Проект урока Геометрия треугольника
ВВЕДЕНИЕ
Треугольник является важнейшей фигурой планиметрии, и потому в первую очередь изучают свойства этой фигуры. Любой многоугольник может быть разделён на треугольники, а изучение свойств этого многоугольника, сводится к изучению составляющих его треугольников. С треугольником связаны многие методы, используемые при решении различных геометрических задач. В каком-то смысле изучаемая в школьном курсе геометрия - это геометрия треугольника. Очень важно для учителя представлять себе методику изложения этой темы для правильного построения курса и избегания методических ошибок.
Данная работа проведена с целью, проанализировать методику изложения темы "Треугольники" в курсе геометрии 7-9 класса, а также подготовить проект урока по данной теме.
Задачи:
Проанализировать подходы и особенности изложения данной темы.
Выявить достоинства и недостатки изложения этой темы.
Разработать проект урока итогового повторения.
Методические рекомендации: урок проводится в конце 8 класса. Повторение по данной теме проводится как урок одной задачи.
Анализ методики изложения материала будет проводиться по учебнику Атанасяна Л.С., Бутузова Б.Ф. и др. Геометрия 7-9.
В основной части работы представлены подходы и особенности изложения материала. Также представлен проект урока, в котором работа в парах и ответы на вопросы учителя оцениваются цветовыми полосками (при каждом ответе учащегося выдается учителем цветовая полоска из бумаги: отличный ответ – красная полоска, хороший ответ – синяя полоска, удовлетворительный ответ – желтая полоска, неудовлетворительный ответ – ничего не выдается), которые учащиеся приклеивают в заранее приготовленный табель. В конце урока, при подведении итогов, учащиеся подсчитывают среднее арифметическое своих оценок и получают итоговую отметку за работу на уроке, выставляют её в табель и сдают учителю.
Задача для общего разбора записана на доске. Решение задачи разбивается на пункты. Учащиеся по очереди выходят к доске для решения одного из этапов. Оценивается решение этапа цветовыми полосками.
Самостоятельная работа дана разноуровневая. Учащиеся самостоятельно определяют свой уровень и решают задачи. Оценивается учителем.
В заключительной части работы представлены выводы проделанной работы.
ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ
В учебнике Атанасяна понятие треугольника вводится конструктивно: как фигура, состоящая из трёх точек и трёх отрезков соединяющих эти точки. При этом ничего не говорится о плоскости треугольника. Это делается с целью отступления от определения равных геометрических фигур с помощью отображений, сохраняющих расстояния (перемещений и движений).
Равнобедренные треугольники:
В силу того, что Атанасян не использует движения плоскости в 7 классе, основой для доказательства свойств равнобедренных треугольников являются признаки равенства треугольников. В доказательстве свойств равнобедренного треугольника Атанасян пользуется первым признаком равенства треугольников. Такое доказательство дается ученикам не трудно.
Признаки равнобедренного треугольника в учебнике не рассматриваются, хотя эти теоремы очень полезны.
Признаки равенства треугольников:
В учебнике применяется подход с использованием аксиомы существования треугольника равного данному, но нигде ссылок на эту аксиому нет. Доказательства проводятся на основе наглядности с помощью наложения и приложения. В учебнике Атанасяна аксиомы не являются основой, на которой строится школьный курс геометрии. Большое преимущество учебнику дает использование в качестве основного рабочего аппарата признаки равенства треугольников, а не свойства геометрических преобразований. Такой подход позволяет отработать общие приёмы доказательства теорем.
Признаки подобия треугольников:
Определение подобных треугольников даётся как треугольники, у которых соответственные углы равны, а соответственные стороны пропорциональны. Атанасян вводит понятие пропорциональных сходственных сторон. Доказательство признаков облегчается тем, в учебнике Теорема Фалеса рассматривается в самом начале 8 класса, а признаки подобия позже. Доказательство первого признака подобия треугольников в этом учебнике основывается на теореме об отношении площадей треугольников, утверждающей, что если в треугольниках ABC и A1B1C1 углы А и А1 равны, то . Эта теорема не является традиционной для школьного курса и скорее всего носит вспомогательный характер. С другой стороны на основе этой теоремы весьма просто доказывается, что отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. По сути дела всё доказательство в одну строчку. Эта же теорема позволяет дать простое доказательство признаков подобия треугольников. В то же время её удалённость от места применения накладывает определённые трудности на усвоение учащимися доказательства признаков подобия треугольников.
Проект урока
Цель урока:
закрепить умения и знания, полученные ранее;
применить полученные знания для решения задач связанных с треугольниками.
План урока:
Организационный момент (2-3 мин).
Актуализация знаний (3-4 мин).
Фронтальная работа с классом (10-13 мин).
Самостоятельная работа (15 - 17 мин).
Подведение итогов урока. Постановка домашнего задания (2 мин).
