Урок в 11 классе по теме «Разнообразие способов решения тригонометрических уравнений вида аrcsin x+ b cos x=c»

План-конспект элективного занятия по алгебре и началом анализа в 11 классе. Повторение. 2 часа.
Тема: «Разнообразие способов решения тригонометрических уравнений вида
аrcsin x+ b cos x=c»
Работа учителя МКОУ ГСШ Капустиной Н.П.
Урок в 11 классе (повторение)
Тема: Различные методы решения одного тригонометрического вида
arcsin x+b cos x=c
Цели урока:
Образовательные
-решение одного тригонометрического уравнения sinx+ cosx=1всеми способами и выбрать наиболее рациональный-Указать внешние признаки, по которым устанавливается способ решения.
Развивающие
-Развить творческую и мыслительную деятельность учащихся через решение разнотипных заданий
-Умение анализировать; сравнивать математические объекты;
-Способствовать развитию интеллектуальных качеств (самостоятельность мышления, способность к переключению, общению, обобщению);
-Формировать навыки самостоятельной и коллективной работы.
Воспитательные
-Привить учащимся интерес к предмету через решение задач;
-Способствовать выработке умения обобщать изучаемые факты;
-Формировать умение ясно и четко излагать свои мысли и грамотно выполнять математические задачи, воспитывать веру в свои силы.
Ход урока.
Устная работа.
Не решая уравнений, сообщите каким способом, следовало бы решать каждое уравнение.
2cos²3x+sin 3x-1=0
cos²3x=1-sin²3x
2sin²3x-sin3x-1=0
(алгебраический способ)
7соs²x-sinxcosx+4 sin²x=5; Однородное уравнение
7cоs² x-sin x cos x+4 sin²x=5(sin²x+cos²x);
2tgx-3=2 ctgx; алгебраический способ
Ctg x= 1/tg x
3 sinx +4 cosx=2; введение вспомогательного угла уравнение видаacosx+bsinx=c
Cos 3x *cos 2x = sin 3x*sin2x
Косинус суммы
3sin²x + sin 2x =3
Прийти к однородному уравнению
Sin2x=2sin x cos x
3=3cos²x+ 3 sin²x
Cosx – cos 3x= sin 2xразность косинусов
-2 sin 2x *sin(-x)=sin 2x
Sin2x( 2 sinx-1)=0 произведение равно нулю
Сos 2x= √2(cos x- sin x)
П=0
cos²x-sin²x=2(cos x-sin x)
(cos x – sin x) (cosx+sin x+2)=0
Новый материал (Слово учителя).
Разнообразие способов решения тригонометрических уравнений разберем на примере уравнения sinx + cosx =1
Замечание
1 .При решении могут получаться внешне различные ответы.
2. если решение получено в виде нескольких формул, то необходимо проверить, не повторяют ли эти формулы одни и те же значения х.
Перед вами различные способы ( оформить на доске) решения этого уравнения
Введение вспомогательного угла.
Универсальная подставка sinL=2 tg ²L21+tg²L2X=П+2Пn, n€ Z
Сведение к однородному уравнению 2-ой степени, т.е.
Преобразование суммы в произведение (формулы приведения).
Возведение в квадрат обеих частей уравнения.
Разложение левой части на множители.
Замена переменных.
Графический метод.
Метод оценивания.
Замена соsx=±1-sin²x.
II B
Рассмотрим общий способ решения уравнения asin x + b cos x=c, который вызывает серьезные затруднения при решении.
