МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ по выполнению самостоятельной внеаудиторной работы по дисциплине «Математика» для студентов 1 курса (специальность 09.02.03. Программирование в компьютерных системах
ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ, НАУКИ И МОЛОДЕЖНОЙ ПОЛИТИКИ ВОРОНЕЖСКОЙ ОБЛАСТИ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ВОРОНЕЖСКОЙ ОБЛАСТИ
«СЕМИЛУКСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИКО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ»
М.Д. Евдокимова
методические указания
по выполнению самостоятельной внеаудиторной работы
по дисциплине «Математика»
для студентов 1 курса
(специальность 09.02.03. Программирование в компьютерных системах)
Семилуки , 2014
Одобрено методическим советом ГОБУ СПО ВО «СГТЭК»
Автор-составитель: Евдокимова М.Д., преподаватель ГОБУ СПО ВО «СГТЭК»
Учебное пособие содержит указания по выполнению внеаудиторных самостоятельных работ по «Математика», являющейся базовой дисциплиной. Методические указания составлены в соответствии с рабочей программой по дисциплине «Математика» и предназначены для студентов 1-го курса, обучающихся по специальности 09.02.03. Программирование в компьютерных системах
.
© Евдокимова М.Д., 2014
©ГОБУ СПО ВО «СГТЭК»
Оглавление
Введение
4
Содержание самостоятельной внеаудиторной работы
9
Задачи профильной направленности
146
Ответы к задачам
163
Тесты для самоконтроля по темам
164
Методические указания к самостоятельной работе студента
222
Литература
230
Введение
Методические указания по выполнению внеаудиторной самостоятельной работы по дисциплине «Математика» предназначены для студентов, обучающихся по специальности 09.02.03. Программирование в компьютерных системах.
Выполнение внеаудиторной самостоятельной работы является обязательной для каждого студента, её объём в часах определяется действующим рабочим учебным планом Семилукского государственного технико-экономического колледжа по данной специальности.
Самостоятельная внеаудиторная работа проводится с целью:
- систематизации и закрепления полученных теоретических знаний студентов;
- углубления и расширения теоретических знаний;
- развития познавательных способностей и активности студентов, самостоятельности, ответственности и организованности;
- формирования самостоятельности мышления, способностей к саморазвитию, самосовершенствованию и самореализации.
Внеаудиторная самостоятельная работа выполняется студентом по заданию преподавателя, но без его непосредственного участия. По математике используются следующие виды заданий для внеаудиторной самостоятельной работы:
для овладения знаниями: чтение текста (учебника, дополнительной литературы), работа со словарями и справочниками, учебно-исследовательская работа, использование аудио- и видеозаписей, компьютерной техники и Интернета;
для закрепления и систематизации знаний: повторная работа над учебным материалом (учебника, дополнительной литературы, аудио- и видеозаписей), составление плана и алгоритма решения, составление таблиц для систематизации учебного материала, ответы на контрольные вопросы, подготовка сообщений к выступлению на уроке, конференции, подготовка сообщений, докладов, рефератов, тематических кроссвордов;
для формирования умений: выполнение схем, анализ карт, подготовка к деловым играм.
Требования к результатам освоения дисциплины:
При изучении курса математики на базовом уровне продолжаются и получают развитие содержательные линии: «Алгебра», «Функции», «Уравнения и неравенства», «Геометрия», «Элементы комбинаторики, теории вероятностей, статистики и логики», вводится линия «Начала математического анализа». В рамках указанных содержательных линий решаются следующие задачи:
систематизация сведений о числах; изучение новых видов числовых выражений и формул; совершенствование практических навыков и вычислительной культуры, расширение и совершенствование алгебраического аппарата, сформированного в основной школе, и его применение к решению математических и нематематических задач;
расширение и систематизация общих сведений о функциях, пополнение класса изучаемых функций, иллюстрация широты применения функций для описания и изучения реальных зависимостей;
изучение свойств пространственных тел, формирование умения применять полученные знания для решения практических задач;
развитие представлений о вероятностно-статистических закономерностях в окружающем мире, совершенствование интеллектуальных и речевых умений путем обогащения математического языка, развития логического мышления;
знакомство с основными идеями и методами математического анализа.
Цели
Изучение математики на базовом уровне направлено на достижение следующих целей:
формирование представлений о математике как универсальном языке науки, средстве моделирования явлений и процессов, об идеях и методах математики;
развитие логического мышления, пространственного воображения, алгоритмической культуры, критичности мышления на уровне, необходимом для обучения в высшей школе по соответствующей специальности, в будущей профессиональной деятельности;
овладение математическими знаниями и умениями, необходимыми в повседневной жизни, для изучения школьных естественнонаучных дисциплин на базовом уровне, для получения образования в областях, не требующих углубленной математической подготовки;
воспитание средствами математики культуры личности: отношения к математике как части общечеловеческой культуры: знакомство с историей развития математики, эволюцией математических идей, понимания значимости математики для общественного прогресса.
Общеучебные умения, навыки и способы деятельности
В ходе освоения содержания математического образования учащиеся овладевают разнообразными способами деятельности, приобретают и совершенствуют опыт:
построения и исследования математических моделей для описания и решения прикладных задач, задач из смежных дисциплин;
выполнения и самостоятельного составления алгоритмических предписаний и инструкций на математическом материале; выполнения расчетов практического характера; использования математических формул и самостоятельного составления формул на основе обобщения частных случаев и эксперимента;
самостоятельной работы с источниками информации, обобщения и систематизации полученной информации, интегрирования ее в личный опыт;
проведения доказательных рассуждений, логического обоснования выводов, различения доказанных и недоказанных утверждений, аргументированных и эмоционально убедительных суждений;
самостоятельной и коллективной деятельности, включения своих результатов в результаты работы группы, соотнесение своего мнения с мнением других участников учебного коллектива и мнением авторитетных источников.
ТРЕБОВАНИЯ К УРОВНЮ ПОДГОТОВКИ ВЫПУСКНИКОВ
В результате изучения математики на базовом уровне ученик должен
знать/понимать
значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике; широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе;
значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии;
универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности;
вероятностный характер различных процессов окружающего мира;
Алгебра
уметь
выполнять арифметические действия, сочетая устные и письменные приемы, применение вычислительных устройств; находить значения корня натуральной степени, степени с рациональным показателем, логарифма, используя при необходимости вычислительные устройства; пользоваться оценкой и прикидкой при практических расчетах;
проводить по известным формулам и правилам преобразования буквенных выражений, включающих степени, радикалы, логарифмы и тригонометрические функции;
вычислять значения числовых и буквенных выражений, осуществляя необходимые подстановки и преобразования;
использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для:
практических расчетов по формулам, включая формулы, содержащие степени, радикалы, логарифмы и тригонометрические функции, используя при необходимости справочные материалы и простейшие вычислительные устройства;
понимания взаимосвязи учебного предмета с особенностями профессий и профессиональной деятельности, в основе которых лежит данный учебный предмет
Функции и графики
уметь
определять значение функции по значению аргумента при различных способах задания функции;
строить графики изученных функций;
описывать по графику и в простейших случаях по формуле поведение и свойства функций, находить по графику функции наибольшие и наименьшие значения;
решать уравнения, простейшие системы уравнений, используя свойства функций и их графиков;
использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для:
описания с помощью функций различных зависимостей, представления их графически, интерпретации графиков;
понимания взаимосвязи учебного предмета с особенностями профессий и профессиональной деятельности, в основе которых лежит данный учебный предмет
Начала математического анализа
уметь
вычислять производные и первообразные элементарных функций, используя справочные материалы;
исследовать в простейших случаях функции на монотонность, находить наибольшие и наименьшие значения функций, строить графики многочленов и простейших рациональных функций с использованием аппарата математического анализа;
вычислять в простейших случаях площади с использованием первообразной;
использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для:
решения прикладных задач, в том числе социально-экономических и физических, на наибольшие и наименьшие значения, на нахождение скорости и ускорения;
понимания взаимосвязи учебного предмета с особенностями профессий и профессиональной деятельности, в основе которых лежит данный учебный предмет
Уравнения и неравенства
уметь
решать рациональные, показательные и логарифмические уравнения и неравенства, простейшие иррациональные и тригонометрические уравнения, их системы;
составлять уравнения и неравенства по условию задачи;
использовать для приближенного решения уравнений и неравенств графический метод;
изображать на координатной плоскости множества решений простейших уравнений и их систем;
использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для:
построения и исследования простейших математических моделей;
понимания взаимосвязи учебного предмета с особенностями профессий и профессиональной деятельности, в основе которых лежит данный учебный предмет
Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей
уметь
решать простейшие комбинаторные задачи методом перебора, а также с использованием известных формул;
вычислять в простейших случаях вероятности событий на основе подсчета числа исходов;
использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для:
анализа реальных числовых данных, представленных в виде диаграмм, графиков;
анализа информации статистического характера;
понимания взаимосвязи учебного предмета с особенностями профессий и профессиональной деятельности, в основе которых лежит данный учебный предмет
Геометрия
уметь
распознавать на чертежах и моделях пространственные формы; соотносить трехмерные объекты с их описаниями, изображениями;
описывать взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве, аргументировать свои суждения об этом расположении;
анализировать в простейших случаях взаимное расположение объектов в пространстве;
изображать основные многогранники и круглые тела; выполнять чертежи по условиям задач;
строить простейшие сечения куба, призмы, пирамиды;
решать планиметрические и простейшие стереометрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов);
использовать при решении стереометрических задач планиметрические факты и методы;
проводить доказательные рассуждения в ходе решения задач;
использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для:
исследования (моделирования) несложных практических ситуаций на основе изученных формул и свойств фигур;
вычисления объемов и площадей поверхностей пространственных тел при решении практических задач, используя при необходимости справочники и вычислительные устройства;
понимания взаимосвязи учебного предмета с особенностями профессий и профессиональной деятельности, в основе которых лежит данный учебный предмет
Перед выполнением внеаудиторной самостоятельной работы студент должен внимательно выслушать инструктаж преподавателя по выполнению задания, который включает определение цели задания, его содержание, сроки выполнения, ориентировочный объем работы, основные требования к результатам работы, критерии оценки. В процессе инструктажа преподаватель предупреждает студентов о возможных типичных ошибках, встречающихся при выполнении задания.
В пособии представлены как индивидуальные, так и групповые задания в зависимости от цели, объема, конкретной тематики самостоятельной работы, уровня сложности. В качестве форм и методов контроля внеаудиторной самостоятельной работы студентов используются аудиторные занятия, зачеты, тестирование, самоотчеты, контрольные работы.
Критериями оценки результатов внеаудиторной самостоятельной работы студента являются:
- уровень освоения студентом учебного материала;
- умение студента использовать теоретические знания при выполнении практических задач;
- сформированность общеучебных умений;
- обоснованность и четкость изложения ответа;
- оформление материала в соответствии с требованиями.
В методических указаниях приведены теоретический (справочный) материал в соответствии с темой работы, обращение к которому поможет выполнить задания самостоятельной работы; вопросы для самоконтроля, подготавливающие к выполнению заданий и сами задания.
Содержание самостоятельной внеаудиторной работы
Самостоятельная работа №1 Подготовка сообщения «История развития понятия функции»
Цель: получить представление о функциях, истории развития понятия функции и ее применении в различных областях науки
Самостоятельная работа: работа с литературой, интернет-ресурсами.
Форма контроля: сообщение на уроке
Самостоятельная работа №2 Подготовка сообщения «История появления алгебры как науки»
Цель: получить представление об истории развития и становления алгебры как науки, о ее достижениях, о связи с другими науками
Самостоятельная работа: работа с литературой, интернет-ресурсами.
Форма контроля: сообщение на уроке
Самостоятельная работа №3 Подготовка сообщения «История развития тригонометрии»
Цель: получить представление об истории развития тригонометрии, о ее достижениях, о связи с другими науками
Самостоятельная работа: работа с литературой, интернет-ресурсами.
Форма контроля: сообщение на уроке
Самостоятельная работа №4 Формирование и усвоение содержания теоретического материала по теме «Тригонометрические функции»
Цель: сформировать и усвоить содержание теоретического материала по теме «Тригонометрические функции»
Самостоятельная работа: работа с литературой, интернет-ресурсами.
Форма контроля: ответ на уроке
Теоретический материал
Определение тригонометрических функций на единичной окружности
Вспомним определение тригонометрических функций острого угла прямоугольного треугольника. Только построим его в единичной окружности.
Отметим на окружности точку Р (х;у). И ее проекции на координатные оси: ОА=х, ОВ=у. Соединим точку с началом координат, получим угол
·.
Рассмотрим
·АРО- прямоугольный, катеты ОА и РА, гипотенуза ОР=1.
Определение: Синус угла
· это отношение противолежащего катета к гипотенузе, т.е. 13EMBED Equation.31415
Таким образом, синус любого угла определяется по оси ОУ.
Определение: Косинус угла
· это отношение прилежащего катета к гипотенузе, т.е. 13EMBED Equation.31415
Таким образом, косинус любого угла определяется по оси ОХ.
Определение: Тангенс угла А это отношение противолежащего катета к прилежащему, т.е. 13EMBED Equation.31415
Определение: Котангенс угла А это отношение прилежащего катета к противолежащему, т.е. 13EMBED Equation.31415
Для основных углов тригонометрических функций составлена таблица их значений:
Пример:
Найти значение выражения:
13EMBED Equation.31415.
Самостоятельная работа №5 Выполнение домашних заданий в виде решения отдельных задач по теме «Тригонометрические функции числового аргумента»
Цель: закрепить навыки решения тригонометрических задач с помощью формул приведения, выработать навыки их применения при нахождении углов больше 13 EMBED Equation.3 1415, преобразовании тригонометрических выражений.
Самостоятельная работа: индивидуальная домашняя работа
Форма контроля: проверка работы
Виды заданий:
Вычислить с помощью формул приведения
Упростить выражение
Доказать тождество
Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий
Знаки тригонометрических функций
Из определения тригонометрических функций следует, что их знаки вчетвертях будут следующими:
Формулы приведения
Это формулы, позволяющие выражать значения тригонометрических функций любого угла через функции угла первой четверти, т.е.
·< 90°.
ПРАВИЛО 1. Если угол
· откладывают от оси ОX, то функция не меняется.
А если угол
· откладывают от оси ОY, то функция меняется на кофункцию.
ПРАВИЛО 2. Знак в правой части формулы определяется по знаку функции в левой части.
Пример: Запишите формулы приведения
Формулы приведения
·
·/2 -
·
·/2 +
·
· -
·
· +
·
3
·/2 -
·
3
·/2 +
·
2
· -
·
2
· +
·
cos
sin
·
- sin
·
-cos
·
-cos
·
- sin
·
sin
·
cos
·
cos
·
sin
cos
·
-cos
·
sin
·
-sin
·
-cos
·
cos
·
-sin
·
sin
·
tg
сtg
·
-сtg
·
-tg
·
tg
·
-сtg
·
-сtg
·
-tg
·
tg
·
ctg
tg
·
-tg
·
-ctg
·
ctg
·
tg
·
-tg
·
-ctg
·
ctg
·
Пример 1.Выразите тригонометрические функции через угол меньше 45°.
Пример 2. Упростите выражение.
13 EMBED Equation.3 1415
Решение:
13 EMBED Equation.3 1415
Пример 3. Упростите выражение.
13 EMBED Equation.3 1415
Решение:
13 EMBED Equation.3 1415
Перед выполнением внеаудиторной самостоятельной работы, прочитайте еще раз конспект, учебник и ответьте на следующие вопросы:
Правило перевода градусной меры в радианную
Правило перевода радианной меры в градусную
Определение тригонометрических функций на единичной окружности
Знаки тригонометрических функций.
Четные и нечетные функции.
Периодичность тригонометрических функций.
Основное тригонометрическое тождество.
Задания.
1 уровень.
Вариант1.
1.Вычислить с помощью формул приведения. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
2.Упростить выражение: 13 EMBED Equation.3 1415
3.Вычислите: 13 EMBED Equation.3 1415 если 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415
4.Найдите значение выражения: 13 EMBED Equation.3 1415
5. Докажите тождество: 13 EMBED Equation.3 1415
2 уровень.
Вариант2.
1.Вычислить с помощью формул приведения. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
2.Упростить выражение: 13 EMBED Equation.3 1415
3.Вычислите: 13 EMBED Equation.3 1415 если 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415
4.Найдите значение выражения: 13 EMBED Equation.3 1415
5. Докажите тождество: 13 EMBED Equation.3 1415
3 уровень
Вариант 3.
1.Вычислить с помощью формул приведения. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
2.Упростить выражение: 13 EMBED Equation.3 1415
3.Вычислите: 13 EMBED Equation.3 1415 если 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415
4.Найдите значение выражения: 13 EMBED Equation.3 1415
5. Докажите тождество: 13 EMBED Equation.3 1415
Самостоятельная работа №6 Подготовка сообщения «Тригонометрические функции в физике»
Цель: получить представление о применении тригонометрических функций в физике
Самостоятельная работа: работа с литературой, интернет-ресурсами.
Форма контроля: сообщение на уроке
Самостоятельная работа №7 Подготовка презентации «Преобразование графиков функций»
Цель: формирование умений и навыков применения преобразования графиков функций для решения задач, развитие навыков работы на компьютере
Самостоятельная работа: создание презентации на компьютере, работа с интернет-ресурсами.
Форма контроля: демонстрация презентации на уроке
Самостоятельная работа №8 Выполнение домашних заданий в виде решения отдельных задач по теме «Преобразования графиков тригонометрических функций»
Цель: закрепить навыки построения графиков с помощью преобразований
Самостоятельная работа: индивидуальная домашняя работа
Форма контроля: проверка работы
Виды заданий:
Построить график функции
Описать вид преобразования графика функции
Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ
Построение графика функции y=f(x)+n
Пусть нам известен вид графика функции y=f(x) и надо построить график функции y=f(x)+n. Значения у для второй функции на n больше при n>0 и на n меньше при n<0, это значит, что график в первом случае выше, а во втором ниже, опорного графика f(x).
График функции y=f(x)+n получается из графика y=f(x) сдвигом вдоль оси Оу на n единиц. Направление сдвига определяется знаком числа n (при n>0 график сдвигается вверх, при n<0 – вниз).
На рис.1 изображены графики функций 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415+3, 13 EMBED Equation.3 1415-2.
На рис.2: y=f(x), y=f(x)-10
Рис.1 Рис.2
Построение графика функции y=f(x-m).
Ранее неоднократно строились графики квадратичной функции вида y=a(x-m)2 и не раз убеждались в том, что происходит сдвиг параболы y=ax2 вдоль оси Ох вправо при m>0 и влево при m<0. Это преобразование справедливо и для графика любой другой функции.
На рис.3 графики функций: 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
На рис.4 : у = -х3, у = -(х-4)3, у = -(х+3)3.
График функции y=f(x-m) получается из графика функции y=f(x) сдвигом вдоль оси Ох вправо при m>0 и влево при m<0.
Построение графика функции y=af(x).
Пусть надо построить график функции y=af(x), и пусть для определенности а=2. Это означает, что значения у функции, которую надо построить в 2 раза больше значений у опорной функции для у>0 и в 2 раза меньше для у <0. И в том и другом случае происходит растяжение графика вдоль оси Оу. В случае, когда |а|<1, происходит сжатие.
График функции y=af(x) получается из графика функции y=f(x) растяжением в а раз по оси Оу ( в случае |а|<1получается сжатие).
На рис.5 изображены графики функций: 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
На рис.6 : y=f(x), 13 EMBED Equation.3 1415f(x), y=2f(x).
.
Рис.3 Рис.4
. Рис.5 Рис.6
1.4.Построение графика функции y=f(kx).
В одной и той же системе координат построим графики функций:
1)13 EMBED Equation.3 1415, 2)13 EMBED Equation.3 1415, 3)13 EMBED Equation.3 1415 (рис.7)
Рис.7
13 EMBED Equation.3 1415 Заметим: в случае графика 2) происходит сжатие графика 1) в 2 раза, а в случае графика 3) – растяжение графика 1) в 3 раза вдоль оси Ох.
Для построения графика функции y=f(kx) надо подвергнуть график функции y=f(x) сжатию вдоль оси Ох, если |k|>1, и растяжению в 1/|k| раз, если |k|<1.
В нашем случае: 1) y=f(x), 2) y=f(2x), 3) 13 EMBED Equation.3 1415.
Задания:
Вариант 1
Используя график функции у=х2, построить графики функций: у =х2-1
Используя график функции 13 EMBED Equation.3 1415, постройте график функции: 13 EMBED Equation.3 1415.
Постройте графики функций:
13 EMBED Equation.3 1415
Вариант 2
Используя график функции у=х2, построить графики функций: у =(х+1)2
Используя график функции 13 EMBED Equation.3 1415, постройте график функции: 13 EMBED Equation.3 1415.
Постройте графики функций:
13 EMBED Equation.3 1415
Вариант 3
Используя график функции у=х2, построить графики функций: у =(х-3)2+2.
Используя график функции 13 EMBED Equation.3 1415, постройте график функции:13 EMBED Equation.3 1415.
Постройте графики функций:
13 EMBED Equation.3 1415
Самостоятельная работа №9: Выполнение домашних заданий в виде решения отдельных задач по теме «Свойства тригонометрических функций»
Цель: закрепить навыки решения задач на определение свойств тригонометрических функций
Самостоятельная работа: индивидуальная домашняя работа
Форма контроля: проверка работы
Виды заданий:
Выразите в радианной мере величины углов
Выразите в градусной мере величины углов
Вычислите без таблиц и калькулятора (используя формулы приведения)
Найти другие тригонометрические функции.
Упростите
Определите знак выражения.
Задания:
Вариант 1
Выразите в радианной мере величины углов 640; 1600.
Выразите в градусной мере величины углов 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Вычислите без таблиц и калькулятора (используя формулы приведения):
13 EMBED Equation.3 1415
Дано: 13 EMBED Equation.3 1415. Найти другие тригонометрические функции.
Упростите: 13 EMBED Equation.3 1415.
Определите знак выражения: 13 EMBED Equation.3 1415.
Вариант 2
Выразите в радианной мере величины углов 560; 1700.
Выразите в градусной мере величины углов 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Вычислите без таблиц и калькулятора (используя формулы приведения):
13 EMBED Equation.3 1415
Дано: 13 EMBED Equation.3 1415. Найти другие тригонометрические функции.
Упростите: 13 EMBED Equation.3 1415.
Определите знак выражения: 13 EMBED Equation.3 1415.
Вариант 3
Выразите в радианной мере величины углов 720; 1400.
Выразите в градусной мере величины углов 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Вычислите без таблиц и калькулятора (используя формулы приведения):
13 EMBED Equation.3 1415
Дано: 13 EMBED Equation.3 1415. Найти другие тригонометрические функции.
Упростите: 13 EMBED Equation.3 1415.
Определите знак выражения: 13 EMBED Equation.3 1415.
Вариант 4
Выразите в радианной мере величины углов 420; 1300.
Выразите в градусной мере величины углов 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Вычислите без таблиц и калькулятора (используя формулы приведения):
13 EMBED Equation.3 1415
Дано: 13 EMBED Equation.3 1415. Найти другие тригонометрические функции.
Упростите: 13 EMBED Equation.3 1415.
Определите знак выражения: 13 EMBED Equation.3 1415.
Самостоятельная работа №10 Подготовка сообщений «Гармонические колебания»
Цель: получить представление о гармонических колебаниях, их использовании в различных областях науки
Самостоятельная работа: работа с литературой, интернет-ресурсами.
Форма контроля: сообщение на уроке
Самостоятельная работа №11 Подготовка сообщений «Обратные тригонометрические функции»
Цель: получить представление об обратных тригонометрических функциях, их использовании в различных областях науки
Самостоятельная работа: работа с литературой, интернет-ресурсами.
Форма контроля: сообщение на уроке
Самостоятельная работа №12 Выполнение домашних заданий в виде решения отдельных задач по теме «Простейшие тригонометрические уравнения»
Цель: закрепить навыки решения простейших тригонометрических уравнений
Самостоятельная работа: индивидуальная домашняя работа
Форма контроля: проверка работы
Виды заданий:
Решить уравнения
Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий
Решение простейших тригонометрических уравнений
Тригонометрическим уравнением называется уравнение, содержащее переменную под знаком тригонометрических функций.
Уравнения вида sin x = a; cos x = a; tg x = a; ctg x = a, где x - переменная, aЄR, называются простейшими тригонометрическими уравнениями.
1. sinx = a, |a|
·1
2. cos x = a , |a|
·1
3. tg x = a , a Є R ctg x = a , a Є R
Задание: Решить уравнения
1)13 EMBED Equation.3 1415 –
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
19)13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
20)13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Самостоятельная работа №13 Решение простейших тригонометрических неравенств
Цель: закрепить умения использовать тригонометрический круг при решении простейших неравенств вида sin x > a, sin x <-a , cos x > a, cosx < -a;
Самостоятельная работа: индивидуальная домашняя работа
Форма контроля: проверка работы
Виды заданий:
Решить неравенства
Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий
Решение тригонометрических неравенств с помощью единичной окружности
Определение.
Два тригонометрических выражения, соединённые между собой знаком 13 EMBED Equation.3 1415 или >, называются тригонометрическими неравенствами.
Решить тригонометрическое неравенство - это значит, найти множество значений неизвестных, входящих в неравенство, при которых неравенство выполняется.
Тригонометрические неравенства можно решать с помощью графиков функций y = sin x, y = cos x, y = tg x, y= ctg x13 EMBED Equation.3 1415 или с помощью единичной окружности.
Решение тригонометрических неравенств, сводится, как правило, к решению простейших неравенств вида: sin x>a, sin x13 EMBED Equation.3 1415a, sin x13 EMBED Equation.3 1415a, sin x
Алгоритм решения тригонометрических неравенств с помощью единичной окружности.
1) На оси ординат (абсцисс) отметить точку a и провести прямую y = a (x = a), перпендикулярную соответствующей оси.
2) Отметить на окружности дугу, состоящую из точек окружности, удовлетворяющих данному неравенству (эти точки расположены по одну сторону от построенной прямой).
3) Записать числовой промежуток, точки которого заполняют отмеченную дугу, и к обеим частям неравенства прибавить период функции ( для y = sin x и y = cos x 13 EMBED Equation.3 1415).
Решение простейших неравенств вида sin x>a, sin x13 EMBED Equation.3 1415a, sin x13 EMBED Equation.3 1415a, sin x
Пример 1. Решите неравенство sin x>13 EMBED Equation.3 1415
На единичной окружности проводим прямую y = 13 EMBED Equation.3 1415, которая пересекает окружность в точках A и B.
Все значения y на промежутке NM больше 13 EMBED Equation.3 1415, все точки дуги AMB удовлетворяют данному неравенству. При всех углах поворота, больших 13 EMBED Equation.3 1415, но меньших 13 EMBED Equation.3 1415, sin x будет принимать значения больше 13 EMBED Equation.3 1415 (но не больше единицы).
Таким образом, решением неравенства будут все значения на интервале 13 EMBED Equation.3 1415, т.е. 13 EMBED Equation.3 1415
т.е. 13 EMBED Equation.3 1415=arcsin13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ:13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
В общем виде:
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415.
Пример 2 . Решите неравенство 13 EMBED Equation.3 1415
Все значения y на промежутке MN меньше 13 EMBED Equation.3 1415, но не меньше (-1). Неравенство имеет решение 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415, отличающееся от предыдущего на минус один период, т.е. 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415, причем 13 EMBED Equation.3 1415. Обобщая, решение неравенства запишем: 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
В общем виде:
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
В общем виде:
Ответ:13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415.
Пример 3: 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415.
В общем виде:
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415.
Пример 4: 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415.
В общем виде:
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415 и
13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415.
Решение простейших неравенств вида cos x>a, cos x13 EMBED Equation.3 1415a, cos x13 EMBED Equation.3 1415a, cos x
В общем виде:
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415.
Пример 6: 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ:(13 EMBED Equation.3 1415),13 EMBED Equation.3 1415.
В общем виде:
Ответ:13 EMBED Equation.3 1415 ,13 EMBED Equation.3 1415.
Пример 7: 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415.
В общем виде:
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415.
Пример 8: 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415.
В общем виде:
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415.
Пример 9 : 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415.
Задания:
Решить неравенства:
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415;
Решить неравенства:
13 EMBED Equation.3 1415 ; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415;
Самостоятельная работа №14 Подготовка сообщения «История развития геометрии»
Цель: получить представление об истории развития и становления геометрии как науки, о ее достижениях, о связи с другими науками
Самостоятельная работа: работа с литературой, интернет-ресурсами.
Форма контроля: сообщение на уроке
Самостоятельная работа №15 Подготовка сообщения «Сущность аксиоматического метода»
Цель: получить представление о сущности аксиоматического метода, его влиянии на развитие геометрии
Самостоятельная работа: работа с литературой, интернет-ресурсами.
Форма контроля: сообщение на уроке
Самостоятельная работа №16 Подготовка сообщения «Геометрия Лобачевского»
Цель: получить представление о вкладе Лобачевского в развитие геометрии
Самостоятельная работа: работа с литературой, интернет-ресурсами.
Форма контроля: сообщение на уроке
Самостоятельная работа №17 Подготовка презентации «Параллельность прямых и плоскостей в пространстве»
Цель: расширить знания о параллельности прямых и плоскостей в пространстве, развитие навыков работы на компьютере
Самостоятельная работа: создание презентации на компьютере, работа с интернет-ресурсами.
Форма контроля: демонстрация презентации на уроке
Самостоятельная работа №18: Выполнение домашних заданий в виде решения отдельных задач по теме «Построение сечений»
Цель: закрепить умения построения сечений многогранников;
Самостоятельная работа: индивидуальная домашняя работа
Форма контроля: проверка работы
Виды заданий:
Постройте сечение многогранника плоскостью, проходящей через указанные точки.
Проверьте правильность построения сечения.
Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий
Введение понятия секущей плоскости и сечения
Для решения многих геометрических задач, связанных с тетраэдром и параллелепипедом, полезно уметь строить на рисунке их сечения различными плоскостями.
Секущей плоскостью многогранника назовем любую плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного многогранника.
Секущая плоскость пересекает грани многогранника по отрезкам. Многоугольник, сторонами которого являются эти отрезки, называется сечением многогранника.
Т.к. тетраэдр имеет четыре грани, то в сечении могут получиться либо треугольники, либо четырехугольники.
Какие многоугольники могут получиться в сечении параллелепипеда? (т.к. параллелепипед имеет шесть граней, то в сечении могут получиться либо треугольники, либо четырехугольники, либо пятиугольники, либо шестиугольники).
Алгоритм построения точки пересечения прямой и плоскости
а) Построить линию пересечении выделенной плоскости и плоскости, в которой лежит прямая.
б) Точка пересечения построенной прямой с данной является искомой.
Пример: Построить точку пересечения прямой АВ с выделенной плоскостью
13 EMBED PowerPoint.Slide.8 1415
Решение задач на построение сечений тетраэдра и параллелепипеда.
Рассмотрим примеры построения различных сечений тетраэдра и параллелепипеда, для этого решим следующие задачи.
На ребрах AB, AD, CD тетраэдра ABCD отмечены точки Q, N, P . Построить сечение тетраэдра плоскостью QNP. ( Для построения сечений ищем отрезки, по которым секущая плоскость пересекает каждую грань) (слайд 9).
Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки А, В, С.
Постойте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через указанные точки.
Построение (рис 1):
13 EMBED PowerPoint.Slide.8 1415
Алгоритм построения сечения многогранника плоскостью
Построить точки пересечения секущей плоскости с рёбрами многогранника (тетраэдра, параллелепипеда).
2. Полученные точки, лежащие в одной грани, соединить отрезками.
3. Многоугольник, ограниченный данными отрезками, и есть построенное сечение.
Замечание: Если секущая плоскость пересекает противоположные грани параллелепипеда по каким-либо отрезкам, то эти отрезки параллельны.
Задания:
Постройте сечение многогранника плоскостью, проходящей через указанные точки.
13 EMBED PowerPoint.Slide.8 1415
Проверьте правильность построения сечения.
13 EMBED PowerPoint.Slide.8 1415
Самостоятельная работа №19: Формирование и усвоение содержания теоретического материала по теме «Перпендикулярность прямой и плоскости»
Цель: сформировать и усвоить содержание теоретического материала по теме «Перпендикулярность прямой и плоскости»;
Самостоятельная работа: работа с литературой, работа с интернет-ресурсами
Форма контроля: ответ на уроке
Теоретический материал
Перпендикулярность прямой и плоскости
ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ ПРЯМЫЕ В ПРОСТРАНСТВЕ
Определение: Две прямые в пространстве называются перпендикулярными (взаимно перпендикулярными), если угол между ними равен 900.
Лемма: Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.
Задача№117.В тетраэдре АВСD:ВС13 EMBED Equation.3 1415АD. Докажите, что АD13 EMBED Equation.3 1415MN, где М и N – середины ребер АВ и АС.
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ, ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ К ПЛОСКОСТИ
Определение: Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.
Задача №119. Прямая ОА13 EMBED Equation.3 1415OBC. Точка О является серединой отрезка АD. Докажите, что АВ = ВD.
Задача №121. В треугольника АВС дано: угол С = 900, АС = 6 см, ВС = 8 см, СМ – медиана. Через вершину С проведена прямая СК, перпендикулярная к плоскости треугольника АВС, причем СК = 12 см. Найдите КМ.
Задача №120. Через точку О пересечения диагоналей квадрата, сторона которого равна a, проведена прямая ОК, перпендикулярная к плоскости квадрата. Найдите расстояние от точки К до вершин квадрата, если ОК = b.
ТЕОРЕМЫ,УСТАНАВЛИВАЮЩИЕ СВЯЗЬ МЕЖДУ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬЮ ПРЯМЫХ И ИХ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬЮ К ПЛОСКОСТИ
Теорема 1: Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.
Теорема 2:Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны между собой.
Теорема (признак перпендикулярности прямой и плоскости): Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.
ТЕОРЕМА О ПРЯМОЙ, ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОЙ К ПЛОСКОСТИ
Теорема: Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости, и притом только одна
Закрепление материала:
Задача №124. Прямая РQ параллельна плоскости
· . Через точки Р и Q проведены прямые, перпендикулярные к плоскости
·, которые пересекают эту плоскость соответственно в точках Р1 и Q1. Докажите, что РQ = P1Q1.
Самостоятельная работа №20 Подготовка презентации «Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве»
Цель: расширить знания о перпендикулярности прямых и плоскостей в пространстве, развитие навыков работы на компьютере
Самостоятельная работа: создание презентации на компьютере, работа с интернет-ресурсами.
