Приложение №2 к факультативному курсу Решение нестандартных задач по математике для обучающихся 5-8 классов

Геометрические задачи
5 класс
Площадь прямоугольника 75 см2.
Каков его периметр, если длина в 3 раза больше, чем его ширина?
Периметр прямоугольника 48 дм.
Какова его площадь, если ширина в 3 раза меньше длины?
Длина класса 9 м, ширина 8 м.
Сколько учеников могут учиться в классе, если на каждые 7 учеников необходимо 12 м2?
Длина прямоугольника 32 см, длина стороны квадрата 8 см.
Найдите их периметр, если известно, что площади у них равны.
Имеется 6 палочек длиной по 1 см, 3 палочки – по 2 см, 6 палочек – по 3 см, 5 палочек – по 4 см.
Можно ли из этого набора палочек составить квадрат, используя все палочки, не ломая их и не накладывая одна на другую?
Найдите площадь прямоугольника, если его длина на 5 см больше ширины, а половина периметра равна 19 см.
У Кенгуру насморк. Он пользуется квадратными платками размером 25 Х 25 см. За 8 дней Кенгуру израсходовал 3 м2 ткани.
Сколько платков в день тратил Кенгуру?
Из 26 спичек длиной по 5 см сложили прямоугольник наибольшей площади.
Чему равна его площадь?
Прямоугольник разделен 2-мя отрезками на 4 прямоугольника, площади 3-х из которых 2 см2, 4 см2 и 6 см2.

2 4
6 Найдите площадь прямоугольника.
Участок квадратной формы расширили так, что получился новый квадрат, сторона которого на 5 м больше стороны первоначального, а площадь при этом увеличилась на 225 м2.
Какова площадь первоначального участка?
11) Деревянный куб, длина ребра которого 5 см окрашен, а затем разрезан на кубы, ребра которых равны 1 см. Сколько получится кубов с тремя, двумя и одной окрашенной гранью?
12) Можно ли треугольник разрезать на три четырехугольника?
ПРИЁМ УРАВНИВАНИЯ ВЕЛИЧИН.
1.Для детских подарков отпустили 150 кг конфет и печенья. Конфет на 30 кг больше чем печенья. Сколько отпущено конфет и печенья в отдельности?
2.У щенят и утят 42 ноги и 12 голов. Сколько щенят и сколько утят?
3.Для детского сада купили 20 пирамид: больших и маленьких – по 7 и по 5 колец. У всех пирамид 128 колец. Сколько было больших пирамид?
4.15 мешков картофеля и 12 мешков муки весят 1 т 710 кг, причём средний вес 1 мешка картофеля на 30 кг меньше веса 1 мешка муки. Сколько весит 1 мешок картофеля и 1 мешок муки?
5.Для устройства ёлки купили: орех, конфет и пряников – всего 760 штук. Орехов взяли на 80 штук больше чем конфет, а пряников на 120 штук меньше чем орех. Какое наибольшее число одинаковых подарков для детей можно сделать из этого запаса?
6.Мама замесила тесто. Из теста можно сделать 20 одинаковых калачей или 25 одинаковых булочек. Какова масса всего теста, если на один калач идет на 10 г теста больше, чем на одну булочку?
делимость чисел
Ковбой Джо зашёл в бар и попросил у бармена бутылку виски за 3 доллара, трубку за 6 долларов, 3 пачки табака и 9 коробок непромокаемых спичек, цену которых он не знал. Бармен потребовал 11 долларов 80 центов (в 1 долларе – 100 центов), на что Джо вытащил револьвер. Бармен сосчитал снова и исправил ошибку. Как Джо догадался, что бармен пытался его обсчитать?
Для школьной библиотеки приобрели 17 одинаковых книг. Сколько они стоят, если за 9 таких книг заплатили больше 1130 рублей, но меньше 1140 рублей?
Окончив читать книгу, Вася подсчитал, что для нумерации всех её страниц потребовалась 301 цифра. Покажите, что он ошибся.
Докажите, что если сумма первой и второй цифр трёхзначного числа, у которого одинаковы цифры сотен и единиц делятся на 7, то и число делится на 7.
Докажите, что если в трёхзначном числе средняя цифра равна сумме крайних, то число делится на 11.
Даны три различные не равные 0 цифры, из них составлены всевозможные трёхзначные числа. Докажите, что сумма этих чисел обязательно делится 6 и на 37.
Докажите, что числа запись которых состоит из трёх одинаковых цифр делятся и на 3 и на 37.
Докажите, что слово ХАХАХА делится на 7 , если в нём буквами Х и А обозначены любые цифры.
ИНВАРИАНТЫ.
Инвариантом некоторого преобразования называется величина или свойство, не изменяющееся при этом преобразовании.
1.Учитель написал на листке бумаги число 10. 15 учеников передают листок друг другу и каждый прибавляет к числу или отнимает от него единицу – как хочет. Может ли в результате получиться число «0»?
2.На доске записано 15 чисел: 8 нулей и 7 единиц. Вам предлагается 14 раз подряд выполнить такую операцию: зачеркнуть любые два числа, и если они одинаковые, то дополните к оставшимся числам нуль, а если разные - то единицу. Какое число останется на доске.
3.В телевизионном спортивном состязании «Весёлые старты» участвуют команды двух школ. Соревнование состоит из нескольких конкурсов. За победу в конкурсе команда получает 3 очка, за ничью – 2 очка, за поражение – 1 очко. С каким счётом могли, и с каким не могли закончиться соревнования:
23 : 20, 17 : 17, 24 : 16, 17 : 15 ?
4.В последовательности 19752… каждая цифра, начиная с пятой, равна последней цифре суммы предыдущих четырех цифр. Встретится ли в этой последовательности набор цифр 1234 или 7485?
5.2006 человек выстроились в шеренгу. Всегда ли можно их расставить по росту, если за один ход разрешается переставлять только 2 людей, стоящих через одного?
6.На чудо-яблоне растут бананы и ананасы. За один раз разрешается сорвать с неё 2 плода. Если сорвать 2 банана или 2 ананаса, то вырастет ещё 1 ананас. Если сорвать 1 банан и 1 ананас, то вырастет 1 банан. В итоге на яблоне остался 1 плод. Что это за плод, если вначале на яблоне было 12 бананов и 13 ананасов.
7.В вершинах куба записаны числа 2, 0, 0, 3, 1, 9, 5, 7. За один ход разрешается прибавить к числам стоящим на концах одного ребра, одно и то же целое число. Можно ли за несколько ходов получить двойки во всех вершинах?
8.Можно ли из таблицы выбрать 5 чисел, сумма которых равна 50?
1 15 17
3 13 19
5 11 21
7 9 23
9.На доске написано число 23. Каждым ходом число стирают с доски и записывают на его место произведение его цифр, увеличенное на 12. Что будет записано через 1000 ходов?
ЗАДАЧИ – ГОЛОВОЛОМКИ РАЗНЫХ СТРАН МИРА
АВСТРАЛИЯ
Любопытная это страна. И славится она не только кенгуру. Там тоже очень любят математику.
***
Скотовод завещал трем своим сыновьям – Альфреду, Джону и Чарльзу – разделить стадо овец следующим образом: Альфред получит на 20% больше Джона и на 25% больше Чарльза. Часть Джона – 3600 овец.

