Методическое пособие по математике на тему Показательная функция. Решение показательных уравнений, неравенств и систем уравнений.

Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение Ростовской области «Зерноградский техникум агротехнологий»
Зерноград, 2016
МАТЕМАТИКА. Показательная функция. Решение показательных уравнений, неравенств и систем уравнений.
Методическое пособие


МАТЕМАТИКА. Показательная функция. Решение показательных уравнений, неравенств и систем.- Зерноградский техникум агротехнологий. - 2016.
Составитель:
Ксенз В.А., преподаватель математики
Учебно-методическое пособие предназначено для преподавателей и студентов. В пособии приводятся основные определения и свойства показательной функций, а также примеры решения уравнений, неравенств и систем.
Рассмотрена на заседании методического объединения
естественнонаучного цикла
Протокол №4 от 24.02.2016
Оглавление
TOC \o "1-3" \h \z \u Введение PAGEREF _Toc286053831 \h 4Раздел 1. Показательная функция PAGEREF _Toc286053832 \h 4Раздел 2. Решение показательных уравнений PAGEREF _Toc286053833 \h 10Раздел 3. Показательные неравенства PAGEREF _Toc286053834 \h 16Раздел 4. Системы показательных уравнений PAGEREF _Toc286053835 \h 19Ответы к решению примеров: PAGEREF _Toc286053836 \h 20Литература: PAGEREF _Toc286053837 \h 22

ВведениеМетодическое пособие по теме: "Показательная функция. Решение показательных уравнений, неравенств и систем" предназначено для преподавателей и студентов. Данное методическое пособие поможет студентам в освоении темы. В пособии приводятся основные определения и свойства показательной функций, а также примеры решения уравнений, неравенств и систем. Конечно, методическое пособие не может заменить учебник, поэтому перед выполнением задания нужно прочитать соответствующие разделы учебника. Краткость изложения теории в данном пособии компенсируется разбором большого числа примеров различной степени трудности.
Работая с данным пособием, студенты будут четко знать основные способы решения уравнений и неравенств, систем, уметь быстро определить метод решения данного уравнения и неравенства, а в случаях, если способов решения несколько, найти альтернативный вариант.
Данное методическое пособие могут использовать в своей работе и преподаватели с целью:
систематизации, закрепления и углубления полученных теоретических и практических знаний, умений;
формирования умений применять теоретические знания;
развития самостоятельности и организованности студентов;
подготовки к итоговой государственной аттестации.
Раздел 1. Показательная функция
Определение:
Функция вида y=ax , где a>0 и a≠1 называется показательной функцией.
Построим по точкам график функции y=2x. Для этого составим таблицу значений y=2xx-3-2-10123y1814121248Отметим точки -3; 18 , -2; 14, -1; 12, 0;1, 1;2, 2;4, 3;8. На координатной плоскости. Они намечают линию – это график функции y=2x
Рассмотрим по графику свойства функции y=2x.
Df= -∞; ∞Не является четной, ни нечетной.
Возрастает на промежутке -∞; ∞Не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений.
Функция непрерывна на всей числовой прямой.
Ef= 0; ∞.
Такими же свойствами обладает любая функция вида y=ax, где a>1.
Рассмотрим теперь функцию y= 12x. Составим для нее таблицу.
x-3-2-10123y8421121418Отметим точки -3;8, -2;4, -1;2, 0;1, 1; 12, 2; 14, 3; 18 на координатной плоскости. Они намечают некоторую линию, проведем ее - это график функции
y= 12x.

Рассмотрим по графику свойства функции y= 12xDf= -∞; ∞Не является четной, ни нечетной.
Убывает на промежутке -∞; ∞Не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений.
Функция непрерывна на всей числовой прямой.
Ef= 0; ∞.
Такими же свойствами обладает любая функция вида y=ax, где 0<a<1Подведя итоги, выведем свойства показательной функции:

a>10<a< 1
Df= -∞; ∞Df= -∞; ∞Ef= 0; ∞. Ef= 0; ∞.
Возрастает Убывает
Непрерывна Непрерывна

Кривую, изображающую график называют экспонентой. Экспонентой также называют и саму показательную функцию.
