Конспект занятия на тему «Приращение аргумента и функции. Определение производной. Алгоритм вычисления производной по определению. Таблица производных. Правила вычисления производной»
Конспект занятия на тему «Приращение аргумента и функции. Определение производной. Алгоритм вычисления производной по определению. Таблица производных. Правила вычисления производной»
Цели:
ввести понятия приращение аргумента и приращение функции;
научить находить приращение аргумента и приращение функции;
ввести понятие производной;
способствовать выработке навыка нахождения производной по определению;
Учить находить производную по таблице;
Учить использовать правила дифференцирования;
Дидактический материал: опорный конспект, карточки-задания для индивидуальной работы, памятки, учебник Колмогорова А.Н. «Алгебра и начала анализа. 10-11классы», обучающий видеокурс «Математика 7-11», Математика – учебное электронное издание 5-11. Математический дневник .
План урока
Организационный момент.
Актуализация знаний:
Фронтальный опрос;
Работа с карточками.
Изучение нового материала:
Приращение аргумента и приращение функции;
Понятие «Производная»;
Схема вычисления производной по определению;
Таблица производных;
Правила дифференцирования.
Закрепление изученного.
Подведение итогов.
Домашнее задание.
Рефлексия.
Ход урока
Организационный момент
доброжелательный настрой учителя и учащихся;
быстрое включение класса в деловой ритм;
организация внимания всех учащихся;
сообщение темы и целей урока.
Актуализация знаний
(выявление факта выполнения (не выполнения) домашнего задания у всего класса, устранение типичных ошибок; работа организована параллельно: учащимся на выбор предлагается письменно ответить на вопросы или участвовать в фронтальном опросе. Учащиеся, работающие письменно, садятся на первые парты. Двое учащихся вызывается к доске для написания домашней работы.)
2.1. Фронтальный опрос
- Что такое последовательность?
- Какие виды последовательностей вы знаете?
- Как задаётся числовая последовательность?
- Что мы называем пределом последовательности?
- Как найти предел последовательности, при x→∞?
- Как найти предел при x→к конкретному числу?
2.2. Индивидуальные задания для учащихся
Карточка 1
Дайте определение понятию «Предел последовательности» Вычислите
Как найти предел последовательности, при x→∞Если Вы не справились с заданием укажите причину вызвавшую у Вас затруднение.
Карточка 2
Дайте определение понятию «Предел последовательности» Вычислите
Как найти предел, при x→∞? При x→ к конкретному числу Если Вы не справились с заданием укажите причину вызвавшую у Вас затруднение.
Изучение нового материала
Приращение аргумента и приращение функции
Часто нас интересует не значение какой либо величины, а ее изменение. Например, сила упругости пружины пропорциональна удлинению пружины; работа есть изменение энергии; средняя скорость это отношение перемещения к промежутку времени, за который было совершено это перемещение, и т. д.
При сравнении значения функции f в некоторой фиксированной точке х0 со значениями этой функции в различных точках х, лежащих в окрестности х0, удобно выражать разность f (х )- f (х0) через разность (х-х0), пользуясь понятиями «приращение аргумента» и «приращение функции». Объясним их смысл. (Просмотр видеокурса «Математика 7-11» - Определение производной (приращение аргумента и приращение функции)).
Пусть х- произвольная точка, лежащая в некоторой окрестности фиксированной точки х0. Разность (х-х0 ) называется приращением независимой переменной х (или приращением аргумента) в точке х0 и обозначается ∆ x. ∆ x=x-x0
Приращение функции f в точке х0, соответствующее приращению ∆ x, обозначается ∆ f, и находится по формуле ∆f=fx0+∆x-f(x0)
Графически это можно изобразить так: x, х0 - это точки, f(x), f(x0)-значения функции в этих точек. Тогда ∆f – это разность (f(x) – f(x0) - (отрезок ∆f), а ∆х- разность (х-х0 ) - отрезок ∆х. На графике хорошо видно, что приращение функции ∆f зависит от приращения аргумента ∆х. Если мы уменьшим значение ∆х , то значение ∆f тоже уменьшится.( в процессе обсуждения преподаватель чертит график на доске)
f(x)
∆f
f(x0)
∆х
х
х0
Составьте опорный конспект.
