Методические рекомендации по самостоятельному изучению темы Измерения в геометрии по дисциплине ОДП Математика
Еловский филиал ГБПОУ «Осинский профессионально-педагогический колледж»
УТВЕРЖДАЮ.
Заведующий Еловским филиалом
ГБПОУ «Осинский ППК»:
________________ А.Н. Головков
«_____»________________ 20___ г.
МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО САМОСТОЯТЕЛЬНОМУ ИЗУЧЕНИЮ ТЕМЫ «ИЗМЕРЕНИЯ В ГЕОМЕТРИИ»
по дисциплине ОДП «Математика»
для профессий и специальностей технического и социально-экономического профиля
с. Елово, 2015
Автор-составитель: Чепуштанова Вера Алексеевна, преподаватель высшей категории ГБПОУ «Осинский ППК»
Рецензент: Пешина Лидия Фёдоровна, преподаватель высшей квалификационной категории ГБПОУ «Осинский ППК»
Методические указания по самостоятельному изучению темы «Измерения в геометрии» по учебной дисциплине МАТЕМАТИКА/Составитель: Чепуштанова Вера Алексеевна для студентов профессий и специальностей технического и социально-экономического профиля. – Елово, 2015. - 16 с.
Данные рекомендации по самостоятельному изучению темы «Измерения в геометрии» по математике предназначены для студентов средних профессиональных учебных заведений.
В пособии приводятся основные понятия по математике, необходимые для выполнения самостоятельных заданий. Задания для самостоятельной работы носят продуктивный характер и предполагают работу с учебником, дополнительной литературой, решение задач.
Методические рекомендации окажут помощь студентам в совершенствовании практических умений и помогут закрепить теоретические знания по дисциплине «Математика».
Рассмотрено на ЦМК Еловского филиала ГБПОУ «Осинский профессионально-педагогический колледж». Протокол №1 от 26.02. 2015.
Чепуштанова Вера Алексеевна,
ГБПОУ « Осинский ППК», 2015
Содержание
Введение..4
Самостоятельное изучение по дисциплине «Математика» темы «Измерения в геометрии»..5
Технологическая карта по теме «Измерения в геометрии» .7
Приложение ..10
Литература.16
Интернет ресурсы.16
Введение.
Изучение стереометрии имеет прикладную направленность и обеспечивается применением наглядности на всех этапах учебного процесса, постоянным обращением к опыту учащихся. Важными в практическом плане являются умения изображать известные геометрические тела, вычислять их объемы и площади поверхностей.
При изучении стереометрии учащиеся приобретают систематические сведения об основных видах пространственных тел и их свойствах, знакомятся с теоретическим обоснованием методов изображения пространственных тел на плоскости, овладевают умениями вычислять значения геометрических величин.
В результате изучения курса стереометрии все учащиеся должны овладеть следующими умениями (обязательный минимум):
Изображать пространственные геометрические тела, указанные в условиях задач и теорем, и выделять известные тела на чертежах и моделях;
Решать типичные задачи на вычисление и доказательство, опираясь на полученные теоретические сведения;
Проводить доказательные рассуждения в ходе решения типичных задач, используя теоретические сведения, полученные при изучении планиметрии и стереометрии;
Вычислять значения геометрических величин (длин, углов, площадей и объемов), применять изученные в курсах планиметрии и стереометрии формулы и теоремы;
Применять аппарат алгебры, начал анализа и тригонометрии в ходе решения геометрических задач;
Изучение данной темы даёт возможность прочувствовать всю красоту геометрии: это и связь с другими дисциплинами, и возможность применения ее в повседневной жизни, и разнообразие геометрических фигур, и интереснейшая история ее развития и многое другое.
В процессе практической деятельности возрастает степень понимания учебного материала. Студент, проделывая данную работу, обдумывает каждое свое действие, усваивая при этом теоретический материал, связанный с выполняемым заданием. Также практическая деятельность способствует выполнению воспитательной и развивающей функций: учащиеся внимательнее относятся к выполнению заданий, развивается ответственность за свои действия, самостоятельность, аккуратность. Активизация практической деятельности позволит не только заинтересовать учащихся, но и проявить себя с лучшей стороны. Достижение хороших результатов поднимает и самооценку студентов, появляется стремление к совершенствованию своих умений и навыков, что предполагает: положительную мотивационную активность; направленность и целеустремленность; высокий уровень интеллектуального развития; оригинальное мышление; развитие воображения и фантазии, самостоятельности и способности самооценки. Практическая деятельность помогает развивать познавательные интересы учащихся.