Решение упражнений.
Построить графики функций: fx= - 2x
Построить график функции: fx= 2-x
Построить график функции fx=2x+1
Сравните графики функций fx= 2x fx= 3x
Постройте функцию, обратную fx= 2x. (Указание: Графики взаимообратных функций симметричны относительно биссектрисы первого координатного угла).

Рассмотрим свойства степеней:
ax∙ay=ax+yaxay=ax-yaxy=ax∙yax∙bx=a∙bxaxy=yaxa-x=1axa0=1Задание для самостоятельного выполнения:
1. Построить график функций:
1.1.fx= 3x
1.2. fx= -3x1.3. fx= 3-x1.4. fx= 3x+21.5. Постройте график, симметричный fx= 3xРешить упражнения:
2. Найдите значение выражения 2х при указанных значениях переменной:
2.1. х=3; 2.2. х=32; 2.3. х=-2; 2.4 х=-12Решение:
2.1. 23=8; 2.2. 232= 23 = 8; 2.3. 2-2=122=14;
2.4. 2-12=1212=12;3. Определить какое из чисел 5х1 или 5х2 больше, если:
3.1. х1=23 ; х2= 45
3.2. х1=-73 ; х2= -65
Решение:
3.1. Подставим значения х1и х2в показатели степеней и сравним выражения:
523 и 545. Сравним дроби 23 и 45. Приведем их к общему знаменателю. Общий знаменатель равен 15. После преобразований получаем: 1015 и 1215.
Так как 1015 < 1215, то и 523 < 545. 3.2. Подставим значения х1и х2в показатели степеней и сравним выражения:
5-73 и 5-65. Сравним дроби -73 и -65. Приведем их к общему знаменателю. Общий знаменатель равен 15. После преобразований получаем: -2115 и -1815.
Так как -2115 < -1815, то 5-73 > 5-65. 4.Найдите значение выражения:
4.1. 25,3∙2-0,34.2. 343,7∙34-0,74.3. 43,5: 43
4.4. 12-6,3: 12-2,34.5. 21364.6. 17-212Решение:
4.1. 25,3∙2-0,3= 25,3+(-0,3)=25,3-0,3=25=32 (Указание: используем свойство ax∙ay=ax+y)
4.2. 343,7∙34-0,7=343,7-0,7=373=27343;
4.3. 43,5: 43=43,5-3=40,5=22∙0,5=2 ;
4.4. 12-6,3: 12-2,3=12-6,3-(-2,3)=12-6,3+2,3=12-4=24=16;
4.5. 2136=213∙6=22=4;
4.6. 17-212=17-1=7;
5. Найти значения х, при которых функция y=15x
Принимает заданное значение:
125; 5.2. 125; 5.3. 1255; 5.4. 6255
Решение:
5.1. 15x=125. Запишем число 125 в виде степени с основанием 15.
15x=152отсюда следует, что х=2.
15x= 125. Представим 125 в виде: 125=15-3. Выражение примет вид: 15x= 15-3 , следовательно х=-3.
15x=1255. Представим 1255 в виде 152∙512=152,5=152,5. Выражение примет вид: 15x= 152,5 , следовательно х=2,5.
15x=6255 . Запишем 6255 в виде
6255=54∙512=54,5=15-4,5. Выражение примет вид:
15x=15-4,5. Следовательно х=-4,5.
Решить самостоятельно:
Найдите значение выражения 3х при указанных значениях переменной:
х=4; 6.2. х=43; 6.3. х=-3; 6.4. х=-23;Определить какое из чисел 4х1 или 4х2 больше, если:
7.1. х=35 ; х2= 47
7.2. х1=-38 ; х2= -119
8. Найдите значение выражения:
8.1. 8213: 82;
8.2. 232,4: 23-0,4;
8.3. 3322;
8.4. 3413-1;
8.5. 23-32∙235;
9. Найти значения х, при которых функция y=12x
Принимает заданное значение:
9.1. 16; 9.2. 82; 9.3. 12; 9.4. 1322. .
Раздел 2. Решение показательных уравненийПоказательное уравнение – это уравнение, в котором неизвестное содержится в показателе степени
Метод уравнивания показателей
Показательное уравнение af(x)=ag(x) равносильно уравнению fx=g(x), где a- положительное число, отличное от нуля.
