Различные подходы к решению математических задач

Миракова Т.Н., Тюгаева О.В.
Кафедра общегуманитарных и естественнонаучных дисциплин
Новый гуманитарный институт, г.Электросталь
РЕШЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ С ТОЧКИ ЗРЕНИЯ ПРИНЦИПОВ ИНФОРМАЦИОННОГО ПОДХОДА
Опираясь на диссертационные исследования и изучение научной литературы, позволило нам сформулировать определение задачи с точки зрения системно-информационного подхода. По-нашему мнению, задача представляет собой информационную систему, элементами которой являются математические понятия, отношения, числовые или буквенные данные, образующие условие задачи (проблемная ситуация, воплощенная в языковом факте) и искомые величины, обозначенные в вопросе задачи (или требовании) разрешить проблему путем преобразования информационной системы. Поскольку, мы определили задачу как систему, необходимо обратиться к понятию системы. Система – это совокупность взаимосвязанных элементов, взаимодействующая как единое целое для достижения поставленной цели. Характеристикой системы является сложность, которая выражается её многообразием, У.Р.Эшби в своих работах подчеркивал, что «…у системы тем больше возможностей в выборе поведения, чем сильнее степень согласованности поведения её элементов». Система обладает структурой, т.е. совокупностью отношений (связей) между её элементами. Установление связей между элементами системы подразумевает сформированность таких умений как систематизация, сопоставление, анализ, обобщение и интерпретация информации. Все перечисленные умения относят к процессу конструирования систем задач. Системы задач в свою очередь обладают следующими характеристиками: общностью, способом конструирования, уровнем организации (О.Н.Орлянская), связностью своих элементов (А.А.Аксёнов), полнотой, целевой ориентацией (Г.В.Дорофеев, А.Г. Мордкович и др.). Вопросу конструирования задач были посвящены работы Ю.М.Колягина, Д.Пойа, В.Г.Фридмана, П.М.Эрдниева, Т.И. Бузулиной, С.С.Бакулевской и др.
Для конструирования задач В. Г. Фридман, предлагает выделить основание. Он называет три таких основания: какой должна быть задача; что должна содержать задача; каким будет ее решение.
П. М. Эрдниев рассматривает конструирование задач на основе их варьирования с использованием следующих приемов: рассмотрение взаимообратных задач; обобщение вопросов задачи; анализ стереометрических аналогов; изменение точки зрения на требование задачи.
Е. С. Канин определяет составление задач на основе развития темы исходной задачи, т. е. с помощью замены части данных другими данными без замены заключения; обобщения данных или искомых; специализации данных или искомых; добавления новых заключений при неизменных данных; замены части данных искомыми (обращение задачи).
С. С. Бакулевская выделяет схемы конструирования задач путем преобразования, конкретизации существующей задачи, построения обратных задач, используя аналогии, обобщения.
Т. И. Бузулина рассматривает составление новых задач при помощи дополнения типовых задач с применением аналогии, обобщения, выделения промежуточных задач, построения задач-следствий.
Из сказанного следует, что одной из составных частей профессиональной подготовки будущих учителей является умение решать задачи школьного курса математики, умение самостоятельно конструировать системы задач, опираясь на принципы информационного подхода, рассматривать саму задачу как систему, где действуют принципы информационного подхода на всех этапах решения задачи.
Обзор перечисленных приемов конструирования задач показал, что в основном большинство приемов имеют одинаковую структуру.
Обобщение;
Аналогия;
Конкретизация;
Варьирование данных;
Переформулировка (перефразирование);
Построение обратной задачи;
«Снежного кома»(Г.И.Ковалева);
«Ключевая задача»;
Метод сквозных задач (Н.Я.Виленкин) и т.д.
При этом авторы не связывают приемы конструирования задач с принципами информационного подхода.
Рассмотрим приемы конструирования и решения задачи с точки зрения информационного подхода.
Конструирование задач используя прием аналогии, один из наиболее популярных, интересных и в тоже время творческих видов работы. Использование приема аналогии в математике является одним из основных в поиске решения задачи. Однако этот прием принесет ощутимые результаты только тогда, когда в процессе конструирования возникают трудности, и задача выбранная в качестве исходной, не шаблонная. Прием аналогии позволяет изучить сходные свойства математических объектов, основанием для этого служат задания на сравнение, которые должны быть на каждом уроке. Отработку приема аналогии необходимо проводить на занятиях по методике математике
Предписания для конструирования систем задач прием «Аналогий».
1. Выяснить к какому типу задачи относится исходная задача: алгоритмическая, полуалгоритмическая, эвристическая.