Самостоятельное изучение по дисциплине «Математика»
темы «Измерения в геометрии»
Самостоятельное изучение данной темы для студентов проводится с целью:
Систематизации и закрепления полученных теоретических знаний студентов;
Углубления и расширения теоретических знаний;
Развития познавательных способностей и активности студентов: самостоятельности, ответственности и организованности, творческой инициативы;
Формирования самостоятельности мышления, способности к саморазвитию, самосовершенствованию и самореализации.
Формирование навыков практической деятельности, умения принимать решения в нестандартной ситуации.
В процессе самостоятельного изучения студенты получают:
- практические умения и навыки:
Проведение измерительных работ (измерение длины, ширины, высоты, апофемы, радиуса, диаметра);
Выбор и использование измерительных инструментов;
Решение практических задач по вычислению площадей, объёмов многогранников и тел вращения.
Изготовление моделей тел из проволоки, бумаги и других материалов по заданным условиям.
Проведение расчётов с использованием микрокалькулятора, компьютера;
Выполнение чертежей;
Умение логически излагать последовательность своих действий, убеждать слушателей в правильности своего выбора, умения отвечать на встречные и дополнительные вопросы, отстаивать свою точку зрения.
- учебные умения:
Работать с учебниками, другой учебной литературой, справочными таблицами, формулами;
Измерять, обозначать, превращать одни единицы измерений в другие, округлять числа, производить расчёты, сравнивать, исследовать, анализировать;
Выбирать необходимые формулы, самостоятельно составлять формулы;
Проводить самостоятельно поиск необходимой информации;
Выполнять чертежи моделей, показывать на чертежах основные элементы измерений.
- специальные учебные умения:
Осуществлять эффективный и быстрый поиск нужной информации;
Умения работать с информацией (изучать, систематизировать);
Разбивать плоскую фигуру на части с целью вычисления площади по частям;
Представлять решение задачи с помощью чертежей, представлять расчёты в электронном виде;
Проводить защиту работы в виде презентации.
Основные этапы самостоятельной работы:
Первый этап.
Студенты самостоятельно знакомятся с теоретическим материалом по данной теме;
разбирают вопросы вычисления площади поверхности (площади основания, боковой поверхности, полной поверхности);
учатся вычислять объём данного тела теоретически (знакомство с формулами, вывод формул, теоремы, и др.);
вычисляют объём практически, на конкретной модели.
Второй этап.
Составление конспекта по теории вопроса.
Запись формул. Вычисления, расчёты. Оформление письменной части.
Третий этап. Изготовление из бумаги, проволоки или др. материалов модели данного вида, но с определёнными условиями. Представление модели, её чертежа.
Заключительный этап: Используя презентацию, лабораторные модели, выполненные чертежи, студент докладывает:
Как называется данная модель;
Показывает её основные элементы, объясняет, как и каким инструментом он произвёл замеры;
По каким формулам вычислял площадь поверхности, объём лабораторной модели.
Объясняет и показывает на своей модели, что изменится, если будут заданы особые дополнительные условия.
На выполнение этой работы преподаватель отводит столько часов, сколько отводится по программе на изучение всех вышеперечисленных тем в совокупности. (т.е. материал изучается не по отдельным темам, а комплексно).
Технологическая карта по теме «Измерения в геометрии».
Время реализации: 23.10.2014 – 11.11.2014
Группа:_АМ – 27 – 13
Понятие объёма. Объём и поверхности прямоугольного параллелепипеда, прямой призмы, цилиндра.
Объём и поверхность пирамиды, конуса, усечённого конуса.
Объём и поверхность шара и сферы.
Объём и поверхность частей шара.
Решение задач.
Контрольная работа
Вопросы теории и практические умения
Сроки контроля со стороны преподавателя
Формы фиксации результатов работы студентов
Ресурс, который будет использован
Форма контроля со стороны преподавателя
Знать понятия и формулы:
- объем тела
30.10.2014
Конспекты в тетради.