Пример 1
Решить уравнение:
22х-4=64;Решение: Представим 64 как 26 и перепишем заданное уравнение в виде: 22х-4=26. Это уравнение равносильно уравнению: 2х-4=6, откуда находим:х=5 .
Ответ: х=5
Пример 2
Решить уравнение:
132х-3,5=13 ;
Решение: Преобразуем 13 как 1312=1312 и перепишем заданное уравнение в виде:
132х-3,5= 1312. Это уравнение равносильно уравнению:
2х-3,5=0,5 , откуда находим х=2.
Ответ: х = 2
Пример 3
Решить уравнение:
0,2х-0,55=5∙0,04х-2;
Преобразуем левую часть уравнения:
0,2х-0,5= 15х-0,5= 5-1х-0,5=5-1(х-0,5)= 50,5-х5=512=50,550,5-х50,5= 50,5-х-0,5=5-хПреобразуем правую часть уравнения:
5∙0,04х-2=5∙4100х-2=5∙125х-2=5∙5-2х-2=5∙5-2х-2=5∙54-2х=51+4-2х= = 55-2х;Таким образом, мы данное уравнение преобразовали к виду:
5-х=55-2х .
Далее получаем: -х=5-2х, отсюда следует х=5. Ответ: х=5
Пример 4
Решить уравнение 64х2∙3х=576Решение. Заметим, что 64=82, 576=242Тогда данное уравнение равносильно каждому из уравнений
8х3х=242, 8∙3х=242, 24х=242 откуда x = 2.
Пример 5
Решить уравнение
5. 2х=3; Данное уравнение мы не можем привести к одному основанию. Используем метод логарифмирования.
Логарифмируем данное уравнение по основанию 2.
log22х=log23;
Использую свойство логарифма, данное уравнение перепишем в виде:
х∙log22=log23, учитывая, что log22=1, найдем значение х:
х=log23Решить самостоятельно:
10.1. 3х=9;10.2. 19х=1;10.3. 0,5х=0,125;10.4. 10х=41000;
10.5. 5х=1325;
10.6. 23х∙98х=2764;
10.7. 5х2+х-23-х=1;
10.8. 2х+1=4;
10.9. 53х-1=0,2;
10.10. 62х-8=216х.
Уравнения, сводящиеся к квадратным (метод замены)
Пример 1
Решить уравнение: 4х+ 2х+1- 24=0.
Решение: Заметив, что 4х= 22х= 22х=2х2, а 2х+1=2∙2хПерепишем заданное уравнение в виде:
2х2+ 2∙2х-24=0Вводим новую переменную: t=2x, тогда уравнение примет вид:
t2+2t-24=0Решив квадратное уравнение, получим: t1=4, t2=-6. Но так как t=2x, то надо решить два уравнения:
2х=4 и 2х≠ -6 Решим первое уравнение:
2х=22 отсюда следует, что х=2.Рассмотрим второе уравнение.
Второе уравнение не имеет решения, так как 2х >0 для любых значений х.
Ответ: 2
Пример 2
Решить уравнение 3х-18∙3-х=7. Перепишем уравнение в виде:
3х-18∙13х=7Решение: Полагая 3х=t , получим уравнение t-18t=7Или t2-18=7t, t2-7t-18=0 откуда находим t1 = –2, t2 = 9. Следовательно, исходное уравнение равносильно совокупности уравнений
3x≠-7, 3x=9, 3х= 32 Первое из них не имеет корней (так как показательная функция всегда положительна), второе имеет единственный корень х = 2.
Ответ: х=2
Решить самостоятельно:
11.1. 22х+3∙2х-10=0;11.2. 162х-5∙16х-6=0;11.3. 2∙4х-5∙2х+2=0;11.4. 4∙116х+15∙14х-4=0;,
11.5. 0,01х+9,9∙0,1х-1=0;11.6. 22х+1-5∙2х-88=0;11.7. 122х-12х-2-32=0;11.8. 42х-5∙41х+ 4=0;11.9. 9х2-1-36∙3х2-3+3=0; 11.10. 132х+13х-2-162=0.
