Открытый урок математики в 5 классе (на городском семинаре заместителей директоров по УВР по теме «Здоровьесберегающие технологии – основа современного урока»)
Открытый урок
математики в 5 классе
(на городском семинаре заместителей директоров по УВР
по теме
«Здоровьесберегающие технологии – основа современного урока»)
Провела: Карташева А.А.
учитель первой категории
г. Новомосковск
17 ноября 2010г.
Тема: Комбинаторные задачи.
Цель: 1. Сформировать понятие об комбинаторных задачах,
сформировать навык решения простейших комбинаторных задач.
2. Развивать логическое мышление, познавательный интерес,
нестандартность мышления.
3. Воспитывать интерес к предмету, культуру здоровьесбережения.
Оборудование: наборы монет достоинством 5 коп. и 10 коп. на каждую парту, макет расписания, таблички с названиями предметов, 3 коробки, 3 шарика- белый, синий, красный, таблица «Этапы решения комбинаторных задач», тексты задач, таблички с краткой записью задач.
Ход урока:
I. Организационный момент:
Зачитывается эпиграф «Крупное научное открытие дает решение крупной проблемы, но и в решении любой задачи присутствует крупица открытия».
Педагог-математик Д. Пойа.
II. Активизация мыслительной деятельности учащихся:
На доске демонстрируется задача: Сколько трехзначных чисел можно составить с помощью цифр 1,2,3 так, чтобы одна цифра встречалась в каждом числе не более одного раза?
Решение: 123,132,231,213,312,321.
Ответ: 6 чисел.
Сверяем ответ.
-В чем особенность этой задачи?
- Как вы составляли числа? (комбинировали цифры).
При решении каждой задачи ставится один и тот же вопрос: как организовать перебор вариантов, чтобы не пропустить ни один из них и избежать повтора?
Один способов перебора вариантов – это построения дерева возможных вариантов.
Составим дерево вариантов для данной задачи:
1 цифра 1 2 3
2 цифра 2 3 1 3 1 2
3 цифра 3 2 3 1 2 1
Числа 123, 132, 213, 231, 312, 321.
III. Объяснение нового материала:
- На практике часто приходится решать задачи, в которых из некоторого числа объектов приходится выбирать те, которые обладают тем или иным свойством, располагать объекты в определенном порядке. Например, мастеру приходится распределять различные виды работ между рабочими, агроному – размещать сельскохозяйственные культуры на полях, офицеру – выбирать из солдат взвода наряд и т.д.
- Ребята, приведите свои примеры жизненных ситуаций, в которых человеку приходится выбирать, комбинировать, распределять объекты.
- Все эти задачи можно назвать комбинаторными. Проанализировав все сказанное, давайте попробуем дать определение комбинаторным задачам.
(Дети дают свои определения)
- А теперь давайте посмотрим, какое научное определение дается комбинаторным задачам.
(Таблица «Определение комбинаторной задачи»)
- Раздел математики, в котором изучаются комбинаторные задачи, называют комбинаторикой.
- Существует 2 этапа решения комбинаторных задач:
1. Отыскание хотя бы 1 решения;
2. Если задача имеет несколько решений, то возникает вопрос о подсчете числа решений, описании всех решений.
Пример: Сколькими способами можно представить число 10 в виде суммы четырех нечетных цифр?
- Вспомним нечетные цифры: 1,3,5,7,9.
1. Найдем одно решение 10 = 1+1+3+5.
2. Найдем остальные решения 10= 7+1+1+1, 10 = 3+3+3+1
Ответ: 3 способа.
Физкультминутка.
А теперь ребята, встали!
Быстро руки вверх подняли,
В стороны, вперед, назад,
Повернулись вправо, влево,
Тихо сели, вновь за дело.
IV. Закрепление:
Задача: У кассира имеются монеты в 5 коп и 10 коп. Сколькими способами он может сдать сдачи 50 коп?
(Каждому ребенку даются монеты, на доске записываются различные способы решения, проверяем, могут ли быть другие способы решения.)
Ответ: 6 способов.