Ответы на вопросы
Атанасян и др. Геометрия 10 – 11 кл. п.п. 74 – 81, приложение
Зачет по теории (письменно ответить на вопросы)
- объем куба
- равновеликие тела
- объем прямоугольного параллелепипеда
- прямая призма
- объем прямой призмы
- правильная призма
- объем правильной призмы
- объем цилиндра
- наклонная призма
- объем наклонной призмы (2 –е теоремы)
- пирамида
- объем пирамиды
- объем усеченной пирамиды
- объем конуса
- объем усеченного конуса
- отношение объемов подобных тел
Уметь:
- решать задачи из разных источников
(не менее 10 задач)
Знать понятия и формулы:
- шар и сфера
06.11.2014
Конспекты в тетради.
Ответы на вопросы
Атанасян и др. Геометрия 10 – 11 кл. п.п. 82 – 84, приложение
Заполнение таблицы
- объем шара
- шаровой сегмент
- шаровой слой
- шаровой сектор
- объем шарового сегмента
- объем шарового слоя
- объем шарового сектора
- сфера
- площадь сферы
Уметь:
- решать задачи из разных источников (не менее 8 задач)
11.11.2014
Контрольная работа
Дать ответы на вопросы в тетради. Записывать тему и вопрос, на который даёте ответ.
Как изучать
Понятие объёма. Объём и поверхности прямоугольного параллелепипеда, прямой призмы, цилиндра.
На «3»
На «4» или «5»
1. Прочитайте текст учебника, приложения;
2. Ответьте на вопросы:
а) Чему равен объем параллелепипеда?
б) Какие два тела называются равновеликими?
в) Что служит единицей измерения объемов?
г) Во сколько раз увеличится объем куба, если его ребро увеличить в 2 раза?
д) Сколько см3 в 1 м3, в 1 л?
е) Напишите формулу объема прямой призмы и объясните смысл входящих в нее букв.
ж) Напишите формулу объема цилиндра и объясните смысл вхо дящих в нее букв.
з) Как изменится объем цилиндра, если его высоту и диаметр его основания увеличить в 2 раза?
2. Составьте конспект приложения,
3. Ответьте на вопросы:
а) Может ли объем тела быть отрицательным числом?
б) Свойства объема.
в) Каким соотношением связаны объемы V1 и V2 тел Р1 и Р2, если: * тело Р1 содержится в Р2; * каждое из тел Р1 и Р2 составлено из п кубиков с ребром 1 см?
г) Формула нахождения объема прямоугольного параллелепипеда. д) В призме проводятся сечения, параллельные ее основаниям. В каком отношении находятся объемы данной и вновь получен ных призм?
Объём и поверхность пирамиды, конуса, усечённого конуса.
На «3»
На «4» или «5»
1. Прочитайте текст учебника, приложения;
2. Ответьте на вопросы:
а) Какая пирамида называется правильной?
б) Как найти площадь правильного треугольника?
в) Что служит единицей измерения объемов?
г) Что представляют собой грани усеченной пирамиды?
д) Теорема об объеме конуса.
е) Напишите формулу объема пирамиды и объясните смысл входящих в нее букв.
ж) Напишите формулу объема конуса и объясните смысл вхо дящих в нее букв.
з) Как изменится объем конуса, если его высоту и диаметр его основания увеличить в 2 раза?
2. Составьте конспект приложения,
3. Ответьте на вопросы:
а) Может ли объем усечённой пирамиды быть отрицательным числом?
б) Следствие из теоремы об объёме пирамиды, в котором выводится формула объема усеченной пирамиды
в) Площадь поверхности конуса.
г) Формула нахождения объема усечённого конуса. д) Что представляет собой развёртка конуса? Сделайте рисунок.
Объём и поверхность шара и сферы.
На «3»
На «4» или «5»
1. Прочитайте текст учебника, приложения;
2. Ответьте на вопросы:
а) дайте определение шара;
б) Формула вычисления площади круга?
в) Вычислите объем шара, если его радиус R = 6 см.
г) Вычислите диаметр шара, если его объем V = 36
·
д) Как относятся объемы шаров?
е) Напишите формулу объема шара и объясните смысл входящих в нее букв.
