Конспект урока по теме: Понятие о производной 10 класс
План-конспект урока.
Предмет: Алгебра и начала анализа.
Тема урока: Понятие о производной.
Цели урока:
учебная: сформировать представление о касательной к графику функции в точке, изучить скорость изменения функции в точке, дать понятие производной,.
воспитательная: способствовать воспитанию у школьников интереса к изучаемой теме и ценностного отношения к труду и полученным знаниям.
развивающая: способствовать развитию навыков частично-поисковой познавательной деятельности, развитие внимания, логики, умения сопоставлять факты и делать соответствующие выводы, умения рассуждать и аргументировать свои действия.
Тип урока - урок изучения нового материала.
Обеспечение занятий:
Наглядные пособия: высказывания ученых.
Раздаточный материал: карточки с заданиями, микроплакаты с формулами, макеты передвижных графиков
Технические средства: ПК IBM
Литература:
Колмогоров, А. Н. Алгебра и начала математического анализы : учеб. для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений / [А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и др.] ; под. ред. А. Н. Колмогорова. - 17-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 384 с.
Поурочные планы по учеб. Колмогорова А. Н. : Алгебра и начала анализа : 10 кл. - 2009. - 332 с.
Глазков, Ю. А. Тесты по алгебре и началам анализа : 11 класс : к учебнику А. Н. Колмогорова и др. ; под ред. А. Н. Колмогорова Алгебра и начала анализа. 10-11 классы / Ю. А. Глазков, И. К. Варшавский, М. Я. Гаиашвили. - М.: Издательство «Экзамен», 2010. - 78 с.
Девиз урока записан на плакате и вывешивается перед уроком:
Без сомнения, все наше знание начинается с опыта.
(И. Кант, немецкий философ, 1724-1804 гг.)
1. Организационный момент (3 минуты)
Подготовить обучающихся к работе на уроке: приветствие, рабочее место, внешний вид, организация внимания.
2. Сообщение темы урока и целей занятия.
Организовывают свое внимание, проверяют наличие всего необходимого на своем рабочем столе, записывают тему урока.
(Слайд 1, Слайд 2)
Вступительное слово (5 минут)
Помимо математики, я увлекаюсь литературой. Много читаю. Перечитывая стихи Андрея Белого, мне встретились такие строчки:
Мир рвался в опытах Кюри
Атомной, лопнувшею бомбой
На электронные струи
Невоплощенной гекатомбой.
Эти строчки были написаны в 1921 году. За полтора десятка лет до того, как учёные начали работать над созданием бомбы и почти за четверть века до ее создания! Поэт предсказал вступление в атомный век! Но как он смог?! Настоящее имя Андрея Белого - Борис Николаевич Бугаев. Учился он на физико-математическом факультете Московского университета.
Но почему же мы знаем о поэте Андрее Белом, а о Борисе Бугаеве - математике знаем совсем мало?! Дело в том, что мир узнаёт о каком-то великом человеке, когда он получает всемирное признание и ему вручают премию за достижения. Самая престижная – Нобелевская (она вручается за заслуги в самых различных областях). Но в списках нобелевских лауреатов вы не найдёте ни одного человека, которому бы её вручили за математику! Почему? Потому, что у её основателя Альфреда Нобеля была невеста и друг – математик, который отбил её у него… После чего Нобель завещал: за математику премию не вручать! И сейчас я предлагаю вам на уроке стать учёными, совершить открытие, вывести формулы самим, и как знать, может уважаемая комиссия Нобелевской премии восхитится вашими математическими способностями и, наконец-то, обратит внимание на математиков!
Итак, начинаем исследовательскую часть.
3. Актуализация опорных знаний
(Слайд 3)
Работа идёт в парах. Ученики берут лист с заданием и выполняют это задание в тетрадях самостоятельно, но разрешается вести обсуждение внутри пары.
Математики. Лист №1.
Пусть дан график функции у=f(x).
Рассмотрим точку М0 с абсциссой xo. Пусть ∆х – это изменение абсциссы от точки xo до х, т.е. ∆х = х – xo , M0М – секущая, M0N – касательная.
Найдите:
а) угловой коэффициент секущей (это средняя скорость изменения функции);
б) угловой коэффициент касательной (подсказка: касательная – это предельное положение секущей)
Решение: у= f(x) – заданная функция, ∆х = х – xo – изменение абсциссы от точки xo до х.
vср = f(x)-f(x0)x-x0 . В нашем случае kсек =ΔfΔx
При х→х0 (или ∆х →0) будет f(x)→f(x0), следовательно, M0М→ M0N.
Тогда k кас = f(x0)-0x0- 0= f(x0)x0 .
Физики. Лист №1:
Рассмотрим движение материальной точки М по прямой с выбранным на ней началом отсчета – точкой О. Расстояние от начала отсчета до точки М в каждый момент времени t обозначим буквой s. Тогда движение точки М будет описываться функцией
s = s (t), t[ t0 ; t].
