Урок по математике по теме «Основные способы решения тригонометрических уравнений»
Тема урока: « Основные способы решения тригонометрических уравнений»(2 часа)
Цель: показать знание основных тригонометрических формул; повторить и закрепить решение простейших тригонометрических уравнений. Разобрать методы решения уравнений с усложненным аргументом, с применением формул приведения, с заменой и приведением уравнений к квадратным.
Тип урока: урок объяснения нового материала (получение новых знаний) с применением ИКТ. Использованы элементы уровневой дифференциации.
Методы: словесные, наглядные, информационно-коммуникативные.
Формы организации: фронтальная, индивидуальная, самостоятельная.
Оборудование: таблицы с заданиями, дидактические материалы.
Организационный момент. (2мин). Продолжи запись
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Ребята обмениваются карточками и проверяют. На экране появляется таблица правильных ответов(1 неправильный ответ – оценка «4», два неправильных ответа – оценка «3», 3 и больше – «2»,записавшим все ответы правильно – «5»).
Разминка-диктант «Верно, не верно». (5мин)
Я показываю карточку, а учащиеся ставят «+» если верно, и «- » если не верно.
1) sin2x+cos2x=1 – основное тригонометрическое тождество?
2) sinx, cosx, tgx, ctgx – тригонометрические функции?
3) [-1;1] – область значения функций tqx и ctqx?
4) 13 EMBED Equation.3 1415 - верно?
5) 13 EMBED Equation.3 1415 - верно?
6) 13 EMBED Equation.3 1415 - промежуток возрастания функции sinx?
7) arcsin3 – имеет смысл?
8) arcsin(-2) – имеет смысл?
9) arctg(-2) – имеет смысл?
10) 13 EMBED Equation.3 1415 - область значения функции tgx.
11) 13 EMBED Equation.3 1415 - верно?
12) sinx – четная функция?
13) ctgx – нечетная функция?
Взаимопроверка заданий. Ответы: + + - - - + - - + + + - +
Основная работа – методы решения уравнений.
Приведение к простейшим тригонометрическим уравнениям.
Схема решения.
1. Выразить тригонометрическую функцию через известные компоненты.
2. Найти аргумент функции по формулам:
13 EMBED Equation.3 1415
3. Найти неизвестную переменную.
Пример 13 EMBED Equation.3 1415
Решение.
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.
II Замена переменной
Схема решения.
1. Привести уравнение к алгебраическому относительно одной из тригонометрических функций.
2. Обозначить полученную функцию переменной t
(если необходимо, ввести ограничения на t)
3. Записать и решить полученное алгебраическое уравнение.
4. Сделать обратную замену.
5. Решить простейшее тригонометрическое уравнение.
Пример.13 EMBED Equation.3 1415
Решение.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415;
Пусть 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415;
t=1,
t =-3/2, не удовлетворяет условию 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Овет: 13 EMBED Equation.3 1415
III. Метод разложения на множители.
Под разложением на множители понимается представление данного выражения в виде произведения нескольких множителей. Если в одной части уравнения стоит несколько множителей, а в другой – 0, то каждый множитель приравнивается к нулю. Таким образом, данный множитель можно представить в виде совокупности более простых уравнений.
Пример. 2 sin3 x - cos 2x - sin x = 0
Сгруппируем первый член с третьим, а cos 2x = cos2 x - sin2 x.
(2sin3 x - sin x) – (cos2 x - sin x) = 0,
Вынесем из выражения, стоящего в первой скобке sin x, а cos2 x = 1 - sin x.
sin x (2sin2 x – 1) – (1 - 2 sin2 x) = 0,
sin x (2sin2 x – 1) + (2 sin2 x - 1) = 0,
(2 sin2 x - 1) ( sin x + 1) = 0.2 sin2 x – 1 = 0 или sin x + 1 = 0
sin2 x = 1/2, sin x = - 1
sin x = ±1/v2
Ответ: x1 = ± /4 + n, n = Z, x2 = - /2 +2k, k = Z.
Выполните письменно самостоятельную работу (6 минут)
Взаимопроверка(2задания-5, 1задание-3)
Решите уравнения:
1 вариант 2 вариант
1) sin2 x - sin x = 0, 1) ctg2 x - 4 ctg x = 0,
2) 3 cos x + 2 sin 2x = 0, 2) 5 sin 2x - 2 sin x = 0.
IV Однородные уравнения.
Схема решения.
1) Привести уравнение к виду
13 EMBED Equation.3 1415 или
13 EMBED Equation.3 1415
2). Разделить обе части уравнения на а) cos x
·0; б) cos2 x
·0
и получить уравнение относительно 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
3). Решить уравнение известными способами.
Пример. 13 EMBED Equation.3 1415
Решение.
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Пусть 13 EMBED Equation.3 1415, тогда
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
Выполните письменно самостоятельную работу (8 минут)
Самопроверка(2задания-5, 1задание-3)
Решите уравнения:
1 вариант 2 вариант
1) sin x - cos x = 0, 1) 5sin x +6cos x = 0,
2) sin2 x - sin 2x = 3 cos2 x, 2) 3sin2 x - 2sin 2x +5cos2 x =2.
V Метод преобразования уравнения с помощью тригонометрических формул.
Схема решения.
1). Используя тригонометрические формулы, привести уравнение к уравнению, решаемому методами I,II,III,IV.
2). Решить полученное уравнение известными методами.
Пример. 13 EMBED Equation.3 1415
Решение.
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Вы прошли 4 этапа, теперь вам самостоятельно придется выбрать метод решения уравнений. Вспомните основные тригонометрические формулы.
Выполните письменно самостоятельную работу
Решите уравнения: (для слабых учащихся)
1 вариант 2 вариант
1) cos 2x -5 sin x – 3 = 0, 1) cos 2x + 3 sin x = 2,
2) sin 2x + cos 2x = 0, 2) sin 2x - cos 2x = 0,
3) cos2 x - cos 2x = sin x, 3) 6 - 10cos2 x + 4cos 2x = sin 2x,
4) sin 4x - cos 2x = 0, 4) cos x +cos 2x = 1,
Выполните письменно самостоятельную работу (для сильных учащихся)
(Задания даются в одном варианте, т.к. их решают не все учащиеся. Время, отводимое на эту работу, определяется учителем (ситуацией на уроке)).
Решите уравнения:
sin 6x + cos 6x = 1 - sin 3x,
29 - 36 sin2 (x – 2) - 36 cos (x – 2) = 0,
2sin x cos x + – 2 cos x - v3 sin x = 0,
sin 4x = 2 cos2 x – 1,
Подсказки:
Воспользуйтесь формулой двойного угла для sin 6x, cos 6x.
Обозначьте x – 2 = y, решите уравнение, сведя его к квадратному с помощью формулы sin2 y = 1 - cos2 y.
Сгруппируйте первое и третье слагаемое, примените разложение на множители.
Воспользуйтесь формулой двойного угла для sin 4x, cos 4x, формулой понижения степени 2cos2 x – 1 = cos 2x.
Раскройте скобки, примените основное тригонометрическое тождество.
Приведите дроби к общему знаменателю, затем используйте основное тригонометрическое тождество sin2 x + cos2 x = 1, сведите уравнение к квадратному.
Оцените свои работы самостоятельно.(самопроверка)
4 задания-5
3 задания-4
2 задания-3
V.Подведение итогов урока:
А)оценка складывается из среднего арифметического всех работ;
VI.Домашнее задание: решение тестовых заданий ЕНТ по данной теме.
13 EMBED Equation.3 1415
Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native