ж) Выразите радиус шара через его объём.
3. ответьте на вопросы 10, 11. к главе 7.
2. Составьте конспект приложения,
3. Ответьте на вопросы:
а) Как изменится объем шара, если радиус увеличить в 2 раза?
б) Как относятся между собой поверхности двух шаров?
в) Площадь поверхности шара.
г) Площадь поверхности куба равна 24 см2. вычислите его объём. д) Что представляет собой развёртка шара? Сделайте рисунок.
4. Ответьте на вопросы 12, 13, 14. к главе 7.
Объём и поверхность частей шара.
На «3»
На «4» или «5»
1. Прочитайте текст учебника, приложения;
2. Ответьте на вопросы:
а) Дайте определение сферического сегмента;
б) Как найти объем шарового слоя?
в) Напишите формулу объема шарового сектора.
г) Напишите формулы площади сферического сегмента, площади сферического пояса и объясните смысл входящих в них букв.
3. Заполните таблицу (строки 1 – 9)
2. Составьте конспект приложения,
3. Ответьте на вопросы:
а) Напишите формулу объема шарового сегмента.
б) Как относятся между собой поверхности двух шаров?
в) Как найти объем шарового слоя?
г) Напишите формулу объема шарового сектора и объясните смысл входящих в неё букв.
4. Заполните таблицу полностью.
Приложение
Понятие объёма. Объём и поверхности прямоугольного параллелепипеда, прямой призмы, цилиндра.
1. Понятие объёма. С объемами различных предметов, или, как говорят в геометрии, с объемами тел, мы часто сталкиваемся в повседневной жизни. Мы говорим: ведро вмещает 10 литров воды. Это означает, что объем ведра - 10 литров. Другой пример: на строительство садового домика понадобилось 15 кубометров древесины, которая пошла на строительство.
Как на практике найти объем того или иного тела? (Литровой банкой, мензуркой) Чтобы найти объем оловянного солдатика, его нужно опустить в мензурку с делениями. Таким же образом можно измерить объем крокодила или бегемота.
Но находить таким способом объем железнодорожной цистерны или объем рефрижератора - занятие утомительное или невозможное.
Таким образом, важно уметь вычислять объемы тел, зная какие-то их размеры.
Но изучим сначала единицы объема и свойства объемов
За единицу изме рения объемов принимается объем куба, у которого длина ребра равна единице длины. Например, 1 м3это объем куба, длина ребра которого равна 1 м, а I см3 это объем куба, длина ребра которого 1 см. Очевидно, что 1 м3 = 1003 см3.
Если выбрана единица длины, то любой куб, длина ребра которого равна единице, называется единичным. Объем единичного куба равен соответствующей единице объема. Объемом тела называется число единичных ку бов и их частей, исчерпывающих данное тела Это число может быть целым, рациональным, и, вообще, произволь ным неотрицательным действительным числом.
Понятие объёма обладает следующими свойствами:
1) равные многогранники имеют равные объемы (свой ство инвариантности):
2) объем многогранника, являющегося объединением нескольких многогранников, любые два из которых не имеют общих внутренних точек, равен сумме объемов этих многогранников (свойство аддитивности).
Из свойства 2) вытекает свойство монотонности: объем части многогранника не больше объема всего много гранника.
Многогранники, имеющие равные объемы» называются равновеликими.
2. Объем прямого параллелепипеда. Напомним, что длины трех ребер прямоугольного параллелепипеда, сходящихся в од ной вершине, называются его измерениями. Одно из них можно считать длиной, другоешириной, а третьевы сотой.
1) Объемом прямоугольного параллелепипеда будем называть число, равное произведению трех его измерений, взятых в одних и тех же единицах. Если измерения прямоугольного параллелепи педа равны а, b, с, то
V= аbс.
2) Если а = b = с, то прямоугольный параллелепипед будет кубом, тогда его объем будет: V= а3.
3) Объемы геометрических тел выражаются в кубических еди ницах.
4) Объем любого прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади его основания на высоту: V = S Н
5) Два многогранника, имеющие равные объемы, называются равновеликими.
3. Объем призмы. Наклонная призма равновелика такой прямой призме, у ко торой основанием служит перпендикулярное сечение наклонной призмы, а высотой боковое ребро данной наклонной призмы.
