Урок по математике на тему Методы решения тригонометрических уравнений (1,2 курс СПО)

Тема: «Аналитические методы решения тригонометрических уравнений».

Цели:
Систематизировать, обобщить, расширить знания и умения обучающихся, связанные с применением аналитических методов решения тригонометрических уравнений.
Содействовать развитию мышления обучающихся, их творческих возможностей.
Побуждать обучающихся к преодолению трудностей в процессе умственной деятельности.
Оборудование: Презентация к уроку, карточки Таблица 1,

Х о д у р о к а
Организационный момент:
Альберт Эйнштейн говорил так: «Мне приходится делить время между политикой и уравнениями. Однако уравнения, по-моему, гораздо важней. Политика существует только для данного момента, а уравнения будут существовать вечно.
«Стадия ВЫЗОВ»
1. Давайте повторим теоретический материал:
- Что такое уравнение?
- Что значит решить уравнение?
- Что называется корнем уравнения?
-Уравнения какого вида называются тригонометрическими?
-Дайте определение арксинуса
·, арккосинуса
·, арктангенса
·.
2. Прием «Верю - не верю». Рассмотрите уравнения и прочитайте комментарии и поставьте знаки «+» или «-» , что означает «верю» или «не верю»
На выполнение задания вам отводится 5 минут. Приступайте к работе.
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415Таблица 1
№
Уравнение
комментарий
А
«+», «-»,
верю, не верю
Б
В

1
(cos x- 1/3)(cos x +2/5)=0.

Решение данного уравнения сводится к решению совокупности уравнений
cos x =1/3 или cos x = - 2/5.





2
2cos2 x–5cosx+2=0
Решение данного уравнения сводится к решению совокупности уравнений
cos x =2, или cos x= Ѕ.




3
2 sinx– 3 cosx= 0.
Чтобы решить данное уравнение необходимо разделить обе части уравнения на cosx




4
sin2x– 3 sinx cosx+ 2 cos2x= 0.
Чтобы решить данное уравнение необходимо разделить обе части уравнения на cos2x





Решение уравнений
«Стадия осмысления»
Решение уравнений.
1.Совместное обсуждение и решение уравнений.
Аналитические методы тригонометрических уравнений:
- метод замены переменной;
- метод разложения на множители;
- однородное тригонометрическое уравнение первой степени ;
(однородное уравнение – это уравнение, в котором каждое слагаемое имеет одну и ту же степень)
- однородное тригонометрическое уравнение 2-й степени.
Сейчас, ребята я предлагаю вам решить записанные на доске уравнения, используя подходящий для этого метод.
1-sin x = cos x (1 – sin x)
sin2 2x – 8 sin2x + 4 = 0
3sin x + 4 cos x = 5
3sin2x + sinx cosx - 2 cos2x= 0
По окончании работы, заполнение столбца «Б» таблицы 1.
·
2. Самостоятельная работа
«Стадия рефлексии»
Решить уравнения из таблицы1, используя подходящий метод
и еще раз поставить знаки «+»/ «-» (верю- не верю), столбец «В»

Прием «кластер» Заполнить прямоугольники.










Дополнительно решить уравнения
2sin x + cos x = 0
sin2x + sinx cosx - 2 cos2x= 0

Подведение итогов урока.
Оценки за урок.
Информация о домашнем задании.




































Однородные тригонометрические уравнения

Однородное тригонометрическое уравнение – это уравнение двух видов:
a sin x + b cos x = 0 (однородное уравнение первой степени)
либо
a sin2 x + b sin x cos x + c cos2 x = 0 (однородное уравнение второй степени).
 
Алгоритм решения однородного уравнения первой степени a sin x + b cos x = 0:
1) разделить обе части уравнения на cos x
2) решить получившееся выражение

 Пример: Решим уравнение 2 sin x – 3 cos x = 0.
Решение.
Разделим обе части уравнения на cos x:
   2 sin x           3 cos x             0  –    =       cos x            cos x             cos x
Получаем:
2 tg x – 3 = 0
2 tg x = 3
           3tg x =            2
                3x = arctg +
·n                2
Пример решен.
 
Алгоритм решения однородного уравнения второй степени a sin2 x + b sin x cos x + c cos2 x= 0.
Условие: в уравнении должно быть выражение вида a sin2 x. Если его нет, то уравнение решается методом разложения на множители.
1) Разделить обе части уравнения на cos2 x
2) Ввести новую переменную z, заменяющую tg x (z = tg x)
3) Решить получившееся уравнение

 Пример: Решить уравнение sin2 x – 3 sin x cos x + 2 cos2 x = 0.
Решение.
Разделим обе части уравнения на cos2 x:
  sin2 x         3 sin x cos x          2 cos2 x             0  –    +    =   cos2 x             cos2 x                  cos2 x           cos2 xПолучаем:
tg2 x – 3 tg x + 2 = 0.
Вместо tg x введем новую переменную z и получим квадратное уравнение:
z2 – 3z + 2 = 0.
Найдем корни:z1 = 1z2 = 2.
Значит:либо tg x = 1, либо  tg x = 2.
Сначала найдем x при tg x = 1:x = arctg 1 +
·n.x =
·/4 +
·n.
Теперь найдем x при tg x = 2:x = arctg 2 +
·n.
Ответ: x =
·/4 +
·n;  x = arctg 2 +
·n.



Аналитические методы решения уравнений

Однородные тригонометрические уравнения.

Метод введения новой переменной

Метод разложения на множители



Root Entry