Найдите:
а) среднюю скорость за отрезок [t0 ; t];
б) скорость точки в момент времени t0 (мгновенную скорость).
Решение: За промежуток времени длительности t – t0 между моментами времени t0 и t точка проходит путь равный s(t) –s(t0 ).
Среднюю скорость получают, разделив перемещение материальной точки s на изменение времени, в течение которого оно совершено.
Тогда vср =st- s(t0)t- t0 ;
Чем меньше рассматриваемый промежуток времени, тем точнее можно охарактеризовать движение. А мгновенной скоростью называется число к которому стремится разностное отношение средней скорости за промежуток времени от t0 до t при t→ t0.
Тогда vмгн = ∆s(t0)∆t ,
Биологи. Лист №1.
Бактерии размножаются быстро и просто – они делятся пополам и при благоприятных условиях за сутки из одной бактерии могут образоваться десятки тысяч. Рост клеток бактерий в условиях ограниченности питательных веществ или пространства в течение начального интервала времени от t0 до t происходит по некоторому закону y = N(t).
Найдите:
а) среднюю скорость изменения количества бактерий за промежуток времени [t0 ; t];
б) скорость изменения количества точки в момент времени t0 (мгновенную скорость).
Решение: В физике для нахождения средней скорости делят длину перемещения тела s на время, в течение которого оно совершено,
т.е. vср =Nt- N(t0)t- t0 . В нашем случае vср =∆N(t)∆t .
Мгновенной скоростью v(t0) в момент времени t0 является число к которому стремится разностное отношение средней скорости за промежуток времени от t0 до t при t→ t0.
Тогда vмгн = ∆N(t0)∆t.
4. Изучение нового материала (15-20 мин)
Подобные задачи рассматриваются и в экономике, и в анализе ценовой политики. Например: «цена товара напрямую зависит от расходов на производство» или «объем реализации некоторой продукции зависит от роста или снижения его цены».
А теперь давайте подведём итоги вашей исследовательской работы. Вы решали различные задачи, но все они привели к одной и той же математической модели: к числу, к которому стремиться отношение разности значений функции к разности значений аргумента. В русском языке для величины, на которую изменилось начальное количество, используется слово «прирост».
Приращению аргумента соответствует «приращение функции», которое также обозначается с помощью заглавной греческой буквы «∆».
Вопрос: Скажите, а вы знаете, кто впервые стал использовать знак «∆» для обозначения разности аргументов?
- Да. Буква «∆» – одна из заглавных букв греческого алфавита ее стал использовать Эйлер (сер. 18 века).
Исходя из этого полученную формулу можно записать по-другому: или и прочитать так: число, к которому стремится разностное отношение ΔfΔx = f(x0+ Δx) - f(x0)Δx при Δx→0.
Поскольку многие задачи в различных областях науки в процессе решения приводят к такой же модели – этому отношению надо: дать название, дать обозначение и изучить его. Это мы с вами сейчас и сделаем.
(Слайд 4)
Определение: Производной функции f в точке x0 называется число, к которому стремится разностное отношение ΔfΔx = f(x0+ Δx) - f(x0)Δx при Δx→0.
но обозначается по-разному:
f'(х), f', у′ – эти обозначения для производной ввел Жозеф Луи Лагранж
Это определение вы запишете в тетрадях.
Теперь посмотрите на ваши задачи и сформулируйте план нахождения производной.
(Учащиеся должны ответить):
(Слайд 5)
1. Задать функцию f(x).
Алгоритм нахождения производной (находим f/(x0)):
1) Задать приращение Δx; (x= x0+Δx) и вычислить Δy = Δf = f(x0+Δx) - f(x0).
2) Найти разностное отношение ΔfΔx и сократить на Δx.
3) Если ΔfΔx при Δx→0 стремится к какому-то числу, то это число будет f/(x0).
Далее группа самостоятельно формулирует и записывает в тетради
Физический смысл производной – это скорость изменения расстояния: s‘(t) = v(t).
(За бесконечно малое время прошел бесконечно малое расстояние. Спидометр машины показывает мгновенную скорость. Скорость в данный момент времени ).
Если производная положительная, то расстояние увеличивается, а если отрицательная, то расстояние уменьшается.
(Слайд 6)
Геометрический смысл: f‘(хо) – это коэффициент угла наклона касательной к оси Ох
f‘(хо) = k = tg α.
(Слайд 7)
Т.е. из геометрического смысла получается, что если существует производная в точке хо, то можно провести что? (обычно ученики говорят: что можно провести касательную в точке хо и наоборот – если можно провести касательную в точке хо, то в этой точке существует производная. На ошибку в формулировке пока не обращается внимание, фраза записывается на доске в таком виде и дальше продолжаются обсуждения.
записывается под определением на доске
…Если существует производная в точке хо, то можно провести касательную в точке хо. Наоборот — если можно провести (…) касательную в точке хо, то в этой точке существует производная.