Для лучшего понимания давайте рассмотрим несколько примеров по данной формуле
№ 178 –Найдите приращение функции f в точке х0
а) решает учитель с объяснением у доски
а)fx= -2x , x0=-2, ∆x=0.1 Решение: x=x0+∆x = -2+0.1= -1.9∆f=fx-fx0= -2-1.9- -2-2= 119Ученик у доски. б) fx=2x2-3 , x0=3, ∆x=-0.2 Самостоятельно: Найдите приращение функции f в точке х0
в) fx=3x+1 , x0=5, ∆x=0.01
г) fx=x22 , x0=2, ∆x=0.1 QUOTE
Выполнить на компьютерах «Математика – учебное электронное издание 5-11» задания «Приращение аргумента и приращение функции - № 1-4». Результаты выполнения заносятся в журнал программы. Правильность решения проверяется всей группой сверяя свои результаты с результатом программы.
3.2. Понятие «Производная»
- Мы усвоили понятие приращение функции и приращение аргумента, что позволяет нам перейти к рассмотрению понятия «Производная». Формулировка определения производной основано на понятии предела.
Производной функции f в точке х0 называется число, к которому стремится разностное отношение ∆f∆x=fx0+∆x-f(x0) ∆x при ∆ x, стремящемся к нулю.
Производная функции f в точке хо обозначается f' (х0) (читается: «эф штрих от х0»).
3.3.Схема вычисления производной по определению
1. С помощью формулы, задающей функцию f , находим ее приращение в точке х0: ∆f=fx0+∆x-f(x0)
2. Находим выражение для разностного отношения ∆f∆x=fx0+∆x-f(x0) ∆x, которое затем преобразуем – упрощаем, сокращаем на ∆x и т.д.
3. Выясняем, к какому числу стремится ∆f∆x, если считать что ∆x стремится к нулю.
(дежурный раздает памятки «Вычисление производной по пределению»)
- Рассмотрим вычисление производной по данной схеме на конкретном примере:
Пример 1. Найдем производную функции f(x)=x3 в точке х0.
Будем действовать используя памятку.
∆f=x0+∆x3-x03=3x02∆x+3x0∆x2+∆x3∆f∆x=3x02+3x0∆x+∆x2 ∆x≠0Заметим, что 3x02 постоянно, а при ∆x→0 очевидно, что 3x0∆x→0 и ∆x2 →0, а значит3x0∆x+∆x2 →0 . Получаем ∆f∆x→3x02 при ∆x→0.
Следовательно f’(x0)=3x02.
Пример 2. Найдем производную функции f(x)=kx+b (k, b - постоянны) в точке х0.
∆f=(k(x0+∆x)+b)-(kx0+b)=k∆x
∆f∆x=kПоскольку k- постоянная, ∆f∆x - постоянное число при любом ∆ х, и, значит, ∆f∆x→k при ∆x→0.
Итак, (kx+b)’=k
- Для закрепления решим у доски №194
(задания решаются параллельно: слабых учащихся вызывают к доске, а более сильные пробуют решить самостоятельно в тетрадях. После решения обязательно сверить результаты с доской)
Учащиеся получают карточки-консультанты.
194. Пользуясь карточкой-консультантом, найдите значения производной функции f, если:
а) f (х) = х 2- 3х в точках -1; 2;
б) f (х) = 2х 3 в точках 0; 1;
в) f (х) =1x в точках -2; 1;
г) f (х) = 4- х 2в точках 3; о.
3.4.Таблица производных
- Часто встречаются задания, в которых неудобно, долго вычислять производную по определению. Поэтому существует таблица производных, которая помогает и облегчает работу по нахождению производной. Данной таблицей пользоваться очень просто. В ней представлена функция и найдена ее производная. Вам нужно найти необходимую функцию и посмотреть, чему равна ее производная. Давайте вместе прочитаем данную таблицу (дежурный раздает всем учащимся таблицы производных).