Метод выноса за скобки общего множителя в левой части уравнения
Пример 1
Решить уравнение: 3х+1-2∙3х-2=25 В левой части выносим за скобки степень с наименьшим показателем, то есть 3х-2. В результате получим:
3х-23х+13х-2- 2∙3х-23х-2=25
3х-23х+1-(х-2)-2=253х-23х+1-х+2-2= 253х-233 -2= 253х-2∙25=253х-2=1 , 3х-2=30, отсюда следует, что х=2.Ответ: х = 2
Пример 2
Решить уравнение: 52х-1-52х+22х+22х+2=0.Перепишем уравнение в виде:
22х+ 22х+2=52х-52х-1В левой части уравнения вынесем за скобки степень с наименьшим показателем, т.е. 22х, в правой части уравнения вынесем за скобки степень с 52х.
После преобразования получим:
22х∙1+22=52х∙(1-5-1)22х∙5=52х∙4522х52х=425252х=2522х=2, х=1Ответ: х=1.
Решить самостоятельно:
12.1. 3х+2- 3х=72;
12.2. 2х-2х-4=15;12.3. 3х-1+3х-2+ 3х-3=3159;12.4. 2∙3х+3-5∙3х-2=1443;12.5. 3х2+ 1+ 3х2-1=270;
12.6. 2х+ 2- 2х+1-2х-1=12;12.7. 6х+6х+1=2х+ 2х+1+2х+2;12.8. 52х+1- 3∙52х-1=550; 32х-1+32х-2-32х-4=315; 2х+1+3∙2х-1-5∙2х+6=0 2х-3х-0,5=3х+0,5-22х-1; 2х2-1-3х2=3х2-1-2х2+24.Метод деления. Первый тип уравнений
ax=bxРазделим обе части уравнения на выражение не равное нулю:
axbx=1 abx=1х=0
Решить самостоятельно:
13.1. 2х=3х;13.2. 25х=72х;13.3. 14х=15х;13.4. 3х∙7х+2=49∙4х;13.5. 2х+1∙5х+3=250∙9х.Метод деления. Второй тип уравнений
Пример 1
Решить уравнение:
6∙25х-5∙10х- 4х=0Решение:
Запишем уравнение в виде:
652х- 55∙2х-22х=06∙52х- 5∙5х∙ 2х- 22х=0Разделим обе части полученного уравнения на 52х6-5∙25х- 252х=0Выполним замену: 25х=tТогда:
6-5t- t2=0Перепишем уравнение в виде:
t2+5t2-6=0Решим квадратное уравнение относительно t.
t1=1, t2=-625х=1, 25x≠-625х=250, х=0 Ответ: х = 0
Пример 2
Решить уравнение 3∙4х-5∙6х+2∙9х=0Решение: Запишем уравнение в виде:
2∙3х2-5∙3∙2х+ 3∙2х22∙32х- 5∙3х∙ 2х+3∙22х=0Разделим обе части полученного уравнения на 32х2-5∙23х+3∙232х=0Выполним замену: 23х=tТогда:
2-5t+3 t2=0Перепишем уравнение в виде:
3t2-5t+2=0Решим квадратное уравнение относительно t.
t1=1, t2=2323х=1, 25х=250, х=0 Решим второе уравнение:
23х=23, х=1Ответ: х = 0, х=1
Решить самостоятельно:
14.1. 18х-8∙6х-9∙2х=0;14.2. 12х-6х+1+8∙3х=0;14.3. 3∙22х+6х-2∙32х=0;14.4. 2∙22х-3∙10х-5∙52х=0;14.5. 32х+1-4∙21х-7∙72х=0;14.6. 5∙32х+7∙15х-6∙25х=0;
14.7. 54х-23∙52х-50=0;
14.8. 32х-30∙3х+81=0;
14.9. 4х-2х+3+16=0;
14.10. 22+х-22-х=6.
5.Функционально-графический метод
Метод основан на использовании графических иллюстраций.
Пример 1. Решить графически уравнение: 2х=-х+3Решение: Строим графики функций у=2х, у=-х+3.