Задача: Поиграем в завучей.
При составлении расписания уроков на вторник трое учителей высказали пожелания, чтобы их уроки были:
По математике – 1 или 2;
По истории – 1 или 3;
По литературе – 2 или 3.
Сколькими способами и как можно составить расписание, чтобы удовлетворить пожелания всех учителей?
(На магнитной доске сетка расписания и таблички с названиями предметов. Дети заполняют сетку расписания)
Ответ: 1. Математика 1. История
2. Литература 2. Математика
3. История 3. Литература
Гимнастика для глаз:
Рисуй глазами треугольник.
Теперь его переверни
Вершиной вниз.
И вновь глазами
Ты по периметру веди.
Рисуй восьмерку вертикально.
Ты головою не крути,
А лишь глазами осторожно
Ты вдоль по линиям води.
Задача: В трех ящиках лежат по одному шарику: белый, красный и синий. На первом ящике надпись «Белый», на втором – «Красный», а на третьем «Белый или синий», но, ни одна надпись не соответствует действительности. Где, какие шарики?
Ответ: 3 – красный,
2 – Белый
1 – синий.
(Решив задачу, открываем ящики и проверяем)
V. Домашнее задание:
Учащиеся получают карточки с двумя задачами и предложением составить самим комбинаторную задачу.
1. Запишите все двузначные числа, в записи которых используются только цифры 3, 5, 7, 9. Сколько двузначных чисел можно записать, если использовать при записи числа каждую цифру только один раз?
2. В четверг в первом классе должно быть три урока: русский язык, математика и физкультура. Сколько различных вариантов расписания можно составить на этот день?
Указание: Перебирая варианты введите обозначения: Р – русский язык,
М – математика, Ф – физкультура.
3. Составить свою комбинаторную задачу.
VI. Подведение итогов:
1. Какие задачи мы сегодня решали?
2. Какие задачи называются комбинаторными?
В каких жизненных ситуациях человеку приходится решать комбинаторные задачи?
VII. Историческая справка.
(сообщение учащегося при наличии времени)
Историческая справка
Комбинаторика возникла в XVII веке. С задачами, в которых приходилось выбирать те или иные предметы, располагать их в определенном порядке и отыскивать среди разных расположений наилучшее, люди столкнулись ещё с доисторическую эпоху, выбирая наилучшее положении охотников во время охоты, воинов – во время битвы, инструментов – во время работы. Уже несколько тысячелетий назад в Древнем Китае увлекались составлением магических квадратов. В Древней Греции изучали фигуры, которые можно составить из частей квадрата.
Комбинаторные навыки оказались полезными и в часы досуга. Со временем появились различные игры: нарды, шахматы, шашки, карты. В каждой из этих игр приходилось рассматривать различные сочетания фигур, и выигрывал тот, кто их лучше изучил, знал выигрышные комбинации и умел избегать проигрышных.
Но не только азартные игры давали пищу для комбинаторных размышления математиков. Еще с давних пор дипломаты, стремясь к тайне переписки, изобретали сложные шифры, а секретные службы других стран пытались эти шифры разгадать. Позднее стали применять шифры, основанные на комбинаторных принципах.
Изучением комбинаторных задач занимались французские математики Б. Паскаль и П. Ферма. Первым рассматривал комбинаторику как самостоятельную ветвь науки немецкий философ и математик Г. Лейбниц, он же впервые ввел термин «комбинаторный». Замечательные достижения в области комбинаторики принадлежат Л. Эйлеру.
Выбором объектов и расположением их в том или ином порядке приходится заниматься чуть ли не во всех областях человеческой деятельности, например, конструктору, который разрабатывает новую модель механизма, ученому-агроному, который планирует распределение сельскохозяйственных культур на нескольких полях, химику, который изучает строение молекул.
Теперь комбинаторика находит приложение во многих областях науки: в биологии, где она применяется для изучения состава белков, в химии, механике сложных сооружений и в других областях науки и техники.
Комбинаторные методы применяются в статистике, математическом программировании, вычислительной математике.
15