Форма контроля: демонстрация презентации на уроке
Самостоятельная работа №21: Изготовление таблиц «Формулы тригонометрии»
Цель: закрепить знания формул тригонометрии
Самостоятельная работа: изготовление таблиц «Формулы тригонометрии»
Форма контроля: демонстрация таблиц на уроке
Самостоятельная работа №22 Выполнение домашних заданий в виде решения отдельных задач по теме «Преобразования тригонометрических выражений»
Цель: закрепить умения упрощать тригонометрических выражений;
Самостоятельная работа: индивидуальная домашняя работа
Форма контроля: проверка работы
Виды заданий:
Найдите значение выражения
Вычислить значение каждой из тригонометрических функций
Упростите выражение
Докажите тождество
Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий
Преобразование тригонометрических выражений
Основное тригонометрическое тождество и следствия из него:
13 EMBED Equation.3 1415
II. Формулы (теоремы) сложения аргументов:
13 EMBED Equation.3 1415
III. Формулы двойного аргумента:
13 EMBED Equation.3 1415
IV. Формулы половинного аргумента (знак – по функции в левой части):
13 EMBED Equation.3 1415
V. Формулы произведений:
13 EMBED Equation.3 1415
VI. Формулы сумм:
13 EMBED Equation.3 14
1513 EMBED Equation.3 1415
Пример:
Пример: Упростите выражение 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение: 13 EMBED Equation.3 1415, так как 13 EMBED Equation.3 1415.
Пример: Вычислите: 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение: Воспользуемся формулой 13 EMBED Equation.3 1415.
Имеем: 13 EMBED Equation.3 1415.
Задания:
Вариант 1
А1. Найдите значение выражения 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
А2. Вычислить значение каждой из тригонометрических функций, если 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
А3. Упростите выражение: 13 EMBED Equation.3 1415, если 13 EMBED Equation.3 1415.
В1. Упростите выражение 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Вариант 2
А1. Найдите значение выражения 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
А2. Вычислить значение каждой из тригонометрических функций, если 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
А3. Упростите выражение 13 EMBED Equation.3 1415
В1. Упростите выражение 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Докажите тождество
1 вариант
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
2 вариант
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
3 вариант
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Самостоятельная работа №23 Изготовление моделей многогранников
Цель: изучить, какие правильные многогранники существуют;
научиться выполнять развертки многогранников;
исследовать, есть ли еще другие правильные многогранники
Самостоятельная работа: изготовление моделей многогранников.
Форма контроля: демонстрация моделей на уроке
Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий
Многогранник - часть пространства, ограниченная совокупностью конечного числа плоских многоугольников, соединенных таким образом, что каждая сторона любого многоугольника является стороной ровно одного другого многоугольника (называемого смежным), причем, вокруг каждой вершины существует ровно один цикл многоугольников. Эти многоугольники называются гранями, их стороны – ребрами, а вершины – вершинами многогранника.
Многогранник называется выпуклым, если он весь лежит по одну сторону от плоскости любой его грани, тогда грани его тоже выпуклы. Выпуклый многогранник разрезает пространство на две части внешнюю и внутреннюю. Внутренняя его часть есть выпуклое тело. Обратно, если поверхность выпуклого тела многогранная, то соответствующий многогранник выпуклый.[1]
Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани – равные правильные многоугольники и к каждой вершине примыкает одно и то же число граней.
Виды правильных многогранников
Тетраэдр
Тетраэдр составлен из четырех равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной трех треугольников. Сумма плоских углов при каждой вершине равна 180 градусов. Таким образом, тетраэдр имеет 4 грани, 4 вершины и 6 ребер.
Элементы симметрии:
Тетраэдр не имеет центра симметрии, но имеет 3 оси симметрии и 6 плоскостей симметрии.[10]
Куб
Куб составлен из шести квадратов. Каждая его вершина является вершиной трех квадратов. Сумма плоских углов при каждой вершине равна 270 градусов. Таким образом, куб имеет 6 граней, 8 вершин и 12 ребер.
Элементы симметрии:
Куб имеет центр симметрии - центр куба, 9 осей симметрии и 9 плоскостей симметрии[11]
Октаэдр
Октаэдр составлен из восьми равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной четырех треугольников. Сумма плоских углов при каждой вершине равна 240 градусов. Таким образом, октаэдр имеет 8 граней, 6 вершин и 12 ребер.
Элементы симметрии:
Октаэдр имеет центр симметрии - центр октаэдра, 9 осей симметрии и 9 плоскостей симметрии. [12]
Икосаэдр
Икосаэдр составлен из двадцати равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной пяти треугольников. Сумма плоских углов при каждой вершине равна 300 градусов. Таким образом икосаэдр имеет 20 граней, 12 вершин и 30 ребер.
Элементы симметрии:
Икосаэдр имеет центр симметрии - центр икосаэдра, 15 осей симметрии и 15 плоскостей симметрии. [13]
Додекаэдр
Додекаэдр составлен из двенадцати равносторонних пятиугольников. Каждая его вершина является вершиной трех пятиугольников. Сумма плоских углов при каждой вершине равна 324 градусов. Таким образом, додекаэдр имеет 12 граней, 20 вершин и 30 ребер.
Развертка многогранника
Развёртка поверхности- , фигура, получающаяся в плоскости при таком совмещении точек данной поверхности с этой плоскостью, при котором длины линий остаются неизменными.
Также близко по смыслу понятие развёртки в оригами.
В технике развёрткой называют плоскую заготовку или чертёж плоской заготовки, из которой получают объёмную форму детали или конструкции путём изгибания. В этом случае развёртка не вполне отвечает математическому определению, из-за необходимости учёта изменения длин изгибаемого материала.
Это развертка куба
Это развертка октаэдра
Это развертка икосаэдра
Это развертка додекаэдра.
Это развертка тетраэдра
Самостоятельная работа №24 Подготовка презентации «Симметрия в нашей жизни»
Цель: расширить знания о симметрии, рассмотреть симметрию, встречающуюся в разных сферах жизни, развитие навыков работы на компьютере
Самостоятельная работа: создание презентации на компьютере, работа с интернет-ресурсами.
Форма контроля: демонстрация презентации на уроке
Самостоятельная работа №25 Подготовка сообщения Звёздчатые многогранники», «Платоновы тела».
Цель: получить представление о звездчатых многогранниках, платоновых телах, проследить историю развития многогранников, расширить знания о звёздчатых многогранниках, исследовать способы изготовления различных моделей звёздчатых многогранников.
Самостоятельная работа: работа с литературой, интернет-ресурсами.
Форма контроля: сообщение на уроке
Самостоятельная работа №26 Подготовка сообщения «История развития дифференциального исчисления»
Цель: рассмотреть историю развития дифференциального исчисления; рассмотреть имена, связанные с возникновением и развитием дифференциального исчисления..
Самостоятельная работа: работа с литературой, интернет-ресурсами.
Форма контроля: сообщение на уроке
Самостоятельная работа №27: Подготовка сообщения «Понятие предела в математическом анализе»
Цель: рассмотреть понятие предела в математическом анализе.
Самостоятельная работа: работа с литературой, интернет-ресурсами.
Форма контроля: сообщение на уроке
Самостоятельная работа №28: Формирование и усвоение содержания теоретического материала по теме «Определение производной»
Цель: сформировать и усвоить содержание теоретического материала по теме «Определение производной».
Самостоятельная работа: работа с литературой, интернет-ресурсами.
Форма контроля: ответ на уроке
Теоретический материал
Производная функции
Количественное описание сложных изменяющихся процессов жизнедеятельности с помощью элементарной математики невозможно, поскольку соответствующие математические величины, используемые для этой цели, должны сами обладать способностью к “движению” . Высшая математика, в отличие от элементарной, оперирует зависимостями и величинами, подверженными изменениям, происходящим по определенным законам. Величиной, определяющей темп изменения функциональных зависимостей в высшей математике, является производная функции. Для пояснения этого понятия рассмотрим рис.1, где графически представлена некоторая произвольная функциональная зависимость y = f (x).
Приращением функции y = f(x) называется разность
13 EMBED Equation.3 1415
где (x - приращение аргумента x. Из рис. 1 видно, что
13 EMBED Equation.3 1415 (1)
13 EMBED Equation.2 1415
Рис. 1
Производной функции y = f(x) в точке x называется конечный предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю:
13 EMBED Equation.3 1415 (2)
Если указанный предел в формуле (2) существует, то функцию f(x) называют дифференцируемой в точке x, а операцию нахождения производной y( - дифференцированием.
Пример 1. Найти производную функции y = x2 в точке x = 3.
Решение. При любом приращении (x имеем:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Касательной называется прямая к которой стремится секущая при стремлении второй точки секущей М1(x1, f(x1)) к первой М0(x0, f(x0)).
13 EMBED PBrush 1415
Рис. 2
Таким образом, тангенс угла между касательной, проведенной к графику функции в данной точке, и осью абсцисс, числено равен значению производной функции в данной точке. В этом и состоит геометрический смысл производной.
К физическому смыслу производной подойдем из рассмотрения механического движения. Если за время (t тело проходит путь (S, то средняя за это время скорость движения: 13 EMBED Equation.2 1415 Но на пути ( S скорость может иметь различные мгновенные значения (vмгн), которые определяются как предел отношения (S к (t при (t(0 :
13 EMBED Equation.2 1415 (3)
Следовательно, мгновенная скорость движения в данной точке представляет собой значение в данный момент времени производной от пути по времени.
Итак, производная имеет смысл скорости некоторого процесса.
Если рассматривается ускорение (а) механического движения, то мгновенное ускорение представляет собой первую производную от скорости или вторую производную от пути:
13 EMBED Equation.2 1415 (4)
Таким образом, вторая производная имеет физический смысл ускорения.
Самостоятельная работа №29 Выполнение домашних заданий в виде решения отдельных задач по теме «Вычисление производных»
Цель: познакомиться с правилами дифференцирования на основе определения нахождения производных некоторых элементарных функций, научиться применять формулы дифференцирования и таблицу производных .
Самостоятельная работа: разбор формул дифференцирования и таблицы производных.
Форма контроля: ответ на уроке, проверка работы
Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий
ПРАВИЛА И ФОРМУЛЫ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
Если С - постоянная, u = u(x), v(x) - некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.2 1415
13 EMBED Equation.2 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ
Определение: Функция называется сложной, если ее аргумент сам является функцией.
Пусть y=y(u) и u=u(x)- дифференцируемые функции. Тогда сложная функция y=y(u(x)) есть также дифференцируемая функция, причем
y/x=y/u *u /x или 13 EMBED Equation.3 1415
Примеры:
Найти производные заданных функций
а) 13 EMBED Equation.2 1415;
Решение. 13 EMBED Equation.2 1415.
б) 13 EMBED Equation.2 1415;
Решение. Используем формулу 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.2 1415.
в) 13 EMBED Equation.2 1415;
Решение. Используем формулу 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.2 1415.
Найти точки, в которых производная функции равна нулю: 13 EMBED Equation.3 1415
Решение.
13 EMBED Equation.3 1415
Найти производные функций:
а) 13 EMBED Equation.3 1415; б) 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. а) Функция 13 EMBED Equation.3 1415 – это произведение двух функций 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, поэтому по третьему правилу дифференцирования:
13 EMBED Equation.3 1415.
Из таблицы производных находим, что 13 EMBED Equation.3 1415, и так как 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.
Значит, 13 EMBED Equation.3 1415.
б) 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415.
Найти производные функций:
а) 13 EMBED Equation.2 1415
Решение. 13 EMBED Equation.2 1415
б) 13 EMBED Equation.2 1415
Решение. 13 EMBED Equation.2 1415
Задания:
Вариант 1
1. Найти производные
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415,
Вариант 2
1. Найти производные
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415,
Вариант 3
1. Найти производные
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415,
Вариант 4
1. Найти производные
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415,
Самостоятельная работа №30: Выполнение домашних заданий в виде решения отдельных задач по теме «Уравнение касательной к графику функции»
Цель: научиться строить уравнение касательной к графику функции .
Самостоятельная работа: решение задач.
Форма контроля: проверка работы
Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий
Определение касательной к графику функции у=f(х)
Пусть дана некоторая кривая и точка Р на ней. Возьмем на этой кривой другую точку Р1 и проведем прямую через точки Р и Р1. Эту прямую называют секущей. Будем приближать точку Р1 к Р. Положение секущей РР1 будет меняться (стремиться к точки Р) предельное положение прямой РР1 и будет касательной к кривой в точке Р.
Уравнение вида у=f(a)+f’(a)(х-а) является уравнением касательной к графику функции.
Алгоритм составления касательной к графику функции у=f(x)
Обозначить буквой а абсциссу точки касания.
Найти f(а).
Найти f’(x) и f’(а).
Подставить найденные числа а, f(а), f’(а) в общее уравнение касательной у=f(a)+f’(a)(x-a)
Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.
Пусть даны две прямые: у1=k1x+b1 и у2=k2x+b2.
Если k1= k2, то прямая у1 параллельна у2.
Если k1(k2=–1, то данные прямые взаимно перпендикулярны
Рассмотрим задачи на касательную
1. Касательная проходит через точку, лежащую на данной кривой
Даны дифференцируемая функция у=f(х) и
1) точка А(n;m) через которую проходит касательная;
2) точка А(n;m) задана как пересечение двух графиков функций;
3) точка А(n;m) задана как корень системы уравнений.
Ключевая задача 1.
Составьте уравнение касательной к графику функции у=х2–2х–3 в точке с абсциссой х0=2.
Решение.
1. Обозначим абсциссу точки касания а, тогда а=2.
2. Найдем f(a): f(a)=22–2·2–3, f(a)=-3.
3. Найдем f’ (x) и f’(a): f’(x)=2x–2, f’(a)=2.
4. Подставим найденные числа а, f(a), в общее уравнение касательной
у=f(a)+f’(a)(x–a): у=-3+2(х–2),
у=-3+2х–4, у=2х–7 – уравнение касательной.
Ответ: у=2х –7.
2. Касательная проходит через точку, не лежащую на данной кривой
Даны дифференцируемая функция у=f(х) и
1) точка А(n;m) через которую проходит касательная;
2) точка А(n;m) задана как пересечение двух графиков функций;
3) точка А(n;m) задана как корень системы уравнений.
Ключевая задача 2.
Напишите уравнение всех касательных к графику функции
у = х2 +4х+6 проходящих через точку М(-3;-1).
Решение. 1. Точка М(-3;-1) не является точкой касания, так как f(-3)=3.
2. а – абсцисса точки касания.
3. Найдем f(a): f(a) = a 2+4a+6.
4. Найдем f’(x) и f’(a): f’(x)=2x+4, f’(a)=2a+4.
5. Подставим числа а, f(a), в общее уравнение касательной
у= f(a)+ f’(a)(x–a): y=a2+4a+6+(2a+4)(x–a) – уравнение касательной.
Так как касательная проходит через точку М(-3;-1), то -1=a2+4a+6+(2a+4)(-3–a), a2+6a+5=0, a=-5 или a=-1.
Если a=-5, то y=-6x–19 – уравнение касательной.
Если a=-1, y=2x+5 – уравнение касательной.
Ответ: y=-6x–19, y=2x+5.
3. Касательная проходит под некоторым углом к данной прямой
Ключевая задача 3. Напишите уравнения всех касательных к графику функции у=х2–2х–8, параллельных прямой у=-4х–4.
Решение. 1. Обозначим абсциссу точки касания а.
2. Найдем f(a): f(a)=a2–2a–8.
3. Найдем f’(x) и f’(a): f’(x)=2x–2, f’(a)=2a–2.
Но, с другой стороны, f’(a)= - 4 (условие параллельности). Решив уравнение 2a–2= - 4, получим a= - 1, f(a)= - 5.
Подставим найденные числа а, f(a), в общее уравнение касательной у=f(a)+f’(a)(x-a): y=-5–4(x+1),
y= - 4x–9 – уравнение касательной.
Ответ: y= - 4x–9.
4. Касательная является общей для двух кривых
Ключевая задача 4. Напишите уравнения всех общих касательных к графикам функций у=х2+х+1 и. у=0,5(х2+3).
Решение. I 1. а – абсцисса точки касания графика функции у=х2+х+1
2. Найдем f(a): f(a) =a2+а+1.
3. Найдем f’(x) и f’(a): f’(x)=2x+1, f”(a)=2a+1.
4. Подставим а, f(a), в общее уравнение касательной
у=f(a)+ f’(a)(x–a): y=a2+а+1+(2a+1)((x–a), y=(2a+1)x–a2+1 – уравнение касательной.
II. 1. с – абсцисса точки касания графика функции у=0,5(х2 +3).
2. Найдем f(c): f(c)=0,5c2 +1,5.
3. Найдем f’(x) и f’(c): f’(x)=х, f’(c)=c.
4. Подставим а, f(a), в общее уравнение касательной у=f(a)+ f’(a)(x–a):
y=0,5c2+1,5+c(x–c), y=cx–0,5c2+1,5 – уравнение касательной.
Так как касательная общая, то 2a+1=c, c=1, с=-3
–a2+1= –0,5c2+1,5 a=0; или а=-2
Итак, y=x+1 и y=-3x–3 общие касательные.
Ответ: y=x+1 и y=–3x–3.
Пример: Является ли данная прямая касательной к графику функции у=f(x)?
Даны дифференцируемая функция у=f(х) и уравнение прямой у=kх+b. Выясните, является ли данная прямая касательной к графику функции у=f(x).
Решение:
1 способ.
Если у=kх+b – уравнение к графику функции в точке с абсциссой а, то f’(а)=k. Решив это уравнение, находим а и задача сводится к решению первого типа задач на касательную. Полученное уравнение сравнивается с данным уравнением прямой.
2 способ.
Прямая у=kх+b является касательной к графику функции у=f(x) в том и только том случае, если существует такое значение а, при котором совпадают значения данных функций и значения их производных, т. е. Совместна система уравнений:
f(a)=ka+b, f’(a)=k.
Задания:
Дана функция у=х3. Составить уравнение касательной к графику этой функции в точке х0=2.
Составить уравнение касательной к графику функции f(x)=2sinx+5 в точке х0=П/2
Найдите тангенс угла наклона касательной к графику функции y=1/x+
·x в точке x0=1/4
В какой точке графика функции y=4/x2+2x тангенс угла наклона касательной равен 3?
В какой точке графика функции y=8
·х+2x тангенс угла наклона касательной равен 2?
Напишите уравнение касательной к графику функции у=х2-2х+1 в точке х0=2
Напишите уравнение касательной к графику функции у=х2+2х+1 в точке х0=1
Самостоятельная работа №31: выполнение домашних заданий в виде решения отдельных задач по теме «Исследование функций и построение графиков»
Цель: научиться исследовать функции и строить их графики
Самостоятельная работа: решение задач.
Форма контроля: проверка работы
Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий
Применение производной к исследованию функций
Определение: Функция f (x) называется возрастающей на промежутке D, если для любых чисел x1 и x2 из промежутка D таких, что x1 < x2, выполняется неравенство f (x1) < f (x2).
Определение: Функция f (x) называется убывающей на промежутке D, если для любых чисел x1 и x2 из промежутка D таких, что x1 < x2, выполняется неравенство f (x1) > f (x2).
Задача1 .Найти промежутки возрастания функции.
Геометрически – это интервалы оси ox, где график функции идет вверх. .
Задача2.Найти промежутки убывания этой же функции:
Геометрически – это интервалы оси ox, где график функции идет вниз .
13 EMBED Equation.3 1415
Проблема
Можно ли установить зависимость между видом монотонности (возрастанием или убыванием) функции на промежутке и знаком производной в каждой точке этого промежутка? Как это сделать?
Признак возрастания функции
Достаточное условие возрастания функции : Если в каждой точке интервала (a; b) f’(x)>0, то функция f(x) монотонно возрастает на этом интервале.
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Признак убывания функции
Достаточное условие убывания функции : Если в каждой точке интервала (a; b) f’(x)<0, то функция f(x) монотонно убывает на этом интервале.
Условие постоянства функции
Необходимое и достаточное условие постоянства функции : Функция f постоянна на интервала (a; b) тогда и только тогда, когда f’(x)=0 в каждой точке этого интервала.
Экстремумы функции
Определение. Точка х0 называется точкой минимума функции f, если для всех х из некоторой окрестности х0 выполнено неравенство f(x)
·f(x0).
Определение. Точка х0 называется точкой максимума функции f, если для всех х из некоторой окрестности х0 выполнено неравенство f(x)
·f(x0).
Точки максимума и минимума называются точками экстремума. Значения функции в точках максимума и минимума называются максимумами и минимумами функции.
Критические точки функции
Определение. Внутренние точки области определения функции, в которых ее производная равна нулю или не существует, называются критическими точками этой функции.
Роль критических точек – только они могут быть точками экстремума функции.
Необходимое условие экстремума. Если х0 – точка экстремума функции f, то эта точка является критической точкой данной функции.
Достаточное условие экстремума
Если функция f непрерывна в точке х0 и производная f’(x) меняет знак в
этой точке, то х0 – точка экстремума функции f.
Признак максимума функции. Если функция f непрерывна в точке х0, а
f’(x)>0 на интервале (a; x0) и f’(x)<0 на интервале (х0; b), то точка х0 является точкой максимума функции f.
Признак минимума функции. Если функция f непрерывна в точке х0, а f’(x)<0 на интервале (a; x0) и f’(x)>0 на интервале (х0; b), то точка х0 является точкой минимума функции f.
Схема применения производной
для нахождения интервалов монотонности и экстремумов
Найти область определения функции и интервалы, на которых функция непрерывна.
Найти производную f’(x).
Найти критические точки.
В каждом из интервалов, на которые область определения разбивается критическими точками, определить знак производной и вид монотонности функции.
Относительно каждой критической точки определить, является ли она точкой максимума, минимума или не является точкой экстремума.
Пример: y=2x3-3x2-36x+5
Задания:
Найти интервалы монотонности и точки экстремумов функции:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Исследование функций и построение графиков
f(x)=3x5-5x3+2
Решение: 1) D(f)=R, так как f – многочлен
2) f(-x)=-3x5+5x3+2, значит f(x) ни чётная, ни нечётная; не периодическая
3),4) f’(x)=15x4-15x2=15x2(x2-1)
D(f)=R, поэтому критических точек, для которых f’(x) не существует, нет
f’(x)=0, если х2(х2-1)=0, т.е. при х=0, х=-1, х=1
5) Пересечение с осью Оу: 3х5-5х3+2=0, отсюда х=1
6) Построение графика
Как вы видите, исследование занимает немало времени и труда. А представьте, что построение графика функции является лишь промежуточной задачей.
Теперь хотелось бы привести слова Д. Юнга: «Десять страниц математики понятой, лучше ста страниц, заученных на память и не понятых, а одна страница, самостоятельно проработанная, лучше десяти страниц, понятых отчетливо, но пассивно».
Только самостоятельно выполненная работа поможет вам узнать, насколько вы усвоили тему, поэтому мы переходим к решению задач.
Задания:
Исследовать функцию и построить её график:
1)f(x)=-x3+3x-2 .
2) f(x)=x4-2x2-3
Самостоятельная работа №32 Подготовка сообщения «Математик Эйлер и его научные труды»
Цель: познакомиться с математиком Эйлером и его математическими трудами
Самостоятельная работа: работа с литературой, интернет-ресурсами.
Форма контроля: сообщение на уроке
Самостоятельная работа №33 Подготовка сообщения «Математика в моей профессии»
Цель: познакомиться с применением математики в выбранной профессии, сформировать навыки и умения самостоятельного изучения материала и обсуждение на занятиях результатов их познавательной деятельности.
Самостоятельная работа: работа с литературой, интернет-ресурсами.
Форма контроля: сообщение на уроке
Самостоятельная работа №34 Выполнение домашних заданий в виде решения отдельных задач по теме «Решение задач на отыскание наибольших и наименьших значений величин»
Цель: научиться решать задачи на отыскание наибольших и наименьших значений величин
Самостоятельная работа: решение задач.
Форма контроля: проверка работы
Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий
Определение: Наибольшим значением функции y = f(x) на промежутке X называют такое значение [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], что для любого [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]справедливо неравенство [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Определение: Наименьшим значением функции y = f(x) на промежутке X называют такое значение [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], что для любого [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]справедливо неравенство [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Эти определения интуитивно понятны: наибольшее (наименьшее) значение функции – это самое большое (маленькое) принимаемое значение на рассматриваемом интервале при абсциссе [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Определение: Стационарные точки – это значения аргумента, при которых производная функции обращается в ноль.
Для чего нам стационарные точки при нахождении наибольшего и наименьшего значений? Ответ на этот вопрос дает теорема Ферма. Из этой теоремы следует, что если дифференцируемая функция имеет экстремум (локальный минимум или локальный максимум) в некоторой точке, то эта точка является стационарной. Таким образом, функция часто принимает свое наибольшее (наименьшее) значение на промежутке X в одной из стационарных точек из этого промежутка.
Сразу ответим на один из самых распространенных вопросов по этой теме:"Всегда ли можно определить наибольшее (наименьшее) значение функции"? Нет, не всегда. Иногда границы промежутка X совпадают с границами области определения функции или интервал X бесконечен. А некоторые функции на бесконечности и на границах области определения могут принимать как бесконечно большие так и бесконечно малые значения. В этих случаях ничего нельзя сказать о наибольшем и наименьшем значении функции.
В зависимости от промежутка, на котором требуется найти максимальное или минимальное значение функции, для решения этой задачи используется один из следующих стандартных алгоритмов.
Для наглядности дадим графическую иллюстрацию. Посмотрите на рисунки – и многое прояснится.
На отрезке
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415 13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
На первом рисунке функция принимает наибольшее (max y) и наименьшее (min y) значения в стационарных точках, находящихся внутри отрезка [-6; 6].
Рассмотрим случай, изображенный на втором рисунке. Изменим отрезок на [1; 6]. В этом примере наименьшее значение функции достигается в стационарной точке, а наибольшее - в точке с абсциссой, соответствующей правой границе интервала.
На рисунке №3 граничные точки отрезка [-3; 2] являются абсциссами точек, соответствующих наибольшему и наименьшему значению функции.
Алгоритм нахождения наибольшего или наименьшего значения функции на отрезке:
Найти область определения функции.
Найти производную функции.
Определить точки, подозрительные на экстремум (те точки, в которых производная функции обращается в ноль, и точки, в которых не существует двухсторонней конечной производной).
Выбрать из точек, подозрительных на экстремум, те, которые принадлежат данному отрезку и области определения функции.
Вычислить значения функции (не производной!) в этих точках.
Среди полученных значений выбрать наибольшее или наименьшее, оно и будет искомым.
Пример 1. Найдите наименьшее значение функции y = x3 – 18x2 + 81x + 23 на отрезке [8; 13].
Решение: действуем по алгоритму нахождения наименьшего значения функции на отрезке:
Область определения функции не ограничена: D(y) = R.
Производная функции равна: y’ = 3x2 – 36x + 81. Область определения производной функции также не ограничена: D(y’) = R.
Нули производной: y’ = 3x2 – 36x + 81 = 0, значит x2 – 12x + 27 = 0, откуда x = 3 и x = 9, в наш промежуток входит только x = 9 (одна точка, подозрительная на экстремум).
Находим значение функции в точке, подозрительной на экстремум и на краях промежутка. Для удобства вычислений представим функцию в виде: y = x3 – 18x2 + 81x + 23 = x(x-9)2+23:
y(8) = 8 · (8-9)2+23 = 31;
y(9) = 9 · (9-9)2+23 = 23;
y(13) = 13 · (13-9)2+23 = 231.
Итак, из полученных значений наименьшим является 23.
Ответ: 23.
Пример 2. Найти наибольшее и наименьшее значение функции 13 EMBED Equation.3 1415
а) на отрезке [1; 4]
б) на отрезке [-4; -1]
Решение. Областью определения функции является все множество действительных чисел, за исключением нуля, то есть D(y): x ( (-(; 0) ((0; +(). Оба отрезка попадают в область определения.
Находим производную функции по [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]:
13 EMBED Equation.3 1415
Стационарные точки определим из уравнения 13 EMBED Equation.3 1415. Единственным действительным корнем является x = 2. Эта стационарная точка попадает в первый отрезок [1; 4].
а) Для первого случая вычисляем значения функции на концах отрезка и в стационарной точке, то есть при x = 1, x = 2 и x = 4:
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415
Следовательно, наибольшее значение функции 13 EMBED Equation.3 1415достигается при x = 1, а наименьшее значение 13 EMBED Equation.3 1415 достигается при x = 2.
Для второго случая вычисляем значения функции лишь на концах отрезка [-4; -1] (так как он не содержит ни одной стационарной точки):
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415 Следовательно, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Графическая иллюстрация.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Пример 3. Найдите наибольшее значение функции: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ].
Решение: действуем по алгоритму нахождения наибольшего значения функции:
Область определения функции задается неравенством: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ], которое выполняется при любом x, поскольку ветви соответствующей параболы направлены вверх, а дискриминант соответствующего квадратного трехчлена отрицателен: D(y) = R.
Производная функции равна: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ], область определения которой также не ограничена, поскольку по указанной выше причине x2 – 6x + 10 > 0, и знаменатель дроби нигде не обращается в ноль: D(y’) = R.
Нули производной: 2x 6 = 0, откуда x = 3 (одна точка, подозрительная на экстремум).
Отмечаем область определения функции и точки, подозрительные на экстремум, на числовой прямой, определяем знаки производной в получившихся промежутках:[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]x = 3 точка максимума, поскольку в ней возрастание функции (плюс производной) сменяется убыванием (минусом производной). Следовательно, максимального значения функция достигает в этой точке.
Находим это значение: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ].
Итак, наибольшее значение функции равно -1. Ответ: -1.
Закрепление материала
Задача 1: Найти наибольшее и наименьшее значения функции 13 EMBED Equation.3 1415 на промежутке [1, 5].
Решение:
Найдём производную y' и точки “подозрительные на экстремум”, принадлежащие [1, 5]. (Т.е. точки, в которых производная равна нулю или не существует.)
13 EMBED Equation.3 1415.
Производная существует на всей числовой оси и равна нулю при x = 0 и x = 4. Точка x=0 не принадлежит [1, 5]. Следовательно, единственная точка “подозрительная на экстремум” на сегменте [1, 5] – точка x=4. Вычислим значения функции в этой точке и на концах сегмента.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Итак, наибольшим значением функции 13 EMBED Equation.3 1415 на интервале [1, 5] является 13 EMBED Equation.3 1415, а наименьшим 13 EMBED Equation.3 1415
Задача 2: Найти наибольшее и наименьшее значения функции 13 EMBED Equation.3 1415 на отрезке 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение:
Найдем критические точки на 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 при 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 не принадлежит 13 EMBED Equation.3 1415
Вычислим значения функции в критической точке 13 EMBED Equation.3 1415 и на концах отрезка 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415
Среди полученных значений функции выберем наибольшее и наименьшее:
13 EMBED Equation.3 1415
Задания:
Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке:
а) 13 EMBED Equation.3 1415, [-3; 0];
б) 13 EMBED Equation.3 1415, [-1; 1];
в) 13 EMBED Equation.3 1415, [2; 4];
г) 13 EMBED Equation.3 1415, [0; -1] ;
Самостоятельная работа №35 Подготовка презентации «Векторы. Действия над векторами»
Цель: расширить знания о векторах, действиях над ними
Самостоятельная работа: создание презентации на компьютере, работа с интернет-ресурсами.
Форма контроля: демонстрация презентации на уроке
Самостоятельная работа №36 Составление кроссворда «Координаты и векторы».
Цель: углубить знания по изученной теме
Самостоятельная работа: работа с литературой, интернет-ресурсами.
Форма контроля: решение кроссворда на уроке в качестве повторения материала
Самостоятельная работа №37 Подготовка презентации «Компланарные векторы. Правило параллелепипеда»
Цель: расширить знания о компланарных векторах, действиях над ними
Самостоятельная работа: создание презентации на компьютере, работа с интернет-ресурсами.
Форма контроля: демонстрация презентации на уроке
Самостоятельная работа №38 Подготовка сообщения «Декарт и его математические труды»
Цель: познакомиться с математическими работами Декарта.
Самостоятельная работа: работа с литературой, интернет-ресурсами.
Форма контроля: сообщение на уроке
Самостоятельная работа №39 :Выполнение домашних заданий в виде решения отдельных задач по теме «Простейшие задачи в координатах»
Цель: научиться решать простейшие задачи в координатах
Самостоятельная работа: решение задач.
Форма контроля: проверка работы
Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий
Декартова система координат в пространстве.
Если через точку пространства проведены три попарно перпендикулярные прямые, на каждой из них выбрано направление (оно обозначается стрелкой) и выбрана единица измерения отрезков, то говорят, что задана прямоугольная (декартова) система координат.
Прямые с выбранными на них направлениями называются осями координат, а их общая точка - началом координат. Она обозначается обычно буквой О, а оси координат так: Ox, Oy, Oz – и имеют названия: ось абсцисс, ось ординат и ось аппликат. Вся система координат обозначается Oxyz. Плоскости, проходящие соответственно через оси координат Ox и Oy, Oy и Oz, Ox и Oz, называются координатными плоскостями и обозначаются Oxy, Oyz, Ozx.
Точка O разделяет каждую из осей координат на два луча. Луч, направление которого совпадает с направлением оси, называется положительной полуосью, а другой луч – отрицательной полуосью.
В прямоугольной системе координат каждой точке М пространства сопоставляется тройка чисел, которые называются её координатами. Они определяются аналогично координатам точек плоскости: проведем через точку м три плоскости перпендикулярные к осям координат, и обозначим через М1, М2 и М3 точки пересечения этих плоскостей соответственно с осями абсцисс, ординат и аппликат. Тогда координаты точки М будут определятся так:
М ( x; y ;z)
1. Абсцисса х=ОМ1, если М1 – точка положительной полуоси, х=-ОМ1, если М1 – точка отрицательной полуоси, х=0, если М1 совпадает с точкой О.
2. Ордината y=ОМ2, если М2 – точка положительной полуоси, y=-ОМ2, если М2 – точка отрицательной полуоси, y=0, если М2 совпадает с точкой О.
3. Ордината z=ОМ3, если М3 – точка положительной полуоси, z=-ОМ3, если М3 – точка отрицательной полуоси, z=0, если М3 совпадает с точкой О.
Пример: Определить координаты точек
А (3; 5; 5), B (2;-4; 2), C (6; 0; 0),
D (5; 0; 6), E (0; 7; 0)
Координаты вектора.
