Материалы для подготовки к выпускным экзаменам учащихся 9-х классов, обучающихся по заочной форме обучения
Материалы
для подготовки к выпускным экзаменам
учащихся 9-х классов,
обучающихся по заочной форме обучения
Подготовила учитель математики О. Н. Черемисина
Готовимся к экзаменам
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Упростите выражение:
1) 4с(с – 2) – (с – 4 )2
Решение: 4с(с – 2) – (с – 4 )2 = 4с2 – 8с – (с2 – 8с + 16) =
= 4с2 – 8с – с2 + 8с – 16 = 3с2 – 16
Ответ. 3с2 – 16
2) 3(у – 1)2 + 6у
Решение: 3(у – 1)2 + 6у = 3(у2 – 2у + 1) + 6у = 3у2 – 6у + 3 +6у = 3у2 + 3
Ответ. 3у2 + 3
3) (а – 3)(а – 7) – 2а(3а – 5)
Решение: (а – 3)(а – 7) – 2а(3а – 5) = а2 – 7а – 3а + 21 – 6а2 + 10а =
=
· 5а2 + 21 = 21 – 5а2
Ответ. 21 – 5а2
4) (у – 4)(у + 4) – (у – 3)2 = у2 – 16 – (у2 – 6у + 9) = у2 – 16 – у2 + 6у
· 9 =
= 6у – 25
Ответ. 6у – 25
Решите самостоятельно:
3а(а + 2) – (а + 3)2
(а – 4)2 – 2а(3а – 4)
(х – 2)(х + 4) – 2х(1 + х)
(а – 2)(а + 2) – (а + 1)2
а(а + 5b) – (a +b)(a – b)
2c(3c + 4) – 3с(2с + 1)
(2b – 3)(3b +2) – 3b(2b +3).
Готовимся к экзаменам
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Образец:
1) Упростить выражение: 13 EMBED Equation.3 1415
Решение: 13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415
2) Упростить выражение: 13 EMBED Equation.3 1415
Решение: 13 EMBED Equation.3 1415
3) Упростить выражение: 13 EMBED Equation.3 1415
Решение: 13 EMBED Equation.3 1415
4) Упростить выражение: 13 EMBED Equation.3 1415
Решение: 13 EMBED Equation.3 1415
5) Упростить выражение: 13 EMBED Equation.3 1415
Решение: 13 EMBED Equation.3 1415
Решите самостоятельно:
1) 13 EMBED Equation.3 1415
2) 13 EMBED Equation.3 1415
3) 13 EMBED Equation.3 1415
4) 13 EMBED Equation.3 1415
5) 13 EMBED Equation.3 1415
Готовимся к экзаменам
Образец:
Представьте выражение в виде степени и найдите его значение при заданном значении переменной:
1) 13 EMBED Equation.3 1415, а = 6.
Решение: 13 EMBED Equation.3 1415. При а = 6 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ. 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.
2) 13 EMBED Equation.3 1415, а = 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение: 13 EMBED Equation.3 1415. При а = 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 .
Ответ. 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.
3) 13 EMBED Equation.3 1415 , х = 0,1.
Решение: 13 EMBED Equation.3 1415. При х = 0,1 х3 = (0,1)3 = 0,001. Ответ. х3; 0,01.
Вычислите значение выражения:
1) (27
· 3-4)2
Решение: (27
· 3-4)2 = (33
· 3-4)2 = (33-4)2 = (3-1)2 = 3-1
·2 = 3-2 = 13 EMBED Equation.3 1415 . Ответ.13 EMBED Equation.3 1415
2) 13 EMBED Equation.3 1415
Решение: 13 EMBED Equation.3 1415. Ответ.13 EMBED Equation.3 1415
Сравните:
1) (1,3
· 10-2)
· (3
· 10-1) и 0,004
Решение: (1,3
· 10-2)
· (3
· 10-1) = (1,3
· 3)
· (10-2
· 10-1) = 3,9
· 10-2-1 = 3,9
· 10-3 = 3,9
· 0,001 = 0,0039
0,039 < 0,004. Ответ. (1,3
· 10-2)
· (3
· 10-1) < 0,004.
Решите самостоятельно:
Представьте выражение в виде степени и найдите его значение при заданном значении переменной:
1) 13 EMBED Equation.3 1415, а = 13 EMBED Equation.3 1415; 2) 13 EMBED Equation.3 1415, х = 13 EMBED Equation.3 1415; 3) 13 EMBED Equation.3 1415 , а = 0,1.
Вычислите значение выражения:
1) 16
· (2-3)2 ; 2) 13 EMBED Equation.3 1415; 3) (108)2
· 100-6.