АНГЛИЯ
Чем знаменита Англия? Бульдогами, пудингами, тостами, сэндвичами, английским языком …
А вот вам и чисто английская загадка на смекалку.
***
Как определить фальшивую монету из восьми двумя взвешиваниями?
***
Маленький Патрик гулял вместе с папой и дядей. Он был любопытным ребенком и хотел узнать, когда им вместе будет 100 лет. Отец сказал: « Тогда я буду старше тебя на 28 лет, а твой возраст будет 6/5 от сегодняшнего». Дядя добавил : «А мой возраст будет в 2 раза больше, чем было твоему отцу через 1,5 года после твоего рождения». Патрик опустил голову и сказал, что ничего не понял. Помогите ему узнать, через сколько лет им вместе будет 100 лет.
АРАВИЯ
Арабы более других преуспели в счете. И наши цифры называются арабскими (хотя, справедливости ради скажем , изобрели их в Индии).
***
-Вот тебе мой вопрос, - сказал бедуин. – Когда отцу моему – мир праху его! – был всего 31 год, мне самому было всего лишь 8 лет от роду.
Если бы он все еще оставался в этом мире, теперь он был старше меня как раз вдвое…
БОЛГАРИЯ
Болгария славится овощами, фруктами, цветами, розовым маслом, юмором. (В Габрове проводят дни смеха.) И математику там уважают тоже.
***
Гончар продал глиняную посуду. Старушка купила 1 кувшин, за который заплатила 1 лев, и ещё половину стоимости кувшина. Сколько стоит кувшин?