Рассмотрим прямоугольную систему координат Оxyz. На каждой из положительных полуосей отложим от начала координат единичный вектор, длина которого равна единице. Обозначим через 13 EMBED Equation.3 1415 единичный вектор оси абсцисс, через 13 EMBED Equation.3 1415 - единичный вектор оси ординат и через 13 EMBED Equation.3 1415 - единичный вектор оси аппликат. Векторы 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415назовем координатными векторами.
Очевидно, что эти векторы не компланарны. Поэтому любой вектор 13 EMBED Equation.3 1415можно разложить по координатным векторам, т.е. представить в виде
13 EMBED Equation.3 1415,
Причем коэффициенты разложения x, y, z определяются единственным образом и являются координатами точки М(х ;у; z) – конца вектора.
Коэффициенты x, y и z в разложении вектора называются координатами вектора 13 EMBED Equation.3 1415 в данной системе координат. Координаты вектора записываются в фигурных скобках:
13 EMBED Equation.3 1415{x; y;z}
Для точки М вектор 13 EMBED Equation.3 1415будет являться радиус-вектором.
Свойство: Координаты любой точки равны соответствующим координатам её радиус вектора.
Рассмотрим свойства координат векторов:
1. Координаты нулевого вектора равны нулю: 13 EMBED Equation.3 1415
2. Координаты равных векторов соответственно равны:
13 EMBED Equation.3 1415
3. Каждая координата суммы двух или более векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов:
13 EMBED Equation.3 1415
4. Каждая координата разности двух векторов равна разности соответствующих координат этих векторов:
13 EMBED Equation.3 1415
5. Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты вектора на это число:
13 EMBED Equation.3 1415
Координаты середина отрезка
В системе координат Oxyz отметим точки А и В. Выразим координаты точки С являющейся серединой отрезка АВ. Для этого рассмотрим два вектора 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, тогда вектор 13 EMBED Equation.3 1415можно представить в виде: 13 EMBED Equation.3 1415 (т.к. все три вектора лежат в плоскости, а данное утверждение доказывалось в курсе планиметрии). А это значит, что координаты вектора 13 EMBED Equation.3 1415 будут выражаться следующим образом:
13 EMBED Equation.3 1415
Таким образом:
Свойство: Каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат его концов.
Вычисление длины вектора по его координатам
Рассмотрим вектор 13 EMBED Equation.3 1415. Разложим его по координатным плоскостям: 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. Рассмотрим плоскость Оxy: 13 EMBED Equation.3 1415
Рассмотрим плоскость АОА4: 13 EMBED Equation.3 1415 (т.к. ОА3АА4 прямоугольник), тогда 13 EMBED Equation.3 1415. Из треугольника ОАА4 получаем: 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Таким образом:
Свойство: Длина вектора равна корню квадратному из суммы квадратов его координат:
13 EMBED Equation.3 1415
Расстояние между двумя точками
Рассмотрим две произвольные точки 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415. Длина отрезка 13 EMBED Equation.3 1415 будет равна длине вектора 13 EMBED Equation.3 1415, т.е.
Свойство: Расстояние между точками 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 определяется по формуле:
13 EMBED Equation.3 1415
Задания:
Найдите координаты вектора 13 EMBED Equation.3 1415, координаты точки С – середины отрезка АВ, а так же длину отрезка АВ, если координаты точек: А (4; -1; 8), В (2; 5; -4)
ABCD- параллелограмм. A(1; -2; 3), B(3; 2; 1), C(6; 4; 4). Найти координаты точки D.
Найти координаты векторов: 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415, если 13 EMBED Equation.3 1415
Самостоятельная работа №40 : Выполнение домашних заданий в виде решения отдельных задач по теме «Скалярное произведение векторов»
Цель: научиться решать простейшие задачи в координатах
Самостоятельная работа: решение задач.
Форма контроля: проверка работы
Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий
Скалярное произведение векторов, заданных своими координатами
Определение:
Скалярное произведение векторов – это скалярная величина, равная сумме произведений соответствующих координат.
13 QUOTE 1415+13 QUOTE 1415
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Обозначение: 13 EMBED Equation.3 1415
Геометрический смысл:
Скалярное произведение двух векторов равно площади параллелограмма, построенного на этих векторах.
13 EMBED Equation.3 1415
Свойства скалярного произведения.
13 EMBED Equation.3 1415Коммутативность
13 EMBED Equation.3 1415Дистрибутивность
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины (модуля)
Угол между векторами.
Два вектора называются коллинеарными, если выполняется:
13 EMBED Equation.3 1415
Свойство: Скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны.
13 EMBED Equation.3 1415
ПРИМЕР:
ПРИМЕР:
ПРИМЕР:
Задания:
Даны векторы 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415и 13 EMBED Equation.3 1415, причем: 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Найти:
а). 13 EMBED Equation.3 1415;
б). значение т, при котором 13 EMBED Equation.3 1415.
Найдите угол между прямыми АВ и СD, если А(3; -1; 4), В(3; -6; 2), С(2; 7; 3) и D(1; 2; 8).
Коллинеарны ли векторы 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, разложенные по векторам 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415? 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Перпендикулярны ли векторы 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, если 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Самостоятельная работа №41 : Формирование и усвоение содержания теоретического материала по теме «Понятие корня п-й степени из действительного числа»
Цель: сформировать и усвоить содержание теоретического материала по теме «Понятие корня п-й степени из действительного числа»;
Самостоятельная работа: работа с литературой, работа с интернет-ресурсами
Форма контроля: ответ на уроке
Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий
Степень с рациональным показателем. Ее свойства
Вы умеете вычислять значение степени с любым целочисленным показателем, руководствуясь при этом следующими определениями:
1) если n=1, то аn =а;
2) если n=0 и а(0, то аn=1
3) если n=2, 3,4, 5,..., то аn =аа.а...а (n множителей);
4) если n =1,2, 3,4, ... и а(0, тогда 13 EMBED Equation.3 1415
Но математики на этом не остановились, они научились работать не только с целочисленными показателями. В этом параграфе мы обсудим, какой смысл придается в математике понятию степени с дробным показателем, т.е. выясним, что означают такие символы математического языка, как 13 EMBED Equation.3 1415и т.д.
Зададимся вопросом: если вводить символ 13 EMBED Equation.3 1415, то каким математическим содержанием его наполнить? Хорошо бы, рассуждали математики, чтобы сохранялись привычные свойства степеней, например, чтобы при возведении степени в степень показатели перемножались, в частности, чтобы выполнялось следующее равенство:
13 EMBED Equation.3 1415 , поскольку 13 EMBED Equation.3 1415
Пр.1: Положим 13 EMBED Equation.3 1415. Тогда интересующее нас равенство можно переписать в виде а5=23, откуда получаем 13 EMBED Equation.3 1415. Значит, появились основания определить 13 EMBED Equation.3 1415 как 13 EMBED Equation.3 1415. Подобные соображения и позволили принять следующее определение:
Опр. 1: Если 13 EMBED Equation.3 1415 - обыкновенная дробь (q ( 1) и a(0, то под выражением 13 EMBED Equation.3 1415понимают 13 EMBED Equation.3 1415, т.е
13 EMBED Equation.3 1415
Пр. 2: 13 EMBED Equation.3 1415
Пр. 3: Вычислить: 13 EMBED Equation.3 1415
Ответы: а) 2 ; б) 9 ; в) 0
Свойства степени с рациональным показателем
Для любых рациональных чисел r и s и любых положительных a и b справедливы равенства:
ar(as = a r+s
ar ( as = a r-s
(ar) s= a rs
(ab)r = ar(br
13 EMBED Equation.3 1415
ПР. 4: Упростите выражение: 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
Следующие два свойства применяются при решении неравенств:
6. Пусть r- рациональное число и 0
ar
0
ar>br при r<0
7. Для любых рациональных чисел r и s из неравенства r>s следует, что
ar>as при a>1
ar < as при 0
: Решение примеров:
1.Упростите выражение:
а) 14а2/5-10(а1\5)2
б)3а0,3:1,5а-3,7
в)в-5,6
·11в0,4
Решение:
а) 14а2/5-10(а1\5)2=14а2/5-10а1/5
·2/1=14а2/5-10а2\5=4а2/5;
б)3а0,3:1,5а-3,7= 3/1,5 а0,3-(-3,7)= 2а0,3+3,7=2а4;
в)в-5,6
·11в0,4=11в-5,6+0,4=11в-5,2.
2. Найдите значение выражения
а) (1/4)3а:(4-5а) при а=0,5.
б) (24в/2-2в)-1/3 при в=-2.
в) (аа/2
·3а)-1 при а=-2.
Решение:
а) Так, как 1/4=1/41= 4-1, то (4-1)3а:4-5а=4-3а:4-5а=4-3а-(-5а)=4-3а+5а=42а,
при а=0,5 42
· 0,5=41=4.
б) (24в/2-2в)-1/3 =( 24в-(-2в))-1/3= (24в+2в)-1/3= (26в)-1/3=26в
·(-1/ 3)=2-2в,
при в = -2: 2-2
· (-2)=24=16.
в) (аа/2
·3а)-1= (аа/2)-1
·(3а)-1=а-а/ 2
·3-а,
при а=-2: (-2)-(-2) / 2
·3-(-2) =(-2)2 / 2
·32=(-2)1
·9=-18
Самостоятельная работа №42: Выполнение домашних заданий в виде решения отдельных задач по теме «Преобразование выражений, содержащих радикалы»
Цель: научиться решать задачи по теме «Преобразование выражений, содержащих радикалы»;
Самостоятельная работа: решение задач.
Форма контроля: проверка работы
Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий
Тест Тема «Корень n-ой степени, степень с рациональным показателем»
А1. Вычислить: 613 EMBED Equation.3 1415
1) 13 EMBED Equation.3 1415 2) 6 3) 13 EMBED Equation.3 1415 4)213 EMBED Equation.3 1415
А2. Вычислить: 13 EMBED Equation.3 1415
413 EMBED Equation.3 1415
А3. Вычислить: 13 EMBED Equation.3 1415
1)2-213 EMBED Equation.3 1415
А4. Представить в виде степени с основанием m: 13 EMBED Equation.3 1415
1) 13 EMBED Equation.3 1415
А5. Представить в виде степени с основанием а : 13 EMBED Equation.3 1415
1) 13 EMBED Equation.3 1415 2)13 EMBED Equation.3 1415
А6. Представить в виде степени с основанием в: 13 EMBED Equation.3 1415
1)b5 2)13 EMBED Equation.3 1415
А7. Упростить: 13 EMBED Equation.3 1415
- 13 EMBED Equation.3 1415
А8. Упростить: 13 EMBED Equation.3 1415
1) 13 EMBED Equation.3 1415
А9.Упростить: 13 EMBED Equation.3 1415
213 EMBED Equation.3 1415
А10. Упростить: 13 EMBED Equation.3 1415
2) 213 EMBED Equation.3 1415
А11.Вычислить: 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
1) 13 EMBED Equation.3 1415
Часть В
В1. Вычислить: 13 EMBED Equation.3 1415
В2. Вычислить: 13 EMBED Equation.3 1415
В3. Вычислить: 13 EMBED Equation.3 1415
В4.Вычислить: 13 EMBED Equation.3 1415
В5.Найти значение выражения 13 EMBED Equation.3 1415, при у=16
В6.Найти у, если 13 EMBED Equation.3 1415
Самостоятельная работа №43 Подготовка презентации «Степенные функции, их свойства и графики»
Цель: расширить знания о степенных функциях, развитие навыков работы на компьютере
Самостоятельная работа: создание презентации на компьютере, работа с интернет-ресурсами.
Форма контроля: демонстрация презентации на уроке
Самостоятельная работа №44: Выполнение домашних заданий в виде решения отдельных задач по теме «Степенные функции, их свойства и графики»
Цель: научиться решать задачи по теме «Степенные функции, их свойства и графики»;
Самостоятельная работа: решение задач.
Форма контроля: проверка работы
Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий
Определение: Степенными функциями называются функции вида у = хr, где r – заданное рациональное число
Нам знакомы функции:
1. Показатель r = 2n четное натуральное число
2. Показатель r = 2n-1 нечетное натуральное число
-
3. Показатель r = – (2n-1), где n – натуральное число
4. Показатель r = – 2n, где n – натуральное число
5. Показатель r – дробное положительное число
0 < r < 1
r > 1
6. Показатель r – отрицательное дробное число r < 0
Задания:
Постройте график степенной функции и опишите её области определения и значения:
а) 13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415
в) 13 EMBED Equation.3 1415
Постройте график степенной функции и опишите её области определения и значения:
а) 13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415
в) 13 EMBED Equation.3 1415
Постройте график степенной функции и опишите её области определения и значения:
а) 13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415
в) 13 EMBED Equation.3 1415
Постройте график степенной функции и опишите её области определения и значения:
а) 13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415
в) 13 EMBED Equation.3 1415
Самостоятельная работа №45 Подготовка сообщения, презентации «Показательная функция в нашей жизни»
Цель: расширить знания о показательных функциях, познакомиться с их применением в нашей жизни, развитие навыков работы на компьютере
Самостоятельная работа: создание презентации на компьютере, работа с интернет-ресурсами.
Форма контроля: демонстрация презентации на уроке
Самостоятельная работа №46: Выполнение домашних заданий в виде решения отдельных задач по теме «Показательные уравнения»
Цель: научиться решать задачи по теме «Показательные уравнения»;
Самостоятельная работа: решение задач.
Форма контроля: проверка работы
Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий
Показательные уравнения
Показательным называется трансцендентное уравнение, в котором неизвестное входит в показатель степени некоторых величин.
При решении показательных уравнений используются два основных метода:
1) переход от уравнения 13 EMBED Equation.3 1415.(1) уравнению ;
2) введение новых переменных.
Иногда приходится применять искусственные приемы.
Первый метод решения показательных уравнений основан на следующей теореме:
Теорема: Если , то уравнение 13 EMBED Equation.3 1415равносильно уравнению .
Рассмотрим основные приемы сведения показательного уравнения к уравнению вида (1).
Приведение обеих частей уравнения к одному основанию
Пример 1. Решить уравнение: 13 EMBED Equation.3 1415
Решение.:.
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ:.4.
Пример 2. Решить уравнение: .
Решение. Заметим, что основания степеней, стоящих в левой и правой части уравнения есть степени двойки, поэтому, учитывая свойства степеней, имеем уравнение , тогда на основании теоремы получаем уравнение: .
Ответ: .
Пример 3. Решить уравнение: .
Решение. Учтем, что , , тогда первоначальное уравнение примет вид: .
Ответ: .
Решите уравнения:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Разложение левой части уравнения на множители и сведение уравнения к совокупности нескольких уравнений вида (1)
Пример 4. Решить уравнение: .
Решение. Вынесем в левой части уравнения выражение за скобки, получим: = .
Ответ: .
Решите уравнения:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Метод введения новых переменных
Уравнение вида при помощи введения новой переменой , сводится к решению алгебраического уравнения .
Пример 5. Решить уравнение: .
Решение. Пусть . Тогда первоначальное уравнение примет вид: , откуда находим . Таким образом данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений и . Решая первое уравнение, получаем . Второе уравнение совокупности решений не имеет, так как при любом значении переменной, а .
Ответ: .
Пример 6. Решить уравнение: .
Решение. Учитывая, что и , получим уравнение . Введем новую переменную , получим: . Преобразуя это дробно-рациональное уравнение, придем к следующему уравнению: . Последнее уравнение распадается на совокупности двух уравнений, решая которые получаем: , . Теперь задача сводится к решению совокупности уравнений: ; ; . Из первого уравнения находим . Логарифмируя обе части второго уравнения по основанию 2, находим .Третье уравнение решений не имеет, так как , в то время как при любом значении переменной.
Ответ: ; .
Решите уравнения:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Решение однородных уравнений
Пример 7. Решить уравнение: .
Решение. Так как , то имеем: . Разделим обе части уравнения на , получим: . Введем новую переменную , придем к квадратному уравнению , решая которое, получим , . Таким образом, решение первоначального уравнения сводится к решению совокупности двух показательных уравнений: ; , решая которые получим: .
Ответ: .
Решите уравнения:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Самостоятельная работа №47: Выполнение домашних заданий в виде решения отдельных задач по теме «Показательные неравенства»
Цель: научиться решать задачи по теме «Показательные неравенства»;
Самостоятельная работа: решение задач.
Форма контроля: проверка работы
Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий
Показательные неравенства
Решение показательных неравенств вида , где а – положительное число отличное от 1, основано на следующих теоремах:
Если а >1, то неравенство равносильно неравенству .
Если 0<а<1, то неравенство равносильно неравенству (меняется знак неравенства).
Другие показательные неравенства теми или иными методами, как правило, сводятся к неравенству этого вида.
Пример 1. Решить неравенство
Пример 2. Решить неравенство
.
Пример 3. Решить неравенство
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Задания:
Решить неравенства:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Самостоятельная работа №48 Подготовка сообщения «Функции в нашей жизни»
Цель: расширить знания о функциях, познакомиться с их применением в нашей жизни
Самостоятельная работа: работа с литературой, интернет-ресурсами.
Форма контроля: сообщение на уроке
Самостоятельная работа №49 Подготовка сообщения, презентации «Логарифмическая функция в нашей жизни»
Цель: расширить знания о логарифмической функциях, познакомиться с их применением в нашей жизни, развитие навыков работы на компьютере
Самостоятельная работа: создание презентации на компьютере, работа с интернет-ресурсами.
Форма контроля: демонстрация презентации на уроке
Самостоятельная работа №50 Подготовка сообщения «Логарифмы и музыка»
Цель: познакомиться с их применением логарифмов в музыке
Самостоятельная работа: работа с литературой, интернет-ресурсами.
Форма контроля: сообщение на уроке
Самостоятельная работа №51 Подготовка сообщения «Функции в пословицах и поговорках»
Цель: изобразить графически как некоторую функцию пословицу и описать свойства функции-пословицы.
Самостоятельная работа: работа с литературой, интернет-ресурсами.
Форма контроля: сообщение на уроке
Самостоятельная работа №52: Выполнение домашних заданий в виде решения отдельных задач по теме «Логарифмические уравнения»
Цель: научиться решать задачи по теме «Логарифмические уравнения»;
Самостоятельная работа: решение задач.
Форма контроля: проверка работы
Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий
Логарифмические уравнения
Логарифмическое уравнение – это трансцендентное уравнение, в котором неизвестное входит в аргумент логарифма.
При решении логарифмических уравнений используются два основных метода:
1) переход от уравнения к уравнению вида;
2) введение новых переменных.
Замечание. Так как область определения логарифмической функции только множество положительных действительных чисел, при решении логарифмических уравнений необходимо либо находить область допустимых значений уравнения (ОДЗ), либо после нахождения решений уравнения делать проверку.
Рассмотрим некоторые виды простейших логарифмических уравнений.
Решение простейших логарифмических уравнений
Решение простейшего логарифмического уравнения (1)
Основано на следующем важном свойстве логарифмов:
логарифмы двух положительных чисел по одному и тому же положительному отличному от единицы основанию равны тогда и только тогда, когда равны эти числа.
Для уравнения (1) из этого свойства получаем: - единственный корень.
Для уравнения вида ..(2) получаем равносильное уравнение .
Пример 1.
Пример № 1 : Решите уравнение log 1/6 (0,5 + х) = - 1
Решение
log 1/6 (0,5 + х) = - 1 Найдем Область Допустимых Значений
ОДЗ: 05 + х > 0 т.к. D(log а х) = R+, область определения: функция
принимает только положительные значения
1 - 1
0,5 + х = ----- Запишем равенство выражающее определения
6 логарифма log а х = b, х = аb
0,5 + х = 6 Решая уравнение вспомним свойство степени
а- n = 1
аn
х = 6 – 0,5
х = 5,5 Проверим является ли число 5,5 корнем данного
уравнения. Подставим вместо х число 5,5 в ОДЗ.
ОДЗ: 0,5 + 5,5 >0
6 >0 – верно
Ответ: 5,5
Закрепление материала
log 5 х = 4
log 3 х = 2
log 2 (5-х) = 3
log 3 (х+2) = 3
log ј (х - 0,5) = - 2
log ј (2х – 1) = - 1
log 2 (2х-1) = 3
log 0,5 (3х-1) = - 3
2) Уравнение вида , можно заменить одной из равносильных ему систем: или
Пример 2. Решить уравнение .
Решение. Так как , , то по теореме ; ; , .
Проверим, удовлетворяют ли корни условию:
13 EMBED Equation.3 1415
Подходит только первый корень. Следовательно, - корень уравнения .
Пример 3. Решить уравнение .
Решение. 1) Найдем область допустимых решений данного уравнения, для чего решим систему неравенств: . Первое неравенство системы выполняется при любых значениях переменной, второе - при . Поэтому система имеет решение .
2) Для решения уравнения перейдем к одному основанию логарифмов, а именно к основанию 2, воспользовавшись свойствами логарифмов:
.
Решая полученное дробно-рациональное уравнение, находим: , , . Из найденных значений только входит в область допустимых решений уравнения.
Ответ: .
Закрепление материала
log 3 (5х+3)= log 3 (7х + 5)
.13 EMBED Equation.3 1415
. 13 EMBED Equation.3 1415
Решить уравнение . 13 EMBED Equation.3 1415
Решить уравнение 13 EMBED Equation.3 1415. 13 EMBED Equation.3 1415
Метод введения новой переменной
При данном методе логарифмическая функция заменяется на переменную и уравнение преобразуется в алгебраическое. Далее переходим от переменной к логарифмической функции и получаем простейшее логарифмическое уравнение.
Пример 1. Решить уравнение 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. Введем новую переменную 13 EMBED Equation.3 1415. Подставляем переменную в исходное уравнение и получаем следующее квадратное уравнение: 13 EMBED Equation.3 1415. Находим корни: 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. Но 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Задания:
Вариант №1
Решите уравнение 13 EMBED Equation.3 1415
Решите уравнение 13 EMBED Equation.3 1415
Решите уравнение 13 EMBED Equation.3 1415
Решите уравнение 13 EMBED Equation.3 1415
Вариант №2
Решите уравнение 13 EMBED Equation.3 1415
Решите уравнение 13 EMBED Equation.3 1415
Решите уравнение 13 EMBED Equation.3 1415
Решите уравнение 13 EMBED Equation.3 1415
Вариант №3
Решите уравнение 13 EMBED Equation.3 1415
Решите уравнение 13 EMBED Equation.3 1415
Решите уравнение 13 EMBED Equation.3 1415
Решите уравнение 13 EMBED Equation.3 1415
Вариант №4
Решите уравнение 13 EMBED Equation.3 1415
Решите уравнение 13 EMBED Equation.3 1415
Решите уравнение 13 EMBED Equation.3 1415
Найдите произведение корней уравнения 13 EMBED Equation.3 1415
Самостоятельная работа №53: Выполнение домашних заданий в виде решения отдельных задач по теме «Логарифмические неравенства»
Цель: научиться решать задачи по теме «Логарифмические неравенства»;
Самостоятельная работа: решение задач.
Форма контроля: проверка работы
Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий
Логарифмические неравенства
Любое логарифмическое неравенство может быть в конечном счете сведено к неравенству вида
..(1)
Решение такого неравенства основывается на следующих теоремах:
1. Если а > 1, то неравенство вида (1) равносильно системе неравенств:
2. Если 0 < а < 1, то неравенство (1) равносильно системе неравенств:
Замечания 1. Первые два неравенства систем задают область допустимых решений неравенства (1).
2. В системе из теоремы 1 можно опустить первое неравенство, так как оно следует из второго и третьего. Аналогично в системе из теоремы 2 можно опустить второе неравенство.
Решение простейших логарифмических неравенств
Пример 1. 13 EMBED Equation.3 1415
Решение 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ13 EMBED Equation.3 1415
Пример 2. 13 EMBED Equation.3 1415
Решение 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Ответ (1;1,2).
Пример 3. 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Ответ (-10;20).
Пример 4. 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 Ответ (3;21).
Задания:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Самостоятельная работа №54 Подготовка сообщения «Современные открытия в области математики»
Цель: познакомиться с современными открытиями в области математики, расширить знания по математике
Самостоятельная работа: работа с литературой, интернет-ресурсами.
Форма контроля: сообщение на уроке
Самостоятельная работа №55: Выполнение домашних заданий в виде решения отдельных задач по теме «Дифференцирование показательной и логарифмической функций»
Цель: научиться решать задачи по теме «Дифференцирование показательной и логарифмической функций»;
Самостоятельная работа: решение задач.
Форма контроля: проверка работы
Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий
Показательная функция в любой точке области определения имеет производную и эта производная находится по формуле:
(ах)' = ах·ln a
в формуле заменим число а на е, получим
(eх)' = eх_ формула производной экспоненты
Логарифмическая функция в любой точке области определения имеет производную, и эта производная находится по формуле:
(log ax)'= 13 QUOTE 1415
в формуле заменим число а на е ,получим
Задания:
А1. Найдите производную функции:
13 EMBED Equation.3 1415 .
А2. Найдите производную функции:
13 EMBED Equation.3 1415.
А3. Напишите уравнение касательной к графику функции 13 EMBED Equation.3 1415 в точке с абсциссой 13 EMBED Equation.3 1415.
В1. Найдите производную функции 13 EMBED Equation.3 1415.
В2. Найдите наибольшее значение функции [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]на отрезке [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
C1. Исследуйте на возрастание (убывание) и экстремумы функцию 13 EMBED Equation.3 1415.
Самостоятельная работа №56 Подготовка презентации «Тела вращения»
Цель: расширить знания о телах вращения
Самостоятельная работа: создание презентации на компьютере, работа с интернет-ресурсами.
Форма контроля: демонстрация презентации на уроке
Самостоятельная работа №57 Изготовление моделей тел вращения
Цель: изучить, какие тела вращения существуют; научиться выполнять развертки тел вращения;
Самостоятельная работа: изготовление моделей тел вращения.
Форма контроля: демонстрация моделей на уроке
Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий
Тела вращения
Тела вращения – это объемные тела, которые возникают при вращении некой плоской фигуры, которая, в свою очередь, ограничена кривой и крутится вокруг оси, лежащей в той же плоскости.
Какие же основные тела вращения существуют?
Шар. Это геометрическая фигура, которая образована в результате вращения полукруга вокруг диаметра разреза.
Цилиндр. Это геометрическая фигура, которая образована в результате вращения прямоугольника вокруг одной из его сторон.
Конус. Это геометрическая фигура, которая образована в результате вращения прямоугольного треугольника вокруг одного из своих катетов.
Тор. Это геометрическая фигура, которая образована в результате вращения окружности вокруг прямой, при этом окружность прямую не пересекает.
Стоит отметить такой интересный факт, что если вращаются контуры фигур, то у нас возникает поверхность вращения. Пример – сфера, которая образовывается в результате вращения окружности. Если же вращаются заполненные контуры, то у нас возникают тела. например, шар, который образовывается в результате вращения круга 9а круг. как всем известно, тело заполненное).
Тела вращения, разумеется, имеют свой объем и свою площадь. И то и другое, можно узнать с помощью теорем Гульдина-Паппа.
Первая теорема гласит о том, что площадь поверхности линии, которая образуется при вращении и лежит целиком в плоскости по одну сторону от оси вращения, равняется произведению длины линии на длину окружности, пробегаемой центром масс этой линии.
Вторая теорема говорит о том, что объем тела, который образуется при вращении фигуры и лежит целиком в плоскости по одну сторону от оси вращения, равняется произведению площади фигуры на длину окружности, пробегаемой центром масс этой фигуры.
Построение разверток тел вращения
Основы и инструмент
Все нижеописанные действия выполняются на бумаге, при помощи линейки, карандаша и циркуля. Рекомендуется комплект лекал, для повышения точности и качества развёрток.
При изготовлении развёрток на металле используется метровая линейка, чертилка, циркуль по металлу, комплект лекал, молоток и керно, для отметки узловых точек.
Построение развёртки цилиндра
Тело вращения с наиболее простой развёрткой, имеющей форму прямоугольника, где две параллельные стороны соответствуют высоте цилиндра, а две другие параллельные стороны длине окружности оснований цилиндра.
Усечённый цилиндр (рыбина)
Подготовка:
Для создания развёртки, начертим четырёхугольник ACDE в натуральную величину (см.чертёж).
Проведём перпендикуляр BD, из плоскости AC в точку D, отсекая от построения прямую часть цилиндра ABDE, которую можно достроить по мере надобности.
Из центра плоскости CD (точка O) проведём дугу, радиусом в половину плоскости CD, и разделим её на 6 частей. Из получившихся точек O, проведём перпендикулярные прямые к плоскости CD. Из точек на плоскости CD, проведём прямые, перпендикулярные к плоскости BD.
Построение:
Отрезок BC переносим, и превращаем в вертикаль. Из точки B, вертикали BC, проводим луч, перпендикулярный вертикали BC.
Циркулем снимаем размер C-O1, и откладываем на луче, из точки B, точку 1. Снимаем размер B1-C1, и откладываем перпендикуляр из точки 1.
Циркулем снимаем размер O1-O2, и откладываем на луче, из точки 1, точку 2. Снимаем размер B2-C2, и откладываем перпендикуляр из точки 2.
Повторять, пока не будет отложена точка D.
Получившиеся вертикали, из точки C, вертикали BC, до точки D соединить лекальной кривой.
Вторая половина развёртки зеркальна.
Подобным образом строятся любые цилиндрические срезы.
Примечание: Почему "Рыбина" если продолжить построение развёртки, при этом половину построить от точки D, а вторую в обратную сторону от вертикали BC, то получившийся рисунок, будет похож на рыбку, или рыбий хвост.
Построение развёртки конуса
Развёртка конуса может быть выполнена двумя способами.
Если известен размер стороны конуса, из точки O, циркулем чертится дуга, радиусом равным стороне конуса. На дуге откладываются две точки (A1 и B1), на расстоянии равном длине окружности и соединяются с точкой О.
Строится конус в натуральную величину, из точки O, в точку A, ставится циркуль, и проводится дуга, проходящая через точки A и B. На дуге откладываются две точки (A1 и B1), на расстоянии равном длине окружности и соединяются с точкой О.
Для удобства, от можно откладывать половину длинны окружности, в обе стороны от осевой линии конуса.
Конус со смещёной вершиной строиться так же, как усечённый конус со смещёнными основаниями.
Как отложить длину окружности на дуге:
При помощи нитки, длина которой равна длине окружности.
При помощи металической линейки, которую следует изогнуть «по дуге», и поставить соответствующие риски.
Построить окружность основания конуса в виде сверху, в натуральную величину. Разделить окружность на 12 или более равных частей, и отложить их на прямой поочерёдно.
Самостоятельная работа №58 Составление кроссворда «Тела вращения».
Цель: углубить знания по изученной теме
Самостоятельная работа: работа с литературой, интернет-ресурсами.
Форма контроля: решение кроссворда на уроке в качестве повторения материала
Самостоятельная работа №59: Выполнение домашних заданий в виде решения отдельных задач по теме «Цилиндр. Конус. Шар»
Цель: научиться решать задачи по теме «Цилиндр. Конус. Шар»;
Самостоятельная работа: решение задач.
Форма контроля: проверка работы
Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий
Цилиндр
Определение: Цилиндр – это тело, ограниченное двумя равными кругами и цилиндрической поверхностью.
Цилиндрическая поверхность называется боковой поверхностью цилиндра.
Круги - основания цилиндра.
Образующие цилиндрической поверхности – образующие цилиндра.
Прямая ОО1 – ось цилиндра.
Цилиндр является телом вращения: он получается вращением прямоугольника ABCD вокруг стороны AB
Длина образующей - высота цилиндра.
Радиус основания – радиус цилиндра.
Свойства цилиндра:
1) Основания равны и параллельны.
2) Все образующие цилиндра параллельны и равны друг другу
Цилиндр называется прямым, если образующие перпендикулярны основанию.
В прямом цилиндре : ось=высота=образующая
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415 - наклонный цилиндр
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Сечения конуса:
1. Осевое сечение цилиндра
2. Сечение цилиндра плоскостью, перпендикулярной к оси.
3. Сечение цилиндра плоскостью, параллельной его оси
1)13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415 2)13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415 3) 13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Любые два осевых сечения цилиндра равны между собой
Пример :Осевое сечение цилиндра – квадрат, диагональ которого равна 20 см.
Найдите: а) высоту цилиндра; б) площадь основания цилиндра.
Решение:
ABCD-квадрат
Н=СD, CD=AD
2CD2=AC2
CD=10
R=0,5AD=5(2см
S=
·R2
S=50
·см2
Пример :Осевое сечение цилиндра – квадрат, диагональ которого равна 20 см. Найдите: а) высоту цилиндра; б) So цилиндра
Решение:
Проведем диагональ АС сечения АВСD.
(ADC – равнобедренный, прямоугольный, АD=DC, h = 2r,
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
4. Найдем площадь основания 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
Пример :Площадь осевого сечения цилиндра равна 10 м2, а площадь основания – 5 м2. Найдите высоту цилиндра.
Решение:
1. Площадь основания – площадь круга: 13 EMBED Equation.3 1415, тогда 13 EMBED Equation.3 1415
2. Площадь сечения – площадь прямоугольник: 13 EMBED Equation.3 1415тогда 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
Конус.
В переводе с греческого «КОНУС» означает «сосновая шишка».
Определение:
Конусом (точнее, круговым конусом) называется тело, которое состоит из круга основания конуса, точки, не лежащей в плоскости этого круга, вершины конуса и всех отрезков, соединяющих вершину конуса с точками основания.
Наглядно прямой круговой конус можно представлять себе как тело, полученное при вращении прямоугольного треугольника OSВ вокруг катета SO.
Отрезки, соединяющие вершину конуса с точками окружности основания, называются образующими конуса.
Перпендикуляр, опущенный из вершины конуса на плоскость основания, называется высотой конуса.
Определение:
Конус называется прямым, если прямая, соединяющая вершину конуса с центром основания, перпендикулярна плоскости основания. В дальнейшем мы будем рассматривать только прямой конус, называя его для краткости просто конусом.
- Непрямой конус
У прямого конуса основание высоты совпадает с центром основания. Осью прямого кругового конуса называется прямая, содержащая его высоту.
Сечения конуса:
I. Осевое сечение конуса.
Если секущая плоскость проходит через ось конуса, то сечение представляет собой равнобедренный треугольник, основание которого - диаметр основания конуса, а боковые стороны- образующие конуса. Это сечение- осевое.
II. Сечение плоскостью, параллельно основанию.
Сечение конуса плоскостью, параллельно основанию (плоскостью, перпендикулярной к его оси) будет представлять собой окружность.