Сравните:
1) (2,1
· 10-1)
· (4
· 10-2) и 0,008; 2) (2
· 10-2)2 и 0,004; 3) 13 EMBED Equation.3 1415 и 0,012.
Готовимся к экзаменам
Пример 1: Решите уравнение: 2 – 3(х + 2) = 5 – 2х.
Решение. 2 – 3х – 6 = 5 – 2х,
· 3х + 2х = 5 – 2 + 6,
· х = 9,
·: (
· 1)
х =
· 9.
Ответ. х =
· 9.
Пример 2: Решите уравнение: 5(2 + 1,5х) – 0,5х = 24
Решение: 10 + 7,5х – 0,5х = 24,
7,5х – 0,5х = 24 – 10,
7х = 14,
·: 7
х = 2.
Ответ. х = 2.
Пример 3: Решите уравнение: 13 EMBED Equation.3 1415
Решение: 13 EMBED Equation.3 1415,
·
· 15
13 EMBED Equation.3 1415,
5(х + 9) – 3х = 15,
5х + 45 – 3х = 15,
5х – 3х = 15 – 45,
2х =
· 30,
·: 2
х =
· 15.
Ответ. х =
· 15.
Решите самостоятельно уравнения:
3 – 5(х + 1) = 6 – 4х. 5) 13 EMBED Equation.3 1415.
4х – 5,5 = 5х – (2х – 1,5). 6) 13 EMBED Equation.3 1415
0,4х = 0,4 – 2(х + 2).
13 EMBED Equation.3 1415
Готовимся к экзаменам
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Примеры:
10х2 + 5х = 0; 2. 25 – 100х2 = 0;
х(10х + 5) = 0; – 100х2 = – 25;
·: (– 25)
х = 0 или 10х + 5 = 0; х2 = 0,25
10х =
· 5;
·:10 х1,2 = ± 0,5
х =
· 0,5. Ответ. х1,2 = ± 0,5
Ответ. х1 = 0, х2 =
· 0,5.
2х2 + 3х – 5 = 0
а = 2, b = 3, с = – 5.
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ. х1 = 1, х =
· 2,5.
Решите самостоятельно:
1) 3х2
· 12х = 0; 5)
· х2 + 7х – 10 = 0; 9) х(х + 2) = 3;
2) 2х2 + х = 0; 6) 5х2
· 7х + 2 = 0; 10) 3х2 + 9 = 12х
· х2.
3) 3х2
· 75 = 0; 7) 9х2
· 6х + 5 = 0;
4) 2х2
· 14 = 0; 8) 6х2 + х – 1 = 0
Готовимся к экзаменам
Задача. В первый день велосипедист проехал 52% маршрута, в второй день в два раза меньше, а в третий день - оставшиеся 44 км. Какова протяженность маршрута?
Решение. Переведем процент в десятичную дробь 52% = 0,52. Дробь от числа находим умножением числа на эту дробь.
Пусть х км – протяженность маршрута тогда в первый день велосипедист проехал 0,52х км, во второй – (0,52х : 2 = 0,26х) км. Протяженность всего маршрута (0,52х + 0,26х + 44) км.
Уравнение: 0,52х + 0,26х + 44 = х,
0,52х + 0,26х
· х = 44,
·0,22х =
· 44, |: (
·0,22)
х = 200.
Значит протяженность маршрута 200 км. Ответ. 200 км.
Задача. У причала находилось 6 лодок, часть из которых была двухместными, а часть трехместными. Всего в эти лодки может поместиться 14 человек. Сколько двухместных и сколько трехместных лодок было у причала?
Решение. Пусть двухместных лодок у причала было х штук, а трех местных – у штук. Всего лодок (х + у) шт. По условию задачи это 6 шт. Уравнение: х + у = 6.
(2х) чел. поместится в двухместные лодки, а (3у) чел. поместится в трехместные лодки. Во все лодки поместится (2х + 3у) чел. По условию задачи это 14 чел. Уравнение: 2х + 3у = 14.
Система уравнений: 13 QUOTE 1415
Решим систему уравнений способом подстановки:
х + у = 6, х = 6 – у.
2(6 – у) + 3у = 14,
12 – 2у + 3у = 14,
– 2у + 3у = 14 – 12,
у = 2.
х = 6 – 2 = 4.
Значит двух местных лодок у причала 4шт., а трехместных – 2 шт. Ответ. 4 шт., 2 шт.
Задача. Пешеход дошел от станции до почты и вернулся обратно, затратив на весь путь 1 час. К почте он шел со скоростью 6 км/ч, а обратно – со скоростью 4 км/ч. Чему равно расстояние от станции до почты?
Решение.