Объем призмы равен произведению площади ее основания на высоту: V = SH.
4. Объем цилиндра. 1.Объем цилиндра равен произведению площади его основа ния на высоту, т. е.
V =
·R2H. Многогранник, составленный из n-угольника и n треугольников, называется пирамидой.
Пирамида называется правильной, если её основание – правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является высотой.
Объём и поверхность пирамиды, конуса, усечённого конуса.
1. Объём пирамиды.
* Объем любой пирамиды равен 13 EMBED Equation.3 1415 произведения площади основания на высоту:
v = 13 EMBED Equation.3 1415sh.
* Две пирамиды равновелики, если равновелики их основания и равны их высоты.
2. Объём усечённой пирамиды.
* Формула для вычисления объема усеченной пирамиды:
13 EMBED Equation.3 1415
где Н высота пирамиды, Sx и S2 площади оснований.
* Объемы подобных многогранников относятся как кубы сход ственных ребер.
3.Объём конуса, усечённого конуса
Конус в переводе с греческого означает «сосновая шишка».
С конусом люди знакомы с глубокой древности. В 1906 г. была обнаружена книга Архимеда «О методе», в которой дается решение задачи об объеме общей части пересекающихся цилиндров.
С помощью этой задачи Демокрит (древнегреческий ученый 470 - 380 до н.э.) получил формулы для вычисления объема пирамиды и конуса.
* Объем конуса равен 13 EMBED Equation.3 1415произведения площади основания на высоту, т. е.
V= 13 EMBED Equation.3 1415
·R2H.
* Объем усеченного конуса равен: 13 EMBED Equation.3 1415
где R1 и R2 ~ радиусы оснований, H высота конуса.
Решение задач
1. Авиационная бомба среднего калибра при взрыве образует воронку диаметром 6 м и глубиной 2 м. Какое количество земли (по массе) выбрасывает эта бомба, если 1 м3 земли имеет массу 1650 кг?
Решение. V =13 EMBED Equation.3 1415 Р = 1650
·6
·
· =31 т
Ответ: 31 т земли.
2. В поэме А.С. Пушкина «Скупой рыцарь» рассказана также легенда восточных народов:
... Читал я где-то, Что царь однажды воинам своим Велел снести земли по горсти в кучу, - И гордый холм возвысился,
И царь мог с высоты с весельем озирать И дол, покрытый белыми шатрами, И море, где бежали корабли.
Это одна из тех немногих легенд, в которых при кажущемся правдоподобии нет и зерна правды. Если бы какой-нибудь древний деспот вздумал осуществить такого рода затею, он был бы обескуражен мизерностью результата. Рассмотрим это:
1 горсть = 13 EMBED Equation.3 1415л = 0,2 дм3. Пусть войско из 100 000 человек. Угол может быть только 45 ° (или меньше), иначе земля будет осыпаться. V = 0,2
·100000 = 20000дм3 = 20 м3. Итак:
Дано:
V = 20m3. а = 45°
h-?
Нужно обладать богатым воображением, чтобы земляную кучу в полтора человеческих роста назвать гордым холмом.
У Аттилы было самое многочисленное войско, которое знал древний мир, около 700 000 человек. (Аттила - представитель гуннов, кочевого народа в Приуралье)
Если бы все воины Аттилы участвовали в насыпании холма, какой высоты был бы холм? Вычислите дома.
Итак, вы расширили понятие и представление о конусе, вывели формулу VKOH. Вопрос о конусе важен, т.к. конические детали имеются во многих машинах и механизмах. Да и в жизни вы убедились, что знания о конусе отнюдь не лишние.
3. Объём и поверхность шара и сферы
Мы рассмотрели формулы для вычисления объемов некоторых многогранников и круглых тел. Задумывались ли вы над таким вопросом: а как давно появились эти формулы и кто первым открыл их?
Еще до нашей эры формулы объемов многих тел (параллелепипеда, призмы и цилиндра) были известны.
Позднее благодаря трудам древнегреческих ученых Демокрита. Евдокса и Архимеда были открыты формулы для вычисления объемов пирамиды, конуса, шара и других тел.