IV. Сечение плоскостью, проходящей через его вершину и пересекающей основание
Сечение конуса плоскостью, проходящей через его вершину, представляет собой равнобедренный треугольник, у которого боковые стороны являются образующими конуса
Площадь поверхности конуса
Поверхность конуса состоит из основания и боковой поверхности.
За площадь боковой поверхности конуса принимается площадь её развертки:
Площадь боковой поверхности конуса равна произведению половины длины окружности основания на образующую.
S=
· r l
Площадь полной поверхности конуса- сумма площадей боковой поверхности и основания.
S=
· r (l+r)
Усеченный конус.
Усечённый конус получен вращением прямоугольной трапеции АВСD вокруг стороны CD
Площадь боковой поверхности усечённого конуса равна произведению полусуммы длин окружностей оснований на образующую:
S =
· (r + r) l
Шар и сфера, их сечения
Определение:
Сферой называется поверхность, которая состоит из всех точек пространства, находящихся на заданном расстоянии от данной точки.
Эта точка называется центром, а заданное расстояние – радиусом сферы, или шара – тела, ограниченного сферой.
Определение:
Шар состоит из всех точек пространства, находящихся на расстоянии не более заданного от данной точки.
Отрезок, соединяющий центр шара с точкой на его поверхности, называется радиусом шара.
Отрезок, соединяющий две точки на поверхности шара и проходящий через центр, называется диаметром шара, а концы этого отрезка – диаметрально противоположными точками шара.
Пример 1:
Чему равно расстояние между диаметрально противоположными точками шара, если известна удаленность точки, лежащей на поверхности шара от центра? (18)
Шар можно рассматривать как тело, полученное от вращения полукруга вокруг диаметра оси.
Пример 2:
Пусть известна площадь полукруга. Найдите радиус шара, который получается вращением этого полукруга вокруг диаметра. (4)
Площадь сферы вычисляется пор формуле: Sсферы= 4ПR2
Сечения сферы
Теорема. Любое сечение шара плоскостью есть круг. Перпендикуляр, опущенный из центра шара на секущую плоскость, попадает в центр этого круга.
Следствие. Если известны радиус шара и расстояние от центра шара до плоскости сечения, то радиус сечения вычисляется по теореме Пифагора.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Плоскость и прямая, касательные к сфере.
Определение: Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной плоскостью. Касательная плоскость перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.
Пример 3:
Пусть шар, радиус которого известен, лежит на горизонтальной плоскости. В этой плоскости через точку касания и точку В проведен отрезок, длина которого известна. Чему равно расстояние от центра шара до противоположного конца отрезка?
(6)
Пример 4:
Пусть известны диаметр шара и расстояние от центра шара до секущей плоскости. Найдите радиус круга, получившегося сечения. (10)
Чем меньше расстояние от центра шара до плоскости, тем больше радиус сечения: 13 EMBED Equation.3 1415, тогда 13 EMBED Equation.3 1415(13 EMBED Equation.3 1415
Пример 4:
В шаре радиуса пять проведен диаметр и два сечения, перпендикулярных этому диаметру. Одно из сечений находится на расстоянии три от центра шара, а второе – на таком же расстоянии от ближайшего конца диаметра. Отметьте то сечение, радиус которого больше.
Пример 5:
В шаре, радиус которого известен, проведены два больших круга. Какова длина их общего отрезка? (12)
Наибольший радиус сечения получается, когда плоскость проходит через центр шара. Круг, получаемый в этом случае, называется большим кругом. Большой круг делит шар на два полушара.
Задача:
На сфере радиуса R взяты три точки, являющиеся вершинами правильного треугольника со стороной а. На каком расстоянии от центра сферы расположена плоскость, проходящая через эти три точки?
Дано:
ABC – точки на сфере, AB=BC=AC=a
Найти: 13 EMBED Equation.3 1415
Решение:
OH-высота пирамиды, OA=OB=OC=R, Н – центр описанной окружности.
Найдем радиус описанной окружности, а затем рассмотрим один из треугольников, образованных радиусом, боковым ребром пирамиды и высотой,. Найдем высоту по теореме Пифагора.
ВК – высота в АВС,
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Задания:
Площадь осевого сечения цилиндра равна 16 м2, а площадь основания – 8 м2. Найдите высоту цилиндра.
Диаметр основания цилиндра равен 1м. высота цилиндра равна длине окружности основания. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.
Концы отрезка АВ лежат на разных основаниях цилиндра. Радиус цилиндра равен r, его высота – h, расстояние между прямой АВ и осью цилиндра равно d. Найдите: a) высоту, если r = 6, d = 4, AB = 9.
Объём конуса равен 20
· дм3. Осевое сечение конуса – прямоугольный треугольник. Найти высоту.
Площадь осевого сечения конуса равна 48см2, его образующая составляет с плоскостью основания угол 600. Найдите площадь основания конуса.
Прямоугольный треугольник с катетами 5см и 6см вращается вокруг большего катета. Найдите площадь полной поверхности конуса.
Площадь сечения сферы, проходящего через ее центр равна 36м2. Найти площадь сферы.
Самостоятельная работа №60 Подготовка сообщения «История развития интегрального исчисления»
Цель: познакомиться с историей развития интегрального исчисления
Самостоятельная работа: работа с литературой, интернет-ресурсами.
Форма контроля: сообщение на уроке
Самостоятельная работа №61: Формирование и усвоение содержания теоретического материала по теме «Определенный интеграл»
Цель: сформировать и усвоить содержание теоретического материала по теме «Определенный интеграл»;
Самостоятельная работа: работа с литературой, интернет-ресурсами.
Форма контроля: ответ на уроке
Теоретический материал
Для того чтобы научиться решать определенные интегралы необходимо:
1) Уметь находить неопределенные интегралы.
2) Уметь вычислить определенный интеграл.
Как видите, для того чтобы освоить определенный интеграл, нужно достаточно хорошо ориентироваться в «обыкновенных» неопределенных интегралах.
Определение:
Пусть дана функция f(x) на отрезке [a;b]. Площадь плоской фигуры, расположенной ниже графика функции f(x) и ограниченного прямыми x=a, x=b и осью абсцисс, называется определенным интегралом функции f(x) по отрезку [a;b]:
13 EMBED Equation.3 1415
[a;b] – отрезок интегрирования;
a – нижний предел интегрирования, b – верхний предел интегрирования.
Что прибавилось по сравнению с неопределенным интегралом? Прибавились пределы интегрирования.
Геометрический смысл – [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ].
Что значит решить определенный интеграл? Это значит, найти число.
Как решить определенный интеграл? С помощью формулы Ньютона-Лейбница:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] (1)
Всегда ли существует определенный интеграл? Нет, не всегда.
Пример 1:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] не существует, поскольку отрезок интегрирования [-5;-2] не входит в область определения подынтегральной функции (значения под квадратным корнем не могут быть отрицательными).
Пример 2:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] - такого интеграла тоже не существует, так как в точках [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] отрезка [2;3] не существует тангенса.
Теорема:
Для того чтобы определенный интеграл вообще существовал, необходимо чтобы подынтегральная функция была непрерывной на отрезке интегрирования.
Пример 3:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] - интеграла не существует - нельзя подставлять отрицательные числа под корень!
Теорема:
Если функция непрерывна на отрезке [a;b], то она интегрируема на этом отрезке. Для всякой функции f(x), непрерывной на отрезке [a;b], существует на этом отрезке неопределенный интеграл (f(x)d(x)=F(x)+C и имеет место формула Ньютона-Лейбница.
Этапы решения определенного интеграла следующие:
1) Сначала находим первообразную функцию F(x) (неопределенный интеграл).
Обратите внимание, что константа C в определенном интеграле никогда не добавляется.
Обозначение [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] является чисто техническим, и вертикальная палочка не несет никакого математического смысла, по сути – это просто отчёркивание. Сама запись [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] нужна, как подготовка для применения формулы Ньютона-Лейбница.
2) Подставляем значение верхнего предела в первообразную функцию F(b).
3) Подставляем значение нижнего предела в первообразную функцию F(a).
4) Рассчитываем (без ошибок!) разность F(b)-F(a), то есть, находим число.
Может ли определенный интеграл быть равен отрицательному числу? Может. И отрицательному числу. И нулю. Может даже получиться бесконечность.
Может ли нижний предел интегрирования быть больше верхнего предела интегрирования? Может, и такая ситуация реально встречается на практике.
Рассмотрим некоторые свойства определенного интеграла:
1. Замена переменной в определенном интеграле
Для определенного интеграла справедливы все типы замен, что и для неопределенного интеграла. Единственная новизна состоит в вопросе, как поменять пределы интегрирования при замене.
13 EMBED Equation.3 1415;
2. Интеграл по нулевому промежутку равен нулю:
13 EMBED Equation.3 1415;
3. В определенном интеграле можно переставить верхний и нижний предел, сменив при этом знак: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Пример 4:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] – в таком виде интегрировать значительно удобнее.
4. Если функция f(x) непрерывна на [a;b] и c([a;b], то
13 EMBED Equation.3 1415;
5. Интеграл от суммы (или разности) равен сумме (или разности) интегралов: 13 EMBED Equation.3 1415 – это справедливо не только для двух, но и для любого количества функций.
6. Для определенного интеграла справедливы свойства линейности:
13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415 ( постоянная;
7. Если f(x) ( нечетная функция, то есть f(-x)=f(x), то
13 EMBED Equation.3 1415;
Если f(x) ( четная функция, то есть f(-x)=-f(x), то
13 EMBED Equation.3 1415.
8. Для определенного интеграла справедлива [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Пример 1. Применяя формулу Ньютона-Лейбница, вычислить интеграл
13 EMBED Equation.3 1415.
Решение.
13 EMBED Equation.3 1415.
Пример 2. Вычислить определенный интеграл [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Решение: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
(1) Выносим константу за знак интеграла.
(2) Интегрируем по таблице с помощью самой популярной формулы [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Появившуюся константу [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] целесообразно отделить от [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] и вынести за скобку. Делать это не обязательно, но желательно – зачем лишние вычисления?
(3) Используем формулу Ньютона-Лейбница [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Сначала подставляем в [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] верхний предел, затем – нижний предел. Проводим дальнейшие вычисления и получаем окончательный ответ.
Пример 3. Вычислить интеграл 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. Преобразуем подынтегральную функцию по формуле: 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415.
Закрепление материала:
Задача 1: Вычислить определенный интеграл [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Решение:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Задача 2: Вычислить определенный интеграл [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Решение:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Задача 3: Вычислить определенный интеграл [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Решение:
I.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
При решении:
(1) Используем свойства линейности определенного интеграла.
(2) Интегрируем по таблице, при этом все константы выносим – они не будут участвовать в подстановке верхнего и нижнего предела.
(3) Для каждого из трёх слагаемых применяем формулу Ньютона-Лейбница: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
СЛАБОЕ ЗВЕНО В ОПРЕДЕЛЕННОМ ИНТЕГРАЛЕ – ЭТО ОШИБКИ ВЫЧИСЛЕНИЙ И ЧАСТО ВСТРЕЧАЮЩАЯСЯ ПУТАНИЦА В ЗНАКАХ. БУДЬТЕ ВНИМАТЕЛЬНЫ! ОСОБОЕ ВНИМАНИЕ ЗАОСТРЯЮ НА ТРЕТЬЕМ СЛАГАЕМОМ: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] – ПЕРВОЕ МЕСТО В ХИТ-ПАРАДЕ ОШИБОК ПО НЕВНИМАТЕЛЬНОСТИ, ОЧЕНЬ ЧАСТО МАШИНАЛЬНО ПИШУТ [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] (ОСОБЕННО, КОГДА ПОДСТАНОВКА ВЕРХНЕГО И НИЖНЕГО ПРЕДЕЛА ПРОВОДИТСЯ УСТНО И НЕ РАСПИСЫВАЕТСЯ ТАК ПОДРОБНО). ЕЩЕ РАЗ ВНИМАТЕЛЬНО ИЗУЧИТЕ ВЫШЕРАССМОТРЕННЫЙ ПРИМЕР.
СЛЕДУЕТ ЗАМЕТИТЬ, ЧТО РАССМОТРЕННЫЙ СПОСОБ РЕШЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА – НЕ ЕДИНСТВЕННЫЙ. РЕШЕНИЕ МОЖНО ЗНАЧИТЕЛЬНО СОКРАТИТЬ. НАПРИМЕР, РЕШЕНИЕ МОЖЕТ ВЫГЛЯДЕТЬ ТАК:
II.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Совет: перед тем, как использовать формулу Ньютона-Лейбница, полезно провести проверку: а сама-то первообразная найдена правильно?
ТАК, ПЕРЕД ТЕМ, КАК В ПЕРВООБРАЗНУЮ ФУНКЦИЮ [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] ПОДСТАВЛЯТЬ ВЕРХНИЙ И НИЖНИЙ ПРЕДЕЛЫ, ЖЕЛАТЕЛЬНО ПРОВЕРИТЬ, А ПРАВИЛЬНО ЛИ ВООБЩЕ НАЙДЕН НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ? ДИФФЕРЕНЦИРУЕМ: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
ПОЛУЧЕНА ИСХОДНАЯ ПОДЫНТЕГРАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ, ЗНАЧИТ, НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ НАЙДЕН ВЕРНО.
Задача 4: Вычислить определенный интеграл [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Решение: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Задача 5: Вычислить определенный интеграл, методом замены переменной [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Решение: Главный вопрос здесь вовсе не в определенном интеграле, а в том, как правильно провести замену. Смотрим в [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] и прикидываем, на что у нас больше всего похожа подынтегральная функция? Очевидно, что на длинный логарифм: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Однако, в табличном интеграле под корнем x2, а в нашем – «икс» в четвёртой степени. Из рассуждений следует и идея замены – неплохо бы нашу четвертую степень как-нибудь превратить в квадрат. Это реально.
Сначала готовим наш интеграл к замене:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Из вышеуказанных соображений совершенно естественно напрашивается замена: t=x2 Таким образом, в знаменателе будет всё хорошо: ((t2+16). Выясняем, во что превратится оставшаяся часть xdx подынтегрального выражения, для этого находим дифференциал dt:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
По сравнению с заменой в неопределенном интеграле у нас добавляется дополнительный этап.
Находим новые переделы интегрирования.
Это достаточно просто. Смотрим на нашу замену t=x2 и старые пределы интегрирования a=0, b=(3.
Сначала подставляем в выражение замены t=x2 нижний предел интегрирования, то есть, ноль:
t1=02=0
Потом подставляем в выражение замены t=x2 верхний предел интегрирования, то есть, корень из трёх: t2=((3)2=3
Продолжаем решение.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
(1) В соответствии с заменой записываем новый интеграл с новыми пределами интегрирования.
(2) Это простейший табличный интеграл, интегрируем по таблице. Константу (1/2) лучше оставить за скобками (можно этого и не делать), чтобы она не мешалась в дальнейших вычислениях. Справа отчеркиваем линию с указанием новых пределов интегрирования [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] – это подготовка для применения формулы Ньютона-Лейбница.
(3) Используем формулу Ньютона-Лейбница .
Ответ стремимся записать в максимально компактном виде, используя свойства логарифмов.
Ещё одно отличие от неопределенного интеграла состоит в том, что, после того, как мы провели замену, никаких обратных замен проводить не надо.
Самостоятельная работа №62 Подготовка сообщения «Методы интегрирования»
Цель: познакомиться с методами интегриррования
Самостоятельная работа: работа с литературой, интернет-ресурсами.
Форма контроля: сообщение на уроке
Самостоятельная работа №63 Выполнение домашних заданий в виде решения отдельных задач по теме «Вычисление площадей плоских фигур с помощью определённого интеграла»
Цель: научиться решать задачи по теме «Вычисление площадей плоских фигур с помощью определённого интеграла»;
Самостоятельная работа: решение задач.
Форма контроля: проверка работы
Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий
Греческий физик и математик. Ему принадлежит метод нахождения длин и площадей, предвосхитивший интегральное исчисление. Закон Архимеда – один из фундаментальных законов физики. «Внимательно читая сочинения Архимеда, перестаешь удивляться всем новейшим открытиям геометрии»,- сказал о нем Лейбниц.
КОРОТКО ОБ ИНТЕГРАЛЕ МОЖНО СКАЗАТЬ ТАК - ИНТЕГРАЛ – ПЛОЩАДЬ:
Пусть функция f(x) непрерывна и неотрицательна на отрезке [а;b]. Тогда площадь соответствующей КРИВОЛИНЕЙНОЙ ТРАПЕЦИИ находится по формуле Ньютона-Лейбница:
13 EMBED Equation.3 1415
Интегралом от функции
· на отрезке [а;b] называется площадь ее подграфика на этом отрезке.
Если при этом график функции пересекает ось Оx, то части подграфика, расположенные ниже оси Ох, берутся со знаком минус.
Криволинейная трапеция – фигура, ограниченная прямыми y=0; x=а; x=b и графиком непрерывной и неотрицательной на [а;b] функции
·(x).
Примеры:
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
I. Площадь криволинейной трапеции
Пример 1.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями 13 EMBED Equation.3 1415
Решение:
13 EMBED Equation.3 1415
II. Площадь фигуры, ограниченной несколькими линиями
Если требуется вычислить площадь фигуры, ограниченной несколькими линиями, то находят криволинейные трапеции, пересечение или объединение которых есть данная фигура, вычисляют площадь каждой из них и находят разность или сумму площадей этих криволинейных трапеций.
Формулы вычисления площади с помощью интеграла:
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415 13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415 13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Пример 2.
Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Решение:
13 EMBED Equation.3 1415
Для нахождения пределов интегрирования решаем уравнение:
13 EMBED Equation.3 1415
Искомая площадь:
13 EMBED Equation.3 1415
Пример 3.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями 13 EMBED Equation.3 1415если 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение:
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
III. Запись площади через интеграл
Пример 4:
Запишите площадь заштрихованных фигур с помощью интегралов:
а)
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
б)
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
в)
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
Задача 1:
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: x+2y+4=0, y=0, x=-3 и х=2
Решение:
Выразим функцию у: y=-1/2x-4
Построим все линии в координатной плоскости:
По формуле а) для функции f(x)=-0,5x-4 имеем:
13 EMBED Equation.3 1415
Задача 2:
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: x-2y+4=0, x+y-5=0 и y=0.
Решение:
Выразим функцию у: y1=1/2x+2 и y2= -х+5
Выполним построение фигуры в координатной плоскости:
для прямой y1 точки (-4;0) и (0;2);
для прямой y2 точки (5;0) и (0;5);
Найдем точку пересечения прямых:
13 EMBED Equation.3 1415
Находим площадь: S=S1+S2
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Задача 3:
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y=x2, y=0, x=2 и x=3.
Решение:
Выполним построение фигуры в координатной плоскости:
Находим площадь:
13 EMBED Equation.3 1415
Задача 4:
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y=cosx, y=0, x=0 и x=(.
Решение:
Выполним построение фигуры в координатной плоскости:
Находим площадь: S=S1+S2,
S1=S2 т.к. cosх –четная функция, то : S=2S1
13 EMBED Equation.3 1415
Задача 5:
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y=x2 и y=2x.
Решение:
Найдем точку пересечения:
13 EMBED Equation.3 1415
Выполним построение фигуры в координатной плоскости:
Находим площадь по формуле б)
13 EMBED Equation.3 1415
Задача 6:
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: 7x2-9y+9=0 и 5x2-9y+27=0.
Решение:
Выразим функцию у:
13 EMBED Equation.3 1415
Найдем точку пересечения:
13 EMBED Equation.3 1415
Выполним построение фигуры в координатной плоскости:
Находим площадь по формуле б)
13 EMBED Equation.3 1415
Задания:
Вычислите площади фигур, ограниченные линиями:
x-y+2=0, y=0, x=-1, x=2
2x-3y+6=0, y=0,x=3
y=x3, y=0, x=-2, x=2
y=cosx, y=0, x=0, x=(/3
x-y+3=0, y=-x, y=0
Самостоятельная работа №64 Подготовка презентации «Объёмы геометрических тел»
Цель: наглядное представление формул объемов геометрических тел и их вывод, развитие навыков работы на компьютере
Самостоятельная работа: создание презентации на компьютере, работа с интернет-ресурсами.
Форма контроля: демонстрация презентации на уроке
Самостоятельная работа №65: Формирование и усвоение содержания теоретического материала по теме «Понятие объёма»
Цель: сформировать и усвоить содержание теоретического материала по теме «Понятие объёма»;
Самостоятельная работа: работа с литературой, интернет-ресурсами.
Форма контроля: ответ на уроке
Теоретический материал
Определение: Положительная величина, характеризующая часть пространства, занимаемую телом, называется объемом тела.
Общие свойства объемов тел:
1) за единицу объема принят объем куба,
ребро которого равно единице длины;
2) равные тела имеют равные объемы, при перемещении тела его объем не изменяется; 3) если тело разбить на части, являющиеся простыми телами, то объем тела равен объему его частей.
Объем тела по параллельным сечениям
Рассмотрим некоторое тело и вычислим его объем V. Допустим, что известны площади сечений этого тела плоскостями, перпендикулярными оси Ох.
С изменением х площадь сечения также будет изменяться, т.е. являться некоторой функцией х.
Обозначим эту функцию через S(х) и будем считать ее непрерывной функцией на отрезке [а, b]. Тогда объем тела можно найти по формуле
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Доказательство. Разобьем произвольно отрезок [а, b] на n частей точками
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Через эти точки проведем плоскости, перпендикулярные оси Ох. Эти плоскости разобьют тело на n слоев. Найдем объем i-го слоя, образованного сечениями с абсциссами хi - 1 и хi.
Его объем Vi приближенно равен объему прямого цилиндра, основание которого совпадает с сечением тела, соответствующим какой-либо точке
· i (хi - 1
·
· i
· хi ), и, следовательно, имеет площадь S(
· i ), а высота равна
·x i = x i
· x i - 1, т.е.
Vi
· S (
·i )
· xi.
Сумма объемов всех n слоев приближенно равна объему V данного тела:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Таким образом, получена интегральная сумма для интеграла. Так как функция S(х) непрерывна на [а, b], то предел этой суммы при
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
существует и равен определенному интегралу
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Объём призмы
Рассмотрим произвольную призму. Построим в ней сечение параллельное основаниям. Площадь данного сечения будет равна площади основаниям и не зависит от параметра х. Получаем по основной интегральной формуле:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Площадь сечения, параллельного основаниям, равна площадям основания и не зависит от х, т.е. является величиной постоянной. Получаем:
13 EMBED Equation.3 1415
С учетом, что x приближается к высоте h, имеем:
13 EMBED Equation.3 1415
Объём пирамиды
Вычислим объем пирамиды, высота которой равна Н, а площадь основания Sосн.
Пересечем пирамиду плоскостью, параллельной основанию. Расстояние от вершины пирамиды до секущей плоскости обозначим через х, 0
· х
· H, а площадь сечения через Sсеч (х). Найдем функцию Sсеч(х). Для этого воспользуемся известным из элементарной геометрии свойством сечений пирамиды, параллельных основанию, и составим пропорцию
13 EMBED Equation.3 1415
откуда находим:
13 EMBED Equation.3 1415
Подставляя последнее равенство в формулу, имеем
13 EMBED Equation.3 1415
Итак, мы получили формулу объема пирамиды:
13 EMBED Equation.3 1415
Формула объема цилиндра
Площадь сечения, параллельного основаниям, равна площадям основания и не зависит от x, т.е. является величиной постоянной.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Получили:
13 EMBED Equation.3 1415
Формула объема конуса
Вычислим объем конуса, высота которой равна Н, а радиус основания R. Тогда площадь основания: Sосн=(R2
Пересечем конус плоскостью, параллельной основанию. Найдем Sсеч - воспользуемся известным из геометрии свойством сечений:
13 EMBED Equation.3 1415
откуда находим:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Объём тела вращения
В частном случае, когда тело образовано вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции, заданной непрерывной функцией y = f ( x), а
· x
· b, объем тела вращения вычисляется по формуле
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Действительно, сечение тела вращения плоскостью, перпендикулярной оси Ох и проходящей через точку (х, 0), представляет собой круг радиуса f(x). Площадь этого сечения (площадь круга) равна S (x) =
· ( f ( x ) )2. Из формулы объёма тела по параллельным сечениям получаем формулу
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Замечание. Если криволинейная трапеция 0
· х
·
· (у), а
· у
· b вращается вокруг оси Оу, то объем тела вращения найдём по формуле
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Объём шара
Вычислим объем шара радиуса R. Решение. Шар радиуса R получается вращением полуокружности [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]вокруг оси Ох. Используя симметрию данного шара относительно оси Оу, находим
13 EMBED Equation.3 1415
Таким образом получили:
13 EMBED Equation.3 1415
Закрепление материала:
Что такое объем?
Назовите основные свойства объема.
Назовите интегральную формулу объема.
Назовите формулу объема:
призмы
прямоугольного параллелепипеда
куба
пирамиды
цилиндра
шара
Самостоятельная работа №66: Выполнение домашних заданий в виде решения отдельных задач по теме «Объёмы тел»
Цель: научиться решать задачи по теме «Объёмы тел»;
Самостоятельная работа: решение задач.
Форма контроля: проверка работы
Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий
Объём призмы - 13 EMBED Equation.3 1415
Пример 1:
Тело R состоит из тел Р и Q, имеющих соответственно объемы V1, V2. Выразить объем V тела R через V1 V2 если б) тела Р и Q имеют общую часть, объем которой равен 1/3V1
Решение:
V=V1+V2-1/3V1=2/3V1+V2
Пример 2:
Найти объем прямоугольного параллелепипеда, стороны основания которого равны а и b, а высота равна h, если а=11, b=12, h=15
Решение:
V=abc=Sh= =11*12*15==1980 ед3.
Пример 3:
Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, если известно, что
одна сторона основания 2, высота 3, а диагональ боковой грани, содержащей неизвестную сторону основания равна 5.
Ответ: 24 ед2.
Задача 1:
Найдите объем куба АВСDА1В1С1D1 , если АС1=3
·2
Дано: АВСDА1В1С1D1 – куб, АС1=3
·2
Найти: V-?
Решение:
Пусть ребро куба равно а, тогда из треугольника АDС АС2=а2+а2=2а2. Рассмотрим треугольник АСС1, найдем АС1:
АС12=a2+2a2=3а2 , выразим а
а=АС1/
·3 = 3
·2/
·3=
·6
V=(
·6)3=6
·6 (cм3)
Ответ:V=6
·6 (см3)
Задача 2:
Кирпич имеет форму прямоугольного параллелепипеда с измерениями
25см, 12см и 6,5см. Плотность кирпича равна 1,8г/cм3.
Найти его массу.
Решение:
Найдем объем тела: V=25*12*6,5= 1950 (см3)
Связь плотности тела с его массой и объемом P= m / V (
m= P*V
m= 1,8*1950=3,51(кг).
Задания:
Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна а и составляет угол в 300 с плоскостью боковой грани и угол 450 с плоскостью основания.
Объясните, как построить угол в 300 между диагональю параллелепипеда и плоскостью боковой грани
Объясните, как построить угол в 450 между диагональю параллелепипеда и плоскостью
боковой грани
4. Составьте план вычисления длины отрезка AD
и объема параллелепипеда
3. Найдите длины отрезков 13 EMBED Equation.3 1415
Объем цилиндра
Объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту:
V=S*h
V=S(r)(h =
·RІ(h
Пример :Дано: прямая призма, цилиндр, описанный около этой призмы, катеты прямоугольного треугольника равны 4 и 1,боковые ребра равны 2/п.
Найти: V цилиндра
Решение:
V=SH=(R2H
Из прямоугольного треугольника найдём гипотенузу
13 EMBED Equation.3 1415
Пример :Осевое сечение цилиндра – квадрат, диагональ которого равна 20 см.
Найдите:
а) высоту цилиндра;
б) площадь основания цилиндра
в) объем.
Решение:
ABCD-квадрат, тогда: Н=СD, CD=AD
2CD2=AC2, CD=10
R=13 EMBED Equation.3 1415AD=513 EMBED Equation.3 1415см
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Объем пирамиды
Объем пирамиды вычисляется по формуле: 13 EMBED Equation.3 1415
где S площадь основания и h высота.
Упражнение 1
Вершинами пирамиды являются все вершины одного основания и одна вершина другого основания призмы. Какую часть объема призмы составляет объем пирамиды?
Ответ: Одна треть.
Упражнение 2
Найдите объем пирамиды, высота которой 3, а в основании - прямоугольник со сторонами 1 и 2.
Ответ: 2.
Упражнение 3
Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды, если ее диагональным сечением является правильный треугольник со стороной, равной 1.
Решение. Пусть ACS – правильный треугольник.
Его высота SO равна Сторона основания равна
Следовательно, объем пирамиды равен
Упражнение 4
Найдите объем правильного тетраэдра с ребром, равным 1.
Решение. Пусть E – середина ребра BC. В треугольнике ADE
AE = DE = Высота DH равна Площадь
·ABC равна
Следовательно, объем тетраэдра равен
Объем конуса
Объем конуса равен 1/3 произведения площади основания на высоту: V=1/3(S(h
13 EMBED Equation.3 1415
Пример 1:
Дан конус с d=8 см, Н=15 см. Найти Vконуса.
Решение:
13 EMBED Equation.3 1415
Задача 1:
Найдите объем V конуса, образующая которого равна 2 и наклонена к плоскости основания под углом 300.
Решение:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415, отсюда следует: 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Задача 2:
Высота конуса равна 6, образующая равна 10. Найдите его объем.
Решение:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Задача 3:
Конус получается при вращении равнобедренного прямоугольного треугольника АВС вокруг катета, равного 6.
Решение:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Формула объема сферы (шара)
Вспомните, определение шара и его элементов.
Шаром называется множество всех точек пространства, находящихся от данной точки на расстоянии, не больше данного R.
Радиусом шара называют всякий отрезок, соединяющий центр шара с точкой шаровой поверхности.
Отрезок, соединяющий две точки шаровой поверхности и проходящий через центр шара, называется диаметром шара.
Концы любого диаметра шара называются диаметрально противоположными точками шара.
Отрезок, соединяющий две любые точки шаровой поверхности и не являющийся диаметром шара, называют хордой шара.
Объем шара равен 4/3 произведения ( на r3: 13 EMBED Equation.3 1415
Пример 1( проблемная задача):
При уличной торговле арбузами весы отсутствовали. Однако выход был найден: арбуз диаметром 3 дм приравнивали по стоимости к трем арбузам диаметром 1 дм.
Что вы возьмете? Правы ли были продавцы?
Решение:
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Пример 2 (задача Архимеда):
Дано: в цилиндр вписан шар.
Найти: отношение объемов цилиндра и шара.
Ответ: 1,5.
Одним из своих наивысших достижений Архимед считал доказательство того, что объем шара в полтора раза меньше объема описанного около него цилиндра. Недаром шар, вписанный в цилиндр, был высечен на надгробии Архимеда в Сиракузах.
Пример 3:
Около шара описан цилиндр, площадь поверхности которого равна 18. Найдите площадь поверхности шара.
Решение:
(Опираемся на открытие Архимеда.)
Ответ: 12
Задания:
Найдите объем правильной треугольной пирамиды, сторона основания которой равна 4, высота–6.
В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 5, боковое ребро – 8 м. Найдите ее объем.
Основанием пирамиды является равносторонний треугольник со стороной, равной 3. Две ее боковые грани перпендикулярны плоскости основания, а третья образует с основанием угол 60о. Найдите объем пирамиды.
Найдите объем конуса, образующая которого равна 4 и наклонена к плоскости основания под углом 300.
Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Найдите объем конуса, если объем цилиндра равен 64П.
Конус получается при вращении прямоугольного треугольника АВС с катетами 5 и 7 вокруг меньшего катета. Найдите его объем.
Конус описан около правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания 5 и высотой 3. Найдите его объем.
Самостоятельная работа №67 Подготовка сообщения «Основополагающие концепции математической статистики»
Цель: познакомиться с основами математической статистики
Самостоятельная работа: работа с литературой, интернет-ресурсами.
Форма контроля: сообщение на уроке
Самостоятельная работа №68 Формирование и усвоение содержания теоретического материала по теме «Простейшие вероятностные задачи»
Цель: сформировать и усвоить содержание теоретического материала по теме «Простейшие вероятностные задачи»
Самостоятельная работа: работа с литературой, интернет-ресурсами.
Форма контроля: ответ на уроке
Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий
Основные определения
Случайное событие – это событие, которое может произойти, а может и не произойти.
Достоверное событие – это событие, которое обязательно произойдёт.
Невозможное событие – это событие, которое не может произойти.
Совместные события - события, которые могут произойти одновременно.
Несовместные события - события, которые не могут произойти одновременно.
Противоположные события - события, наступление одного из которых означает не наступление другого.
Классическое определение вероятности
Определение: Вероятностью события А называются число P(А), равное отношению числа исходов испытания, благоприятствующих событию А к общему числу исходов:
13 EMBED Equation.3 1415
где n – общее число исходов испытания,
m – число исходов, благоприятствующих событию А.
Пример: m = 1 – результат анализа; n = 4 – все возможные исходы проведения анализа;
Р(А) = 1 : 4 = 0, 25
Примеры решения задач
Пример 1 В пакете лежат 20 зеленых и 10 желтых груш.
Какова вероятность вынуть из пакета грушу? Р=1
Какова вероятность вынуть из пакета яблоко? Р=0
Пример 2 В классе из 30 учеников, где 17 мальчиков и 13 девочек, наугад выбирается один. Какова вероятность того, что это мальчик?
Решение:
Обозначим через А событие: наугад выбранный ученик – мальчик.
Число благоприятных событию А исходов равно 17, т.е. т=17 , а число всех исходов равно 30, т.е. n=30, поэтому Р(А)=17/30.
Пример 3 Какова вероятность события А – наугад названное число из натуральных чисел от 5 до 28 кратно 5?
Решение:
Множество исходов, благоприятных событию А: {5;10;15;20;25}, т.е. т=5, а всего чисел от 5 до 28 имеется 24, т.е. n=24, поэтому Р(А)=5/24.
Пример 4 Набирая номер телефона, абонент забыл последнюю цифру. Найти вероятность того что, номер набран верно(событие А), если известно, что цифра нечетная.
Решение:
Нечетные цифры – 1,3,5,7,9, значит, n=5, m=1, Р(А)=1/5 .
Пример 5 Игральный кубик подбрасывают один раз. Найти вероятность следующих событий:
а)Выпадает 1(событие А);
б)выпадает больше 3 очков (В);
в)выпадет не больше 4 очков (С).
