное – точка 13 EMBED Equation.3 1415является точкой перегиба;
13 EMBED Equation.3 1415 - четное, 13 EMBED Equation.3 1415 - нечетное – точка 13 EMBED Equation.3 1415 называется точкой возврата первого рода (рис. 1а);
13 EMBED Equation.3 1415 - четное, 13 EMBED Equation.3 1415 - четное – точка 13 EMBED Equation.3 1415 называется точкой возврата второго рода (рис. 1б) [2, с. 114].
Рис. 2 а)
13 EMBED PBrush 1415
Рис. 2 б)
13 EMBED PBrush 1415
Точка 13 EMBED Equation.3 1415 является особой точкой кривой, так как производные первого порядка: 13 EMBED Equation.3 1415 равны нулю при 13 EMBED Equation.3 1415. Определяем тип особой точки, для этого вычисляем вторую и третью производные:
13 EMBED Equation.3 1415
Таким образом, точка 13 EMBED Equation.3 1415 – точка возврата первого рода.
Точки самопересечения находим из условия 13 EMBED Equation.3 1415, решая систему:
13 EMBED Equation.3 1415.
Так как 13 EMBED Equation.3 1415, значит, кривая не имеет точек самопересечения.
Угловой коэффициент касательной:
13 EMBED Equation.3 1415.
При 13 EMBED Equation.3 1415 и при 13 EMBED Equation.3 1415, т.е. в точках с координатами 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415и 13 EMBED Equation.3 1415 касательные параллельны оси абсцисс; при 13 EMBED Equation.3 1415, т.е. в точке с координатами 13 EMBED Equation.3 1415 касательная параллельна оси ординат.
Экстремумы функции и интервалы монотонности.
Точка 13 EMBED Equation.3 1415 – точка минимума; точки 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 – точки максимума; при 13 EMBED Equation.3 1415 и при 13 EMBED Equation.3 1415 функция убывает; при 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415и при 13 EMBED Equation.3 1415 функция возрастает.
Интервалы выпуклости и точки перегиба. Так как вторая производная
13 EMBED Equation.3 1415
отлична от нуля, следовательно кривая не имеет точек перегиба; при 13 EMBED Equation.3 1415 и при 13 EMBED Equation.3 1415 кривая выпукла вверх; при 13 EMBED Equation.3 1415 и при 13 EMBED Equation.3 1415 кривая выпукла вниз.
Асимптоты.
Прямая 13 EMBED Equation.3 1415 является наклонной асимптотой, т.к.
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.
Прямая 13 EMBED Equation.3 1415 наклонная асимптота, так как при 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415.
Прямая 13 EMBED Equation.3 1415 ( вертикальная асимптота, т.к. при 13 EMBED Equation.3 1415.
Горизонтальных асимптот кривая не имеет.
График функции (рис. 3):
Рисунок 3 - График функции 13 EMBED Equation.3 1415
При исследовании и построении графика функции заданной неявно также определяют особые точки кривой.
Точка 13 EMBED Equation.3 1415 кривой 13 EMBED Equation.3 1415 называется особой точкой, если ее координаты одновременно удовлетворяют трем уравнениям:
13 EMBED Equation.3 1415
Если в особой точке 13 EMBED Equation.3 1415 производные второго порядка 13 EMBED Equation.3 1415 не равны одновременно нулю, тогда точка 13 EMBED Equation.3 1415 является двойной точкой кривой, причем форма кривой у ее двойной точки зависит от знака определителя
13 EMBED Equation.3 1415.
Возможные случаи изображены на рисунке [1, с. 271]:
13 EMBED PBrush 1415
13 EMBED PBrush 1415
13 EMBED PBrush 1415
Рис. 4 а) 13 EMBED Equation.3 1415 узловая точка
Рис. 4 б) 13 EMBED Equation.3 1415 изолированная точка
Рис. 4 в) 13 EMBED Equation.3 1415 точка возврата первого рода
13 EMBED PBrush 1415
13 EMBED PBrush 1415
Рис. 4 г) 13 EMBED Equation.3 1415 точка возврата второго рода
Рис. 4 д) 13 EMBED Equation.3 1415 точка самокасания
Пример 2. Построить график функции 13 EMBED Equation.3 1415 [1, с.182].
