«Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма».
Урок №69 СДО
Тема: «Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма».
Тип урока: комбинированный.
Цели урока:
- дать определение предела числовой последовательности; рассмотреть теоремы о пределах, сформулировать необходимое условие существования предела(теорема Вейерштрасса); дать понятие бесконечно малых и бесконечно больших последовательностей; выработать умения вычислять пределы последовательностей ;вывести формулу суммы бесконечной геометрической прогрессии; выработать практические навыки применения этой формулы при решении задании.
- развитие логического мышления, памяти, умение применять математические знания по теме, коммуникативных компетенций (культуры общения), познавательного интереса.
-воспитание математической речевой культуры, привития интереса к изучаемому предмету.
II. Актуализация знаний.
1) Проверка домашнего задания
Ответьте на вопросы:
Дайте определение числовой последовательности?
Какие способы задания последовательностей вы знаете?
Какие бывают виды последовательностей?(возрастающая, убывающая, немонотонная)
Какая последовательность называется ограниченной сверху?
Какая последовательность называется ограниченной снизу?
Какая последовательность называется ограниченной ?
Какая последовательность называется неограниченной?
Какая последовательность называется сходящейся?(привести пример)
Какая последовательность называется расходящейся? (привести пример)
Ответить на вопросы по домашней работе.
2) Решить пример: исследовать последовательность на ограниченность и монотонность.
III. Изучение нового материала.
Рассмотрим две числовые последовательности
(yn):1, 3, 5, 7, 9, 11,…,2n-1,…; (xn):1, ,
1 3 5 7 9 11 0 1
Заметим , что (yn) –расходится, а (xn)-сходится. У последовательности (xn) все её члены «сгущаются» около точки 0. В математике не используют слова «точка сгущения», а используют термин «предел последовательности».
Итак, Если последовательность сходится, то она имеет предел.
Определение: Окрестностью точки b называется промежуток, на котором точка b является внутренней.(r-радиус окрестности)
b-r b b+r
Определение1: Число b называется пределом последовательности (xn), если все члены этой последовательности, начиная с некоторого номера, находятся в окрестности точки b.
Пишут так:( читают: предел последовательности (xn) при стремлении n к бесконечности равен b).
-сокращение латинского слова limes, обозначающего «предел» (сравните слово «лимит»).
Пояснение к определению
Если число b-предел последовательности, то образно выражаясь, окрестность точки b- это «ловушка» для последовательности: начиная с некоторого номера n0 эта ловушка «заглатывает » xn0 и все последующие члены последовательности. Чем меньше выбирается окрестность, тем дольше «сопротивляется » последовательность, но потом всё равно попадает, в выбранную окрестность.
Пример. (xn):1, ,- последовательность сходится к 0.
или
Теорема Вейерштрасса. Если последовательность монотонна и ограничена, то она сходится.
Приведём пример из геометрии, в котором используется теорема Вейерштрасса. Возмём окружность и будем последовательно вписывать в неё правильные многоугольники: четырёхугольник, восьмиугольник, шестнадцатиугольник и т.д. Последовательность площадей этих правильных многоугольников возрастает и ограничена снизу числом 0, а сверху числом выражающим площадь описанного около окружности квадрата. Значит по т. Вейерштрасса последовательность сходится, её предел принимается за площадь круга.
Теоремы о пределах
Предел стационарной последовательности равен значению любого члена последовательности:
Постоянный множитель можно выносить за знак предела:
Предел суммы равен сумме пределов:
Предел произведения равен произведению пределов:
Предел частного равен частному пределов:
, при условии что и (bn ) для любого n
Предел степени равен степени предела: где
Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности.
Последовательность( х n ) называется бесконечно малой, если её предел равен нулю,
.
(Пример , последовательность (xn):1, ,- бесконечно малая)
Последовательность( х n )называется бесконечно большой, если для любого положительного числа M , как бы велико оно ни было, существует такой номер N , что для всех ( х n ) с номерами n>N справедливо неравенство | х n | >M .
То есть, последовательность называется бесконечно большой, если её предел равен бесконечности,
.
(Пример , последовательность (zn):1,2,3,4,5,…,n,… бесконечно большая).
Заметим, что если последовательность (xn) является бесконечно малой (бесконечно большой), то - бесконечно большая (бесконечно малая).
Примеры.
.
Сумма бесконечной геометрической прогрессии
Рассмотрим бесконечную геометрическую прогрессию b1,b2,b3,…,bn,…
Пусть S1=b1,
S2=b1+b2,
S3=b1+b2+b3,
…………………….
Sn= b1+b2+b3+…+bn.
Получилась последовательность S1, S2, S3,…, Sn,… Как всякая последовательность она может сходится или расходится. Если последовательность Sn сходится к пределу S, то число S называют суммой геометрической прогрессии.
Пусть надо найти сумму n первых членов геометрической прогрессии: Sn= b1+b2+b3+…+bn.,то
.Рассмотрим случай, когда знаменатель q геометрической прогрессии удовлетворяет неравенству
Наедём: .
(Так как )
Поэтому для
Закрепление изученного материала.
