Материал на тему Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения

МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ «ОКТЯБРЬСКАЯ ШКОЛА-ГИМНАЗИЯ» КРАСНОГВАРДЕЙСКОГО РАЙОНА РЕСПУБЛИКИ КРЫМ










ТЕМА:
«Решение линейных, квадратных уравнений с параметром.
Решение симметрических уравнений»




Материал для спецкурса
по математике 10-11 класса

подготовила учитель математики
Пашко Наталья Прокофьевна
















пгт. Октябрьское
2015год

I.13 EMBED Equation.3 1415Линейные уравнения. Схема решения линейного уравнения. Решение линейного уравнения с параметром
Линейным называется уравнение вида 13 EMBED Equation.3 1415где х - неизвестная переменная, 13 EMBED Equation.3 1415- коэффициенты.
1.Если a
·0, то уравнение имеет единственное решение 13 EMBED Equation.3 1415
2.Если a = b = 0, то уравнение примет вид 13 EMBED Equation.3 1415которое имеет бесконечно много решений.
3.Если a = 0, b
· 0, то уравнение примет вид 13 EMBED Equation.3 1415не имеет решений.
Пример 1: Решить уравнение 13 EMBED Equation.3 1415
Решение: В данном уравнении 13 EMBED Equation.3 1415 Найдём те значения k, при которых 13 EMBED Equation.3 1415
1.Если 13 EMBED Equation.3 1415 то
13 EMBED Equation.3 1415
2.Если k = 1, то уравнение примет вид 13 EMBED Equation.3 1415 т.е. 0
·x=0, х- любое действительное число.
3.Если k = -3, то уравнение примет вид
13 EMBED Equation.3 1415 уравнение решений не имеет.
Ответ: при 13 EMBED Equation.3 1415
при 13 EMBED Equation.3 1415любое действительное число;
при 13 EMBED Equation.3 1415 уравнение решений не имеет.
II. Решение квадратных уравнений. Квадратных уравнений с параметром.
Квадратным называется уравнение вида 13 EMBED Equation.3 1415
Замечание: Квадратное уравнение всегда имеет решение на множестве комплексных чисел.
Пример 1: Решить уравнение 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: D=1, 13 EMBED Equation.3 1415
ЕСЛИ ВТОРОЙ КОЭФФИЦИЕНТ ЧЕТНОЕ ЧИСЛО, то используется формула:
13 EMBED Equation.3 1415
Пример 2: Решить уравнение 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
Пример 3: Решить уравнение c параметром 13 EMBED Equation.3 1415
Решение:
Если m2 = 0, то уравнение станет линейным x+1 = 0, которое имеет решение 13 EMBED Equation.3 1415
Если 13 EMBED Equation.3 1415 то 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Исследуем знак дискриминанта:
13 EMBED Equation.3 1415
Если 13 EMBED Equation.3 1415 то 13 EMBED Equation.3 1415 т. е. уравнение действительных корней не имеет.
Если 13 EMBED Equation.3 1415 то 13 EMBED Equation.3 1415, то уравнение имеет действительные корни 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: при 13 EMBED Equation.3 1415
При 13 EMBED Equation.3 1415 действительных корней нет;
При 13 EMBED Equation.3 1415
Пример 4: Решить уравнение 13 EMBED Equation.3 1415
Решение: 13 EMBED Equation.3 1415
Если 13 EMBED Equation.3 1415 т.е. 13 EMBED Equation.3 1415 то 13 EMBED Equation.3 1415 если
13 EMBED Equation.3 1415т.е. 13 EMBED Equation.3 1415то действительных корней нет.
Ответ: при 13 EMBED Equation.3 1415
при 13 EMBED Equation.3 1415 действительных корней нет.
Пример 5: Найти все значения параметра a, для которых квадратное уравнение 13 EMBED Equation.3 1415
а) имеет два различных корня;
б) не имеет корней;
в) имеет два равных корня.
Решение: Данное уравнение по условию является квадратным, поэтому 13 EMBED Equation.3 1415 Рассмотрим дискриминант данного уравнения
13 EMBED Equation.3 1415
При 13 EMBED Equation.3 1415 данное уравнение имеет два различных корня, так как D>0
При 13 EMBED Equation.3 1415 уравнение корней не имеет, так как 13 EMBED Equation.3 1415 Данное уравнение не может иметь двух равных корней, так как D=0 только при a=-1, а это противоречит условию задачи.
Ответ: а) при 13 EMBED Equation.3 1415
б) при 13 EMBED Equation.3 1415
в) невозможно.
Пример 6: Решить уравнение 13 EMBED Equation.3 1415
Решение: При 13 EMBED Equation.3 1415 получаем линейное уравнение 13 EMBED Equation.3 1415
которое имеет единственное решение 13 EMBED Equation.3 1415
При 13 EMBED Equation.3 1415 уравнение является квадратным и его дискриминант D=4 – 4a
При 13 EMBED Equation.3 1415поэтому данное уравнение корней не имеет.
При 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 поэтому данное уравнение имеет два совпадающих корня: 13 EMBED Equation.3 1415
При 13 EMBED Equation.3 1415 следовательно, данное уравнение имеет два различных корня:
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: при 13 EMBED Equation.3 1415
при 13 EMBED Equation.3 1415
при 13 EMBED Equation.3 1415
при 13 EMBED Equation.3 1415 уравнение не имеет решений.
Пример 7: Найти сумму квадратов и сумму кубов корней квадратного уравнения 13 EMBED Equation.3 1415
Решение: Найдём дискриминант данного уравнения
13 EMBED Equation.3 1415 и поэтому уравнение имеет два различных корня.
По теореме Виета имеем 13 EMBED Equation.3 1415 Представим сумму квадратов и сумму кубов соответственно в виде
13 EMBED Equation.3 1415
Отсюда находим 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
Пример 8: Составить квадратное уравнение с рациональными коэффициентами, один из корней которого равен 13 EMBED Equation.3 1415
Решение: Пусть 13 EMBED Equation.3 1415 рациональные числа, - искомое уравнение.
Поскольку число 13 EMBED Equation.3 1415 является его корнем,
то 13 EMBED Equation.3 1415 т.е. 13 EMBED Equation.3 1415
По условию числа p, q рациональные; поэтому последнее равенство возможно только в том случае, когда одновременно справедливы равенства 13 EMBED Equation.3 1415
Отсюда получаем 13 EMBED Equation.3 1415
Итак, примером искомого уравнения служит квадратное уравнение
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
Пример 9: Решить уравнение 13 EMBED Equation.3 1415
Решение: 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
Пример10: Решить уравнение 13 EMBED Equation.3 1415
Решение: 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
Пример 11: Решить уравнение 13 EMBED Equation.3 1415
Решение: 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
Пример 12: Решить уравнение 13 EMBED Equation.3 1415
Решение: 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
Пример 13: Решить уравнение 13 EMBED Equation.3 1415
Решение: Пусть 13 EMBED Equation.3 1415 тогда 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Имеем 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
Пример 14: Решить уравнение 13 EMBED Equation.3 1415
Решение: Пусть 13 EMBED Equation.3 1415 тогда 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Имеем 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415