Графики функций пересекаются в точке, абсцисса которой равна 1. То есть решением данного уравнения является х=1.

Решить самостоятельно:
15.1 2х=х+2;
15.2. 2х=х2;
15.3. 3х=7;
15.4. 2х=1х.Раздел 3. Показательные неравенстваПоказательными неравенствами называются неравенства вида: af(x)>ag(x), где a – положительное число, отличное от 1, и неравенства, сводящиеся к этому виду.
Теорема. Если a>1, то показательное неравенство af(x)>ag(x) равносильно неравенству того смысла: f(x)>g(x).
Если 0<a<1, то показательное неравенство af(x)>ag(x) равносильно неравенству противоположного смысла: f(x)<g(x).
Пример 1.
Решить неравенство: 22х-4>64Решение:
Неравенство преобразуем: 22х-4>26. Это неравенство равносильно неравенству того же смысла 2х-4>6, откуда х>5.Ответ: хϵ5; ∞Пример 2.
Решить неравенство: 132х-3,5<13,Решение:
Воспользуемся тем, что 13=1312, перепишем заданное неравенство в виде:
132х-3,5<130,5. Здесь основанием служит число 13 <1. Значит, рассматриваемое неравенство равносильно неравенству противоположного смысла 2х-3,5>0,5, откуда находим:х>2 .
Ответ: хϵ-∞;2 Пример 3
Решить неравенство: 0,5х2-3х≤0,53х-8Так как 0,5<1, то заданное неравенство равносильно неравенству противоположного смысла х2-3х≥3х-8, т.е. х2-6х+8≥0Найдем корни квадратного трехчлена х2-6х+8х1=2, х2=4.
Значит, неравенство х2-6х+8≥0 имеет смысл при х≤2, или х≥4.Ответ: хϵ-∞;2∪4;∞Пример 4
Решить неравенство 36-х>1.Решение: 36-х>30, так как 3>1, то это неравенство равносильно неравенству того же смысла 6-х>0 Отсюда следует –х>-6. Умножим правую и левую часть неравенства на -1.Знак неравенства поменяется на противоположный.
х<6Ответ: хϵ -∞;6.Пример 5
Решить неравенство 373х-7<737х-3Решение.
Воспользуемся тем, что 73=37-1И запишем неравенство в виде: 373х-7<37-7х+3.
Так как 3 7<1, то неравенство равносильно неравенству противоположного смысла:
3х-7>-7х+3,10х>10, Отсюда следует, х>1.
Ответ: х ϵ 1; ∞Решить самостоятельно:
16.1. При каких значениях a из неравенства ax1>ax2 следует неравенство: x1>x2?
16.2. При каких значениях a из неравенства ax1>ax2 следует неравенство: x1<x2?
Решить неравенство:
16.3. 5х<625 ;16.4. 12х≤ 18;
16.5. 23х<827;16.6. 2х+1<32;16.7. 13х≥81;16.8. 2х> 164;16.9. 3х≤1;16.10. 233х+6>49;16.11. 0,15х-9<0,001;16.12. 45х-1>163х+2;16.13. 23х-6≤14х-1;16.14. 712-2х+3>1273-2х;16.15. 2∙2∙2х-3≥12;16.16. 3125∙5≤152х-1;16.17. 0,6х2-х≥356;16.18. 2-1∙2х2-7,5≥2-7;16.19. 0,9х2-4х<1093;16.20. 192х-3х+2>1;16.21. 4х∙38х≤2,25;16.22. Найдите наибольшее целочисленное решение неравенства:
2,52х+3≤6,25;16.23. Сколько целочисленных решений имеет неравенство:
5х2-2х≤125Пример 7
Решить неравенство 2х-2х-2≤3. Решение:
Выносим за скобки степень с наименьшим показателем, т.е. 2х-2.
Получим: 2х-222-1≤3, 2х∙3≤3, 2х≤1, так как 20=1 то 2х≤20Так как основание 2>1, то неравенство равносильно неравенству того же смысла х≤0.Ответ: х ϵ -∞;0Решить самостоятельно:
17.1. 2х+ 2х+2≤20;17.2. 153х+4+153х+5>6;17.3. 2х+2-2х>96;17.4. 7х≥7х-1+6;17.5. 5х+1<24+5х-1;17.6. 32х-1+32х-2-32х-4≤315;Пример 8
Решить неравенство 72х-8∙7х+7>0Решение.