Ход урока
I. Организационный момент.Настраиваем класс на работу. Сообщаем цель урока.
II. В начале урока проводится разминка фронтально с классом: повторение основных теоретических положений по данной теме.
1) Сформулируйте определение треугольника:
равнобедренного;
равностороннего;
прямоугольного.
2) Перечислите свойства равнобедренного треугольника.
Е
Задача на готовых чертежах:
Найдите угол АВС.
Решение: треугольник BDE равнобедренный → угол EBD = 600 → угол ЕВС = 1200 как внешний. Так как угол АВС = углу ЕВА→ угол АВС = 600
Ответ: 600
3) Сформулируйте признаки равнобедренного треугольника.
4) Можно ли назвать равносторонний треугольник равнобедренным?
5) Какие треугольники называются равными?
6) Какие элементы называются соответственными?
7) Сформулируйте:
1-й признак равенства треугольников;
2-й признак равенства треугольников;
3-й признак равенства треугольников.
Задачи на готовых чертежах:
а) найдите пары равных треугольников и докажите, что они равны.
Рассмотрим треугольники PSC и KRC:
Так как угол NPC и угол MKC равны по условию, а так же являются внешними, то угол RKC = углу SPC.
По условию KC = PC, KR = PS.
Значит, рассмотренные треугольники равны по первому признаку.
Рассмотрим треугольники SKC и RPS:
Угол RKC = углу SPC (1-й случай).
По условию KC = PC, KR = PS, отрезок RS – общий.
Значит, рассмотренные треугольники равны по первому признаку.
б) найдите пары равных треугольников и докажите, что они равны.
Рассмотрим треугольники BDC и BFC: у этих треугольников сторона ВС – общая, угол DBC = углу FCB, угол DCB = углу FBC (по условию). Следовательно, эти треугольники равны по второму признаку.
Рассмотрим треугольники BDC и АВЕ: углы BDC и АВЕ равны как вертикальные. Сторона АВ = стороне ВС, DB = BE (по условию). Следовательно, эти треугольники равны по первому признаку.
8) Какие треугольники называются подобными?
9) Что значит пропорциональные стороны?
10) Что такое коэффициент подобия?
11) Сформулируйте:
1-й признак подобия треугольников;
2-й признак подобия треугольников;
3-й признак подобия треугольников.
Найдите х,у Рассмотрим треугольники ABC и DBE: угол В у этих треугольников общий, DE║AC, BD и ВА лежат на одной прямой, ВЕ и ВС тоже лежат на одной прямой → эти треугольники подобны с коэффициентом пропорциональности 58.
Следовательно, х=12, у=13.
12) Назовите:
формулу для вычисления площади треугольника;
формулу Герона;
формулу площади треугольника, вписанного в окружность;
формулу площади треугольника, описанного вокруг окружности.
С
13) Есть ли среди приведенных формул верные?
с
а
в
В
А
а) б)
в)
г)
д)
Задача для общего разбора.
В прямоугольном треугольнике АВС один из острых углов равен 300 , точка О – середина гипотенузы АВ, I – точка пересечения биссектрис. Найдите угол IOC.
А
300
О
K
I
600
С
В
Рассмотрим треугольник ВОС: 1. т.к. точка О – середина гипотенузы АВ, значит она является центром описанной окружности → ОВ=ОС → треугольник ВОС равносторонний, т.к. угол при основании ОВС = 600
2. CI – биссектриса → угол BCI = 450 → OCI = ОВС – BCI = 150.
3. т.к. треугольник ВОС равносторонний, значит ВК является биссектрисой, высотой и медианой → СК = КО, ВК ┴ СО.
4. рассмотрим треугольник CIO:
точка I лежит на ВК → IK является медианой и высотой в треугольнике CIO → OCI = ICO = 150
IV. Задачи для самостоятельной работы.
В
C
H
Первый уровень:
C
К
а) б)
В
F
А
D
M
D
А
В
В
в) г)
C
А
C
А
D
D
В
В
А
д) е)
1000
1000
D
C
А
D
C
Вариант 1. Вариант 2.
1. В треугольниках ABD и СМН (рис. а)
AB = СМ, AD =CН.
ABD = CМН, если …
а) В = М; б) А = Н; в)А = С
2. АС – биссектриса BAD (рис. в).
ВСА = =DCA. АВС =ADC
по …
а) двум сторонам и углу между ними;
б) стороне и прилежащим к ней углам;
в) трём сторонам.
3. BCD =100˚ (рис. д). Найдите ABC.
Ответы: а) 40˚; б) 80˚; в) 100˚. 1. В треугольниках ABF и CDK (рис.б)
A = C, AF= CК.
ABF = CDK, если …
а) В = D; б) F = К; в) F = D.
2. DC = BC, AB = AD (рис. г)
ВAС =DAC по…
а) двум сторонам и углу между ними;
б) стороне и прилежащим к ней углам;
в) трём сторонам.