В современных учебниках формулы для вычисления объемов пирамиды, конуса и шара выводятся на основе интегральной формулы. Но этот простой и изящный способ появился благодаря трудам И. Ньютона и Г. Лейбница гораздо позже того, как были открыты сами формулы. Изучим и мы доказательство формулы 13 EMBED Equation.3 1415 (прочитайте текст в учебнике).
В практических приложениях часто указывается диаметр шара, поэтому в процессе решения задач полезно использовать формулу:
V = 13 EMBED Equation.3 1415D3, где D - диаметр шара.
* Объем шара определяется формулой V = 13 EMBED Equation.3 1415 или V = 13 EMBED Equation.3 1415D3
* Объемы шаров относятся как кубы радиусов.
* Площадь поверхности шара (сферы) находится по формуле S = 4
·R2, где R радиус шара.
* Площади сфер относятся как квадраты их радиусов.
Решение задач
1. №710 (в).
Дано: шар, S = 64
· см2.
Найти: R и V.
Решение.
Т.к. S = 4
·R2, имеем 4
·R2 = 64
·, R2 =16, R=4. Тогда 13 EMBED Equation.3 1415 см3.
Ответ: R = 4 см, V = 13 EMBED Equation.3 1415 см3.
2. Вопрос № 9 к главе 7.
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
3. На надгробном камне могилы Архимеда в Сиракузах изображен цилиндр с вписанным в него шаром. Это символ открытия формул объема шара и площади сферы, а также важный вывод, что «объем шара, вписанного в цилиндр, в ... раз меньше объема цилиндра и что так же относятся поверхности этих тел». Найдите отношение объема шара к объему цилиндра и отношение площади шара к площади поверхности цилиндра (самостоятельно).
4. № 712
Объём и поверхность частей шара.
1. Шаровым сегментом называется часть шара, отсекаемая от него плоскостью (рис. 1, а, в). Круг, получившийся в сечении, называется основанием двух получившихся при этом сегментов.
2. Шаровым слоем называется часть шара, расположенная меж ду двумя параллельными плоскостями, пересекающими шар (рис. 1, б). Круги, получившиеся в сечении шара этими плоскостями, называются основаниями слоя, а расстояние между плоскостями – высотой слоя.
3. Шаровым сектором называется тело, которое получается из шарового сегмента и конуса (рис. 2(324)).
рис.1 Рис.2
4. Объем шарового сегмента определяется формулой 13 EMBED Equation.3 1415где Н высота шарового сегмента.
5. Объем шарового сектора определяется формулой 13 EMBED Equation.3 1415где Н высота соответствующего шарового сегмента.
6. Площадь поверхности сферического сегмента равна: S = 2
·RH, где R радиус сферы, Н высота сегмента.
7. Площадь сферического слоя равна произведению длины окружности большого круга на высоты пояса S = 2
·RH, где R радиус шара, Н высота пояса.
Заполните таблицу: (в тетради)
№ п/п
Фигура
Sосн.
Sбок.
Sполн.
V
1
Куб
2
Прямоугольный параллелепипед
3
Призма (четырёх угольная)
4
Пирамида (треугольная)
5
Правильная пирамида
6
Цилиндр
7
Конус
8
Усечённый конус
9
Сфера (шар)
--------------------------
--------------------------
10
Шаровой сегмент
--------------------------
--------------------------
11
Шаровой слой
--------------------------
--------------------------
12
Шаровой сектор
--------------------------
--------------------------
--------------------------
Литература
Перечень учебных изданий для преподавателей
1.Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., и другие – 15 изд. – М.: Просвещение, 2010 год.
2. Башмаков М.И. Математика: учебник для учреждений нач. и средн. проф. образования - Издательский центр "Академия", 2010 г.
Перечень учебных изданий для студентов
2. Погорелов А.В., Геометрия. 10 (11) кл. – М., Просвещение, 2008.
3. Башмаков М.И. Математика (базовый уровень). 1011 кл. – М., Просвещение, 2005.
4. Башмаков М.И. Математика: 10 кл. Сборник задач: учеб. пособие. – М., Просвещение,2004.
Интернет-ресурсы
http ://[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
Геометрический портал [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] , [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
13 PAGE \* MERGEFORMAT 14215
Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native