Решение:
Всего при этом испытании возможно выпадение шести цифр, определяющих число выпавших очков, - 1,2,3,4,5,6, т.е. n=6.
а)Множество исходов, благоприятных событию А : Р(А)=1/6;
б) Множество исходов, благоприятных событию В :Р(В)=3/6=1/2;
в) Множество исходов, благоприятствующих событию С : Р(С)=4/6=2/3;
г) Множество исходов, благоприятных событию D : Р(D)=2/6=1/3.
Пример 6 Бросают три монеты. Какова вероятность следующих событий:
А – гербов больше, чем цифр,
В – выпало две цифры,
С – выпало 3 герба,
Д – три монета выпали одинаковыми сторонами?
Решение:
Рассмотрим все возможные варианты выпадения монет:
(ГГГ), (ГГЦ), (ЦГГ), (ГЦГ), (ЦЦГ), (ЦГЦ), (ГЦЦ), (ЦЦЦ).
Событие А : n=8; m=4; Р(А)=4/8=1/2;
Событие В : n=8; m=3; Р(В)=3/8;
Событие С : n=8; m=1; Р(С)=1/8;
Событие Д : n=8; m=2; Р(D)=2/8=1/4;
Событие Е : n=8; m=4; Р(Е)=4/8=1/2.
Примеры решения задач c использованием комбинаторных формул
Пример 7 На карточках написаны буквы у, ч, р, а, к. Какова вероятность того, что, переставляя наугад все буквы, мы получим слово «ручка»(событие А) ?
Решение:
Множество букв состоит из пяти элементов, используются все элементы, значит, n=Р5 =5!
Из всех получаемых «слов» нас утраивает только одно, значит, m=1,
т.е. Р(А)=1/5!=1/120.
Пример 8 Замок с «секретом» содержит четыре шестигранные призмы, которые поворачиваются независимо друг от друга вокруг общей оси. На каждой боковой грани призмы выбита одна цифра от 1 до 6. Поворачивая призмы, получают в прорези замка четырехзначное число. Замок открывается лишь тогда, когда набрано четырехзначное число, составляющее «секрет» замка. Какова вероятность того, что один человек, не знающий «секрета» замка, откроет его за один произвольный набор четырехзначного числа(событие А)?
Решение:
т.к. в каждом из четырех окошек может оказаться любая из шести цифр.
т=1; n=64 ,
Пример 9 В колоде 52 карты. Игрок наугад получает 3 карты. Какова вероятность того, что это будет тройка, семерка и туз (событие А)?
Решение:
Всего возможных вариантов 13 EMBED Equation.3 1415 .
Получить одну тройку из четырех карт (троек) колоды существует 13 EMBED Equation.3 1415 способов, одну семерку - 13 EMBED Equation.3 1415 способов и туз - 13 EMBED Equation.3 1415способов,
итого благоприятных исходов 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 .
13 EMBED Equation.3 1415
Задачи на закрепление материала
Из ящика, в котором 10 белых и 6 черных шаров, берут наудачу 3 шара. Какова вероятность того, что один из них белый, а два черных?
Набирая номер телефона, абонент забыл три последние цифры, запомнив лишь, что они различные, набрал их наудачу. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры?
25 экзаменационных билетов содержат по две вопроса, которые не повторяются. Студент подготовил 45 вопросов. Какова вероятность того, что вытянутый студентом билет состоит из подготовленных им вопросов?
В мастерскую для ремонта поступило 15 телевизоров. Известно, что 6 из них нуждаются в общей регулировке. Мастер берет первые попавшиеся 5 телевизоров. Какова вероятность того, что 2 из них нуждаются в общей регулировке.
Из колоды в 52 карты берется наугад 4 карты. Найти вероятность того, что среди этих 4 карт будут представлены все четыре масти.
На полке в случайном порядке расставлено 40 книг, среди них находится трехтомник А.С.Пушкина. Некто взял наудачу с полки 5 книг. Найти вероятность того, что среди этих пяти книг есть трехтомник Пушкина.
Секретных замок содержит на общей оси 4 диска, каждый из которых разделен на 5 секторов с различными цифрами. Замок открывается только в том случае, если диски установлены так, что образуют определенное число. Найти вероятность того, что при произвольной установке дисков замок откроется.
Самостоятельная работа №69: Выполнение домашних заданий в виде решения отдельных задач по теме «Решение простейших задач на сочетания и размещения»
Цель: научиться решать задачи по теме «Решение простейших задач на сочетания и размещения»
Самостоятельная работа: решение задач.
Форма контроля: проверка работы
Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий
Задачи на расчет количества выборок
На использование формул для перестановок и размещений
Сколько слов можно образовать из букв слова фрагмент, если слова должны состоять:
(а) из восьми букв, (б) из семи букв, (в) из трех букв?
Решение задачи:
В слове фрагмент 8 букв алфавита.
(а) Всевозможные перестановки 8 букв по восьми местам: А13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415=P8.
(б) Размещения 8 букв по 7 местам: А13 EMBED Equation.3 1415.
(в) Размещения 8 букв по 3 местам: А13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: P8, А13 EMBED Equation.3 1415, А13 EMBED Equation.3 1415.
Сколькими способами можно расставить на полке 7 книг, если (а) две определенные книги должны всегда стоять рядом, (б) эти две книги не должны стоять рядом?
Решение задачи:
(а) Книги, которые должны стоять рядом, считаем за одну книгу. Тогда нужно расставить 6 книг по шести местам. Применяя формулу перестановок, получаем: P6 = 6!. Мы учли перестановки шести книг, не учитывая порядок внутри тех книг, которые мы посчитали за одну. А так как две книги по двум местам можно разместить только двумя способами (P2), то получаем окончательно следующее произведение: P213 EMBED Equation.3 1415P6 =2 13 EMBED Equation.3 14156! = 1440.
(б) Способов переставить 7 книг существует P7= 7!. Из них 213 EMBED Equation.3 14156! способов поставить определенные книги вместе. Следовательно, способов поставить книги так, чтобы 2 заданные книги не стояли вместе существует: 7! 213 EMBED Equation.3 14156!.
Ответ: 1440; . 7! 213 EMBED Equation.3 14156!
На использование формул для сочетаний
Сколькими способами из восьми человек можно избрать комиссию, состоящую из пяти членов?
Решение задачи:
Для решения этой задачи необходимо использовать формулу для сочетания элементов, т.к. здесь не имеет значения порядок элементов в выборке. Запишем формулу для сочетаний и произведем вычисления:
С13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 56.
Компания из двадцати мужчин разделяется на три группы, в первую из которых входят три человека, во вторую пять и в третью двенадцать. Сколькими способами они могут это сделать? (Ответ записать в виде произведения сомножителей, не вычисляя его.)
Решение задачи:
Из 20-ти элементов необходимо сделать три выборки, причем порядок внутри выборок значения не имеет. Поэтому используем формулу для сочетаний. Чтобы выбрать из 20-ти элементов 3, существует С13 EMBED Equation.3 1415 способов. Остается 17 элементов, из которых выбирается 5 элементов - С13 EMBED Equation.3 1415 способами. Остается 12 элементов, из которых выбирается 12 элементов. Это можно сделать С13 EMBED Equation.3 1415= 1, т.е. одним способом. Используя принцип произведения, получаем: С13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 С13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 С13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: С13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 С13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 С13 EMBED Equation.3 1415.
На использование формул для перестановок и сочетаний
Сколько четырехбуквенных слов можно образовать из букв слова сапфир? 2) Сколько среди них таких, которые не содержат буквы р? 3) Сколько таких, которые начинаются с буквы с и оканчиваются буквой р?
Решение задачи:
1. Из шести букв составляются четырехбуквенные слова, причем порядок букв важен для образования новых слов. Поэтому используется формула для размещений: А13 EMBED Equation.3 1415.
2. Необходимо исключить букву р из рассмотрения. Количество слов, не содержащих эту букву: А13 EMBED Equation.3 1415.
3. На первое место поставить букву с можно только одним способом. На последнее место поставить букву р можно тоже только одним способом. Остаются 4 буквы, которые необходимо разместить по двум местам: А13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 360, 120, 12.
Сколько пятибуквенных слов, каждое из которых состоит из трех согласных и двух гласных, можно. образовать из букв слова уравнение?
Решение задачи:
В слове уравнение 3 согласных и 4 гласных буквы русского алфавита. Чтобы посчитать количество требуемых пятибуквенных слов, необходимо посчитать количество сочетаний 3 согласных из 3-х заданных и двух гласных из четырех заданных: С13 EMBED Equation.3 1415 и С13 EMBED Equation.3 1415. После того, как 5 букв выбраны, необходимо посчитать все возможные перестановки этих букв: С13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415С13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415P5.
Ответ: С13 EMBED Equation.3 141513 E
·
"$
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·єјѕАфцш
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·MBED Equation.3 1415С13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415P5.
Закрепление нового материала:
Сколькими способами можно разложить 7 шаров по 4-м ящикам?
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415 .
Сколькими способами можно разложить 5 разноцветных шаров по 3-м ящикам?
Ответ: 243.
Директор фирмы составил список из 5-ти возможных кандидатов на вакантные должности своих 1-го, 2-го и 3-го заместителей, а также список из 4-х возможных кандидатов на 2 вакантные должности своих помощников. Сколько вариантов заполнения пяти вакантных должностей имеет директор?
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.
У одного человека есть 7 книг, а у другого 9 книг. Сколькими способами они могут обменять три книги одного на три книги другого?
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.
Бригада строителей состоит из 16-ти штукатуров и 4-х маляров. Сколькими способами бригаду можно разделить на две бригады, чтобы в одной из них было 10 штукатуров и 2 маляра, а в другой 6 штукатуров и 2 маляра?
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.
Самостоятельная работа №70 Подготовка сообщения «Треугольник Паскаля»
Цель: познакомиться с построением треугольника Паскаля, его применением в математической статистики
Самостоятельная работа: работа с литературой, интернет-ресурсами.
Форма контроля: сообщение на уроке
Самостоятельная работа №71 Подготовка сообщения «Связь математики с другими науками»
Цель: познакомиться с применением математики в других науках
Самостоятельная работа: работа с литературой, интернет-ресурсами.
Форма контроля: сообщение на уроке
Самостоятельная работа №72 Подготовка сообщения «Методы решения уравнений»
Цель: познакомиться с методами решения уравнений
Самостоятельная работа: работа с литературой, интернет-ресурсами.
Форма контроля: сообщение на уроке
Самостоятельная работа №73: Выполнение домашних заданий в виде решения отдельных задач по теме «Общие методы решения уравнений»
Цель: научиться решать задачи по теме «Общие методы решения уравнений»
Самостоятельная работа: решение задач.
Форма контроля: проверка работы
Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий
Основные приемы решения уравнений и систем
Методы решения иррациональных уравнений
I. Способ
Возведем обе части уравнения в квадрат
Решая данное квадратное уравнение, находим
Проверка корней.
1) Если х = 42, то 2) Если х = 2, то
Значит, число 2 является
корнем уравнения.
Значит, число 42 не является
корнем уравнения.
Ответ. 2
II. Способ
Ответ. 2
2. Разложение на множители
Числа -2 и 2 посторонние корни, т.к. не удовлетворяют условию х
· 3.
Ответ.3
Введение новой переменной
ОДЗ: х – любое число.
Пусть где t
· 0, тогда исходное уравнение примет вид
Решая данное квадратное уравнение, находим, что
Число – 7 посторонний корень, т.к. не удовлетворяет условию t
· 0.
Если t = 6, то
Решая данное уравнение, находим
Ответ. х= - 4,5; х = 3.
Методы решения логарифмических уравнений
1. Введение новой переменной
ОДЗ: х>0. Пусть , тогда уравнение примет вид
Решив данное квадратное уравнение, находим его корни
Следовательно,
Ответ. х = 10; х = 100.
2. Замена уравнения равносильным
Решая квадратное уравнение находим,
Корень х = - 4, не удовлетворяет условию
Ответ. 0
Разложение на множители
Ответ. 2; 3
Методы решения показательных уравнений
1. Замена уравнения равносильным
Ответ. – 3
2. Введение новой переменной
Пусть где тогда уравнение примет вид
Решая данное квадратное уравнение, находим, что
Корень не удовлетворяет условию
Следовательно, решим уравнение
Ответ. x= 3.
3. Разложение на множители
Функционально-графический метод
1) 1 + log2(x+1) = 2x . Построим график левой и правой частей данного уравнения y =1+log2(x+1), y = 2x . Абсциссы точек пересечения графиков и будут решением данного уравнения: х = 0; 1.
2) 2-
·x-3
· -
·x2 – x - 6
·+1=0. Построим график левой и правой частей данного уравнения y=2-
·x-3
·, y=
·x2 – x - 6
·+1.
Закрепление материала:
1)Решить уравнение: 13 EMBED Equation.3 1415
Решение. 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
2) Решить уравнение 13 EMBED Equation.3 1415
Решение: 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
1)13 EMBED Equation.3 1415 2)13 EMBED Equation.3 1415 3)13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
3) 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 = 0
решений нет х = - 1, х = 2.
Ответ: х = - 1, х = 2.
Неравенства, входящие в систему можно сразу не решать, а подставить полученный корень в неравенство.
4)13 EMBED Equation.3 1415 Необходимо разложить на множители.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415= 4
решений нет х = 0, х = 5.
Ответ: х = 0, х = 5.
5) Решить уравнение: .
Решение. Пусть . Тогда первоначальное уравнение примет вид: , откуда находим . Таким образом данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений и . Решая первое уравнение, получаем . Второе уравнение совокупности решений не имеет, так как при любом значении переменной, а .
Ответ: .
6) Решить уравнение 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. Введем новую переменную 13 EMBED Equation.3 1415. Подставляем переменную в исходное уравнение и получаем следующее квадратное уравнение: 13 EMBED Equation.3 1415. Находим корни: 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. Но 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
7)Решить уравнение:13 EMBED Equation.3 1415
Решение: 13 EMBED Equation.3 1415
Введем новое неизвестное cosx=t, тогда наше уравнение запишем в виде квадратного уравнения с неизвестным t:
2t2+3t+1 = 0, решаем:
Д=1, Д>0, два корня;
t1= -1, t2= 13 EMBED Equation.3 1415
Поэтому множество всех решений уравнения 13 EMBED Equation.3 1415
есть объединение решений уравнений: cosx= -1 и cosx=13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
решение есть
13 EMBED Equation.3 1415
8) 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 = t, где t
· 0
t 2 – 2 t – 3 = 0, t = - 1 , t = 3, учитывая, что t
· 0, t = 3
13 EMBED Equation.3 1415= 313 EMBED Equation.3 1415
Ответ: х = ± 7
Самостоятельная работа №74 Подготовка сообщения «Методы решения неравенств»
Цель: познакомиться с методами решения неравенств
Самостоятельная работа: работа с литературой, интернет-ресурсами.
Форма контроля: сообщение на уроке
Самостоятельная работа №75 Выполнение домашних заданий в виде решения отдельных задач по теме «Решение неравенств»
Цель: закрепить навыки решения неравенств с одной переменной.
Самостоятельная работа: индивидуальная домашняя работа
Форма контроля: проверка работы
Виды заданий:
Решить неравенство
Решите квадратные неравенства двумя способами
Найдите наименьшее целочисленное решение неравенства
Найдите наибольшее целочисленное решение неравенства
Установите, при каких значениях х имеют смысл выражения
Равносильны ли неравенства
Сколько целочисленных решений имеют неравенства
Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий
Решение линейных неравенств
Решением неравенства с переменной называется множество значений переменной, при которых неравенство является верным. Решить неравенство с переменной – значит найти все его решения или доказать, что их нет.
Решение неравенства принято записывать с помощью числового промежутка. При этом концы промежутков для строгого неравенства и бесконечности записывают с помощью круглой скобки, а для нестрогого неравенства с помощью квадратной скобки.
Неравенство
Промежуток
x > a
13 EMBED Equation.3 1415
x
13 EMBED Equation.3 1415
x
· a
13 EMBED Equation.3 1415
x
· a
13 EMBED Equation.3 1415
a < x < b
13 EMBED Equation.3 1415
a
· x
· b
13 EMBED Equation.3 1415
a
· x < b
13 EMBED Equation.3 1415
a < x
· b
13 EMBED Equation.3 1415
Неравенства вида 13 EMBED Equation.3 1415 (или 13 EMBED Equation.3 1415) называются линейными неравенствами.
Например: 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.
Для решения линейного неравенства применяются основные свойства неравенств.
Алгоритм решения линейного неравенства
Раскрыть скобки.
Перенести слагаемые с переменной в левую часть, слагаемые без переменной – в правую.
Привести подобные слагаемые.
Разделить число из правой части на числовой коэффициент при переменной.
Пример 1. Решить неравенство 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение.
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415 ,
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: (–
·; – 9).
Решение квадратных неравенств
Квадратные неравенства – это неравенства вида ax2+bx+c>0, ax2+bx+c<0,
ax2+bx+c
·0, ax2+bx+c
·0.
Если квадратное уравнение ax2+bx+c=0 имеет два различных корня, то решение соответствующих квадратных неравенств можно свести к решению системы неравенств первой степени, разложив левую часть квадратного неравенства на множители. Например:
-3х2-5х+2>0,
3х2+5х-2<0,
3х2+5х-2=0,
x1,2 = 13 EMBED Equation.3 1415
x1=13 EMBED Equation.3 1415, x2= -2;
3х2+5х-2=3(x-13 EMBED Equation.3 1415)(x+2);
Ответ: (-2; 13 EMBED Equation.3 1415)
3(x-13 EMBED Equation.3 1415)(x+2)<0,
13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
нет решения 13 EMBED Equation.3 1415.
Решить квадратное неравенство можно графически. Квадратичная функция задается формулой у=ax2+bx+c, где a13 EMBED Equation.3 14150. Поэтому решение квадратного неравенства сводится к отысканию нулей квадратичной функции и промежутков, на которых квадратичная функция принимает положительные или отрицательные значения.
Графическое изображение
D
a>0
a<0
D<0
13 EMBED PBrush 1415
13 EMBED PBrush 1415
D=0
13 EMBED PBrush 1415 х1,2=13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED PBrush 1415 х1,2=13 EMBED Equation.3 1415
D>0
13 EMBED PBrush 1415 х1,2=13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED PBrush 1415 х1,2=13 EMBED Equation.3 1415
Задания:
1. Решить неравенство:
а) 13 EMBED Equation.3 1415 (–
·; 11)
б) 13 EMBED Equation.3 1415 (10; +
·)
в) 13 EMBED Equation.3 1415 [–1,5; +
·)
г) 13 EMBED Equation.3 1415 (–
·; –0,5]
д) 13 EMBED Equation.3 1415 (–
·; –3)
е) 13 EMBED Equation.3 1415 (9; +
·)
2. Решить неравенство:
а) 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
в) 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
г) 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
д) 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
3. Решите квадратные неравенства двумя способами:
а) (х-2)(х+4)>0, в) x2-3x+2<0,
б) (x-3)(x+5)<0, г) x2-2x-3>0.
4. Решите неравенства (любым способом):
а) х2 – 5х > 0, д) 4х
· -х2
б) х2 > 25х, е) 13 EMBED Equation.3 1415 1/3х2 > 1/9
в) х2 – 36 < 0, ж) 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
г) 3х2 + х + 2 > 0, з) 13 EMBED Equation.3 1415
5. Найдите наименьшее целочисленное решение неравенства х2 + 7х
· 30.
6. Найдите наибольшее целочисленное решение неравенства 3х – х2 > -40.
7. Установите, при каких значениях х имеют смысл выражения:
а) 13 EMBED Equation.3 1415 в) 13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415 г) 13 EMBED Equation.3 1415
8. Равносильны ли неравенства:
а) х2 + 6х – 16 < 0 и х2 + 6х - 16
· 0;
б) 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415
9. Сколько целочисленных решений имеют неравенства:
а) 15 – х2 + 10х
· 0, б) х2 + 5х – 8 < 0.
10. При каких значениях параметра р квадратное уравнение 3х2 – 2рх – р + 6 = 0
а) имеет 2 различных корня; б) имеет 1 корень; в) не имеет корней.
11. Решить неравенство:
а) 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
в) 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
г) 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
д) 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
12. Решить неравенство:
а) 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
в) 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
г) 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13. Решить неравенство:
а) 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Самостоятельная работа №76 Подготовка реферата «Математическая философия Аристотеля»
Цель: познакомиться с трудами Аристотеля, его математической философией
Самостоятельная работа: работа с литературой, интернет-ресурсами.
Форма контроля: сообщение на уроке
Самостоятельная работа №77 Подготовка сообщения «Методы решения систем линейных уравнений»
Цель: познакомиться с методами решения систем линейных уравнений
Самостоятельная работа: работа с литературой, интернет-ресурсами.
Форма контроля: сообщение на уроке
Самостоятельная работа №78 Выполнение домашних заданий в виде решения отдельных задач по теме «Уравнения и неравенства с параметрами»
Цель: научиться решать задачи по теме «Уравнения и неравенства с параметрами»
Самостоятельная работа: решение задач.
Форма контроля: проверка работы
Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий
Задачи с параметрами – неотъемлемая часть задач по математике. Решение задачи с параметром, как правило, предполагает небольшое исследование. Задачи с параметром очень разнообразны. Общих методов их решения не существует (кроме линейных уравнений, неравенств и систем с параметрами; квадратных уравнений и задач, связанных с расположением корней квадратного трехчлена, относительно заданных чисел). Единственное, что объединяет задачи с параметром – это то, что почти любую из них можно отнести к одной из следующих групп:
задачи, в которых требуется найти все значения параметра, при каждом из которых выполняется некоторое условие (уравнение имеет корни, принадлежащие данному промежутку; неравенство имеет решение и т.д.);
задачи, в которых требуется решить уравнение (неравенство или систему) с параметрами.
Причем, во второй группе требуется установить, при каких значениях параметра задача имеет решения и указать их. Решение большинства таких задач связано со свойствами функций, входящих в условие задачи.
Представим решение шести задач с параметрами. Осуществлять решение задач будем по схеме:
анализ вида задания и поиск плана решения решение анализ решения.
При выполнении решения избранных заданий будем использовать следующие условные обозначения:
ООУ – область определения уравнения;
ООН – область определения неравенства;
ООС – область определения системы уравнений или неравенств;
л.ч. – левая часть уравнения (или неравенства);
п.ч. – правая часть уравнения (или неравенства).
Задача 1. Найти все а, при которых неравенство
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
не имеет решения.
I. Анализ вида задания и поиск плана решения.
данное неравенство является иррациональным, следовательно, начинать решение следует с нахождения ООН;
в задании требуется найти все а, при которых данное неравенство не имеет решений; опыт решения такого вида неравенств подсказывает: можно вначале найти, при каких а неравенство имеет решение, а затем ответить на требование задачи;
так как в записи неравенства в явном и неявном виде повторяются выражения 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 (13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415), то в записи ООН возможны «неожиданности»;
план решения может быть таким:
1) найти ООН;
2) найти а, при которых неравенство имеет решения;
3) записать ответ на требование задачи.
II. Решение.
1) ООН: 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415,
т.е. ООН состоит из двух значений х.
2) Найдем все а, при которых 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 являются решением данного неравенства.
2.1. 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
2.2. 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Неравенство имеет решение при 13 EMBED Equation.3 1415.
3) Следовательно, неравенство не имеет решения при 13 EMBED Equation.3 1415.
III. Анализ решения.
Следует взять на будущее:
возможны случаи, когда ООН состоит из конечного числа значений х;
иногда следует найти все значения а, при которых есть решение, а затем с помощью полученных значений а, найти ответ задачи.
Задача 2. Решить уравнение при всех допустимых значениях а
13 EMBED Equation.3 1415
I. Анализ вида задания и поиск плана решения.
дано тригонометрическое уравнение комбинированного вида;
параметр включен только в аргумент косинуса;
функция, зависимая от параметра а, является ограниченной.
План решения задачи может быть таким:
проверить является ли 13 EMBED Equation.3 1415 решением уравнения;
если 13 EMBED Equation.3 1415- не является решением, то решить тригонометрическое уравнение относительно 13 EMBED Equation.3 1415;
к полученному уравнению применить метод оценки для 13 EMBED Equation.3 1415 и для 13 EMBED Equation.3 1415;
обобщить полученные результаты.
II. Решение.
1) Подставив 13 EMBED Equation.3 1415 в данное уравнение, убеждаемся, что 13 EMBED Equation.3 1415 не является решением.
2) Преобразуем данное уравнение при 13 EMBED Equation.3 1415 к виду: 13 EMBED Equation.3 1415.
3) Решим уравнение при 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 методом оценки.
3.1. 13 EMBED Equation.3 1415 ..(*)
а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
Следовательно, уравнение (*) при 13 EMBED Equation.3 1415 равносильно системе уравнений:
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
3.2. 13 EMBED Equation.3 1415 ..(**)
а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
Следовательно, уравнение (**) при 13 EMBED Equation.3 1415 равносильно системе уравнений:
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
4) Обозначим полученные результаты и запишем ответ:
13 EMBED Equation.3 1415, если 13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415, если 13 EMBED Equation.3 1415.
IV. Анализ решения.
По ходу решения
применили прием перехода к уравнению 13 EMBED Equation.3 1415;
использовали прием разбиения ООУ (13 EMBED Equation.3 1415) на конечное число подмножеств и решали уравнение на каждом подмножестве;
предложенное решение уравнения имеет в ответе 2 конкретных значения переменной х и неограниченное количество значений а.
Задача 3. При каких значениях параметра а система уравнений имеет хотя бы одно решение?
13 EMBED Equation.3 1415
I. Анализ и поиск плана решения:
данная система уравнений с параметром является логарифмическо-алгебраической;
первое уравнение системы не зависит от параметра а, следовательно, решение системы можно начать с решения логарифмического уравнения;
так как первое уравнение сводится к линейному уравнению, то решать систему удобнее методом подстановки;
в результате подстановки получим квадратное уравнение с параметром, которое решается перебором возможных ситуаций.
II. Решение.
1) Упростим уравнение (1): 13 EMBED Equation.3 1415
2) Подставим 13 EMBED Equation.3 1415 в уравнение (2) и получим систему, равносильную исходной:
13 EMBED Equation.3 1415
Найдем из уравнения (*) значение а, при котором уравнение имеет хотя бы одно решение: 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
3) Осуществим перебор возможных ситуаций для уравнения (*) при 13 EMBED Equation.3 1415.
3.1. Корни уравнения (*) положительные
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415.
3.2. Корни уравнения (*) имеют противоположные знаки:
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415.
3.3. Уравнение (*) может быть неполным квадратным:
а) 13 EMBED Equation.3 1415- это значение уже рассматривалось в 3.2 (оно содержится в ответе).
б) 13 EMBED Equation.3 1415, тогда (*) принимает вид 13 EMBED Equation.3 1415, следовательно, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. ООС удовлетворяет 13 EMBED Equation.3 1415, значит, 13 EMBED Equation.3 1415 включаем в ответ.
в) 13 EMBED Equation.3 1415. Это значение при подстановке в уравнение (*) дает корни, не удовлетворяющие условию 13 EMBED Equation.3 1415.
Объединим полученные результаты: 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ 13 EMBED Equation.3 1415
III. Анализ результата.
При решении системы уравнений использовали умения находить область определения логарифмической функции, решать квадратные уравнения с параметром при заданных начальных условиях.
Задача 4. Найти все значения параметра а, при которых уравнение
13 EMBED Equation.3 1415
имеет более трех различных корней.
I. Анализ задания и поиск плана решения.
особенностью данного уравнения является то, что оно в неявном виде содержит одинаковые операции над выражениями 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415.
план решения может быть таким:
1) записать данное уравнение в виде 13 EMBED Equation.3 1415;
2) убедиться, что 13 EMBED Equation.3 1415- монотонная функция;
3) осуществить переход к уравнению 13 EMBED Equation.3 1415 и решить его.
II. Решение.
1) Используя свойства модуля (13 EMBED Equation.3 1415, степени (13 EMBED Equation.3 1415 и внесение множителя под знак корня (13 EMBED Equation.3 1415), заменим исходное уравнение равносильным: 13 EMBED Equation.3 1415
2) Получим функцию 13 EMBED Equation.3 1415, имеющую смысл при 13 EMBED Equation.3 1415 и возрастающую при 13 EMBED Equation.3 1415 (как сумма двух возрастающих функций). Исходное уравнение, в этом случае, стало вида:
13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
3) Воспользуемся теоремой:
Если функция 13 EMBED Equation.3 1415 монотонна на промежутке J, то уравнение 13 EMBED Equation.3 1415равносильно на промежутке J уравнению 13 EMBED Equation.3 1415.
Получили уравнение 13 EMBED Equation.3 1415, или 13 EMBED Equation.3 1415 .(*),
равносильное данному.
Так как требуется найти все значения а, при которых данное уравнение, а значит и равносильное ему уравнение (*), должно иметь более трех различных корней, то для этого необходимо и достаточно, чтобы уравнение (*) имело 2 различных корня. Это будет выполняться при условии
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
III. Анализ результата
Следует взять на заметку теорему о переходе от уравнения 13 EMBED Equation.3 1415 к уравнению 13 EMBED Equation.3 1415.
Задача 5. При каких значениях а система неравенств
13 EMBED Equation.3 1415
имеет единственное решение.
I. Анализ задания и поиск решения:
особенностью системы неравенств является то, что в состав системы входят неравенства второй степени с двумя неизвестными;
кроме того, «порядка» в записи каждого неравенства нет: можно члены перенести в каждом неравенстве в одну часть и привести подобные;
заменив исходную систему на равносильную, можно «попробовать увидеть» свойство координат решений системы (или симметричность 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, или совпадение 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 и др.);
обнаружив специфическое свойство решения, «попробовать» найти его и выйти на условие вычисления значений параметра;
вычислив значения параметра, обязательно проверить, действительно ли при найденных значениях параметра, система неравенств имеет единственное решение.
II. Решение.
1) Заменим данную систему неравенств на равносильную ей:
13 EMBED Equation.3 1415 (*)
2) Замечаем, что, если пара 13 EMBED Equation.3 1415является решением этой системы, то и пара 13 EMBED Equation.3 1415 - также ее решение. А так как требуется найти все а, при которых СН имеет единственное решение, то 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415. Получили необходимое условие того, чтобы исходная система имела единственное решение.
3) Воспользуемся полученным результатом 13 EMBED Equation.3 1415 и решим неравенство, которому будет равносильна система (*):
13 EMBED Equation.3 1415
Это неравенство будет иметь единственное решение в случае, когда дискриминант квадратного трехчлена его левой части равен нулю:
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.
4) Полученное равенство 13 EMBED Equation.3 1415 - это необходимое условие, которому должен удовлетворять параметр а, чтобы исходная система имела единственное решение.
5) Проверим, действительно ли при 13 EMBED Equation.3 1415 система имеет единственное решение:
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Воспользовавшись методом сложения, получим:
13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415, следовательно, 13 EMBED Equation.3 1415 или
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Следовательно, действительно, СН имеет единственное решение при 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.
III. Анализ решения:
взять на будущее прием анализа вида и особенностей данной задачи по ее записи;
не забывать осуществлять проверку найденных в решении значений параметра на выполнение требования задачи (иметь единственное решение, два различных решения и т.д.)
ЗАДАЧИ ПРОФИЛЬНОЙ НАПРАВЛЕННОСТИ
ПРИЗМА. ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД. КУБ
Бак прямоугольного сечения 3,2 м х 1,2 м вмещает 900л воды. Сколько квадратных метров оцинкованного железа пошло на его изготовление?
Аквариум имеет форму прямоугольного параллелепипеда. Длина его 0,8м., ширина – 37,5см. Он должен вместить 0,18м3. Найдите высоту аквариума.
Свинцовый брусок массой 18 кг имеет форму прямой призмы, высота которой 300 мм. Основанием призмы является равнобокая трапеция, параллельные стороны которой равны 350 мм и 115 мм, а боковая сторона 850 мм. Узнайте, имеются ли внутри бруска пустоты или же он сплошной. Плотность свинца 11,3 г/см3.
Сколько нужно рабочих для переноса дубовой балки размером 6,5 м х 30 см х 45 дм? Каждый рабочий может поднять в среднем 80 кг. Плотность дуба 800 кг/см3.
Классные помещения должны быть рассчитаны так, чтобы на одного учащегося приходилось не менее 6 м3 воздуха. Можно ли в класс, имеющий вид прямоугольного параллелепипеда с измерениями 8,3 м х 6,25 м х 3,6 м вместить 30 человек, не нарушая санитарной нормы?
Из болванки, имеющей форму правильной четырехугольной призмы, размером 10 см х 10 см х 80 см, прокатывается лист толщиной в 1 мм. Вычислите площадь этого листа.
Из листа жести размером 70 см х 140 см вырезали по углам квадраты со стороной 10 см и, загнув края, получили коробку, открытую сверху. Вычислите объем.
Требуется отлить правильную призму, объем которой составлял бы 36867 см3 и высотой 42см. Основанием призмы должен быть правильный двенадцатиугольник. Вычислите его сторону.
Нужно выбрать в глинистой почве прямую канаву длиной 300 м и глубиной 1,5 м, ширина канавы вверху 4 м, у дна 2 м. Сколько рабочих дней нужно для этой работы, если на извлечение 10 м3 земли в таком грунте требуется 4 рабочих дня?
Металлический куб имеет внешнее ребро 10,2 см и весит 514,15 г. Толщина стенок 0,1 см. Найти удельный вес металла, из которого сделан куб.
Размер металлической пластинки 5см х 4см х 2 см. Из какого материала она сделана, если масса ее равна 108 г?
Резец для скоростного резания оснащен пластинкой твердого сплава ВК3 Размер пластинки 16 мм х 16 мм х 6 мм. Определить ее массу, если плотность равна 14,5 г/см3.
Какой длины нужно взять стальной квадратный пруток со стороной 40 мм для изготовления 40 молотков массой 0,75 кг каждый? На угар и обработку добавить 6%.
Из стального прутка квадратного сечения 45 мм х 45 мм отковать шесть поковок для квадратных гаек размером 50 мм х 50 мм х 25 мм. Какой длины необходимо взять пруток? Припуск на угар и обработку составляет 6% объема поковок.
Сечение железнодорожной выемки имеет форму равнобочной трапеции, меньшее основание которой 8 м, ширина ската 8,4 м, глубина 3,6 м, длина выемки 100 м. Сколько кубических метров грунта было вынуто?
Сечение железнодорожной насыпи имеет форму равнобочной трапеции, основание которой 24 м и 5,7 м. Боковые стороны наклонены к нижнему основанию под углом 350. Определить высоту насыпи и сколько кубических метров земли приходится на 1 км?
