Урок по математике на тему. Понятие о производной функции. Физический смысл производной. Общий метод нахождения производной.

Тема. Понятие о производной функции. Физический смысл производной. Общий метод нахождения производной.
Цель занятия: создать условия для развития у студентов умения формулировать проблемы, предлагать пути их решения; помочь осознать ценность совместной деятельности; обеспечить эмоциональную поддержку студентов; содействовать умению общаться между собой.
По окончании занятия студент:
имеет практический опыт:
нахождения скорости движения материальной точки в данный момент времени ;знает: понятие производной функции, физический смысл производной.
умеет: находить производную функции, используя определение.
Задачи
образовательные: сформировать понятие производной функции, дать представление о физическом смысле производной, сформировать умения находить производную функции, с помощью определения.
воспитательные: воспитание нравственных качеств, положительного отношения к труду, аккуратности, формировать навыки грамотной речи.
развивающие: развитие памяти, мышления, формировать умение четко и ясно излагать свои мысли, развитие вычислительных навыков, интереса к предмету.
Методическая цель: работа по активизации мыслительной деятельности учащегося, развитие познавательных интересов студентов на уроке.
Методы обучения: метод разбора конкретной ситуации; метод словесной передачи и слухового восприятия информации (беседа);
Формы организации познавательной деятельности: фронтальная, индивидуальная.
ХОД УРОКА
Организационный момент.
Приветствие, проверка отсутствующих, проверка готовности студентов к занятию, активизация внимания.
Мотивация темы и цели урока: преподаватель создает психологический настрой и подчеркивает теоретическую и практическую значимость темы урока, ставит перед студентами познавательные задачи или проблемы, сообщает план изложения учебного материала.

Изложение нового материала.
Рассмотрим задачу на нахождение мгновенной скорости движения тела.
На станции метро расстояние от тормозной метки до первого вагона равно 80м. с какой скоростью поезд должен подойти к тормозной отметке, если дальше он двигается равнозамедленно с ускорением 1,6 м/с2.
45466014922580 м v
02000080 м v
Решение.
22606080645138430080645
12852404254522606034925226060882650
-2540044451 вагон а = 1,6 м\с2
0200001 вагон а = 1,6 м\с2

Тормозной путь вычисляется по формуле .

По формуле v = at находим мгновенную скорость v = 1,6 ∙ 10 = 16 м\с.
От мгновенной скорости зависит решение многих задач.
- Приведите примеры (От скорости вхождения в воду спортсмена зависит глубина его погружения; от скорости запуска спутника зависит выход его на орбиту).
- Рассмотрим как связаны между собой средняя и мгновенная скорости.
Пусть точка движется вдоль прямой и за время t проходит путь s(t).
Зафиксируем какой-нибудь момент времени t1 и рассмотрим промежуток времени от t до t1: .
За время от t до t + h точка прошла путь длиной S(t + h) – S(t).
Средняя скорость движения точки за этот промежуток времени равна отношению .
- Если мы будем уменьшать время h, что будет происходить со скоростью?
При уменьшении времени h это отношение приближается к некоторому числу, которое называется мгновенной скоростью в момент времени t.
Таким образом, .
Механический смысл производной: мгновенная скорость прямолинейного движения материальной точки в любой момент времени t есть производная от пути s по времени t.
.
Пример 1. Найти мгновенную скорость движения точки в момент времени t = 10 с от начала движения, если она движется по закону .


226060114300y=f(x)
x0f(x)=f(x0+∆x)
f(x0)
∆x
∆f
xyx00y=f(x)
x0f(x)=f(x0+∆x)
f(x0)
∆x
∆f
xyxПриращение функции и приращение аргумента.
Дана функция f(x). Пусть х0 фиксированная точка, f(x0) – значение функции в точке х0. В окрестности точки х0 возьмем точку х. расстояние между точками х и х0 обозначим ∆х. Оно называется приращением аргумента и равно разности между х и х0.
∆х = х - х0 – приращение аргумента
Первоначальное значение аргумента получило приращение ∆х, и новое значение х равно х0 + ∆х. Функция f(x) тоже примет новое значение: f(х0+∆х). Т.е. значение функции изменилось на величину f(x) – f(х0) = f(х0+∆х) – f(х0), которая называется приращением функции, и обозначается ∆f.
∆f = f(х0+∆х) – f(х0) – приращение функции
∆f = f(х) – f(х0)
Определение. Производной функции f в точке х0 называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при последнем стремящимся к нулю:

Производная обозначается .
Если функция имеет производную в точке x, то эта функция называется дифференцируемой в этой точке.
Операция нахождения производной называется дифференцированием.
Пример 2. Найти производную функции .


Перепишем производную в другом виде .
Алгоритм определения производной
Вычислить приращение функции ∆f = f(х+∆х) – f(х).
Найти скорость изменения функции .
Найти предел отношения .
Это и будет производная функции .
5. Обобщение:
Решение задач у доски.



Самостоятельная работа с последующей проверкой (два человека решают с обратной стороны доски)
Учебник Ш.А.Алимов Алгебра и начала анализа. 10 – 11 кл.
Вариант 1 № 783 (1)
Вариант 2 № 783 (2)
Вопросы.
Что называется мгновенной скоростью движения точки?
Как найти мгновенную скорость движения точки, если известен закон движения?
Что называется производной функции?
4. В чем заключается физический смысл производной?
6. Задание на дом.
Конспект, решение индивид. задач.
7. Рефлексия.