Итак, подведём итог: вы сами дали мне определение производной, но встаёт вопрос: а всегда ли существует производная в точке?
Особое внимание обращается на моменты, когда касательная перпендикулярна оси Ох и параллельна оси Ох.
Всегда ли существует ли производная в точке хо?
Задается ряд вопросов:
Если касательная к графику функции будет убывающей, то каким будет угол между этой прямой и осью Ох? Угол будет тупым.
Каким будет угловой коэффициент k ? k < 0
Если касательная к графику функции будет возрастающей, то каким будет угол между этой прямой и осью Ох? Угол будет острым.
Каким будет угловой коэффициент k ? k > 0
Если касательная к графику функции будет параллельна оси Ох или совпадать с ней, то каким будет угол между этой прямой и осью Ох? Угла не будет, вернее α = 0º
Чему равен тангенс угла наклона такой касательной? tg 0º = 0
Чему равен угловой коэффициент k касательной, параллельной оси Ох? Также не существует!
Чему равен угол наклона вертикальной касательной? α = 90º
Чему равен тангенс угла наклона
вертикальной касательной? tg 90º не существует. Почему? Потому, что cos 90º = 0…
Чему равен угловой коэффициент k вертикальной касательной? Также не существует!
Давайте вернёмся к геометрическому смыслу производной: производная в точке равна угловому коэффициенту касательной, проведённой в этой точке f‘(хо) = k = tg α.
Мы получили, что не во всех точках существует производная.
Как же так? Вы же сами сказали и написали, что если есть касательная в точке, то в точке есть и производная! Вот пример: есть касательная, но нет производной?! Подумайте, что же вы сделали не так, и исправьте фразу. “
Далее учащиеся возвращаются к предложению, написанному на доске и самостоятельно исправляют ошибку. Должно получиться:
Если в точке можно провести невертикальную касательную, то в этой точке существует производная, и наоборот, если в точке существует производная, то в этой точке можно провести невертикальную касательную
5. Закрепление нового материала
Самостоятельная работа в группах (15-20 минут)
Вот теперь вы готовы к работе с производной и можете приступить к выполнению задания №2
Биологи
Лист №2: Пользуясь определением и схемой вычисления производной, найдите производную функции y = C.
Решение
y = C – постоянная линейная функция.
∆у = f(x +∆х) – f(x)= С – С = 0;
то у′ = 0.
Итак, ( С ) ′= 0.
Физики
Лист №2: Пользуясь определением и схемой вычисления производной, найдите производную функции y = kx + b.
Решение
y = kx + b – линейная функция.
Аргументу х дадим приращение ∆х, тогда
∆у = f(x + ∆х) – f(x)=
= k (x +∆х)+ b – (kx + b) = k∙x + k∆∙х – kx – b = k∆∙х= k = k.
Итак, (kx + b)′ = k.
Математики
Лист №2: Пользуясь определением и схемой вычисления производной, найдите производную функции y = х2.
Решение
y = х2 .
Аргументу х дадим приращение ∆х, тогда
∆у = f(x + ∆х) – f(x)=
= (x +∆х)2 – х2 =
= х2+ 2∙х∙∆х + (∆х)2 – х2 = 2∙х∙∆х + (∆х)2 = ∆х∙(2х +∆х)
= 2х = 2х.
Итак, (х2 )′ = 2х.
6 этап. Закрепление нового понятия
1) Откройте учебники на стр. 106, № 189(а,б)
2) Возьмите лист № 3. Задания из ЕГЭ
Лист № 3.
1. Задание 7 (№ 9649)
На рисунке изображены график функции y = f(x) и
касательная к нему в точке с абсциссой x0 . Найдите
значение производной функции f = (x) в точке x0 .
2. Задание B7 (№ 6399)
На рисунке изображен график функции , определенной на интервале . Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.
7 этап. Итог урока
Вопросы учащимся:
Что называется производной в точке?
Сформулируйте физический смысл производной?
Геометрический смысл? Когда существует производная?
Какой момент был самым интересным на уроке?
Какой был самым трудным?
Что же, вы доказали, что смогли сами определить и исследовать понятие производной и я хочу вам вручить долгожданную Нобелевскую премию – вы настоящие учёные! Откройте свои конверты и достаньте оттуда грамоты в виде крокодила.
Почему крокодил?
Потому что это животное, которое никогда не отступает и не пятится назад!
Этого я и вам желаю! “
8 этап. Домашнее задание
№188 (б)
Постройте график функции f и проведите к нем касательную, проходящую через точки с абсциссой x0. Пользуясь рисунком, определите знак углового коэффициента этой касательной.
б)
№189 (в, г)
Определите знак углового коэффициента касательной, проведенной к графику функции через точки с абсциссой (если касательная существует).
в)
г)
№191 (б)
Вычислите в точке x0, если:
Б)