2.Выполнить анализ текста задачи, тем самым выяснить связи между данными и искомыми (неизвестными). Изучить отдельно каждый элемент, установить отношения между элементами. Какие принципы информационного подхода целесообразно задействовать для составления план поиска решения.
3. Наметить план решения задачи студентами при необходимости включить помощь преподавателя.
4. Составить варианты условий, изменив в исходной задаче либо диапазон рассматриваемых элементов (алгебраическая задача), либо фигуру (геометрическая задача).
Например. Доказать, что если m – простое число и m>3, то выражение m2-1 делится на 24.
Рассмотрим этапы решения исходной задачи с точки зрения принципов информационного подхода.
Анализ условия задачи. Ранее отмечено, что анализ условия задачи состоит в выделении данных и искомых, в выяснении значения каждого слова, в выяснении структуры задачи: какая и сколько ситуаций, объектов рассматриваются, какие величины входят в рассмотрение, каково соотношение между данными и искомыми, какая информация имеется в условии задачи в явном и скрытом виде.
Текст задачи представляет собой информационное сообщение. Согласно «Принципу динамической памяти» при решении аналогичных задач у учащихся, студентов вырабатывается навык переноса известных алгоритмов на новую задачную ситуацию: m – простое число, не имеет положительных делителей, кроме 1 и самого себя, выражение m2-1 разность квадратов. Рассуждения («Принцип разнообразия» и «Принцип избыточности информации») приводят нас к тому, что мы получаем три последовательных числа натурального ряда m-1,m. m+1.
Поиск и составление плана решения задачи. Подумать, к какому типу задач можно отнести данную задачу. В анализе условие задачи мы разбили условие на части (отдельные информационные порции), выяснили связи между ними, тем самым упростили имеющуюся задачу («Принцип взаимной информации»). Известно, что из трёх последовательных числа натурального ряда, одно делится на 3; m на 3 не делится, значит это либо m-1, либо m+1, эти числа четные. Одно из них делится на 2, другое на 4. Отсюда следует, что произведение (m-1)(m+1) делится на =24. Выясним, как работает «Информационный принцип симметрии». Рассмотрим отрезок, состоящий из пяти чисел m-2, m-1, m, m+1, m+2. Доказать, что если число m>5, то произведение (m-2)(m-1)(m+1)(m+2) делится на 360. Далее возможно рассмотреть числа, такие как m-3, m-1, m, m+1, m+3, где m>3 и т.д.
Аналогичные рассуждения и применимые принципы информационного подхода позволяют нам конструировать системы задач методом аналогии. Задачи такой серии направлены на закрепление и отработку словесных рассуждений по аналогии, нахождении аналогий в задачах и фигурах.
Рассмотрим пример приема перефразирование. Суть этого приема в переходе к задаче, с использованием «Принципа кодирования», т.е. нахождение другой интерпретации заданных условий.
Предписания для конструирования систем задач прием «Перефразирование».
Выяснить к какому типу задачи относится исходная задача: алгоритмическая, полуалгоритмическая, эвристическая.
Подумайте, известна ли вам задача, к которой можно свести решаемую. Если такая задача известна, то составление плана решения данной задачи очевиден.
Если нет, то сформулируйте задачу иначе. Иными словами, попытайтесь перефразировать задачу, не меняя ее математического содержания.
Например. Выяснить, сколько решений имеет система

Решить систему алгебраическими методами: методом подстановки или методом алгебраического сложения довольно затруднительно. «Принцип необходимого разнообразия» дает нам возможность интерпретаций и переформулировать задачу: найти сколько точек пересечения будет иметь уравнение окружности центром в начале координат, радиусом 5 и кубическая парабола. Решение очевидно.
Таким образом, проблема научить школьников решать задачи стоит перед каждым учителем математики. Эта проблема не сегодняшнего дня.
Мы предлагаем взглянуть на процесс решения задачи с точки зрения информационного подхода.
Литература
Бриллюэном Л. «Наука и теория информации. Пер. с франц. М., Физматгиз, 1960.
Бузулина, Т.И. Неопределенные задачи в профессиональной подготовке будущих учителей математики Текст.: Дис. канд. пед. наук: 13.00.02 / Т.И. Бузулина. Ростов-на-Дону, 2002.-255с.
Эрдниев, П.М. Обучение математике в школе Текст. / П.М. Эрдниев, Б.П. Эрдниев. М.: Столетие, 1996. - 320с.
Эшби У.Р. Введение в кибернетику / У.Р.Эшби.-М.:Изд-во иностр. лит., 1959.