Направление движения
Скорость
Время
Расстояние
От станции до почты
6 км/ч
х км
От почты до станции
4 км/ч
х км
По условию задачи на весь путь пешеход затратил 1 час.
Уравнение: 13 QUOTE 1415, | · 12 13 QUOTE 1415
2x + 3x = 12,
5x = 12, | : 5
x = 2,4.
Значит расстояние от станции до почты 2,4 км. Ответ. 2,4 км.
Задача. Из города А в город В, расстояние между которыми 120 км, выехали одновременно два велосипедиста. Скорость первого на 3 км/ч больше скорости второго, поэтому он прибыл в город В на 2 часа раньше. Определите скорости велосипедистов.
Решение.
Участники движения
Скорость
Время
Расстояние
1 велосипедист
( х + 3) км/ч
120 км
2 велосипедист
х км/ч
120 км
По условию задачи время движения 1 велосипедиста на 2 часа меньше.
Уравнение: 13 QUOTE 1415 | · x(x + 3)
· 0
120(х + 3) – 120x = 2 x(x + 3),
120х + 360 – 120х = 2х2 + 6х,
2х2 + 6х – 360 = 0, | : 2
х2 + 3х – 180 = 0,
13 QUOTE 1415
– 15 не удовлетворяет условию задачи, т. к. скорость движения – число положительное. Значит скорость второго велосипедиста 12 км/ч, а скорость первого велосипедиста 12 + 3 = 15 км/ч.
Ответ. 15 км/ч, 12 км/ч.
Решите самостоятельно:
Задача 1. Утром было продано 28% товара, днем – в два раза больше, а вечером – оставшиеся 32 кг. Сколько всего килограммов товара было продано?
Задача 2. На турбазе имеются палатки и домики: всего их 25. В каждом домике живут 4 человека, а в каждой палатке 2 человека. Сколько на турбазе палаток и сколько домиков, если на турбазе отдыхают 70 человек?
Задача 3. Велосипедист доехал от озера до деревни и вернулся обратно, затратив на весь путь 1 час. От озера до деревни он ехал со скоростью 15 км/ч, а обратно со скоростью 10 км/ч. Чему равно расстояние от озера до деревни?
Задача 4. Из пунктов А и В одновременно навстречу друг другу вышли 2 пешехода. Скорость первого на 1 км/ч больше скорости второго, поэтому он прибыл в пункт В на 1 час раньше, чем второй в пункт А. Найдите скорости пешеходов, если расстояние между пунктами А и В равно 20 км.
Формулы сокращенного умножения
(a + b)2 = a2 + 2ab = b2 (a
· b)2 = a2
· 2ab = b2
a2
· b2 = (a – b)(a + b)
Распределительный закон умножения относительно сложения
a(b + c) = ab + ac
a2 – b2 = (a – b)(a + b)
ac – bc = a(a – b) ac + bc = a(a + b)
Определение степени
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 где n – натур. число, m - целое
Свойства степени
1) an
·am = an+m 2) an: am = an-m 3) (an)m = an
·m 4) (a
· b)n = an
· bn
5) 13 EMBED Equation.3 1415
Уравнения, сводящиеся к линейным
Раскройте скобки по распределительному закону а(b + c) = ac + bc
Перенесите все члены уравнения, содержащие неизвестное число в левую часть, без неизвестного
· в правую. При переносе члена уравнения через = измените его знак на противоположный, т. е. «+» на «
·», «
·» на «+».
Приведите в каждой части уравнения подобные члены, получите линейное уравнение ах = b.
Разделите обе части полученного уравнения на уравнение на а. Получите 13 EMBED Equation.3 1415.
Запишите ответ.
Замечание: Если уравнение содержит дробные выражения, первым шагом умножьте его на общий знаменатель этих дробей.
Неполное квадратное уравнение
х2 = d
d >0, 13 EMBED Equation.3 1415
d = 0, x = 0
d <0, корней нет
Решение квадратных уравнений
Уравнение aх2 + bx + c = 0, где а
·0 называется квадратным
Формула корней: 13 EMBED Equation.3 1415
D = b2 – 4ac - дискриминант квадратного уравнения
Если D > 0 уравнение имеет 2 корня, если D = 0 уравнение имеет один корень 13 QUOTE 1415, если D<0 уравнение не имеет корней
Неполное квадратное уравнение
ax2 + bx = 0
Решение: х(ах + b) = 0;
х = 0 или ах + b = 0;
ax = - b;
х = 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ. х1 = 0, х2 = 13 EMBED Equation.3 1415.
Неполное квадратное уравнение
ax2 + c = 0
Решение: ах2 = – с;
·: а
х2 = 13 EMBED Equation.3 1415 х2 = d
Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native