При рытье колодца, имеющего форму правильной восьмиугольной призмы со стороной основания, а = 6 дм, было вынуто 25 т земли (плотность земли 1,8
·10 кг/м3). Найдите глубину колодца.
Требуется из проволоки сделать каркасную модель прямоугольного параллелепипеда с ребрами, равными 12 см, 8 см, 5 см. Сколько пойдет проволоки на изготовление параллелепипеда? На обрезки добавить 3%.
Плавучий док имеет форму прямоугольного параллелепипеда: размер погруженной части дока (без корабля) 85 м х 12 м х 2,5 м. Найти: 1) его водоизмещение, 2) на сколько он еще погрузится, если в него введут корабль водоизмещением 1000 т.
Плот сколочен из 16 балок прямоугольного сечения, из которых каждая длиной 3,6 м, шириной 0,20 м и толщиной 0,25 м. Какой наибольший груз может он поднять не затонув? (удельный вес дерева принять равным 0,84).
К гидростанции вода подводится по каналу, поперечное сечение которого – трапеция с основаниями 5 м и 16 м, высота 4,5 м. Вычислить расход воды в минуту, если уровень воды в канале 3 м, скорость течения 1,6 м/с.
Строительный кирпич имеет размеры 25 см х 12 см х 6 см. Найдите объем стены, выложенной из 1000 кирпичей. Учтите, что раствор увеличивает объем на 15%.
Сколько кусков обоев потребуется для оклейки комнаты размером 6 м х 5 м х 3 м, если размер одного куска: 1) 0,5 м х 10 м; 2) 0,6 м х 18 м, на обрезки достаточно иметь запас, равный площади окон и двери.
Для определения массы чугунной цельнолитой детали неправильной формы токарь погрузил ее в бак с водой, имеющей форму прямоугольного параллелепипеда, размеры дна которого 55 см х 34 см. В результате этого уровень воды в баке поднялся на 2 см. Какова масса детали, если плотность чугуна 7 г/см3.
Бак, имеющий форму прямоугольного параллелепипеда, доверху заполнен бензином. Длина бака 3 м, ширина 1,5 м, высота 1,2 м (размеры внутренние). Плотность бензина 710 кг/м3. На сколько рабочих дней хватит этого бензина для заправки автомобиля ГАЗ-53, если средний расход бензина автомобилем за рабочий день 95 кг?
Определить массу рулона войлока для прокладок, если длина рулона (в развернутом виде) 15 м, ширина 85 см, толщина войлока 1,1 см, а плотность 0,34 г/см3.
Кирпич размером 25 см х 12 см х 6,5 см весит 3,51 кг. Найти его удельный вес.
Прямоугольный золотой лист имеет размеры 4,7 см х 6,2 см и весит 6,3 г. Найти толщину листа, если удельный вес золота 19,3 г/см3.
Сколько пойдет мраморных плиток размером 19 см х 30 см х 2 см для облицовки четырехгранной колонны с квадратным сечением, если высота колонны 4,2 м, а ширина ее грани в готовом виде 40 см?
Масса строительного кирпича – 4 кг. Какова масса игрушечного кирпичика из того же материала, все размеры которого в 4 раза меньше?
Металлический прямоугольный ящик без крышки высотой 50 см и объемом 1 м3 выкрасили изнутри и снаружи. На окраску ушло 530 г краски при расходе 50 г на один квадратный метр. Найдите размеры ящика.
Сколько строительного кирпича и раствора потребуется для постройки стены длиной 12 м, толщиной 0,5 м и высотой 2,5 м, если в 1 м3 кирпичной площадки содержится 400 штук кирпича, а потребность в растворе составляет 0,2 объема кладки?
Дно резервуара для воды имеет форму прямоугольника размерами 3,5 м х 2,9 м. Какова высота резервуара, если он вмещает 15 м3 воды?
Во сколько раз нужно увеличить каждое из трех измерений прямоугольного бруса, чтобы его увеличить вдвое?
Найдите вместимость сарая прямоугольной формы с двускатной крышей и прямым углом между стропилами (см. рис.), если длина сарая а = 12,5 м, ширина в = 7,6 м, высота стен с = 3,5 м и высота конька крыши h = 7,3 м.
Сколько солдат потребуется для того, чтобы вырыть за 8 ч траншею длиной 25 м и ход сообщения такой же длины, учитывая, что каждый солдат в час может выкопать 0,75 м. профили траншеи и хода сообщения и размеры в метрах даны на рисунке.
Длина железнодорожной шпалы равна 2,7 м, ее поперечное сечение показано на рис. (размеры в см). Сколько шпал можно погрузить на платформу грузоподъемностью 17 т? (Плотность дерева 0,8 г/см3)
На рисунке изображено поперечное сечение канала. Дно и стенки канала забетонированы. Какую площадь нужно покрыть бетоном на каждый километр канала?
Железная заготовка, имеющая форму прямоугольного параллелепипеда с размерами 50 см х 20 см х 20 см, распиливается по линии, соединяющей середины противоположных сторон квадрата, образующего торцевую грань. Полотно ножовки наклонено к плоскости торцевой грани под улом 600. Определить отношение объемов частей заготовки, получившихся после распиливания.
ПИРАМИДА
Крыша башни имеет вид правильной четырехугольной пирамиды, у которой сторона основания равна 12 м, а высота 18 м. Сколько понадобится плиток на покрытие этой крыши, если каждая плитка имеет вид прямоугольника со сторонами 22 см и 18 см.
Кристалл имеет форму двух правильных четырехугольных пирамид, соединенных основаниями. Сторона общего основания равна 3,5 см, а расстояние между вершинами соединенных пирамид 5 см. Найдите объем кристалла.
Крыша имеет форму пирамиды с квадратным основанием 4,5 м х 4,5 м и углом наклона грани к основанию 450. Сколько листов железа размером 70 см х 140 см нужно для покрытия крыши, если на отходы нужно добавить 10% площади крыши?
Один из алмазов, добытых в Якутии, весит 42 карата и имеет форму правильного октаэдра. Найдите ребро этого октаэдра (плотность алмаза 3,5 г/см3, 1 карат = 0,2 г)
Одно из самых грандиозных сооружений древности – пирамида Хеопса – имеет форму правильной четырехугольной пирамиды с высотой 150 м и боковым ребром 220 м. Найдите площадь боковой поверхности и объем пирамиды.
Масса чугунной пирамиды с квадратным основанием равна 540 г, высота равна 6 см. Вычислите длину стороны основания. Плотность чугуна 7,5 г/см3.
УСЕЧЕННАЯ ПИРАМИДА
Кузов тракторного прицепа имеет размеры: вверху 3,5 м х 2,6 м, понизу 2,9 м х 1,1 м. Найдите вместимость, если высота прицепа 1,2 м.
Гранитная подставка имеет вид усеченной пирамиды высотой 3,6 м с квадратным основанием. Стороны оснований: а = 2,8 м, в = 2 м. Найдите вес подставки, плотность гранита равна 2,5 г/см3.
Фундамент сделан из бетона, форма его – правильная усеченная четырехугольная пирамида со сторонами основания 200 см и 140 см и боковым ребром 160 см. Найти вес фундамента, если плотность бетона равна 2,2 г/см3.
На рисунке изображен бункер, поверхность основной части которого представляет боковую поверхность правильной четырехугольной усеченной пирамиды. По размерам, указанным на рисунке (в сантиметрах), вычислите, сколько квадратных дециметров листового железа нужно для изготовления бункера (не считая рукавов А и В).
Бункер заполнен зерном. Вычислите массу зерна, если масса одного кубического метра зерна равна 500 кг. (см. рисунок предыдущей задачи).
Для перекрытия русла реки при строительстве гидроэлектростанции изготавливают из бетона правильные треугольные усеченные пирамиды массой по 10 т. Высота и стороны основания такой пирамиды пропорциональны числам 5, 2 ,6. Рассчитайте линейные размеры этой пирамиды. (Плотность бетона 2,2 г/см3).
ЦИЛИНДР
На сверлильном станке сверлятся отверстия диаметром 15 мм со скоростью резания 30 м/мин (13 EMBED Equation.3 1415) и подачей 0,2 мм/об (S). Определить глубину отверстий, если время его обработки составляет 0,25 мин. (Тмаш.).
Сверло диаметром 50 мм делает 260 об/мин (n) при подаче 0,7 мм/об (S). Определить объем металла, снимаемого сверлом в одну секунду. (Тмаш. ).
На токарном станке обрабатывается цилиндрический вал диаметра 50 мм, длиной 1200 мм. Какую площадь поверхностей надо обработать: 1) без подрезки торца; 2) с подрезкой концов перпендикулярно оси (без учета толщины подрезки).
На токарном станке обтачивается вал диаметром 150 мм и длиной 600 мм (Н) за один проход. Определить время обработки изделия (Тмаш.), если скорость резания равна 75 м/мин (13 EMBED Equation.3 1415), а подача 0,8 мм/об (S).
На токарном станке обтачивается вал диаметром 40 мм. Определить объем металла, снимаемого в одну минуту (Тмаш.), если глубина резания (t) – 5 мм, подача – 0,8 мм/об (S) и скорость 60 об/мин (n).
Сколько нужно заготовить досок шириной 20 см и длиной 6 м для обивки внутренних боковых стенок башни цилиндрической формы высотой 6 м и диаметром 3 м? На пригонку дать припуск 5%.
Надо изготовить цилиндрическую цистерну для масла, закрытую сверху. Диаметр ее основания 450 см, высота 220 см. Сколько листов листовой стали размером 100 см х 600 см пойдет на ее изготовление? На швы и обрезки добавить 12% площади.
Прямоугольный лист жести, имеющий длину 1,6 м и ширину 0,8 м, можно согнуть в трубку двояким образом: в первом случае длина трубки будет 1,6 м; во втором – 0,8 м. Найти отношение объемов трубок и площадей их поверхностей.
Цилиндрический паровой котел имеет длину 3,8 м, а диаметр 1 м. Давление пара 10 атм. Найдите силу давления пара на поверхность котла, зная что на 1см2 пар давит силой 10 кг.
Диаметр струи нефтяного фонтана у основания равен 20 см. Нефть вытекает со скоростью 23м/с. Сколько кубических метров нефти выбрасывает фонтан за час? Сколько надо цистерн емкостью 50 т, чтобы поместить эту нефть?
При строительстве метро применяли кольца из железобетона с внешним радиусом 5,5 м и внутренним 5,1 м. 1) Чему равен объем такого кольца длиной 100 м? 2) На сколько процентов сократиться его объем, если внешний и внутренний радиус уменьшит на 0,4 м?
Сколько квадратных метров жести израсходовано на изготовление 1 млн. консервных банок диаметром 10 см и высотой 5 см (на швы и отходы добавить 10% материала).
Кабель диаметром 50 м заключается в свинцовую оболочку толщиной 2,5мм. На изготовление оболочки израсходована 1 т свинца. Какова длина кабеля? (плотность свинца 11,4 г/см3).
Найти вес железной цилиндрической трубки, внутренний диаметр которой равен 17 см, а внешний диаметр равен 18 см, а длина равна 74 см. Плотность железа 7,9 г/см3.
Сколько весит полая чугунная колонна высотой 2 м, если наружный диаметр равен 10 см, а внутренний 6 см и если 1 кубический сантиметр чугуна весит 7 г.
В цилиндрическом колодце, внутренний диаметр которого 2,5 м, прибыло воды на 30 см. Сколько кубических метров воды прибавилось?
Сколько весит километр железной телеграфной проволоки толщиной 4 мм, если известно, что 1 кубический сантиметр железа весит 8 г?
Цилиндрическая дымовая труба с диаметром 65 см имеет высоту 18 м. Сколько квадратных метров жести нужно для ее изготовления, если на заклепку уходит 10% материала.
Алюминиевый провод диаметром 4 мм имеет массу 6,8 кг. Найдите длину провода, если плотность алюминия равна 2,6 г/см3.
Надо покрыть свинцовой оболочкой кабель, диаметр сечения которого 50 мм. Найти с точностью до 1 кг массу необходимого свинца, если длина кабеля 5 км, а толщина свинцовой оболочки 3 мм (плотность свинца равна 11,4 г/см3).
Толщина стенок стальной трубы равна 5 мм, длина внешней окружности поперечного сечения трубы равна 160мм. Вычислите массу одного погонного метра трубы (плотность стали равна 7,8 г/см3).
На барабан диаметром 1 м намотано в один ряд 50 витков медной проволоки диаметром 3 мм. Вычислите массу проволоки (плотность меди равна 8,9 г/см3).
На цилиндрический барабан подъемной машины, диаметр которого 750 мм, а ширина 350 мм, наматывается стальной трос толщиной 20 мм. Сколько метров каната помещается в один ряд на поверхности барабана?
Диаметр цилиндра паровой машины равен 330 мм, ход поршня 406 мм. Найти объем рабочей части цилиндра с точностью до 0,1 дм3.
Какова масса 15 м цилиндрической дымоходной трубы диаметром 40 см, изготовленной из листового железа. При подсчете прибавить на шов 8% материала.
Сколько жести пойдет на погонный метр водосточной трубы диаметром 250 мм, если на швы расходуется 7% общего количества?
100 кубических сантиметров масла, вылитые на поверхность воды образовали пленку в форме круга диаметром 18 м. Определить толщину пленки.
Среднее количество тепла, которое дает 1 м2 поверхности нагрева при паровом отоплении низкого давления, считается равным 550 тепловым единицам в час. Сколько погонных метров труб диаметром 120 мм нужно установить в помещении, для отопления которого по расчетам требуется 4500 единицы в час?
Суточное выпадение осадков составило 15 мм. Сколько воды могло бы выпасть на круглую тумбу, диаметр которой 8 м?
Определить вместимость зернового элеватора, имеющего 40 резервуаров. Размеры резервуара: высота – 30 м, диаметр – 10 м. Объемная масса зерна 0,8 т.
В цилиндрическую цистерну емкостью 12 т налито горючее. Сколько горючего содержится в цистерне, если ее высота равна 6 м, а уровень горючего 2 м?
Насос, подающий воду в паровой котел, имеет два водяных цилиндра. Размеры каждого цилиндра: ход поршня – 150 мм, диаметр 80 мм. Определите часовую подачу этого насоса, если известно, что каждый поршень делает 50 рабочих ходов в минуту.
25 м медной проволоки имеют массу 100,7 г. Найдите диаметр проволоки, если плотность меди 8,9 г/см3.
Найдите объем цилиндрической колонны, у которой высота 25,5 м, а диаметр основания 1,22 м.
Сколько бочек высотой 1,5 м и диаметром 0,8 м нужно, чтобы разлить в них содержимое цистерны длиной 4,5 м и диаметром 1,6 м?
Малярный валик имеет длину 230 мм, диаметр основания – 50 мм. Как узнать площадь поверхности, которую окрасит маляр за один полный прокат валика? Сколько полных прокатов совершает маляр при окраске за смену 200 квадратных метров поверхности?
Необходимо изготовить двадцать водосточных труб длиной 8 м и диаметром 10 см. Сколько листов жести размером 142 см х 70 см пойдет на их изготовление? На швы добавить 10% материала.
Диаметр основания цилиндра равен 16 см, а полная поверхность его содержит 1546 кв. см. Вычислить высоту цилиндра.
Столбик ртути в термометре длиной 15,6 см весит 5,2 г. Удельный вес ртути 13,6 г/см3. Найти площадь поперечного сечения столбика.
КОНУС
Коническая крыша башни имеет диаметр 6 м и высоту 2 м. Сколько листов кровельного железа потребуется для этой крыши, если размер листа 0,7 м х 1,4 м, а на швы и обрезки тратиться 10% от площади крыши?
Коническая куча зерна имеет высоту 2,4 м, а окружность основания 20 м. Сколько тонн зерна в куче, если масса 1 м3 зерна равна 750 кг?
Щебень укладывается в кучу, имеющую форму конуса с углом откоса 300. Какой высоты должна быть куча, чтобы ее объем был равен 10 м3?
Коническая жестяная воронка должна иметь диаметр 10 см и высоту 12 см. Вычислите размер ее заготовки – радиус и угловую величину дуги развертки.
Вибросито СО – 3 для процеживания окрасочных составов имеет форму конуса. Боковая поверхность вдвое больше площади основания. Определить вместимость вибросита, если радиус основания 20 см.
122 – миллиметровая бомба дает при взрыве воронку диаметром в 4 м и глубиной 1,5 м. Какое количество земли (по весу) выбрасывает эта бомба? 1 м3 земли весит 1650 кг.
Куча щебня имеет коническую форму, радиус основания которой 2,5 м и образующая 3,5 м. Сколько надо машин, чтобы перевести щебень, уложенный в десяти таких кучах? 1 м3 щебня весит 3,2 т. В машину грузят 4 т.
На станции железной дороги насыпана конусообразная куча угля, ее высота 3,8 м, уклон 1 : 1,2. Сколько вагонов нужно для перевозки этого угля, грузоподъемность вагона 25 т.
УСЕЧЕННЫЙ КОНУС
Сколько олифы потребуется для окраски 100 ведер конической формы, если диаметры ведра 25 см и 30 см, а образующая 27,5 см и если на 1 м2 требуется 150 г олифы?
Вычислить вместимость ведра, имеющего форму усеченного конуса, если диаметр дна равен 18 см, диаметр отверстия 35 см, а глубина 38,5 см.
Ведро с нижним диаметром 20 см и верхним 28 см имеет высоту 24 см. Сколько квадратных дециметров материала нужно затратить на изготовление ведра?
Сосуд имеет вид усеченного конуса, высота которого 27 см и длины окружностей оснований равны 66 см и 96 см. Сколько литров вмещает сосуд?
Сколько квадратных метров латунного листа потребуется, чтобы сделать рупор, у которого диаметр одного конца 0,43 м, другого конца 0,076 м и образующая 1,42 м?
Над котлом устроен колпак в форме усеченного конуса, размеры на рисунке. Сколько квадратных метров листового железа потребовалось для его изготовления? (Обрезки во внимание не принимаются)
Высота ведра 25 см, диаметры оснований 30 см и 22 см. Вычислите размеры заготовки ведра: радиусы и угловые величины дуг развертки боковой поверхности. Расход материала на швы не учитываются.
Какую высоту будет иметь ведро, если у заготовки его боковой поверхности угловые величины дуг равны 750, а радиусы 90 см и 60 см. (Расход материала на швы не учитывать).
Сколько материала пойдет на изготовление урны, форма и размеры которой (в сантиметрах) указаны на рисунке, если на швы требуется прибавить 3%
Жестяная воронка имеет размеры (в миллиметрах) указанные на рисунке. Сколько квадратных дециметров жести затрачено на изготовление воронки (на швы уходит 10% площади поверхности воронки).
ШАР. СФЕРА
Чтобы отлить свинцовый шар диаметром 3 см, используют свинцовые шарики диаметром 5 мм. Сколько таких шариков нужно взять?
Найдите длину полярного круга Земли (радиус Земли принять за 6400 км).
Во сколько раз объем Земли больше объема Луны? (Dз = 13 тыс. км, Dл = 3,5 тыс. км).
Масса железного шара равна 4 кг. Каков его диаметр? Плотность железа рвана 7,8 г/см3).
Какова масса пробкового шара диаметром 2 м? (Плотность пробки 0,25 г/см3).
Диаметр воздушного шара равен 15 м. Сколько весит его оболочка, если квадратный метр той же материи, из которой его сшивают, весит 300 г?
На позолоту 1 кв. м купола идет 1 г золота. Сколько потребуется золота, чтобы позолотить купол окружностью 20 м? Форма купола – полусфера.
Сколько дождевых капель нужно, чтобы из них составился 1 м3 воды, если капли имеют форму шара с диаметром 2 мм?
Сколько квадратных метров шелковой материи надо взять для приготовления оболочки воздушного шара диаметром 12 м, если на швы надо прибавить 5% материала?
Сколько весит воздушный шар диаметром 10 м, если: 1) 1 кв. м его оболочки весит 300 гр; 2) 1 куб. м наполняющего его светильного газа весит 0,55 кг; 3) общий вес сети, корзины, якоря и прочих принадлежностей и приборов равен 200 кг?
Вычислить поверхность купола, имеющего форму полушара, у которого диаметр 5,25м.
Чтобы вы предпочли: съесть арбуз радиуса 15 см вчетвером или арбуз радиуса 20 см ввосьмером?
Искусственные спутники Земли имеют форму шаров, диаметры которых равны 58 см и 16 см соответственно. Во сколько раз объем одного из них больше объема другого?
Внутренний диаметр чугунного пологого шара равен 8 см, а внешний диаметр 10 см. Определить массу шара, если плотность чугуна равна 7,3 г/см3.
Сколько метров шелковой материи шириной 1,1 м надо для изготовления воздушного шара, радиус которого 2 м? На соединение и отходы идет 10% материала.
Сколько металлических шариков радиуса 2 см можно отлить, расплавив шар R = 6см?
В каком случае расходуется больше материала: на никелировку одного шара диаметром 8 см или на никелировку 10 шаров диаметром по 2 см каждый?
125 одинаковых шариков диаметром 9 см сплавили в один шар. Определить диаметр получившегося шара.
Сколько дробинок диаметром 3,0 мм содержится в 1,0 кг свинцовой дроби? (Плотность свинца равна 11,4 г/см3).
Два свинцовых шара диаметром 23см и 34 см переплавили в один шар. Найдите его диаметр.
Наружный диаметр полого медного шара 10 см, толщина стенок 2 мм. Будет ли такой шар плавать в воде? Плотность меди 8,9 г/см3.( Плотность воды равна 1г/см3).
Масса железного шара равна 4 кг. Найдите площадь его поверхности. Плотность железа 7,8 г/см3.
Шарообразный приемник газа имеет диаметр 9,22 м. 1) Какова его вместимость? 2) До скольких атмосфер сжат газ в газоприемнике, если в него накачено 2500 м 3 газа при нормальном давлении?
Определить вес медного шарообразного полого поплавка диаметром в 140 мм, если 100 мм листовой меди, из которой сделали поплавок, весят 0,35 г?
На окраску шара диаметром 1,5 дм расходуется 50 г краски. Сколько краски требуется для окраски шара диаметром 3 дм?
ПРИЗМА – ПИРАМИДА
ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД – ПИРАМИДА
Величайшая из пирамид Египта (пирамида Хеопса) имеет высоту 146 м; сторона ее основания равна 233 м (основание квадратное). Предполагая, что эта пирамида сплошь сложена из камней, вычислить, какой высоты каменную стену толщиной в полметра и длиной от Санкт-Петербурга до Москвы (640 км) можно было бы соорудить из ее материала.
Из стального стержня квадратного сечения размером 50 мм х 50 мм х 120 мм откована деталь в форме пирамиды с прямоугольным основанием 60 мм х 90 мм. Определить длину (высоту) детали, если на угар отошло 4%.
Кристалл кварца состоит из правильной шестиугольной призмы с боковым ребром 6,2 см и стороной основания 1,7 см и двух правильных шестиугольных пирамид с боковым ребром 2,5 см. Найдите объем кристалла.
Найти объем детали. Размеры на рисунке даны в миллиметрах.
ПРИЗМА, ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД – ЦИЛИНДР
Железобетонная плита для перекрытия потолка имеет размер 180 см х 24 см х 580 см. Плита имеет в длину девять круглых сквозных отверстий диаметром 10 см. Найти вес плиты, если плотность равна 7,9 г/см3.
Стальная балка имеет форму правильной четырехугольной призмы со стороной основания 0,40 м и высотой 1,00 м. Сколько метров проволоки диаметром 5 мм можно изготовить из этой болванки вытягиванием.
На столе стоят два одинаковых стакана, до краев наполненных водой. В одном стакане плавает деревянный брусок. Найдите массу воды в каждом стакане, если стакан имеет форму цилиндра высотой 98 мм, радиусом основания 40 мм, а брусок имеет форму прямоугольного параллелепипеда с размерами 20 мм х 30мм х 40 мм. Плотность воды 1000 кг/м3, плотность дерева 700 кг/м3.
Найти массу чугунного кронштейна сверлильного станка. Размеры в миллиметрах даны на рисунке. Плотность чугуна 7,5 г/см3.
Ключ к патрону токарного станка имеет вид: см. рисунок, размеры в миллиметрах. Найти массу ключа, если плотность стали 7,83 г/см3.
Гайка имеет форму правильной шестиугольной призмы. Ребро гайки 22 мм, площадь круга (отверстия) равна 108 мм2. Толщина гайки (высота призмы) равна 10 мм. Определить массу гайки, если плотность материала, из которого изготовлена гайка равна 7,83 г/см3.
ЦИЛИНДР – ШАР
В цилиндрический сосуд, у которого диаметр основания равен 6 см, а высота 36 см, налита вода до половины высоты сосуда. На сколько поднимется уровень воды сосуде, если в нее погрузить шар диаметром 5 см?
Резервуар для воды состоит из полушария радиуса 35 см и цилиндра с таким же радиусом основания. Какой высоты должна быть его цилиндрическая часть, чтобы объем всего резервуара равнялся 167 л.
Можно ли в цилиндр, высота которого равна 2 дм, а диаметр основания 1 дм поместить шар, объем которого в два раза меньше объема цилиндра?
В цилиндрический сосуд, наполненный водой до половины, опущен шар диаметром 4 см. Высота сосуда равна 8 см, радиус 2,2 см. Достигает ли уровень воды краев сосуда?
Стальная заклепка имеет форму цилиндра, на которой насажен шаровой сегмент. Диаметр цилиндра равен 16 мм, высота цилиндра 35 мм, высота сегмента 10 мм, радиус шара 16 мм. Вычислите массу 1000 таких заклепок, если плотность стали 7,5 г/см3.
В цилиндрическую мензурку диаметром 2,5 см, наполненную водой до некоторого уровня, опущены четыре металлических шарика с диаметром 1,0 см. На сколько поднялся уровень воды в мензурке?
Рукоятка сверлильного станка имеет вид: см. рисунок, размеры в миллиметрах. Найдите массу рукоятки, если плотность стали 7,83 г/см3.
ЦИЛИНДР – КОНУС
Жидкость, налитая в конический сосуд, высота которого равна 0,18 м и диаметр основания равен 0,24 м перелита в цилиндрический сосуд, диаметр основания которого равен 0,1 м. Чему равен уровень жидкости в сосуде?
Рассчитать: 1) массу стальной детали; 2) диаметр круглой стальной заготовки для холодной штамповки деталей (данные на рисунке, размеры в сантиметрах). Площадь заготовки должна равняться площади поверхности детали. Удельный вес стали 7,86 г/см3.
Найти массу строительного отвеса. Размеры на рисунке в миллиметрах. Плотность стали 7,83 г/см3.
ЦИЛИНДР – УСЕЧЕННЫЙ КОНУС
Втулка имеет форму усеченного конуса, больший диаметр которого равен 48 мм, меньший – 36 мм, длина – 90 мм. Диаметр цилиндрического отверстия втулки 28 мм. Найдите массу втулки. Плотность 8,7 г/см3.
Усеченный конус, у которого радиусы оснований 4 см и 22 см, требуется переплавить в равновеликий цилиндр такой же высоту. Определить радиус основания полученного цилиндра.
Деревянный усеченный конус (удельный вес 0,58), высота которого 48 см и диаметры оснований 44 см и 32 см просверлен цилиндрически вдоль оси. Оси цилиндра и конуса совпадают, диаметр цилиндра 10 см. Просверленная часть заполнена железом (удельный вес 7,5 г/см3). Найти массу образовавшегося таким образом тела.
Найти вес стальной детали. Размеры в миллиметрах на рисунке. Удельный вес стали 7,86 г/см3. Найти площадь обрабатываемой поверхности с подрезкой торца.
Найти массу стальной детали. Размеры в миллиметрах на рисунке. Плотность стали 7,86 г/см3.
Ступица сверлильного станка имеет вид: см. рисунок. Найти массу детали, размеры даны в миллиметрах плотность стали 7,86 г/см3.
Ответы
Призма. Параллелепипед.
1. 5,86м2 ; 2. 0,6м; 3. есть; 4. 9 чел.; 5. можно; 6. 8 м2; 7. 60дм3; 8. 5,1 см; 9. 540 дней; 10.8,4 г/см3; 11. 2,7 г/см3; 12. 22,3 г; 13.2,38м; 14. 19,6 см; 15. 2952 м3; 16. 6,4 м; 95000м3; 17. 8 м; 18. 61,8 см; 68 см; 76,2 см; 19. 2550 м3; на 0,98 м;
20. 2,4 т; 21. 2218 м3; 22.
· 21 м3; 23. 13; 6; 24. 26 кг; 25. 40 дней; 26. 47,7 кг;
27. 1,8 г/см3; 28. 0,01 см; 29. 106 шт; 30. 0,0625 кг; 31. 2,5м; 0,8 м; 0,5 м;
32. 6000 шт.; 3м3; 33.1,5 м; 34. в 1,25 раза; 35.513 м3; 36. 10 чел.; 37. 170 шт.; 38. 27600м2; 39. 1:3;
Пирамида.
8381 шт.; 2.20,4 см3; 3. 33 листа; 4. 1,7 см; 5. 87728 м2; 7770000м3; 6. 6 см;
Усеченная пирамида.
7 м3; 2. 52,5 т.; 3. 9,9 т.; 4. 160 дм2; 5. 4,2 т; 6. 187,5 см; 75 см; 225 см;
Цилиндр.
мм; 2. 3 мм3; 3. 180000 мм2; 183750 мм2; 4. 4,5 мин; 5. Указание: Н=L=Т n S;
6. 48 шт.; 7.12шт.; 8. 2,1; 1,2; 9. 1,4·107 Н; 10. 2484м3; 45 шт.; 11. 318 м3; 7,55%;
12. 35000 м2; 13. 210 м; 14. 15,3 кг; 15. 67,2 кг; 16. 0,17 м3; 17. 96 кг; 18. 38,6 м2;
19. 218 м; 20. 24111 кг; 21. 5,4 кг; 22. 9,4 кг; 23. 412 м; 24. 33,2 дм3; 25. 153 кг;
26. 8025 см2; 27. 4·10-5мм; 28. 80,2 м; 29. 0,72 см3; 30. 1800 т; 31. 4т; 32. 2,16 м3;
33. 0,0078 мм; 34. 28,46 м3; 35. 12 шт; 36. 4445; 37. 53; 38. 24,2 см; 39. 0,98 г/см3; 40.0,024 см2;
Конус.
40 листов; 2. 19 т.; 3. 1,6 м; 4. 10,9 см; 1970; 5. 13600 см3; 6. 9,9 т; 7. 50; 8. 4;
Усеченный конус.
4,4 кг; 2. 20978 см3; 3. 21 дм3; 4. 14,9 л; 5. 0,99 м2; 6. 0,9 м2; 7. 69,6 см; 94,9 см; 570; 8. 27 см; 9. 4400см2; 10. 0,0095 дм2;
Шар. Сфера.
1. 216 шт.; 2. 15000 км; 3. 51; 4. 9,9 см; 5. 1 т; 6. 202,5 кг; 7. 67 г; 8. 250000000;
9. 445 м2; 10. 569,2 кг; 11. 41,34 м2; 12. ввосьмером; 13. в 24 раза; 14. 1,8 кг;
15. 12 м; 16. 27; 17. на 1 шар; 18. 45 см; 19. 6200шт; 20. 37 см; 21. да; 22. 310 см2; 23. 392 м3; 24. 215 г; 25. 200 г;
Призма-пирамида. Параллелепипед- пирамида.
1. 8,25 м; 2. 53см; 3. 54,7 см3; 4. 61,5 см3; 5. 72,45 см3;
Параллелепипед – цилиндр.
18,4 т; 2. 8200 м; 3. 218,4 г; 4. 17.3 кг; 5. 305 г; 6. 12 г;
Цилиндр – шар.
2,3 см; 2. 1,7 м; 3. можно; 4. нет; 5. 100,5 кг; 6. 43 мм; 7. 2,5 т; 8. 155г;
Цилиндр – конус.
0,35 м; 2. 18,5 кг; 25 см; 3. 0,19 кг;
Цилиндр – усеченный конус.
1. 2,7 кг; 2. 14; 3. 55 кг; 4. 285 г; 5. 14,5 кг; 6. 1 кг;
Тесты для самоконтроля по темам
Глава 1. Числовые функции
Итоговый тест
Вариант 1
А1.Функция у = f(x) задана графиком на отрезке [-4;3]. Укажите область её значений.
1) (0;2); 2)[-5;0]; 3) (-2;0); 4) [-4;-3].
А2. Найдите область определения функции у = 13 EMBED Equation.3 1415.
1) 13 EMBED Equation.3 1415 2)13 EMBED Equation.3 1415 3) 13 EMBED Equation.3 1415 4) (-
·;1,5].
А3. Найдите область значений функции у = 6 cos 3x.
1) [-6 ; 6]; 2) [-18 ; 18]; 3) [-7 ;-5]; 4) [ 5 ;7].
А4. Найдите значение производной функции у = х 2 + sin x в точке х 0 =
· .
1)
· 2 – 1; 2) 2
· + 1; 3) 2
· - 1; 4) 2
·.
В1. Найдите наименьшее значение функции g(x) = log 0,5 (2 – x 2).
В2. При каком наибольшем значении m функция f(x) = -13 EMBED Equation.3 1415x 3 + m x 2 – 4mx + 3 убывает на всей
числовой прямой?
В3. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: у = 2 – х 2; у = - х.
С1. Найдите область значений функции 12 sin x – 5 cos x + 1.
Вариант 2
А1. Укажите график нечётной функции.
А2. Найдите область определения функции у = 13 EMBED Equation.3 1415.
1) (-
·;14]; 2)13 EMBED Equation.3 1415 3) 13 EMBED Equation.3 1415 4) [14; +
·).
А3. Найдите область значений функции 13 EMBED Equation.3 1415.
1) [-1 ; 1]; 2) [-2 ; 2]; 3) [-0,5 ; 1,5]; 4) [-0,5 ; 0,5].
А4. Найдите значение производной функции f(x) = ln 3x + 3x при х = 13 EMBED Equation.3 1415.
1) 0; 2) 2; 3) 6; 4) 4.
В1. Найдите наименьшее значение функции g(x) = log 0,5 (4 – x 2).
В2. Найдите минимум функции у = 13 EMBED Equation.3 1415.
В3. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у = 6х – х 2 и у = 0.
С1.Найдите область значений функции 2 sin 2 x – 6 sin x cos x + 4 cos 2 x .
Вариант 3
А1. Найдите область определения функции у = 13 EMBED Equation.3 1415.
