Урок по геометрии в 11 классе «Различные способы решения стереометрических задач».

Урок по геометрии в 11 классе «Различные способы решения стереометрических задач».

Цель урока: создание условий для формирования навыка решения стереометрических задач различными способами.
Задачи урока:
способствовать развитию наглядно-образного мышления, внимания;
развивать умение высказывать собственные суждения, аргументировать свою точку зрения;
воспитывать умение планировать свою работу, искать рациональные пути решения задач.
ТСО: компьютер, мультимедийный проектор, презентация к уроку (Приложение1)
Комментарии: на уроке рассматриваются задачи ЕГЭ типа «С2», можно использовать данный материал для организации итогового повторения.
Ход урока
I. Организационный момент.
Задачи части «С» Единого государственного экзамена по стереометрии в последнее время большей частью посвящены вычислению расстояний и углов в пространстве. Такие задачи часто встречаются в практике, поэтому им уделено особое внимание. Рассмотрим разные методы решения этих задач.
II. Актуализация знаний.
Что называется расстоянием от точки до прямой, между параллельными прямыми?
Расстояние от точки до прямой, не содержащей эту точку, есть длина отрезка перпендикуляра, проведенного из этой точки на прямую.
Расстояние между двумя параллельными прямыми равно длине отрезка их общего перпендикуляра.
Расстояние между двумя параллельными прямыми равно расстоянию от любой точки одной из этих прямых до другой прямой.
Что называется расстоянием от точки до плоскости?
Расстояние от точки до плоскости, не содержащей эту точку, есть длина отрезка перпендикуляра, опущенного из этого точки на плоскость.
Расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью равно длине их общего перпендикуляра.
Расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью равно расстоянию от любой точки этой прямой до плоскости.
Расстояние между двумя параллельными плоскостями равно длине их общего перпендикуляра.
Расстояние между двумя параллельными плоскостями равно расстоянию между точкой одной из этих плоскостей и другой плоскостью.
III. Тренировочные упражнения.
Задача 1
Задание 1. Докажите, что треугольник, в котором медиана равна половине стороны, к которой она проведена, является прямоугольным.

Способ № 1. Задача решается в четыре шага.
1. ∠А+∠ABD+∠DBC+∠C=180°.2. ∠A=∠ABD,∠C=∠DBC.3. ∠A+∠ABD+∠DBC+∠C=2∠ABD+2∠DBC==2ABD+∠DBC=2∠ABC=180°4.∠ABC=90°, а значит, ∆ABC-прямоугольный.Способ № 3. Задача решается в четыре шага.
1.∠FBC=∠A +∠C.∠A = ∠ABD, ∠C= ∠DBC.∠FBC= ∠ABD +∠DBC = ∠ABC.∠FBC + ∠ABC = 180°, ∠FBC = ∠ABC, следовательно ∠ABC = 90°.Вывод. Использовались теорема о внешнем угле треугольника, свойство углов при основании равнобедренного треугольника, теорема о смежных углах.
12954068580Задача 2.
В единичном кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ найти расстояние от точки D₁ до прямой PQ, где P и Q – середины соответственно ребер A₁B₁ и BC.
Решение.
1 способ (поэтапно-вычислительный)
Пусть D₁H PQ, где HPQ, R - середина ребра AB. Найдем D₁H.
ΔBRQ - прямоугольный, QR=0.52+0.52=22ΔPQR - прямоугольный, PQ = 12+222=62ΔDCQ - прямоугольный, DQ = 12+0.52=52Δ D₁DQ- прямоугольный, D₁Q = 522+12=1.5D₁P = DQ = 52В треугольнике D₁PQ по теореме косинусов cos∠D₁PQ=D₁P 2+PQ2-D₁Q 22∙D₁P∙PQ; cos∠D₁PQ= 130; sin∠D₁PQ=1-1302=2930.
D₁H= D₁P∙sin∠D₁PQ
D₁H= 52∙2930 = 17412.
Ответ: 17412.
152402832102 способ (координатный).
Учитель задает вопрос: Как еще можно найти длины сторон в треугольнике D₁PQ?
Рассмотрим прямоугольную систему координат с началом в точке А.
Найдем координаты точек P(0; 0.5; 1), Q(0.5; 1;0), D₁(1;0;1), тогда
PQ = 0,25+0,25+1=62 , D₁Q= 0,25+1+1=1,5, D₁P=1+0,25+0= 52Далее решение аналогично 1 способу. В треугольнике D₁PQ по теореме косинусов cos∠D₁PQ=D₁P 2+PQ2-D₁Q 22∙D₁P∙PQ; cos∠D₁PQ= 130; sin∠D₁PQ=1-1302=2930.
D₁H= D₁P∙sin∠D₁PQ
D₁H= 52∙2930 = 17412.
Ответ: 17412.
IV. Итог урока.
V. Домашнее задание.
В тетраэдре ABCD, все ребра которого равны 1, найдите расстояние от точки А до прямой, проходящей через точку В и середину ребра CD.
В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите расстояние от точки С до прямой SF.
В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁, ребра которого равны 4, а точки E и F- середины ребер AB и B₁C₁ соответственно, а точка P расположена на ребре CD так, что CP = 3PD. Найдите расстояние от точки A₁ до плоскости треугольника EPF.
В правильной четырехугольной пирамиде PABCD с вершиной P сторона основания равна 3, высота 2. Найдите расстояние от вершины А до грани PCD.