Электронный конспект для обучающихся Числовые последовательности. Предел числовой последовательности

Последовательности. Способы задания и свойства числовых последовательностей. Предел последовательности.


Последовательность – ряд чисел
Каждое число имеет свой номер (первое, второе и т.д.)
2; 12; 22; 32
218; 220; 218; 220;..
1; 4; 9; 16; 25;


а 1, а 2, а 3, , а n , или (а n )
y1, y2, y3,,yn, или у(n).

Числовая последовательность - множество нумерованных чисел, располагаемое в порядке возрастания номеров.


Последовательность может быть конечной или бесконечной

Определение: Функцию у = f(x), x13 EMBED Equation.3 1415N называют функцией натурального аргумента или числовой последовательностью и обозначают: у = f(n), или у1, у2, у3..., уn или у(n) или а1 , а2,, аn или а(n).


Способы задания последовательностей.


Словесно (описание словами, без указания формулы)
Аналитический способ (формулой)
Рекуррентный способ задания последовательности.


Приведем три примера.

уn = n2 - аналитическое задание последовательности
1,4,9,16,, n2, , где n – номер элемента последовательности
У1 = 12 =1, У2 = 22 = 4 и т.д.

уn = С - последовательность С, С, С, ., С, . . Такую последовательность называют постоянной (или стационарной).

Рекуррентный способ задания последовательности - указывается правило, позволяющее вычислить последующий элемент последовательности, если известны предыдущие.


а 1, = а, аn+1 = аn+ d -- арифметическая прогрессия

b 1, = b, bn+1 = bn·q --- Геометрическая прогрессия



Решение задач
№ 1. Вычислите у1, у2, у3, у4, у5 и запишите в виде ряда чисел:

А) 13 EMBED Equation.3 1415

Б) 13 EMBED Equation.3 1415
В) 13 EMBED Equation.3 1415


№ 2.

А) 13 EMBED Equation.3 1415
Б) 13 EMBED Equation.3 1415



Предел числовой последовательности

Рассмотрим числовую последовательность (уn)
(уn) = 13 EMBED Equation.3 1415
Изобразим элементы этой последовательностей точками на координатной прямой.




0,0625


0 0,125 0,25 0,5 1



все числа последовательности (уn) «сгущаются» около точки 0
последовательность сходится к числу 0 .

«точка сгущения»
· предел последовательности


Определение: Число b называется пределом последовательности (уn), если в любой заранее выбранной окрестности точки b содержится все элементы последовательности, начиная с некоторого номера.


Пишут так:
уnb или 13 EMBED Equation.3 1415
читают так: предел последовательности уn при стремлении n к бесконечности равен b.


Необходимое условие сходимости произвольной числовой последовательности:
Для того чтобы последовательность сходилась, необходимо, чтобы она была ограниченной.


Достаточное условие сходимости последовательности.
Если последовательность монотонна и ограничена, то она сходится.




Таблица пределов

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415 (0 < q
·1)

13 EMBED Equation.3 1415


Если 13 EMBED Equation.3 1415, то:
13 EMBED Equation.3 1415
Предел суммы равен сумме пределов: 13 EMBED Equation.3 1415
Предел произведения равен произведению пределов: 13 EMBED Equation.3 1415
Предел частного равен частному пределов: 13 EMBED Equation.3 1415, где с
·0.
Постоянный множитель можно выносить за знак предела: 13 EMBED Equation.3 1415


Примеры

Найти предел последовательности:
а) хn = 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Решение:


13 EMBED Equation.3 1415


Ответ: 0



б) хn =13 EMBED Equation.3 1415

Решение: применим правило «предел суммы»:


13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 14150 – 0 + 3 = 3
в)13 EMBED Equation.3 1415

Решение:
в подобных случаях применяется искусственный прием:


Деление числителя и знаменателя дроби (каждого слагаемого ) на наивысшую из имеющихся степень переменной n.


В данном примере разделим числитель и знаменатель дроби на n2 (каждое слагаемое):

13 EMBED Equation.3 1415









Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native