1) (-6; +
·); 2) (-
·;-6]; 3) [-6;+
·); 4) 13 EMBED Equation.3 1415
А2. Укажите график чётной функции.
А3. Какое из следующих чисел входит во множество значений функции 13 EMBED Equation.3 1415
1) 1; 2) 2; 3) 3; 4) 4.
А4. Найдите f (1), если f(x) = ln x – 2 cos x.
1) 1; 2) -2 cos 1; 3) 1 + 2 sin 1; 4) 0.
В1. Найдите наименьшее значение функции g(x) = log 0,5 (8 – x 2).
В2. Найдите минимум функции у = 13 EMBED Equation.3 1415.
В3. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у = 5 – х 2, x = -2, х = 1, у = 0.
С1.Укажите наименьшее значение функции f(x) = 4 cos 2 x + 313 EMBED Equation.3 1415sin x + 7 sin 2 x и все значения х,
при которых оно достигается.
Вариант 4
А1. Найдите область определения функции у = 13 EMBED Equation.3 1415.
1) (-
·;-0,7]; 2)13 EMBED Equation.3 1415 3)13 EMBED Equation.3 1415 4) 13 EMBED Equation.3 1415
А2. Функция задана графиком на отрезке [-5;6]. Укажите область её значений.
1) [2;5]; 2) (2;5); 3) (1;5]; 4) [1;5].
А3. Какое из следующих чисел не входит во множество значений функции у = 13 EMBED Equation.3 1415
1) -4; 2) -1; 3) 5; 4) -3.
А4. Найти значение производной функции 13 EMBED Equation.3 1415 в точке х = е.
1) е; 2) 13 EMBED Equation.3 1415 3) 2; 4) 0.
В1. Найдите наименьшее значение функции g(x) = log 3 (3 – 3x) на промежутке [-8;0].
В2. Найдите длину промежутка возрастания функции у = 13 EMBED Equation.3 1415.
В3. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у = 3х 2 + 1 ,х =0, х = 3, у = 0.
С1.Найдите область значений функции f(x) = 1 – 2 13 EMBED Equation.3 1415.
Глава 2. Тригонометрические функции
№1. Числовая окружность разделена точками на восемь равных частей. Установите соответствие между точкой на окружности и числами.
А.
А
1.
13 EMBED Equation.3 1415
Б.
N
2.
13 EMBED Equation.3 1415
В.
M, P
3.
13 EMBED Equation.3 1415
Г.
A, C
4.
13 EMBED Equation.3 1415
А
Б
В
С
Ответ:
№2. Числовая окружность разделена точками на 12 равных частей. Установите соответствие между точками на окружности и числами.
А.
Р, Е
1.
13 EMBED Equation.3 1415
Б.
N,E
2.
13 EMBED Equation.3 1415
В.
А, P,L
3.
13 EMBED Equation.3 1415
Г.
N, L
4.
13 EMBED Equation.3 1415
А
Б
В
С
Ответ:
№3. Найдите все числа t, которым на числовой окружности соответствуют точки, принадлежащие указанной дуге.
1.
13 EMBED Equation.3 1415
2.
13 EMBED Equation.3 1415
3.
13 EMBED Equation.3 1415
4.
13 EMBED Equation.3 1415
В ответ запишите номер выбранного неравенства.
Ответ:
№4. Каким из заданных отрезков принадлежит точка 13 EMBED Equation.3 1415 числовой окружности: 13 EMBED Equation.3 1415
В ответ запиши номер выбранного отрезка.
Ответ:
№5. Найдите координаты точки на числовой окружности 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: х= , у= .
№6. Укажите дугу числовой окружности, соответствующую множеству точек с ординатой 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED PBrush 1415
Укажите номер выбранного ответа.
Ответ:
№7. Дополни.
Если точка М числовой окружности соответствует числу t, то абсциссу точки М называют _____________________ числа t и обозначают _________, а ординату точки М называют __________________ и обозначают _________.
№8. Дополни.
Отношение синуса числа t к косинусу того же числа называют ____________ числа t и обозначают ______. Отношение косинуса числа t к синусу того же числа называют _____________ числа t и обозначают _________.
№9. Расположите числа в порядке возрастания:
13 EMBED Equation.3 1415
В ответ запишите четырехзначное число.
Ответ:
№10. Расположите в порядке возрастания числа:
13 EMBED Equation.3 1415
В ответ запишите четырехзначное число.
Ответ:
№11. Вычисли значение выражений и установи соответствие.
13 EMBED Equation.3 1415
Предполагаемые ответы: 1)0; 2) Ѕ; 3)1; 4)2.
В ответ запишите четырехзначное число.
№12. Упростите выражение и найдите его значение при13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ:
№13. Расположите числа в порядке возрастания:
13 EMBED Equation.3 1415
В ответ запишите четырехзначное число.
№14. Решите уравнение 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED PBrush 1415
13 EMBED PBrush 1415
13 EMBED PBrush 1415
13 EMBED PBrush 1415
Ответ:
№15. Подбери значения m, k и n так, чтобы на данном рисунке был изображен график y=msin(kx+n).
13 EMBED PBrush 1415
№16. Найдите множество значений функции y=ctgx на отрезке 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415Ответ:
Глава 3. Тригонометрические уравнения
Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений
Глава 5. Производная
Итоговый тест по теме
«Правила дифференцирования»
Вариант 1
А1. Найдите производную функции 13 EMBED Equation.3 1415.
1) 12х2 2) 12х 3) 4х2 4) 12х3
А2. Найдите производную функции 13 EMBED Equation.3 1415.
1) -5 2) 11 3) 6 4) 6х
А3. Найдите производную функции 13 EMBED Equation.3 1415.
1) 13 EMBED Equation.3 1415 2) 13 EMBED Equation.3 1415 3) 13 EMBED Equation.3 1415 4) 13 EMBED Equation.3 1415
А4. Найдите производную функции 13 EMBED Equation.3 1415.
1) 13 EMBED Equation.3 1415 2) 13 EMBED Equation.3 1415 3) 13 EMBED Equation.3 1415 4) 13 EMBED Equation.3 1415
А5. Найдите производную функции 13 EMBED Equation.3 1415.
1) 13 EMBED Equation.3 1415 2) 13 EMBED Equation.3 1415 3) 13 EMBED Equation.3 1415 4) 13 EMBED Equation.3 1415
А6. Вычислите значение производной функции 13 EMBED Equation.3 1415 в точке хо=2.
1) 10 2) 12 3) 8 4) 6
А7. Найдите производную функции 13 EMBED Equation.3 1415.
1) 13 EMBED Equation.3 1415 2) 13 EMBED Equation.3 1415 3) 13 EMBED Equation.3 1415 4) 13 EMBED Equation.3 1415
А8. Вычислите значение производной функции 13 EMBED Equation.3 1415 в точке хо= 4.
1) 21 2) 24 3) 0 4) 3,5
А9. Вычислите значение производной функции 13 EMBED Equation.3 1415
в точке 13 EMBED Equation.3 1415 . 1) 2 2) 13 EMBED Equation.3 1415 3) 4 4) 13 EMBED Equation.3 1415
А10. Найдите производную функции 13 EMBED Equation.3 1415.
1) 13 EMBED Equation.3 1415 2) 13 EMBED Equation.3 1415 3) 13 EMBED Equation.3 1415 4) 13 EMBED Equation.3 1415
В1. Вычислите значение производной функции 13 EMBED Equation.3 1415 в точке хо= 26.
В2. Найдите значение х, при которых производная функции 13 EMBED Equation.3 1415 равна 0.
Вариант 2
А1. Найдите производную функции 13 EMBED Equation.3 1415.
1) 13 EMBED Equation.3 1415 2) 13 EMBED Equation.3 1415 3) 13 EMBED Equation.3 1415 4) 13 EMBED Equation.3 1415
А2. Найдите производную функции 13 EMBED Equation.3 1415.
1) 7 2) 12 3) -5 4) -5х
А3. Найдите производную функции 13 EMBED Equation.3 1415.
1) 13 EMBED Equation.3 1415 2) 13 EMBED Equation.3 1415 3) 13 EMBED Equation.3 1415 4) 13 EMBED Equation.3 1415
А4. Найдите производную функции 13 EMBED Equation.3 1415.
1) 13 EMBED Equation.3 1415 2) 13 EMBED Equation.3 1415 3) 13 EMBED Equation.3 1415 4) 13 EMBED Equation.3 1415
А5. Найдите производную функции 13 EMBED Equation.3 1415.
1) 13 EMBED Equation.3 1415 2) 13 EMBED Equation.3 1415 3) 13 EMBED Equation.3 1415 4) 13 EMBED Equation.3 1415
А6. Вычислите значение производной функции 13 EMBED Equation.3 1415 в точке хо=2.
1) 13 2) 3 3) 8 4) 27
А7. Найдите производную функции 13 EMBED Equation.3 1415.
1) 13 EMBED Equation.3 1415 2) 13 EMBED Equation.3 1415 3) 13 EMBED Equation.3 1415 4) 13 EMBED Equation.3 1415
А8. Вычислите значение производной функции 13 EMBED Equation.3 1415 в точке 13 EMBED Equation.3 1415.
1) -47 2) -49 3) 47 4) 11,5
А9. Вычислите значение производной функции 13 EMBED Equation.3 1415
в точке 13 EMBED Equation.3 1415 . 1) 2 2) -1 3) -2 4) 13 EMBED Equation.3 1415
А10. Найдите производную функции 13 EMBED Equation.3 1415.
1) 13 EMBED Equation.3 1415 2) 13 EMBED Equation.3 1415 3) 13 EMBED Equation.3 1415 4) 13 EMBED Equation.3 1415
В1. Вычислите значение производной функции 13 EMBED Equation.3 1415 в точке хо= -7.
В2. Найдите значение х, при которых производная функции 13 EMBED Equation.3 1415 равна 0.
Итоговый тест по теме
«Производная и её применение».
А1 Найти производную функции f(x)=2sin x + cos x-3
1) f (x) = tg x + 7; 2) f (x) = 13 EMBED Equation.3 1415- 2;
3) f (x) = 2cos x – sin x; 4) f (x) = 3sin x – 2
А2 Найдите коэффициент наклона касательной к графику функции
у = ех – х – 1 в точке х = 0
1) 1; 2) -1; 3) е; 4) 0
А3 При движении тела по прямой расстояние S (км) от начальной
точки меняется по закону S(t) = 13 EMBED Equation.3 1415 (t – время движения в
часах). Найдите скорость (км/ч) тела через 1 час после начала
движения.
1) 2; 2) 1,5; 3) 0,1; 4) 0,5
В1 Найдите наибольшее значение функции f(x) = -х2 + 4х +21
В2 Найдите точку минимума функции h(x) = е3х+7х3
В3 Функция у = f(x) определена на промежутке (-3;7). На рисунке
изображён график её производной. Найдите точку х0, в которой
функция у = f(x) принимает наименьшее значение.
Часть 3
С1 При каком значении параметра а функция у = 13 EMBED Equation.3 1415 имеет
минимум в точке х0 = 1?
С2 Найдите наименьшее значение функции
f(x)=0,25x-13 EMBED Equation.3 1415+x2+(13 EMBED Equation.3 1415)2
Глава 6. Степени и корни. Степенные функции
Тест по теме «Степень с натуральным показателем и ее свойства»
1 вариант.
А 1. Как называется выражение (- 9)6?
1) основание степени 2) показатель степени 3) степень.
А 2. Дано выражение (- 9)6. Как в этом выражении называется число 6?
1) основание степени 2) показатель степени 3) степень.
А 3. Дано выражение (- 9)6. Как в этом выражении называется число - 9?
1) основание степени 2) показатель степени 3) степень.
А 4. Запишите произведение (- 3)·(- 3)·(- 3)
·(- 3)·(- 3)·(- 3) в виде степени.
1) (– 6)3 2) - 63 3) (-3)6 4) -3 6
А 5. Найдите значение выражения (13 QUOTE 1415)4
1) 13 QUOTE 1415 2) 13 QUOTE 1415 3) 13 QUOTE 1415 4) 13 QUOTE 1415
А 6. Найдите значение выражения – 2,5
· (-10)3
- 2500 2) 2500 3) 25000 4) -25000
А 7. Представьте в виде степени с основанием 4 число 16
13 QUOTE 1415 2) 13 QUOTE 1415 3) 13 QUOTE 1415 4) 13 QUOTE 1415
А 8. Представьте в виде степени 13 QUOTE 1415
· а
· 13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415 2) 13 QUOTE 1415 3) 13 QUOTE 1415 4) 13 QUOTE 1415
А 9. Представьте в виде степени 13 QUOTE 1415 : 13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415 2) 13 QUOTE 1415 3) 13 QUOTE 1415 4) 13 QUOTE 1415
А 10. Представьте в виде степени 13 QUOTE 1415
· 13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415 2) 13 QUOTE 1415 3) 13 QUOTE 1415 4) 13 QUOTE 1415
А 11. Упростите выражение 13 QUOTE 1415.
13 QUOTE 1415. 2) 13 QUOTE 1415 3) 13 QUOTE 1415 4) 13 QUOTE 1415
А 12. Упростите выражение 13 QUOTE 1415.
400 2) 40 3) 13 QUOTE 1415 4) 13 QUOTE 1415
В 1. Представьте число 13 QUOTE 1415в виде степени с основанием 2. ______
В 2. Представьте в виде степени 13 QUOTE 1415
· 0,09 = ________________
В 3. Найдите значение выражения 13 QUOTE 1415 = _____________________________
В 4. Найдите значение выражения 13 QUOTE 1415 при х = 13 QUOTE 1415, у = 5. ___________________
В 5. Упростите выражение 13 QUOTE 1415 = _______
В 6. Не выполняя вычислений, расположите в порядке возрастания следующие числа: 0,40; (-1,5)2; (-1,5)7
В 7. При каком натуральном p верно равенство ((с2)p)3 = c12? ______
В 8. Вычислите 13 QUOTE 1415 = ______
2 вариант.
А 1. Как называется выражение (- 4)5?
1) основание степени 2) показатель степени 3) степень.
А 2. Дано выражение (- 4)5. Как в этом выражении называется число - 4?
1) основание степени 2) показатель степени 3) степень.
А 3. Дано выражение (- 4)5. Как в этом выражении называется число 5?
1) основание степени 2) показатель степени 3) степень.
А 4. Запишите произведение (- 10)·(- 10)·(- 10)
·(- 10)·(- 10)·(- 10) в виде степени.
1) 6 -10 2) (- 6)10 3) -106 4) (-10) 6
А 5. Найдите значение выражения (13 QUOTE 1415)4
1) 13 QUOTE 1415 2) 13 QUOTE 1415 3) 10 4) 13 QUOTE 1415
А 6. Найдите значение выражения – 5,2
· (-10)5
1) 5200000 2) - 5200000 3) - 520000 4) 520000
А 7. Представьте в виде степени с основанием 2 число 64.
1) 13 QUOTE 1415 2) 13 QUOTE 1415 3) 13 QUOTE 1415 4) 13 QUOTE 1415
А 8. Представьте в виде степени 13 QUOTE 1415
· а
· 13 QUOTE 1415
1) 13 QUOTE 1415 2) 13 QUOTE 1415 3) 13 QUOTE 1415 4) 13 QUOTE 1415
А 9. Представьте в виде степени 13 QUOTE 1415 : 13 QUOTE 1415
1) 13 QUOTE 1415 2) 13 QUOTE 1415 3) 13 QUOTE 1415 4) 13 QUOTE 1415
А 10. Представьте в виде степени 13 QUOTE 1415
· 13 QUOTE 1415
1)13 QUOTE 1415 2) 13 QUOTE 1415 3) 13 QUOTE 1415 4) 13 QUOTE 1415
А 11. Упростите выражение 13 QUOTE 1415.
1) 13 QUOTE 1415 2) 13 QUOTE 1415 3) 13 QUOTE 1415 4) 13 QUOTE 1415
А 12. Упростите выражение 13 QUOTE 1415.
1) 13 QUOTE 1415 2) 80 3) 1600 4) 13 QUOTE 1415
В 1. Представьте число 13 QUOTE 1415в виде степени с основанием 5. ______
В 2. Представьте в виде степени 13 QUOTE 1415
· 0,25 = ________________
В 3. Найдите значение выражения 13 QUOTE 1415 = _____________________________
В 4. Найдите значение выражения 13 QUOTE 1415 при х = 13 QUOTE 1415, с = 7. ___________________
В 5. Упростите выражение 13 QUOTE 1415 = _______
В 6. Не выполняя вычислений, расположите в порядке возрастания следующие числа: 1,80; (-2,1)2; (-2,1)3
В 7. При каком натуральном p верно равенство ((сp)2)4 = c16? ______
В 8. Вычислите 13 QUOTE 1415 = ______
Итоговый тест
Вариант 1
А1. Найдите значение выражения 8113 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 - 3 13 EMBED Equation.3 1415
· 3 13 EMBED Equation.3 1415.
1) -6; 2) 13 EMBED Equation.3 1415; 3) 6; 4) 11,25
А2. Найдите значение выражения 13 EMBED Equation.3 1415 при х = 16.
1) -1; 2) 7; 3) -3; 4) 9.
А3. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения
· 2х + 7 – 2 = х.
1) (0; 2); 2) (-2;0); 3) (7; 10); 4) (5;7).
В1. Решите уравнение: 13 EMBED Equation.3 1415
В2. Пусть (х 0; у 0)- решение системы уравнений:
· 16 – 8х + х 2 + у = 2, Найдите произведение
у – 5х + 10 = 0. х 0
· у 0.
С1. При каких значениях параметра а уравнение
· х + 1 = х + а имеет единственное решение?
Вариант 2
А1. Найдите значение выражения 13 EMBED Equation.3 1415
· 13 EMBED Equation.3 1415 – 2
· 313 EMBED Equation.3 1415 .
1) 2; 2) 3 -13 EMBED Equation.3 1415; 3) 0; 4)
·3.
А2. Найдите значение выражения 13 EMBED Equation.3 1415 при х = 81;
1) 1; 2) 9; 3) 3; 4) -1.
А3. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения 13 EMBED Equation.3 1415= 4 - х.
1) (-1; 0]; 2) [4;+
·); 3) (0; 3]; 4) (3;4).
В1. Решите уравнение:
· x + 5 =
· 4x + 9 -
· x.
В2. Пусть (х 0; у 0)- решение системы уравнений:
y +
·25 – х 2 = 0, Найдите сумму
у + 5 = | x – 6 |. х 0 + у 0.
С1. Решите уравнение
· 2 – 2,5 sin x = cos x .
Вариант 3
А1. Найдите значение выражения 13 EMBED Equation.3 1415
· 13 EMBED Equation.3 1415 – 3613 EMBED Equation.3 1415 .
1) -1; 2) -13; 3) 1; 4) 5 3
·5 .
А2. Упростите выражение 13 EMBED Equation.3 1415
1) 0; 2) - у 13 EMBED Equation.3 1415; 3) – у 13 EMBED Equation.3 1415; 4) у 2.
А3. Решите уравнение
· 2х - 1 = х - 2. Укажите верное утверждение:
корней два, и они оба положительные; 2) корней два, и они разных знаков;
корень один, и он положительный; 4) корень один, и он отрицательный.
В1. Решите уравнение:
· 2x + 3 +
· x – 2 = 2
· x + 1.
В2. Пусть (х 0; у 0)- решение системы уравнений:
· х - 3 = у, Найдите сумму
| x – 3 | - у = 2. х 0 + у 0.
С1. При каких значениях параметра а уравнение
· а х – 8а = х – 1 не имеет корней?
Вариант 4
А1. Найдите значение выражения 313 EMBED Equation.3 1415
· 2 0,5 - 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 .
1) 2; 2) 5
·2; 3) 10; 4) 4.
А2. Упростите выражение: 10 a 13 EMBED Equation.3 1415 + (13 EMBED Equation.3 1415 – 5) 2.
1) 25; 2) а + 5а13 EMBED Equation.3 1415 + 25; 3) а + 25; 4) 5а13 EMBED Equation.3 1415.
А3. Решите уравнение 2 – х = 13 EMBED Equation.3 1415. Укажите верное утверждение:
1) корень один, и он положительный; 2) корней два, и они разных знаков;
3) корень один, и он отрицательный; 4) корней два, и они отрицательные.
В1. Решите уравнение: 13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415
В2. Пусть (х 0; у 0)- решение системы уравнений:
· х - 3 = у, Найдите произведение
2| x – 3 | - у = 1. х 0
· у 0.
С1. Решите уравнение 3 +
· 16 х | x – 2 | + 9 = 4x.
Глава 7. Показательная и логарифмическая функции
Итоговый тест по теме: «Показательная функция».
Вариант 1
А1. Укажите график функции, заданной формулой у = 0,5х.
А2. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения13 EMBED Equation.3 1415
1) (-4;-2]; 2) (-2;0]; 3) (2;4]; 4) (0;2].
А3. Решите неравенство 13 EMBED Equation.3 1415 < 13 EMBED Equation.3 1415.
1) (-
·;5); 2) (-
·;7); 3) (5;+
·); 4) (7;+
·).
А4. Найдите область значений функции у = 3х + 1.
1) (-1; +
·); 2) (0; +
·); 3) (1; +
·); 4) (-
·;1).
В1. Найдите корень уравнения 7
· 5х – 5 х+1 = 2
· 5 -3.
В2. Найдите наименьшее целое значение х, удовлетворяющее неравенству
13 EMBED Equation.3 1415 – 2 1 – х – 8
· 0.
C1. Решите уравнение 3 | sin x – 1 | = 9.
Вариант 2
А1. Укажите график функции, заданной формулой у = 3 х.
А2. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения13 EMBED Equation.3 1415
1) (-1;0]; 2)(0;1]; 3) (1;2]; 4) (2;3].
А3. Решите неравенство 81
· 3 х > 13 EMBED Equation.3 1415.
1) (-2; +
·); 2) (-6; +
·); 3) (-
·;-6); 4) (-
·;-6).
А4. Найдите область значений функции у = 13 EMBED Equation.3 1415
1) (1; +
·); 2) (0; +
·); 3)13 EMBED Equation.3 1415 4) (-1; +
·).
В1. Решите уравнение 2 2х + 14
· 2 х + 1 – 29 = 0.
В2. Найдите наибольшее целое решение неравенство
· 32
· 213 EMBED Equation.3 1415
· 8 3х.
С1. Решите уравнение 2 | cos x – 2 | = 8.
Вариант 3
А1. Укажите график функции, заданной формулой у = 4 х.
А2. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения 9 2,5х – 2 = 13 EMBED Equation.3 1415.
1)[-2;-1); 2) [-1;0); 3) [1;2); 4) [0;1).
А3. Решите неравенство 2
· 2х
· 13 EMBED Equation.3 1415.
1) [-2; +
·); 2) (-
·;4]; 3) (-
·;-4]; 4) [-4; +
·).
А4. Найдите область значений функции у =13 EMBED Equation.3 1415.
1) (0; +
·); 2) (13 EMBED Equation.3 1415; +
·); 3) (3; +
·); 4) (-3; +
·).
В1. Решите уравнение 5
· 2 2х + 2 + 3
· 2 2х – 1 =86.
В2. Найдите наименьшее целое значение х, удовлетворяющее неравенству
25
· 0,04 2x > 0,2 x (3 - x) .
С1. Решите уравнение х 2
· 4 13 EMBED Equation.3 1415 + 4 2 + х = 16
· 2 213 EMBED Equation.3 1415 + х 2
· 2 2х.
Вариант 4
А1. Укажите график функции, заданной формулой у = 1,5 х.
А2. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения 8 0,5х + 2 =13 EMBED Equation.3 1415 .
1) (6;7]; 2) (2;6]; 3) (-2;2]; 4) (-7;-2].
А3. Решите неравенство 13 EMBED Equation.3 1415
· 4
1) (-
·;-4); 2) (-4; +
·); 3) (-
·;-4]; 4) [4; +
·).
А4. Найдите область значений функции у = 10 х – 1.
1) (-
·;-1); 2) (-1; +
·); 3) (1; +
·); 4) (10; +
·).
В1. Решите уравнение 2
· 4 х +1 – 2 х+1 – 1 = 0.
В2. Найдите наименьшее целое решение неравенства 0,7 | x + 2 |
· 0,7 0,5.
C1. Решите уравнение 5
· 3 2x + 15
· 5 2x – 1 = 8
· 15 x .
Итоговый тест по теме: «Логарифмическая функция».
Вариант 1
A1. Найдите значение выражения: 2 log 2 7 + log 5 75 – log 53.
1) 9; 2) 32; 3) 51; 4) 4.
А2. Укажите график функции у = log 4 x.
А3. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения: lg (x – 10) = 1.
1) (19;21); 2) (-1;1); 3) (-11;-9); 4) (9;11).
А4. Решите неравенство log 2,2 (1,1 – 0,5x)
· 1.
1) (-
·;-2,2]; 2) (-
·;2,2); 3) [-2,2;+
·); 4) [-2,2;2,2).
В1. Решите уравнение log 2 (x+1) – log 2 (x-1) = 1.
.
В2. Найдите наибольшее целое значение х, удовлетворяющее неравенству
log
·10 (2x 2 + x) < 2.
C1. Решите уравнение | x – 5 |
· lg x = x – 5.
Вариант 2
А1. Упростите выражение: 3 13 EMBED Equation.3 1415 log 3 4.
1) 2; 2) 8; 3) 9; 4) 16.
А2. Укажите график функции у = log 13 EMBED Equation.3 1415 x.
А3. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения log 5 (9 -2x) = 2.
1) (-10;-7); 2) (3;5); 3) (-1;2); 4) (-14;-11).
А4. Решите неравенство log 2 (2 – 0,7x)
· - 2.
1) 13 EMBED Equation.3 1415 2) 13 EMBED Equation.3 1415; 3) (-
·;2,5]; 4) [2,5; +
·).
В1. Решите уравнение log 25 (x – 1) +13 EMBED Equation.3 1415 = log 13 EMBED Equation.3 1415 125.
В2. Найдите наибольшее целое решение неравенства log 13 EMBED Equation.3 1415 (7x - 3х2) < - 1.
C1. Решите уравнение
· 1 + tg x
· log 0,5 (3-x) = 0.
Вариант 3
А1. Упростите выражение 7 log 7 3 + log 3 135 – log 3 45.
1) 2; 2) 4; 3) 8; 4) 6.
А2. Укажите график функции у = log 2 x.
А3. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения lg (4x + 1) = 1.
1) (2;3); 2) (1;2); 3) (-3;-2); 4) (-1;1).
А4. Решите неравенство log 13 EMBED Equation.3 1415 (6 – 0.3x) > -1.
1) (-10; +
·); 2) (-
·; -10); 3) (-10;20); 4) (-0,1;20).
В1. Решите уравнение log 13 EMBED Equation.3 1415 (х + 2) + 3 log 13 EMBED Equation.3 1415(х + 2)= 1.
В2. Найдите наибольшее целое решение неравенства log13 EMBED Equation.3 1415 (х + 2) – log 9 (x + 2) > - 1,5.
С1. Решите уравнение 13 EMBED Equation.3 1415 = | cos((2x – 2)
· sin 3 x)| - 1.
Вариант 4
А1. Упростите выражение 4 log 4 3 + log 2 12 – 2 log 2
·3 .
1) 8; 2) 12; 3) 6; 4) 5.
А2. Укажите график функции у = log 13 EMBED Equation.3 1415 x.
А3. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения log 0,1 (2x + 5) = 0.
1) (-4; 0); 2) (2; 4); 3) (0; 2); 4) (-7;-5).
А4. Решите неравенство log 0,3 (4x – 15)
· 0.
1) [4; +
·); 2) (-
·;4]; 3) (0;4]; 4)13 EMBED Equation.3 1415
В1. Решите уравнение log 3 13 EMBED Equation.3 1415 – 2 log 13 EMBED Equation.3 1415 (x + 3) = 2.
В2.Найдите наибольшее целое решение неравенства log 13 EMBED Equation.3 1415 (2x – 1) – log 13 EMBED Equation.3 1415 (2х – 1) < 2,5.
C1. Для каждого допустимого значения параметра а решите неравенство
13 EMBED Equation.3 1415> 13 EMBED Equation.3 1415.
Итоговый тест по теме «Вычисление логарифмов»
Вычислите:
а) log 3 81
1) 3 2) -3 3) 4 4) 27
б) 13 EMBED Equation.3 1415
1) -1/2 2) 1/2 3) -2 4) 1/4
в) lg 0,001
1) 3 2) -3 3)10 4)-0,1
г) 25-log5 2
1) 5 2)0,25 3) 1/2 4) 4
д) log3 log3log3 2
1) 27 2)1 3) 0 4) 3
2. .Найдите число, логарифм которого по основанию 3 равен -2
1) -6 2)1,5 3) 9 4) 13 EMBED Equation.3 1415
3. При каком основании логарифм числа 13 EMBED Equation.3 1415 равен 2
1) 13 EMBED Equation.3 1415 2) 4 3) 8 4) 13 EMBED Equation.3 1415
4. Какие из выражений имеют смысл:
а) log2 0,8 b) log4 cos 90° c) log3 (1- 13 EMBED Equation.3 1415) d) log7 (-7)
5. Решите уравнение: log5 х =2
1)32 2) 0,4 3) 2,5 4) 25
6. Вычислить
log 30 5+ log 30 2 + log 30 3
1) 2 2) 3 3)1 4)0
log 5 22 - log 5 11 - log 5 10
1)0 2) -1 3) 2 4) 1
log 7 196 - 2log 7 2
1)2 2) 3 3)7 4)1
(log 4 24 - log 4 8)
· log 3 4 +5
1) 4 2) 3 3) 5 4)6
5. 13 EMBED Equation.3 1415
1)17 2) 15 3) 10 4) 0
6 13 EMBED Equation.3 1415
1) 10 2) 0 3) 4 4) 8
7. Найдите log 3 12 , если log 3 4 =в
1) в 2) 3в 3) 1+в 4) 3+в
8. Решите уравнения log 4 х = -1,5 и 13 EMBED Equation.3 1415. Найти произведение их корней
1) 1 2) 9/8 3) 8 4)3
9. Найти длину окружности, если её радиус равен значению выражения
(cos2 22°30ґ - sin2 22°30ґ)13 EMBED Equation.3 1415
1) 3213 EMBED Equation.3 1415 2) 1613 EMBED Equation.3 1415 3) 64 13 EMBED Equation.3 1415 4)4
Итоговый тест по теме «Решение логарифмических уравнений»»
Какое из чисел 5, -2, 6, 0 является корнем уравнения log 2 (x-5) + log2 (x+2) = 3
1) 0 2) 6 3) 5 4)-2
2 .Найдите произведение корней уравнений: lg 10000 = x и log5x = 3
1) 30 2) 500 3) 6 4) 12
Какому промежутку принадлежит корень уравнения log2 (х+8) = log230 log25
1) (-
· ; 6] 2) [7; 8) 3) (15; +
·) 4) (3;5)
Найти сумму корней уравнения: lg (x+1) + lg(x-1) = lg3
1) 0 2) 4 3) 2 4) 3
5. Найти частное от деления большего корня уравнения на меньший:
log0.5 13 EMBED Equation.3 1415х =3
1)16 2) -3 3) 4 4) 0,5
6 .Найдите ординату точки пересечения графиков у = log2 х и у = 5 – log2 (х+4)
1) 4 2)1 3) 2 4) 8
7.Укажите наименьший целый корень уравнения (х-1)13 EMBED Equation.3 1415=3
1) 2 2) 3 3) 4 4) -2
8. Если х1 – наименьший корень уравнения хlg 2,2 = 2,2 lg x, кратный 21, то выражение
2213 EMBED Equation.3 1415 равно
1) 44 2) lg 44 3) lg43 4)43
Итоговый тест по теме;
«Решение показательных уравнений и неравенств»
Вариант 1
А1. Какой формулой задается функция, график которой изображен на рисунке?
13 EMBED GraphCtrl.Document 1415
1) 13 EMBED Equation.3 1415 2) 13 EMBED Equation.3 1415 3) 13 EMBED Equation.3 1415 4) 13 EMBED Equation.3 1415
А 2. Решите уравнение 13 EMBED Equation.3 1415
1) –1; 2) 1; 3) 7; 4) –7.
А3. Укажите промежуток, содержащий корень уравнения 13 EMBED Equation.3 1415
1) (9; 11); 2) (9; 10); 3) (3; 5]; 4) [0; 3].
А 4. Решите уравнение 13 EMBED Equation.3 1415
1) 13 EMBED Equation.3 1415 2) –2; 3) 13 EMBED Equation.3 1415 4) 0.
А 5. Решите неравенство 13 EMBED Equation.3 1415
1) 13 EMBED Equation.3 1415 2) 13 EMBED Equation.3 1415 3) (–4; 3); 4) (–3; 4).
А 6. Найдите наибольшее целое решение неравенства 13 EMBED Equation.3 1415
1) –5; 2) –4; 3) –3; 4) 0.
Решите уравнение 13 EMBED Equation.3 1415 В ответе укажите корень уравнения или сумму корней, если их несколько.
Найдите наименьшее целое число, принадлежащее множеству решений неравенства 13 EMBED Equation.3 1415
Найдите нули функции 13 EMBED Equation.3 1415
Вариант 2
А 1. Какой формулой задается функция, график которой изображен на рисунке?
13 EMBED GraphCtrl.Document 1415
1) 13 EMBED Equation.3 1415 2) 13 EMBED Equation.3 1415 3) 13 EMBED Equation.3 1415 4) 13 EMBED Equation.3 1415
А 2. Решите уравнение 13 EMBED Equation.3 1415
1) 1; 2) 4; 3) –1; 4) 0.
А 3. Укажите промежуток, содержащий корень уравнения 13 EMBED Equation.3 1415
1) 13 EMBED Equation.3 1415; 2) (–0,8; 2]; 3) (2; 3,5); 4) [4; 10).
А 4. Решите уравнение 13 EMBED Equation.3 1415
1) 13 EMBED Equation.3 1415 2) 13 EMBED Equation.3 1415 3) 13 EMBED Equation.3 1415 4) 13 EMBED Equation.3 1415.
А 5. Решите неравенство 13 EMBED Equation.3 1415
1) 13 EMBED Equation.3 1415 2) 13 EMBED Equation.3 1415 3) (–1; 7); 4) (–7; 1).
А 6. Найдите наибольшее целое решение неравенства 13 EMBED Equation.3 1415
1) –1; 2) –2; 3) –5; 4) –10.
Решите уравнение 13 EMBED Equation.3 1415 В ответе укажите корень уравнения или сумму корней, если их несколько.