Заменим : 7х=t, t>0;Получим неравенство: t2-8t+7>0. Трехчлен t2-8t+7 разложим на множители: t-7t-1>0.
t<7;t>1. 7x<7, a=7>1, то x<17x>1, 7x > 70, a=7>1, то x>0.
Ответ: х ϵ -∞;1∪0;∞Пример 9
Решить неравенство: 14∙4х+2х-3≤0;Решение: 2х=t, t>0; Получим неравенство: 14t2+t-3≤0;Преобразуем неравенство: t2+4t-12≤0;Трехчлен t2+4t-12 разложим на множители t+6t-1≤0t+6>0, следовательно, t-1≤0. 2x<1, так как a=2>1, то х<0.Решить самостоятельно:
18.1. 72х-8∙7х+7>0;18.2. 9х-6∙3х<27;18.3. 0,22х-1,2∙0,2х+0,2>0;18.4. 172х-8∙17х+7<0;18.5. 22х+1-5∙2х+2≥0;18.6. 0,52х-1+3∙0,5х-2≥0;18.7. 3х+1+18∙3-х<29.Раздел 4. Системы показательных уравнений
Примеры с решениями.
Пример 1
Решить систему.
2х+у=13х+у=9Решение: Воспользуемся способом подстановки. Выразив из первого уравнения у, получим у=1-2х . Тогда 3х+(1-2х)=9 или 31-х=32, откуда
1-х=2, х=-1. Следовательно, у=1-2∙-1, у=3.
Ответ: -1;3Пример 2
Решить систему:
2∙2х+у=163х-у9х+у-3х+у=72Решение:
Преобразуем первое уравнение системы к более простому виду:
2∙2х+у=163х-у (2=212)
2∙212(х+у)=24(3х-у) (
21+х+у2=212х-4у1+х+у2=12х-4у2+х+у=24х-8у23х-9у=2Преобразуем второе уравнение к более простому виду. Введем новую переменную z=3x+y. Тогда второе уравнение системы примет вид:
z2-z=72, откуда z1=9, z2=-8. Из уравнения 3х+у=9 находим:
х+у=2; уравнение 3х+у=-8 не имеет решений.
Итак, второе уравнение системы нам удалось преобразовать к виду: х+у=2Решим полученную систему уравнений:
23х-9у=2х+у=2Умножим обе части второго уравнения на 9 и сложим полученное уравнение с первым уравнением системы:
23х-9у+9х+9у=2+18;
32х=20, х=58Из уравнения х+у=2 находим: 58+у=2; у=118
Ответ:(58;118)Решить самостоятельно:
19.1. х-у=142х-3у=119.4. 52х-у=1254х-у=419.2. 3х∙2у=122у-1-3х=519.5. 5у∙25х=62513х∙9у=12719.3. 2х+у=163у=27х19.6. 52х+у=15∙ 515х∙5у=125Ответы к решению примеров:6.1. 81; 6.2. 427; 6.3. 127; 6.4. 139
7.1. 435>447; 7.2. 4-38>4-119;
8.1. 8; 8.2. 49; 8.3. 27; 8.4. 4313; 8.5. 32.
9.1. -4; 9.2. 313; 9.3. 12; 9.4. 51210.1. 2; 10.2. 0; 10.3. 3; 10.4. 34 ; 10.5. 23;
10.6. 3; 10.7. 3; 1; -2; 10.8. 1; 10.9. 23 ; 10.10. -8.
11.1. 1; 11.2. -1; 11.3. 1; -1; 11.4. 1; 11.5. 1;
11.6. 3; 11.7. -3; 11.8. 1; 11.9. 2; -2; 1; -1. 11.10. -2.
12.1. 2; 12.2. 4; 12.3. 8; 12.4. 3; 12.5. 2;-2;
12.6. 9; 12.7. 0; 12.8. 1,5; 12.9. 1,5; 12.10. 1,5;
12.11. 2; 12.12. 3; -3.13.1. 0; 13.2. 0; 13.3. 0; 13.4. 0; 13.5. 0;
14.1. Указание: 18х=2х∙9х; 6х=3х∙2х. Уравнение запишем в виде:
2х∙9х-8∙3х∙2х-9∙2х=0Разделить данное уравнение на 2х.