Функция Производная
y=C y´=0
y=x y´=1
y=kxy´=k
y=kx+my´=k
y=x ͫ y´=mx ͫ¯¹
y=k x ͫ y´=kmx ͫ¯¹
y =1 xy´=- 1x²y=xy´=12xy=sin x y´=cos x
y=cos x y´= - sin x
y=tg x y´=1cos2xy=ctg x y´=- 1sin2x - Давайте вычислим производную функции используя таблицу:
(При работе с заданием учащиеся по цепочке выходят к доске, называют функцию, показывают в таблице соответствующую формулу, при необходимости называют постоянный множитель и под руководством преподавателя записывают решение на доске)
а) y=2.5 и) y=2x-2б) y=-3.2 к) y=3xв) y=7.5x л) y= sin x
г) y=-10x м) y=2cos x
д) y=x² н) y=3sin x
е) y=2x⁵ о) y= 2xж) y=2.4x⁴ п) y= 23xз) y=x-2р) y= - 23x3.5.Правила дифференцирования
Мы рассматривали с вами простые задания, в которых дана одна функция и с этой функцией не выполняют ни каких операций. Но если мы рассмотрим такой пример : y=1+2x3-5x . Как найти производную?
Для вычисления производных используют правила дифференцирования
Пр 1. Если функции u и v дифференцируемы в точке хо, то их сумма дифференцируема в этой точке и (u + v )' = и'+ v '
Пример:
fx=x2+x3 , u=x2, v=x3, f'x=x2'+x3'= 2x+3x2Лемма. Если функция f дифференцируема в точке х0, то она непрерывна в этой точке: ∆f→0 при x→x0, т.е. fx0+∆x→f(x0) при ∆x→0.
Пр 2. Если функции и и v дифференцируемы в точке хо, то их произведение дифференцируемо в этой точке и (uv)' = u'v + uv'
Пример: fx=x34+x2 , u=x3, v=4+x2, f'x=x3'4+x2+x34+x2'= 3x24+x2+x32x==12x2+3x4+2x4=12x2+5x4Следствие. Если функция и дифференцируема в хо, а С постоянная, то функция Си дифференцируема в этой точке и (Си)' = Си'.
Пр 3. Если функции и и v дифференцируемы в точке хо и функция v не равна нулю в этой точке, то частное uv также дифференцируемо в хо и uv/=u/v-uv/v2
Пример: fx=1+2x3-5x , u=1+2x, v=3-5x, f'x=1+2x'3-5x-1+2x3-5x'3-5x2=23-5x+1+2x53-5x2==6-10x+5+10x3-5x2=113-5x2Для закрепления правил дифференцирования просмотр видеокурса «Математика 7- 11» (правила дифференцирования).
Составьте математическую карту темы.
4. Закрепление изученного
- На конкретных примерах рассмотрим, как пользоваться данными правилами (задания решаются под руководством учителя. Задания стоящие под буквой а) учитель решает на доске с четким объяснением. При работе с заданиями следует постоянно обращаться к правилам дифференцирования. Учащимся предлагается, по желанию, решить задания самостоятельно или у доски. Учащиеся, которые выполняли задания самостоятельно, могут пользоваться карточкой-консультантом, обязательно сверяют свои решения с доской. Первые учащиеся, справившиеся с заданиями, подносят тетради на проверку преподавателю.)
4.
3.
2.
1.
5. Подведение итогов
- С какими новыми понятиями вы познакомились на сегодняшнем занятии
- что такое приращение функции и приращение аргумента и как они вычисляются
- дайте определение производной
- как вычислить производную с помощью определения?
-как еще можно вычислить производную?
-какие правила дифференцирования мы узнали?
-какие новые правила необходимо занести в математический дневник?
6. Задание на дом
- занести необходимые правила в математический дневник (из учебника «Алгебра и начала анализа 10-11 кл» Колмогоров А.Н.)
- подготовить доклады на тему «Из истории «Производной»»
- выучить основные понятия, правила, и таблицу производных
- начать выполнение домашней самостоятельной работы
7. Рефлексия
Откройте и заполните свои математические дневники.
Заполните колонку «Рекомендации себе» ответами на следующие вопросы:
Что Вам понравилось на уроке?
Довольны ли Вы своей работай на уроке?
Устали ли Вы за урок?
Был ли материал урока, для Вас, понятен, полезен, интересен?
Какой материал необходимо повторить?