Область определения находим, решая уравнение:
13 EMBED Equation.3 1415
Откуда, область определения первой ветви 13 EMBED Equation.3 1415, второй ветви - 13 EMBED Equation.3 1415
Кривая симметрична относительно координатных осей.
Точки пересечения кривой с осями координат:
13 EMBED Equation.3 1415
Асимптоты. Горизонтальных и вертикальных асимптот кривая не имеет, так как коэффициенты при высших степенях 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415постоянные величины. Наклонные асимптоты находим из условия:
13 EMBED Equation.3 1415,
приравнивая к нулю коэффициенты при 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. Получаем 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 - наклонные асимптоты искомой кривой.
Особые точки: 13 EMBED Equation.3 1415
Точка 13 EMBED Equation.3 1415 является особой двойной точкой, так как 13 EMBED Equation.3 1415 и производные второго порядка в этой точке одновременно не равны нулю. Т.к. 13 EMBED Equation.3 1415 точка с координатами 13 EMBED Equation.3 1415 узловая точка.
Найдем касательные к кривой в особой точке, для этого приравняем к нулю коэффициенты при низших степенях:
13 EMBED Equation.3 1415,
Таким образом, прямые 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 – две касательные к кривой в особой точке.
Координаты точек, в которых касательные параллельны оси абсцисс, найдем, решив систему:
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415.
В точках 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 касательные параллельны оси абсцисс. Исследуем их на экстремум. Так как 13 EMBED Equation.3 1415 в точке 13 EMBED Equation.3 1415, то в ней функция не имеет экстремума. Так как произведение
13 EMBED Equation.3 1415
в точке с координатами 13 EMBED Equation.3 1415 принимает положительные значения, то в этой точке максимум; а в точках с координатами 13 EMBED Equation.3 1415 произведение 13 EMBED Equation.3 1415, следовательно это точки минимума.
Координаты точек, в которых касательные параллельны оси ординат, найдем, решив систему:
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415.
В точках с координатами 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415касательные параллельны оси ординат. Исследуем их на экстремум. Так как 13 EMBED Equation.3 1415 в точке 13 EMBED Equation.3 1415, то в ней функция не имеет экстремума. Так как произведение
13 EMBED Equation.3 1415
в точке с координатами 13 EMBED Equation.3 1415, принимает положительные значения, то в этой точке максимум; а в точке с координатами 13 EMBED Equation.3 1415 – минимум, так как произведение 13 EMBED Equation.3 1415.
Точки13 EMBED Equation.3 1415перегиба находим, приравняв к нулю вторую производную:
13 EMBED Equation.3 1415,
очевидно, 13 EMBED Equation.3 1415точка перегиба.
График функции (рис. 5):
Рис. 5 - График функции 13 EMBED Equation.3 1415
Исследовать кривую – значит выявить совокупность важнейших свойств, дающих исчерпывающую информацию для изображения графика этой кривой. В целом, алгоритм исследования параметрических и неявно заданных функций совпадает с алгоритмом исследования функций заданных явно. Однако, существуют следующая специфическая особенность отличающая исследование этих функций от функций заданных явно, заключающаяся в нахождении особых точек и точек самопересечения.
При исследовании параметрических функций часто возникают сложности при определении точек перегиба и промежутков вогнутости, так как это исследование требует нахождения второй производной функции, которая представляет собой громоздкое выражение и решить уравнение 13 EMBED Equation.3 1415 точными методами не удается, необходимо прибегать к численным методам. Аналогичные сложности возникают и при исследовании неявно заданных функций: из-за сложных выражений второй производной определять точки перегиба приходится методом подбора (интуитивно) или же не определять вовсе.
Библиографический список:
Графики функций: Справочник / Вирченко Н. А., Ляшко И. И., Швецов К. И. – Киев: Наук. думка, 1979. – 320 с.
Райхмист Р. Б. Графики функций: Справ. пособие для вузов. – М., «Высшая школа», 1991. – 160 с.
Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native