Полученное уравнение 9х-8∙3х-9=0 решить методом замены. Ответ: 2.
14.2. Смотри указания к 14.1. Ответ: 2;1.
14.3. 1; 14.4. -1; 14.5. -1; 14.6. 1; 14.7. 1;
14.8. 1;3; 14.9. 2; 14.10. 1;
16.1. При a >1; 16.2. При 0<a<1; 16.3. х ϵ (-∞;4)16.4. х ϵ 3;∞); 16.5. х ϵ (3;∞); 16.6. х ϵ -∞;4;
16.7. х ϵ -∞;4; 16.8. х ϵ (-4; ∞); 16.9. х ϵ -∞;0;
16.10. х ϵ -43;∞; 16.11. х ϵ 125;∞; 16.12. х ϵ (-∞;-5);
16.13. х ϵ (-∞;74); 16.14. х ϵ 32;∞; 16.15. . х ϵ 2,5;∞);
16.16. х ϵ -∞;712; 16.17. х ϵ -2;3; 16.18. х ϵ -∞;-1∪1;∞;16.19. х ϵ -∞;1∪3;∞; 16.20. х ϵ -∞;-2∪1,5;∞;
16.21. х ϵ -∞;2; 16.22. х=-1; 16.23. х ϵ -1;0;1;2;3;
17.1. х ϵ -∞;2; 17.2. х ϵ (-∞;-53); 17.3. х ϵ (5;∞);
17.4. х ϵ 1;∞); 17.5. х ϵ -∞;1 17.6. х ϵ -∞;318.1. х ϵ -∞;0∪1;∞; 18.2. х ϵ (-∞;2);D
18.3. х ϵ -∞;0∪1;∞; 18.4. х ϵ (-1;0);
18.5. х ϵ -∞;0∪log21,5;∞; 18.6. х ϵ -∞;1;
18.7. х ϵ log223;219.1. (3;2)
19.2.
Комментарии к решению системы: 3х∙2у=122у-1-3х=5 .
Преобразуем систему к виду: 3х∙2у=122у∙2-1-3х=5 . Введем новые переменные: 3x=t, t>0; 2y=z, z>0 и систему запишем в следующем виде:
t∙z=1212∙z-t=5. Со второго уравнения находим t: t= 12∙z-5 и подставляем в первое уравнение. После преобразований получаем квадратное уравнение:
z2-10z-24=0; D= 196; z1=-2, z2=12; z1- не удовлетворяет условию. Находим t=1. Так как 3x=t, то 3x=1, отсюда следует, что
х=0; Так как 2y=z, то 2y=12, отсюда следует, что у=log212;
Ответ: (0; log212).
19.3. (1;3) 19.4. (2;1)
19.5. (2,2; -0,4) 19.6. (-1;2).
Литература:Алгебра и начала анализа: учеб. Для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / [Ш. А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др.].-15-е изд. – М.: Просвещение, 2010.
Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. В 2ч. Ч.1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) /А.Г. Мордкович. – 10-е изд. Стер. – М.: Мнемозина, 2009.
Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. В 2ч. Ч.2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) / [А.Г. Мордкович и др.]; под ред. А.Г. Мордковича. – 10-е изд. Стер. – М.: Мнемозина, 2009.
Севрюков П.Ф. Тригонометрические, показательные и логарифмические уравнения и неравенства; учебное пособие /П.Ф. Севрюков, А.Н. Смоляков. – М.: Илекса; Народное образование; Ставрополь; Сервисмаш, 2008.
Черкасов О.Ю., Якушев А.Г. Математика: интенсивный курс подготовки к экзамену. - М.: Рольф, 1997.
Шабунин М.И. Математика для поступающих в вузы. Уравнения и системы уравнений. - М.: Аквариум, 1997.
Шабунин М.И. Математика для поступающих в вузы. Неравенства и системы неравенств.- М.: Аквариум, 1997.