Способ введения вспомогательного угла
a sin x + cos x=c
A =a2+b2Cos f=aA , sin f=bAa sin x + b cos x= A ∙aAsin x+ AbA cos x=A sin (x+f)
или a sin x + b cos x=A cos (x-f)
Значит,
Sin(x+f)=cA, где сA≤1IIC
Решить уравнение (самостоятельно) с проверкой у доски
1 способ. Метод введения вспомогательного аргумента
Решение. Cos x + sin x=1
A=1+1=2. (разделим обе части на 212cosx+ 12sinx=12Заметим, что 12=сosπ4= sinπ4cosπ4cos x +sin π4 sin x=12cos(x-π4) =1√2,
x-π4=±π 4+2πn, n€Z/
x1=π2+ 2πn, n€Zx2=2π k,k∈ZМножество решений уравнения изобразим на числовой окружности, отметив ключевые точки
yπ2x2πОтвет: х=π2+ 2πn, n€Z Х=2π k,k∈Z2 способ Универсальный ( Этот способ применяют лишь тогда, когда не видно путей решения)
Пусть tgx2=t, njsinx=2tt²+1, то sinx=2tt²+1, cosx=1-t²1+t², причем tgx2не существует, если cosx2=0,
т.е. х=П+2Пn, n∈Z.Выполнив замену, получаем
2t+1-t²1+t²=1, 1+t2>0, то
2t-2t²t²+1=0,
2t-2t²=0,
2t(1-t)=0
t=0 или 1-t=0
t=1
Тогда,
tgx2=0 илиtgx2=1x2=πK, k∈Zx2=π4+πn, n∈ZX=2 πK, k∈Z; х=π2+πn, n∈Zyπ2x2πОтвет: 2 πK, k∈Z; х=π2+πn, n∈Z3 способ. Решение используя формулы двойного аргумента для sinх иcosх и основное тригонометрическое тождество получим:
2sinх2 cosх2 +cos²х2 -sin²х2 =cos²х2 +sin²х2 2sinх2 cosх2 - 2sin²х2=0 ( разделим 2 cos²х2 ≠0 cosπ2=0 не является решением)
tgx2-tg2x2 =0
Значит, tgx2=0,х2=πк, к∈Z или gx2=1, x2=π4+πm, m∈Z
X=π2+ 2πm, mϵZ y π2 x2π
Ответ: х=πк, к∈Z X=π2+ 2πm, mϵZ4 способ. ( Использование тригонометрии)
sinπ2-х=cosх (Формула приведения)
sinх+cosх=1 ;
sinх+sin(π2-х)=1 ;
2sinх+π2-х2cosх-π2+х2=1 ;2sinπ4 cosх-π4=1 ;√2cosх-π4=1 ;
cosх-π4=1√2 ;
Х-π4=±π4+2Пn, n∈Z y π2 x2π
Ответ: х=π2+ 2πn, n∈ZX=2πk,k∈Z5 способ. Возведение в квадрат обеих частей.
(Замечание:При возведение в квадрат получаем неравносильное преобразование, поэтому полученные корни нужно проверить! )
sinx+cosx=1sinx+cosx²=1sin²x+2sinxcosx+cos²x=11+sin2x=1sin2x=0X=π2n, n∈Z
N=0, x=π2—решение y π2 x 2π
N=1, x=π2-решение
N=2, x=π- является решением
N=3, x=32π- не является решением
Ответ: х=π2+ 2πк, к∈ZX=2πm, mϵZ6 способ. Разложение на множители левой части
Решение sinx+cosx=1;
sinx-1-cosx=0;
2sinx2cosx2-2sin2x2=0;
2sinx2cosx2-sinx2=0;
2sinx2=0илиcosx2-sinx2=0однородное уравнениеcosx2≠0X=2πn, n∈Z 1-tgx2=0x2=π4+πK, K∈ZX=π2+2πK, K∈ZОтвет:X=2πn,n∈Z7 способ.X=π/2+2πK,K∈Z7 способ. Замена переменных.
Решение. Пусть sinx=a, cosx=b,
То sinх+cosx=1a+b=1
Добавим к нему основное тригонометрическое тождество.
a+b=1a²+b²=1b=1-aa²+1-a2=1b=1-a2a²-2a=0b=1-aa=0a=0sinx=0cosx=1илиsinx=1cosx=0Ответ: х=2πn, nϵZ , x=π2+2πk, k∈Z8 способ.графический sinx+ cosx=1.
Построим графики двух функций
y=sinx, y=1-cosx


Ответ: х=πк, к∈Z X=π2+ 2πm, mϵZ9 способ. Метод оценивания.
sin x+ cos x=1.
Решение.
Рассмотрим четыре случая.
а) Если х∈1 чет., то 0<sinх<1,0<cosх<1, значит
sinх>sin²х, cosх>cos²х,
То sinх+cosх<1, sin²х+cos²х=1б) Если х∈2 чет., то 0<sinх<1, -1<cosх<0 и sinх+cosх<1в) Если х∈3 чет., sinх<0,cosх<0 Значит sinх+cosх<1г) Если х∈4 четверти1<cosх<0, 0<cosх<1 Значит sinх+cosх<1Итак, решения могут быть только в граничных точках (∩окружности и осей)Проверим каждую.
Х=0, х=π2 , х=П, х=32πОтвет: корни х=2Пк, к∈Zили х=П2+2Пn, n∈Z10 способ. Замена cosх=∓1-sin²хРешение.
sinх+cosх=1
sinх±1-sin²х=1-sinх (иррациональное уравнение)
1-sin²х=(1-sinх)²1-sin²х=1-2sinх+sin²х-2sin²х+2sinх=0-2sinх(sinх-1)=0sinх=0 или sinх=1Х=ПM, m∈Z x=π2+2πkX=2πKx=π+2πkОтвет: x=πm, m∈Z Х=π2+2πк, к∈ZВывод. Видим, что одно уравнение можем решить различными способами. При этом простота и красота зависит от способа решения.
Выбор наиболее целесообразных методов решения достигается практикой!
Задание на дом.
Решите уравнения любыми разными способами.
А) sinх-cosх=1Б)3 sinх+cosх=1В)sin3х+cos3х=√2Оценки за работу.