3. BAD =110˚ (рис. е). Найдите ABC.
Ответы: а) 110˚; б) 35˚; в) 70˚.
Е
В
Второй уровень:
10 см
а) б)
1
F
D
5 см
1
2
С
А
3 см
2
5 см
H
В
D
В
А
в) г)
1150
1240
D
С
А
D
С
Вариант 1. Вариант 2.
1. В треугольниках АВС и ADC (рис. а)
1 = 2, AD = 5cм, DC = 3см.
Найдите AB.
Ответы: а) 5см; б) 3см; в) недостаточно данных.
2. Периметр равнобедренного треугольника равнобедренного треугольника равен 28см, а его боковая сторона равна 9см.
Найдите длину основания треугольника.
Ответы: а) 10см; б) 14,5см; в) 29см.
3. BCD =115˚ (рис. в). Найдите ABC.
Ответы: а) 50˚; б) 65˚; в) 75˚. 1. В треугольниках DEF и DHF (рис. б)
1 = 2, FE = FH, FH = 5cм, DE=10cм
Найдите DH.
Ответы: а) 6см; б) 10см; в) недостаточно данных.
2. Основание равно 12см, а его периметр равен 38см.
Найдите боковые стороны треугольника.
Ответы: а) 12см, 12см; б) 11см, 15см;
в) 13см, 13см.
3. BAD =124˚ (рис. г). Найдите ACB.
Ответы: а) 56˚; б) 68˚; в) 28˚.
С
Третий уровень:
В
А
К
Вариант 1. Вариант 2.
1. В треугольниках АВС и А1В1С1
А = А1, AВ = А1В1, АС = А1С1.
На сторонах BC и В1С1 отмечены точки К и К1, такие, что СК = С1К1. АВ = 10cм, ВС = 13см, С1К1= 6см.
Найти В1К1.
Ответы: а) 10см; б) 7см; в) 19см.
2. Периметр треугольника ABC равен 39см. Одна из сторон на 4см больше второй и на 2см больше третьей стороны. Найдите стороны ABC.
Ответы: а) 9см, 13см, 17см;
б) 11см, 13см, 15см;
в) 10см, 12см, 17см.
3. Используя рисунок: а) Найдите пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике и запишите соответствующие равенства.
б) Напишите пары подобных треугольников и укажите признак, по которому они подобны с указанием конкретных элементов. 1. В треугольниках АВС и А1В1С1
В = В1, АВ = А1В1, ВС = В1С1. На сторонах АC и А1С1 отмечены точки D и D1 так, что АD = А1D1. АВ = 12см, АС = 9см, D1С1 = 3см. Найти А1D1.
Ответы: а) 12см; б) 9см; в) 6см.
2. Найдите стороны треугольника MNP, если его периметр равен 63см, одна из сторон на 3см меньше второй и в 2 раза меньше третьей.
Ответы: а) 15см, 18см, 30см;
б) 12,2см, 24,4см, 26,4см;
в) 14см, 17см, 28см.
3. Используя рисунок: а) Найдите пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике и запишите соответствующие равенства.
б) Напишите пары подобных треугольников и укажите признак, по которому они подобны с указанием конкретных элементов.
V. Постановка домашнего задания. Подведение итогов урока. Выставление оценок.
Заключительная часть
В данной работе был проведён краткий методический анализ учебника по геометрии для средней школы. Выделены подходы, достоинства и недостатки изложения данной темы, а также приведен проект урока итогового повторения с методическими рекомендациями. Проанализированы базовые понятия и теоремы, что позволяет выбрать наиболее верный подход и методику изложения курса.
Список литературы
В. Рыжик Тесты на экзамене. Геометрия 8-11 класс \\"Математика" приложение к газете "1 сентября" №1, 2002 г.
В.А. Смирнов О доказательствах признаков подобия треугольников \\ Математика в школе №6, 1990 г.
И. Смирнова, В. Смирнов Самостоятельные работы по геометрии 7 класс \\ "Математика" приложение к газете "1 сентября" №33, 2001 г.
Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, Э.Г. Позняк, И.И. Юдина О конкурсном учебнике геометрии для 7-9 классов \\ Математика в школе №1, 1989 г.
Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, Э.Г. Позняк, И.И. Юдина Геометрия: учебник для 7-9 класса средней школы. - М.: Просвещение, 2010г.
Л. Басова Признаки равенства треугольников \\ "Математика" приложение к газете "1 сентября" №34, 2000 г.
Л. Птичкина Тесты повторения по геометрии 7 класс \\"Математика" приложение к газете "1 сентября" №11, 2000 г.
Уроки итогового повторения 7-11 классы общеобразовательной школы \ Н. Гришкова, А. Илюхина \\ "Математика" приложение к газете "1 сентября" №13, 1999 г.
Э. Н. Балаян Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7 – 9 классы\\ Ростов – на – Дону: Феникс, 2013 г.