***
На одной чашке весов лежит кусок мыла, на другой – ¾ кг. Весы в равновесии. Сколько весит 1 кусок мыла?
***
Мельник имел таксу – брать за работу 1/10 смолотой муки. Сколько муки было смолото человеку, если после удержания муки по таксе ему отдали 99 кг?
***
1,5 курицы за 1,5 дня снесут 1,5 яйца. Сколько снесут 4 курицы за 9 дней?
Трое – Драган, Стоян и Петко – путешествовали вместе. Драган имел 5 кг хлеба, Стоян – 3 кг, а Петко ничего не имел. Во время путешествия все дружно съели 8 кг хлеба. Петко дал товарищам 8 грошей как плату за ту часть хлеба, которую съел. Как разделить Драгану и Стояну эти 8 грошей?
***
В одном купе ехали – Ангел, Васил и Стоян. Разговорились, оказалось, что если поменять местами цифры в годах Ангела, то получится возраст Васила; разность же возрастов Ангела и Васила даст удвоенный возраст Стояна, а Васил в 10 раз старше Сиояна. Сколько лет каждому из них?
***
Хозяин пригнал во двор волов. Во дворе было забито несколько колов. Если каждому колу он привязал по волу, то для одного вола не хватит кола. Если к каждому колу он привяжет по 2 вола, то 1 кол останется без волов.
ЗАДАЧИ – ГОЛОВОЛОМКИ РАЗНЫХ СТРАН МИРА
АВСТРАЛИЯ
Любопытная это страна. И славится она не только кенгуру. Там тоже очень любят математику.
***
Скотовод завещал трем своим сыновьям – Альфреду, Джону и Чарльзу – разделить стадо овец следующим образом: Альфред получит на 20% больше Джона и на 25% больше Чарльза. Часть Джона – 3600 овец.

АНГЛИЯ
Чем знаменита Англия? Бульдогами, пудингами, тостами, сэндвичами, английским языком …
А вот вам и чисто английская загадка на смекалку.
***
Как определить фальшивую монету из восьми двумя взвешиваниями?
***
Маленький Патрик гулял вместе с папой и дядей. Он был любопытным ребенком и хотел узнать, когда им вместе будет 100 лет. Отец сказал: « Тогда я буду старше тебя на 28 лет, а твой возраст будет 6/5 от сегодняшнего». Дядя добавил : «А мой возраст будет в 2 раза больше, чем было твоему отцу через 1,5 года после твоего рождения». Патрик опустил голову и сказал, что ничего не понял. Помогите ему узнать, через сколько лет им вместе будет 100 лет.
АРАВИЯ
Арабы более других преуспели в счете. И наши цифры называются арабскими (хотя, справедливости ради скажем , изобрели их в Индии).
***
-Вот тебе мой вопрос, - сказал бедуин. – Когда отцу моему – мир праху его! – был всего 31 год, мне самому было всего лишь 8 лет от роду.
Если бы он все еще оставался в этом мире, теперь он был старше меня как раз вдвое…
БОЛГАРИЯ
Болгария славится овощами, фруктами, цветами, розовым маслом, юмором. (В Габрове проводят дни смеха.) И математику там уважают тоже.
***
Гончар продал глиняную посуду. Старушка купила 1 кувшин, за который заплатила 1 лев, и ещё половину стоимости кувшина. Сколько стоит кувшин?

***
На одной чашке весов лежит кусок мыла, на другой – ¾ кг. Весы в равновесии. Сколько весит 1 кусок мыла?
***
Мельник имел таксу – брать за работу 1/10 смолотой муки. Сколько муки было смолото человеку, если после удержания муки по таксе ему отдали 99 кг?
***
1,5 курицы за 1,5 дня снесут 1,5 яйца. Сколько снесут 4 курицы за 9 дней?
Трое – Драган, Стоян и Петко – путешествовали вместе. Драган имел 5 кг хлеба, Стоян – 3 кг, а Петко ничего не имел. Во время путешествия все дружно съели 8 кг хлеба. Петко дал товарищам 8 грошей как плату за ту часть хлеба, которую съел. Как разделить Драгану и Стояну эти 8 грошей?
***
В одном купе ехали – Ангел, Васил и Стоян. Разговорились, оказалось, что если поменять местами цифры в годах Ангела, то получится возраст Васила; разность же возрастов Ангела и Васила даст удвоенный возраст Стояна, а Васил в 10 раз старше Сиояна. Сколько лет каждому из них?
***
Хозяин пригнал во двор волов. Во дворе было забито несколько колов. Если каждому колу он привязал по волу, то для одного вола не хватит кола. Если к каждому колу он привяжет по 2 вола, то 1 кол останется без волов.
Сколько колов забито во дворе и сколько волов пригнал хозяин?