Примеры (№№1-4 из Приложения1
1.Вычислите пределы числовой последовательности.
2.Найдите сумму геометрической прогрессии (bn), если
.
3.Найдите знаменатель геометрической прогрессии (bn),если
4.Решите уравнение, если известно, что <1:
Решения и ответы:
№1
№2 а) S=4,5 ; б)q=; S=64 ; в)-33,75.
№3 а)q=0,5 ; б)q=.
№ 4
,левая часть геометрическая прогрессия
т.к <1, можно применить формулу для суммы геометрической прогрессии .
Ответ:
б) х=0,3;
в)
геометрическая прогрессия b1=x;q=x; <1
Ответ:
г)
Самостоятельная работа.
Тест.
Вариант1
1.Найдите сумму геометрической прогрессии 25, -5,1,…
1)30; 2) ; 3)125; 4)25.
2.Найдите сумму геометрической прогрессии если b1=-1; q=0,2.
1); 2) ; 3)0,8; 4)10.
3.Вычислите пределы числовых последовательностей:
1)6 ; 2) 2 ; 3)0 ; 4).
1)-2 ; 2) ; 3)2 ; 4)6.
1)0; 2) ; 3) ; 4) .
Вариант2
1.Найдите сумму геометрической прогрессии -16,8,-4,…;
1); 2)-24; 3) ; 4).
2.Найдите сумму геометрической прогрессии если ;
1)13; 2)30; 3) 33; 4) .
3.Вычислите пределы числовых последовательностей:
;
1)4 ; 2)0 ; 3)-4 ; 4) .
;
1)-2 ; 2)0 ; 3) ; 4).
;
1)0 ; 2) ; 3) ; 4) 4.
Вариант3
1.Найдите сумму геометрической прогрессии 12;3;0,75;…;
1)16; 2)8; 3)9; 4) .
2.Найдите сумму геометрической прогрессии если ;
1)2; 2)-4,5; 3)-2; 4)-0,5.
3.Вычислите пределы числовых последовательностей:
;
1)5; 2) 2; 3)0; 4).
;
1)-2; 2) ; 3)3 ; 4)1,5.
;
1)3; 2) ; 3)6 ; 4) .
Вариант4
1.Найдите сумму геометрической прогрессии 18,-6,2,-…
1)24; 2); 3); 4)-12.
2.Найдите сумму геометрической прогрессии если ;
1)10; 2)22,5; 3)15 4)13.
3.Вычислите пределы числовых последовательностей:
1)7 ; 2) ; 3)0 ; 4).
1)1 ; 2) ; 3) ; 4)0.
1) 0; 2) ; 3) ; 4) .
Ответы:
№1 №2 №3(а) №3(б) №3(в)
Вариант 1 2 1 2 3 2
Вариант 2 3 2 3 1 4
Вариант 3 1 3 1 3 3
Вариант4 3 2 2 4 4
Подведение итогов.
Задание на дом:.
Предел числовой последовательности. Сумма бесконечной геометрической прогрессии.
1.Вычислите пределы числовых последовательностей:
2.Найдите сумму геометрической прогрессии (bn), если
.
3.Найдите знаменатель геометрической прогрессии (bn) и b3,если
4.Решите уравнение, если известно, что <1:
Тест.
Вариант1
1.Найдите сумму геометрической прогрессии 25, -5,1,…
1)30; 2) ; 3)125; 4)25.
2.Найдите сумму геометрической прогрессии если b1=-1; q=0,2.
1); 2) ; 3)0,8; 4)10.
3.Вычислите пределы числовых последовательностей:
1)6 ; 2) 2 ; 3)0 ; 4).
1)-2 ; 2) ; 3)2 ; 4)6.
1)0; 2) ; 3) ; 4) .
Вариант2
1.Найдите сумму геометрической прогрессии -16,8,-4,…;
1); 2)-24; 3) ; 4).
2.Найдите сумму геометрической прогрессии если ;
1)13; 2)30; 3) 33; 4) .
3.Вычислите пределы числовых последовательностей:
;
1)4 ; 2)0 ; 3)-4 ; 4) .
;
1)-2 ; 2)0 ; 3) ; 4).
;
1)0 ; 2) ; 3) ; 4) 4.
Вариант3
1.Найдите сумму геометрической прогрессии 12,3,0,75,…;
1)16; 2)8; 3)9; 4) .
2.Найдите сумму геометрической прогрессии если ;
1)2; 2)-4,5; 3)-2; 4)-0,5.
3.Вычислите пределы числовых последовательностей:
;
1)5; 2) 2; 3)0; 4).
;
1)-2; 2) ; 3)3 ; 4)1,5.
;
1)3; 2) ; 3)6 ; 4) .
Вариант4
1.Найдите сумму геометрической прогрессии 18,-6,2,-…
1)24; 2); 3); 4)-12.
2.Найдите сумму геометрической прогрессии если ;
1)10; 2)22,5; 3)15 4)13.
3.Вычислите пределы числовых последовательностей:
1)7 ; 2) ; 3)0 ; 4).
1)1 ; 2) ; 3) ; 4)0.
1) 0; 2) ; 3) ; 4) .