III. Симметрические уравнения.
Уравнения вида 13 EMBED Equation.3 1415 называются симметрическими уравнениями третьей степени.
Поскольку 13 EMBED Equation.3 1415 то уравнение равносильно совокупности 13 EMBED Equation.3 1415
Уравнения вида 13 EMBED Equation.3 1415 называются симметрическими уравнениями четвёртой степени.
Разделив обе части на 13 EMBED Equation.3 1415 не является его корнем), получим эквивалентное ему уравнение
13 EMBED Equation.3 1415
Аналогично для второго уравнения получаем эквивалентное ему уравнение 13 EMBED Equation.3 1415
Для решения полученных уравнений положим соответственно
13 EMBED Equation.3 1415 Поскольку 13 EMBED Equation.3 1415
то получаем 13 EMBED Equation.3 1415 Таким образом, если 13 EMBED Equation.3 1415 корни
уравнения первого, а 13 EMBED Equation.3 1415корни второго уравнения, то исходные уравнения эквивалентны соответственно совокупностям уравнений
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Пример 1: Решить уравнение 13 EMBED Equation.3 1415
Решение:
Поскольку x = 0 не является решением данного уравнения, то, разделив обе его части на x2, получим 13 EMBED Equation.3 1415,
откуда 13 EMBED Equation.3 1415
Положив 13 EMBED Equation.3 1415 получим уравнение 13 EMBED Equation.3 1415
Отсюда находим 13 EMBED Equation.3 1415 Следовательно, исходное уравнение эквивалентно совокупности уравнений
13 EMBED Equation.3 1415
Второе уравнение этой совокупности решений не имеет. Корнями первого уравнения, а значит и исходного являются числа
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
Пример 2: Решить уравнение 13 EMBED Equation.3 1415
Решение: 13 EMBED Equation.3 1415
Отсюда 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415Таким образом, исходное уравнение
эквивалентно совокупности уравнений 13 EMBED Equation.3 1415
Второе уравнение совокупности решений не имеет. Корнями первого, а значит и исходного являются числа 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 2 и -3.
Пример 3: Решить уравнение 13 EMBED Equation.3 1415
Решение: Т.к. 0 не является решением данного уравнения,
Разделим обе части на x2, получим уравнение
13 EMBED Equation.3 1415
Решением этого уравнения являются числа 13 EMBED Equation.3 1415
Таким образом 13 EMBED Equation.3 1415
Решив эту совокупность, получим корни
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
Уравнения вида
13 EMBED Equation.3 1415
Можно решать, используя замену переменных (симметризацию уравнения)
13 EMBED Equation.3 1415
Пример 4: Решить уравнение 13 EMBED Equation.3 1415
Решение: Перепишем данное уравнение в виде
13 EMBED Equation.3 1415
Так как 13 EMBED Equation.3 1415 то введём новую переменную
13 EMBED Equation.3 1415
Подставляя 13 EMBED Equation.3 1415 в исходное уравнение, получим
13 EMBED Equation.3 1415
Соответствующие корни исходного уравнения равны 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
Уравнение вида
13 EMBED Equation.3 1415
сводится к решению совокупности двух квадратных уравнений при помощи замены 13 EMBED Equation.3 1415
Пример 5: Решить уравнение
13 EMBED Equation.3 1415
Решение: Заметим, что 13 EMBED Equation.3 1415 Перемножив в левой части данного уравнения первую и четвёртую скобки, а также вторую и третью, получим 13 EMBED Equation.3 1415
Поскольку 0 не является корнем данного уравнения, поделим обе части этого уравнения на 13 EMBED Equation.3 1415 Получим уравнение
13 EMBED Equation.3 1415 равносильное исходному.
Сделаем замену переменной 13 EMBED Equation.3 1415
Таким образом, исходное уравнение равносильно совокупности уравнений
13 EMBED Equation.3 1415 т. е. 13 EMBED Equation.3 1415
Решив эту совокупность, получаем
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
Уравнение вида 13 EMBED Equation.3 1415
можно решить также, используя метод симметризации, т. е. делая замену 13 EMBED Equation.3 1415
Пример 6: Решить уравнение 13 EMBED Equation.3 1415
Решение: Данное уравнение после замены переменной примет вид 13 EMBED Equation.3 1415
Решая это биквадратное уравнение, получим его корни
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 8; 6.

Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native