Найдите наименьшее целое число, принадлежащее множеству решений неравенства 13 EMBED Equation.3 1415
Найдите нули функции 13 EMBED Equation.3 1415
Итоговый тест по теме:
«Производная и первообразная показательной и логарифмической функций».
Вариант 1
А1. Найдите производную функции у = ех – 2х2.
1) у = ех – х; 2) у = -4х; 3) у = ех + 4х; 4) у = ех – 4х.
А2. Вычислите f (13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415), если f (x) = ех sinx.
1) о; 2) 2е13 EMBED Equation.3 1415
·2; 3) 1; 4) 13 EMBED Equation.3 1415е13 EMBED Equation.3 1415.
А3. Укажите первообразную функции f (x) = 2x + 13 EMBED Equation.3 1415на промежутке ( 0 ; +
· ).
1) F (x) = 2 –13 EMBED Equation.3 1415; 2) F (x) = х2 + ln x; 3) F (x) = х2 –13 EMBED Equation.3 1415; 4) F (x) = 2x + ln x.
В1. Сколько промежутков возрастания имеет функция у = х2 log2 x?
В2. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у = 2х, у = 1, х = 3. (Результат округлите
до десятых.)
С1. Напишите уравнение касательной к графику функции f (x) = 13 EMBED Equation.3 1415 – 1 в точках его
пересечения с осью абсцисс.
Вариант 2
А1. Укажите производную функции f (x) = ех (1 + sin x).
1) f (x) = ех (1 + sin x – cos x ); 2) f (x) = ех (1 - sin x + cos x );
3) f (x) = ех (1 + sin x + cos x ); 4) f (x) = ех cos x.
А2. Найдите f (13 EMBED Equation.3 1415), если f (x) =13 EMBED Equation.3 1415 + ln x .
1) 13 EMBED Equation.3 1415 ; 2) ln4; 3) 1 + ln4; 4) 13 EMBED Equation.3 1415.
А3. Укажите первообразную функции f (x) = 13 EMBED Equation.3 1415 на промежутке ( 0 ; +
· ).
1) F (x) = 2x + ln x; 2) F (x) = ln(2 + х); 3) F (x) = ln 2x; 4) F (x) = 2 ln x.
В1. Найдите наименьшее значение функции f (x) = ех + е-х на отрезке [-1;2].
В2. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у = 3х, х = 0, х = 1. (Результат округлите
до десятых).
С1. Найдите промежутки возрастания и убывания функции f (x) = х
·13 EMBED Equation.3 1415.
Вариант 3
А1. Найдите производную функции у = 2 х + 9х 2.
1) у = 2 х + 18х; 2) у = 2 х ln 2 + 18; 3) у = 2 х ln 2 + 18х; 4) у = 13 EMBED Equation.3 1415 + 9х.
А2. Найдите производную функции
·(х) в точке х0 = 1, если
·(х) = 13 EMBED Equation.3 1415
1) 1; 2) 0,5; 3) 13 EMBED Equation.3 1415; 4) 1,5.
А3. Укажите первообразную функции f (x) = ех - х 3.
1) F (x) = ех -13 EMBED Equation.3 1415; 2) F (x) = ех-1 – 3е2; 3) F (x) = ех – 3х2; 4) F (x) = ех – х4.
В1. Найдите количество промежутков возрастания функции у = 2 ех (х3 + 2х2).
В2. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у = 2х13 EMBED Equation.3 1415, у = 0, х = 1, х = 8.
С1. Найдите наименьшее значение функции f (x) = 13 EMBED Equation.3 1415
· (2 х + 2 –х) на отрезке [-1;1].
Вариант 4
А1. Найдите производную функции f (x) =7 х + ех - 7.
1) f (x) = x ln 7 + x; 2) f (x) = 7 х ln 7 + ех; 3) f (x) = 7x + 1 – ех lg e; 4) f (x) = 13 EMBED Equation.3 1415 - 3.
А2. Найдите f (-13 EMBED Equation.3 1415), если f (x) = 13 EMBED Equation.3 1415 ln (- 4х).
1) 1; 2) -13 EMBED Equation.3 1415; 3) 4; 4) -3.
А3. Укажите первообразную функции f (x) = ех + 12.
1) F (x) = ех; 2) F (x) = ех-1; 3) F (x) = ех + 12х; 4) F (x) = ех + 12.
В1. Найдите наибольшее значение функции f (x) = ln (е2 – х2) на отрезке [-1;1].
В2. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у = 13 EMBED Equation.3 1415, х = 1, у = 13 EMBED Equation.3 1415. (Результат
округлите до сотых.)
С1. Решите неравенство f (t) >
· (t) , если f (t) = 4 t,
· (t) = 2 t + 1
Глава 8. Первообразная и интеграл
Вариант 1
А1. Укажите первообразную функции f(x) = x + cos x.
1) F(x) = 13 EMBED Equation.3 1415 + sin x; 2) F(x) = 13 EMBED Equation.3 1415 - sin x; 3) F(x) = x 2 + cos x: 4) F(x) = 2 – cos x.
А2. Для функции f(x) = 1 + 13 EMBED Equation.3 1415 укажите первообразную F, если известно, что F(1) = 3.
1) x + x 2 + 7; 2) 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415; 3) 13 EMBED Equation.3 1415 ; 4) 2 x 2 + 2x + 1.
А3. Тело движется прямолинейно, и его скорость изменяется по закону v(t) = (6t + 4) м/с. В момент времени t = 3 с тело находится на расстоянии S = 19 м от начала отсчёта. Укажите формулу, которой задаётся зависимость расстояния от времени.
1) S(t) = 3t 2 – 4t + 4; 2) S(t) =3t 2 - 4t - 20; 3) S(t) =2t 2 + 4t - 20; 4) S(t) =3t 2 + 4t + 20.
В1. На рис. изображён график функции у = ах2 + bx + и четыре прямые. Укажите номер той,
для которой квадратичная функция является первообразной .
В2. Найдите значение выражения 2S, если S- площадь фигуры, ограниченной линиями у = х2 + 1 и у + х = 3.
С1. Найдите объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной заданными линиями: 13 EMBED Equation.3 1415, у = 0, х = 13 EMBED Equation.3 1415
Вариант 2
А1. Укажите первообразную функции f(x) = 3 - cos x.
1) F(x) = x3 – sin x; 2) F(x) = -sin x; 3) F(x) = 3x – sin x; 4) F(x) = 3x + sin x.
А2. Для функции f(x) = 2 +4x укажите первообразную F, если известно, что F(-1) = 1.
1) F(х) = 2x + 2х2 + 3; 2) F(х) = 2x + 2х2 - 3; 3) F(х) = 4; 4) F(х) = 2х2 + 2x + 1.
А3. Тело движется прямолинейно, и его скорость изменяется по закону v(t) = (2t - 3) м/с. В момент времени t = 5 с тело находится на расстоянии S = 10 м от начала отсчёта. Укажите формулу, которой задаётся зависимость расстояния от времени.
1) S(t) = t 2 – 3t; 2) S(t) =t 2 - 3t - 20; 3) S(t) =2t 2 - 3t + 10; 4) S(t) =t 2 + 3t - 10.
В1. На рис. изображён график функции у = ах2 + bx + и четыре прямые.
Укажите номер той, для которой квадратичная функция является первообразной.
В2. Найдите значение выражения 6S, если S- площадь фигуры, ограниченной линиями
у = х2 – 2x + 1 и графиком её производной.
С1. Найдите объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной заданными линиями: 13 EMBED Equation.3 1415, у = 0, х = 13 EMBED Equation.3 1415 .
Вариант 3
А1. Укажите первообразную функции f(x) = 3 х2 - sin x.
1) F(x) = x3 – cos x; 2) F(x) = 2x + sin x; 3) F(x) = x3 + cos x; 4) F(x) = 13 EMBED Equation.3 1415
А2. Для функции f(x) = x - 3х2 укажите первообразную F , если известно, что F(0) = 2.
1) F(x) = х2 - 13 EMBED Equation.3 1415 + 2; 2) F(x) = 2х2 - 13 EMBED Equation.3 1415 + 2; 3) F(x) = 13 EMBED Equation.3 1415; 4) F(x) = 13 EMBED Equation.3 1415;
А3. Тело движется прямолинейно, и его скорость изменяется по закону v(t) = (3t2 – 6t) м/с. В момент времени t = 2 с тело находится на расстоянии S = 1 м от начала отсчёта. Укажите формулу, которой задаётся зависимость расстояния от времени.
1) S(t) = t 3 – 3t2 + 4; 2) S(t) =t 3 - 3t2 + 5; 3) S(t) =3t 3 - 3t2 + 1; 4) S(t) =t 3 + 3t2 - 20.
В1. На рис. изображён график функции у = ах2 + bx + и четыре прямые. Укажите номер той, для которой квадратичная функция является первообразной.
В2. Найдите значение выражения 3S, если S- площадь фигуры, ограниченной графиком функции f(x)=2x – 2 и графиком её первообразной F(x), зная, что F(0) =1.
С1. Найдите объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной заданными линиями:13 EMBED Equation.3 1415
Вариант 4
А1. Укажите первообразную функции f(x) = 2sin x – 5.
1) F(x) = 2 cos x; 2) F(x) = 2 cos x-5x; 3) F(x) = -2 cos x-5; 4) F(x) = -2 cos x.
А2. Для функции f(x) = x – 3 х2 укажите первообразную F, если известно, что F(0) = 2.
1) F(х) =13 EMBED Equation.3 1415 x2 - 3х3 + 3; 2) F(х) = 1 - 6х + 1; 3) F(х) = x2 - 3х3 + 2; 4) F(х) = 13 EMBED Equation.3 1415х2 - х3 + 2.
А3. Тело движется прямолинейно, и его скорость изменяется по закону v(t) = (3t2 + t) м/с. В
момент времени t = 2 с тело находится на расстоянии S = 12м от начала отсчёта. Укажите формулу, которой задаётся зависимость расстояния от времени.
1) S(t) = t 3 – 2t2 + 4; 2) S(t) =6t - 36 ; 3) S(t) =t 3 + 0,5t2 + 2; 4) S(t) =t 3 + 0,5t2 - 12.
В1. На рис. изображён график четырёх прямых. Для прямой у = m найдите график её
первообразной.
В2. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции у = - 3х2 + 6х + 1, касательной к
этой кривой, проведённой в точке пересечения этого графика с осью ординат и прямой х = 2.
С1. Найдите объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной заданными линиями: 13 EMBED Equation.3 1415
Глава 9. Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятностей
Вариант 1
А1. Сколькими способами могут разместиться 4 человека в салоне автобуса на четырех свободных местах?
1) 4 2) 16 3) 24 4) 12
А2. Сколько существует вариантов выбора двух чисел из четырех?
1) 6 2) 4 3) 2 4) 8
А3. В шахматном турнире участвуют 9 человек. Каждый из них сыграл с каждым по одной партии. Сколько всего партий было сыграно?
1) 36 2) 18 3) 72 4) 16
А4. Выберите число, на которое не делится число 30!
1) 108 2) 91 3) 72 4) 62
А5. Сколькими способами могут разместиться 3 человека в четырехместном купе на свободных местах?
1) 36 2) 16 3) 24 4) 12
А6. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5 без повторений цифр?
1) 24 2) 36 3) 45 4) 60
А7. После группировки данных эксперимента получилась такая таблица их распределения:
Варианта
10
11
12
13
14
15
16
Кратность варианты
2
4
5
14
10
8
7
Определите объем выборки.
1) 100 2) 50 3) 14 4) 92
А8. Используя таблицу распределения данных из задания А7 определите моду измерения:
1) 6 2) 16 3) 14 4) 13
А9. В партии из 2500 семян подсолнечника 50 семян не взошли. Какова относительная частота появления невсхожих семян?
1) 0,02 2) 0,05 3) 0,01 4) 0,025
А10. Какова вероятность того, что при бросании игрального кубика выпадет более 4 очков?
1) 13 EMBED Equation.3 1415 2) 13 EMBED Equation.3 1415 3) 13 EMBED Equation.3 1415 4) 13 EMBED Equation.3 1415
Вариант 2
А1. Сколько пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5 без повторений цифр?
1) 25 2) 120 3) 60 4) 50
А2. Сколько существует вариантов выбора двух чисел из шести?
1) 12 2) 16 3) 10 4) 15
А3. В шашечном турнире участвуют 8 человек. Каждый из них сыграл с каждым по одной партии. Сколько всего партий было сыграно?
1) 36 2) 24 3) 28 4) 16
А4. Выберите число, на которое не делится число 20!
1) 76 2) 45 3) 46 4) 910
А5. Сколькими способами можно выбрать из восьми карандашей различного цвета четыре карандаша?
1) 1680 2) 840 3) 420 4) 240
А6. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 без повторений цифр?
1) 420 2) 360 3) 240 4) 180
А7. После группировки данных эксперимента получилась такая таблица их распределения:
Варианта
8
10
12
14
16
18
20
Кратность варианты
1
6
15
12
10
19
12
Определите объем выборки.
1) 100 2) 50 3) 98 4) 75
А8. Используя таблицу распределения данных из задания А7 определите моду измерения:
1) 18 2) 20 3) 19 4) 14
А9. В партии из 500 деталей отдел технического контроля обнаружил 7 нестандартных деталей. Какова относительная частота появления нестандартных деталей?
1) 0,07 2) 0,35 3) 0,14 4) 0,035
А10. Какова вероятность того, что при бросании игрального кубика выпадет менее 4 очков?
1) 13 EMBED Equation.3 1415 2) 13 EMBED Equation.3 1415 3) 13 EMBED Equation.3 1415 4) 13 EMBED Equation.3 1415
Глава 10. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств
Итоговый тест
Вариант 1
А1. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения 13 EMBED Equation.3 1415 = 9.
1) [-2;-1); 2) [-1;1); 3) [1;3); 4) [3;5).
А2. Найти все решения уравнения 3 sin x + 1 + ctg 2 x = 13 EMBED Equation.3 1415 + 3.
1)
·n, n 13 EMBED Equation.3 1415 Z; 2) 13 EMBED Equation.3 1415 +
·n, n13 EMBED Equation.3 1415 Z; 3) (-1)n 13 EMBED Equation.3 1415 +
·n, n 13 EMBED Equation.3 1415 Z, 4) 13 EMBED Equation.3 1415 + 2
·n, n 13 EMBED Equation.3 1415 Z.
А3. Решите неравенство:13 EMBED Equation.3 1415
1) [-4;+
·); 2) (-
·;-4]13 EMBED Equation.3 1415 (-2;5]; 3) [-4;-2) 13 EMBED Equation.3 1415 [5; +
·); 4) [5;+
·).
А4. Укажите область определения функции: у =
· log 0,5 (0,2x + 6) + 3.
1) [-10; +
·); 2) (-30; +
·); 3) (-
·;-10]; 4) (-30;10].
В1. Найдите корень уравнения: х - 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
В2. Пусть (х0;у0) – решение системы уравнений
3 х
· 2 у = 576, Найдите х0 + у0.
log 13 EMBED Equation.3 1415(y – x) = 4.
С1. Решите уравнение 32 х + 3
· 3 3х + 1
· 625 х + 2 = 600 х + 7 .
Вариант 2
А1. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения 13 EMBED Equation.3 1415
1) (3;9]; 2) (-7;0); 3) (-9;-7]; 4) (0;3].
А2. Решите уравнение: 3 cos x – sin 2x = 0.
1) 13 EMBED Equation.3 1415 + 2
·n, n13 EMBED Equation.3 1415 Z; 2) 2
·n, n 13 EMBED Equation.3 1415 Z; 3) + 13 EMBED Equation.3 1415 + 13 EMBED Equation.3 1415, n13 EMBED Equation.3 1415 Z; 4) 13 EMBED Equation.3 1415 +
·n, n 13 EMBED Equation.3 1415 Z.
А3. Решите неравенство: 13 EMBED Equation.3 1415.
1) (-3;-2] 13 EMBED Equation.3 1415 [2; +
·); 2) (-3;-2) 13 EMBED Equation.3 1415 [2; +
·); 3) (-
·;-3) 13 EMBED Equation.3 1415 [-2;2); 4) (-
·;-3] 13 EMBED Equation.3 1415 (-2;2].
А4. Укажите область определения функции: у =
· log 13 EMBED Equation.3 1415(0,3x + 1) + 1.
1) (-
·;30]; 2) [30; +
·); 3)13 EMBED Equation.3 1415; 4) 13 EMBED Equation.3 1415
В1. Найдите корень уравнения :
· х 2 + 2х + 10 = 2х – 1.
В2. Пусть (х0;у0) – решение системы уравнений
10 1 + lg (x + y) = 50, Найдите х0 + у0.
lg (x + y) + lg (x – y) = 2 – lg 5.
C1. Решите уравнение
· (2 sin 3x – 3) 2 +
·sin 2 3x – 8 sin 3x + 16 = 7.
Вариант 3
А1. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения 13 EMBED Equation.3 1415
1) (-3-2]; 2) (-2;0); 3) [2;5); 4) [0;2).
А2. Решите уравнение: 4 sin x + sin 2x = 0.
1) корней нет; 2) 2
·n, n 13 EMBED Equation.3 1415 Z; 3)
·n, n 13 EMBED Equation.3 1415 Z; 4) 13 EMBED Equation.3 1415 +
·n, n13 EMBED Equation.3 1415 Z.
А3. Решите неравенство : 13 EMBED Equation.3 1415.
1) (-8;-4] 13 EMBED Equation.3 1415[0; 2); 2) (-8;-4) 13 EMBED Equation.3 1415 (0; 2); 3) (-8;-4] 13 EMBED Equation.3 1415 [0;2]; 4) (-8;-4) 13 EMBED Equation.3 1415(4;. +
·).
А4. Укажите область определения функции: у =
· log13 EMBED Equation.3 1415 (7 – 0,5x) + 3.
1) [-40; +
·); 2) [-40; 14); 3) (-
·;-40]; 4) (14; +
·).
В1. Найдите корень уравнения:
·2 х 2 - х – 5 + x = 1.
В2. Пусть (х0;у0) – решение системы уравнений
10 1 + lg (x + y) = 40, Найдите х0
· у0.
lg (x - y) + lg (x + y) = 3 lg 2.
С1. Решите уравнение 7 tg x + cos 2 x + 3 sin 2x = 1.
Вариант 4
А1. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения 4 5 х + 4 = 64.
1) [-2-1); 2) [-1;0); 3) [0;1); 4) [1;2].
А2. Решите уравнение: ctg 2 x (1 - cos 2 x) = 0.
1) + 13 EMBED Equation.3 1415 +
·n, n13 EMBED Equation.3 1415 Z; 2) 13 EMBED Equation.3 1415 , n 13 EMBED Equation.3 1415 Z; 3)
·n, n 13 EMBED Equation.3 1415Z; 4) 13 EMBED Equation.3 1415 +
·n, n 13 EMBED Equation.3 1415 Z.
А3. Решите неравенство: 13 EMBED Equation.3 1415
1) (-
·;-2]; 2) (-
·;-2] 13 EMBED Equation.3 1415 (1;3); 3) (-
·;3); 4) [-2;1) 13 EMBED Equation.3 1415 (3;+
·).
А4. Укажите область определения функции: у =
· -2 - log 13 EMBED Equation.3 1415(2,5x + 1) .
1) (-0,4; -0,3]; 2) (-
·;-0,3]; 3) [-0,3; +
·); 4) (-0,4; +
·).
В1. Найдите корень уравнения: x +
· 4 + 2x - х 2 = 2.
В2. Пусть (х0;у0) – решение системы уравнений
lg x – lg y = 1, Найдите 13 EMBED Equation.3 1415 .
lg 2x + lg 2 y = 5.
С1. Решите уравнение 13 EMBED Equation.3 1415.
Глава I. Параллельность прямых и плоскостей
1. Какие из перечисленных понятий геометрии являются первичными?
А) Луч, точка, плоскость, треугольник.
Б) Прямая, точка, расстояние от точки до точки, плоскость.
В) Плоскость, прямая, луч, угол.
2. Пересечением двух плоскостей является
А) точка
Б) прямая
В) отрезок
3. Сколько должно быть общих точек у прямой с плоскостью, чтобы она лежала в этой плоскости?
А) одна
Б) две
В) три
4. На сколько множеств разбивает пространство любая плоскость?
А) на два
Б) на три
В) на четыре
5. Чтобы задать единственную плоскость необходимо
А) две точки
Б) три точки
В) три точки, не лежащие на одной прямой
6. Какие из перечисленных фигур задают единственную плоскость в пространстве?
А) две параллельные прямые
Б) две скрещивающиеся прямые
В) три точки
7. Сколько плоскостей задают две пересекающиеся прямые?
А) одну плоскость
Б) две плоскости
В) бесконечно много плоскостей
8. Через какие из перечисленных фигуры можно провести единственную плоскость?
А) Через три точки
Б) Через прямую и не лежащую на ней точку
В) Через отрезок
9. Сколько плоскостей задаёт прямая?
А) одну плоскость
Б) две плоскости
В) бесконечно много плоскостей
10. Две прямые пересекаются. Что это значит?
А) Они имеют две общие точки.
Б) Они имеют одну общую точку.
В) Они лежат в одной плоскости.
11. Две прямые называются скрещивающимися, если
А) они не имеют общих точек и не лежат в одной плоскости.
Б) они не имеют общих точек.
В) они имеют одну общую точку.
12. Две прямые в пространстве называются параллельными, если
А) они не имеют общих точек.
Б) они не имеют общих точек и лежат в одной плоскости.
В) они не имеют общих точек, и не существует проходящей через них плоскости.
13. Прямая и плоскость не имеют общих точек. Это значит, что
А) они параллельны.
Б) они пересекаются.
В) они скрещиваются.
14. Прямая и плоскость имеют только одну общую точку. Это значит, что
А) они параллельны.
Б) они пересекаются.
В) они скрещиваются.
15. Прямая и плоскость имеют две общих точки. Каково их взаимное расположение?
А) они параллельны.
Б) они пересекаются.
В) они скрещиваются.
16. Если две плоскости не имеют общих точек, то они
А) параллельны.
Б) пересекаются.
В) скрещиваются.
17. Две плоскости пересекаются. Это значит, что
А) они имеют одну общую точку.
Б) они имеют общую прямую.
В) они имеют общий луч.
Глава II. Перпендикулярность прямых и плоскостей
1. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой , то как расположена вторая прямая по отношению к третьей ?
а) параллельна б) перпендикулярна
в) скрещивается г) совпадают
2. Если две прямые перпендикулярны к плоскости , то как они расположены по отношению друг к другу ?
а) параллельны б) перпендикулярны
в) скрещиваются г) пересекаются
3. Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым , лежащим в плоскости , то как расположена эта прямая по отношению к плоскости ?
а) параллельна плоскости б) перпендикулярна к плоскости
в) лежит в плоскости
4 .Прямая а параллельна плоскости
· , а прямая b перпендикулярна к этой плоскости. Как расположены прямые а и b ?
а) параллельны б) перпендикулярны
в) скрещиваются г) совпадают
5. Сколько прямых , перпендикулярных к данной плоскости проходит через данную точку пространства ?
а) одна б) две
в) ни одной г) бесконечное множество
6. Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости , то как расположены такие плоскости ?
а) параллельны б) перпендикулярны
в) скрещиваются г) совпадают
7. Сколько двугранных углов имеет параллелепипед ?
а) четыре б) восемь
в) десять г) двенадцать
8. Диагональ квадрата перпендикулярна к некоторой плоскости . Как расположена другая диагональ квадрата по отношению к этой плоскости ?
а) параллельна плоскости б) перпендикулярна к плоскости
в) лежит в плоскости г) пересекает плоскость
9. Каждая из плоскостей
· и
· перпендикулярна к плоскости
· . Каково взаимное расположение плоскостей
· и
· ?
а) параллельны б) перпендикулярны
в) совпадают г) скрещиваются
10. Что больше : перпендикуляр, проведенный из данной точки к плоскости или наклонная проведенная из той же точки к этой плоскости ?
а) перпендикуляр б) наклонная
в) они равны
Глава III . Многогранники
1.Тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников, называется:
а) четырехугольник
б) многоугольник
в) многогранник
г) шестиугольник
2. Вершины многогранника обозначаются:
а) а, в, с, д ...
б) А, В, С, Д ...
в) ав, сд, ас, ад ...
г) АВ, СВ, АД, СД ...
3. К многогранникам относятся:
а) параллелепипед
б) призма
в) пирамида
г) все ответы верны
4. Многогранник, который состоит из двух плоских многоугольников, совмещенных параллельным переносом, называется:
а) пирамидой
б) призмой
в) цилиндром
г) параллелепипедом
5. Отрезок, соединяющий две вершины призмы, не принадлежащие одной грани называется:
а) диагональю
б) ребром
в) гранью
г) осью
6. Если боковые ребра призмы перпендикулярны основанию, то призма является:
а) наклонной
б) правильной
в) прямой
г) выпуклой
7. У призмы боковые ребра:
а) равны
б) симметричны
в) параллельны и равны
г) параллельны
8. Если в основании призмы лежит параллелограмм, то она является:
а) правильной призмой
б) параллелепипедом
в) правильным многоугольником
г) пирамидой
9. Грани параллелепипеда не имеющие общих вершин, называются:
а) противолежащими
б) противоположными
в) симметричными
г) равными
10. Многогранник, который состоит из плоского многоугольника, точки и отрезков соединяющих их, называется:
а) конусом
б) пирамидой
в) призмой
г) шаром
11. Перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания, называется:
а) медианой
б) осью
в) диагональю
г) высотой
12. Отрезки, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания, называются:
а) гранями
б) сторонами
в) боковыми ребрами
г) диагоналями
13. Треугольная пирамида называется:
а) правильной пирамидой
б) тетраэдром
в) наклонной пирамидой
г) призмой
14. Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется:
а) медианой
б) апофемой
в) перпендикуляром
г) биссектрисой
15. К правильным многогранникам не относится:
а) куб
б) тетраэдр
в) икосаэдр
г) пирамида
16. У куба все грани:
а) прямоугольники
б) квадраты
в) трапеции
г) ромбы
17. Высота пирамиды является:
а) осью
б) медианой
в) перпендикуляром
г) апофемой
18. Грани выпуклого многогранника являются выпуклыми:
а) треугольниками
б) углами
в) многоугольниками
г) шестиугольниками
19. Основания призмы:
а) параллельны
б) равны
в) перпендикулярны
г) не равны
20. Боковая поверхность призмы состоит из:
а) параллелограммов
б) квадратов
в) ромбов
г) треугольников
21. Площадью боковой поверхности призмы называется:
а) сумма площадей боковых многоугольников
б) сумма площадей боковых ребер
в) сумма площадей боковых граней
г) сумма площадей оснований
22. Боковая поверхность прямой призмы равна:
а) произведению периметра на длину грани призмы
б) произведению длины грани призмы на основание
в) произведению длины грани призмы на высоту
г) произведению периметра основания на высоту призмы
23.Точка пересечения диагоналей параллелепипеда является его:
а) центром
б) центром симметрии
в) линейным размером
г) точкой сечения
24. К правильным многогранникам относятся:
а) тетраэдр
б) куб и додекаэдр
в) октаэдр и икосаэдр
г) все ответы верны
Параллелепипед и призма.
№ 1. Площадь диагонального сечения куба равна 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 см2. Найдите площадь поверхности куба.
а) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415см2; б) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 см2; в) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 см2; г) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 см2.
№ 2. Длины диагоналей трех граней прямоугольного параллелепипеда, имеющие общую вершину, равны 13 EMBED Equation.DSMT4 1415см, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415см и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415см. Найдите диагональ параллелепипеда.
а) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415см; б) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 см; в) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 см; г) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 см.
№ 3. Стороны основания прямого параллелепипеда равны 1 см и 3 см, а синус угла между ними равен 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Найдите угол, который образует большая диагональ параллелепипеда с основанием, если боковое ребро параллелепипеда равно 13 EMBED Equation.DSMT4 1415см.
а) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; б) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; в) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; г) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
№ 4. Площади двух диагональных сечений прямого параллелепипеда равны 48 см2 и 30 см2, а боковое ребро равно 6 см. Найдите площадь основания параллелепипеда, если оно является ромбом.
а) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415см2; б) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 см2; в) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 см2; г) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 см2.
№ 5. Сторона основания правильной шестиугольной призмы равна 4 см, а большая диагональ призмы образует с основанием угол, равный 600. Найдите площадь полной поверхности призмы.
а) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415см2; б) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 см2; в) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 см2; г) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 см2.
№ 6. АВСА1В1C1 – наклонная треугольная призма. Двугранный угол при ребре АА1 равен 900. Расстояния от ребра АА1 до ребер ВВ1 и СС1 равны соответственно 4 см и 3 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы, если её высота равна 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 см и боковое ребро образует с основанием угол 600.
а) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415см2; б) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 см2; в) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 см2; г) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 см2.
№ 7. АВСА1В1C1 – правильная треугольная призма. Через ребро А1В1 и точку М – середину АС - проведено сечение, площадь которого равна 13 EMBED Equation.DSMT4 1415см2. Найдите высоту призмы, если сторона её основания равна 2 см.
а) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415см; б) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 см; в) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 см; г) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 см.
№ 8. АВСDА1В1C1D1 – прямоугольный параллелепипед. Причем АВ = 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 см, ВС = 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 см, ВВ1 = 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 см. Через точки А, В1 и С проведена плоскость. Найдите тангенс угла между плоскостями АВ1С и АВС.
а) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; б) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; в) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; г) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Пирамида. Усеченная пирамида.
№ 1. Все ребра правильной треугольной пирамиды равны между собой. Найдите косинус угла между боковой гранью и плоскостью основания.
а) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; б) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; в) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; г) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
№ 2. Найдите высоту треугольной пирамиды, если все ее боковые ребра по 13 EMBED Equation.DSMT4 1415см, а стороны основания равны 10 см, 10 см и 12 см.
а) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415см; б) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 см; в) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 см; г) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 см.
№ 3. Найдите площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды, если диагональное сечение пирамиды – прямоугольный треугольник, площадь которого равна 32 см2.
а) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415см2; б) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 см2; в) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 см2; г) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 см2.
№ 4. Основание пирамиды – ромб, каждая боковая грань образует с плоскостью основания угол, равный 600. Найдите площадь основания пирамиды, если высота пирамиды 9 см, а один из углов ромба 450.
а) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415см2; б) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 см2; в) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 см2; г) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 см2.
№ 5. Основание пирамиды МАВСDEF – правильный шестиугольник АВСDEF со стороной 8 см. Ребро АМ перпендикулярно основанию и равно 8 см. Найдите двугранный угол между гранью МЕD и плоскостью основания.
а) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; б) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; в) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; г) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
№ 6. Стороны оснований правильной усеченной четырехугольной пирамиды равны 4 см и 6 см. Найдите площадь диагонального сечения, если боковое ребро образует с большим основанием угол, равный 450.
а) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 см2; б) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 см2; в) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 см2; г) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 см2.
№ 7. Стороны оснований правильной усеченной треугольной пирамиды равны 6 см и 12 см. Угол между плоскостями боковой грани и основания равен 300. Найдите площадь боковой поверхности данной усеченной пирамиды.
а) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415см2; б) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 см2; в) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 см2; г) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 см2.
№ 8. КАВСD – правильная четырехугольная пирамида. Точки М и N – середины ребер КВ и КС. Найдите периметр сечения пирамиды плоскостью, параллельной грани АКD и проходящей через точки М и N, если сторона основания пирамиды 16 см, а высота пирамиды 4 см.
а) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415см; б) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 см; в) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 см; г) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 см.
Объемы многогранников.
№ 1. Диагональ куба равна 12 см. Найдите объем куба.
а) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 см3; б) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 см3; в) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 см3; г) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 см3.
№ 2. Стороны основания прямого параллелепипеда равны 1 дм и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 дм, а угол между ними 450. Найдите объем параллелепипеда, если площадь его меньшего диагонального сечения равна 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 дм2.
а) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 дм3; б) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 дм3; в) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 дм3; г) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 дм3.
№ 3. Все ребра наклонного параллелепипеда равны, причем боковое ребро образует с плоскостью основания угол, равный 300. Большая диагональ основания равна 6 см, а один из углов основания 1200. Найдите объем параллелепипеда, если большее диагональное сечение перпендикулярно основанию.
а) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 см3; б) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 см3; в) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 см3; г) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 см3.
№ 4. Диагональ боковой грани правильной треугольной призмы образует с основанием угол, равный 600. Найдите объем призмы, если площадь боковой поверхности призмы равна 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 см2.
а) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 см3; б) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 см3; в) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 см3; г) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 см3.
№ 5. В основании прямой призмы АВСDA1B1C1D1 лежит равнобедренная трапеция, ВС13 EMBED Equation.DSMT4 1415AD, причем АВ = 3 см, AD = 5 см. Диагональ призмы В1D образует с плоскостью основания угол, равный 450, а плоскости АА1В1 и В1ВD перпендикулярны. Найдите объем призмы.
а) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 см3; б) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 см3; в) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 см3; г) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 см3.
№ 6. Диагональное сечение правильной четырехугольной пирамиды является равносторонним треугольником, площадь которого равна 13 EMBED Equation.DSMT4 1415см2. Найдите объем пирамиды.
а) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 см3; б) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 см3; в) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 см3; г) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 см3.
№ 7. В треугольной пирамиде КАВС АК13 EMBED Equation.DSMT4 1415ВК и ВК13 EMBED Equation.DSMT4 1415СК, а 13 EMBED Equation.DSMT4 1415АКС = 300. Найдите объем пирамиды, если АК = 8 см, ВК = 12 см, СК = 10 см.
а) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 см3; б) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 см3; в) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 см3; г) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 см3.
№ 8. Через точку А бокового ребра пирамиды проведена плоскость, параллельная плоскости основания, причем точка А делит ребро на два отрезка, длины которых находятся в отношении 1 : 3, считая от вершины. Найдите объем пирамиды, если объем образовавшейся усеченной пирамиды равен 315 см3.
а) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 см3; б) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 см3; в) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 см3; г) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 см3.
Глава IV. Векторы в пространстве
Вариант №1
1. Какое утверждение неверное?
1) Любые два противоположно направленных вектора коллинеарны.
2) Любые два коллинеарных вектора сонаправлены.
3) Любые два равных вектора коллинеарны.
2. Даны точки А, В, С, D, K. Известно, что
Тогда неверно, что
1) все точки лежат в одной плоскости;
2) прямые ВС и DK параллельны;
3) точки А, С и D не лежат на одной прямой.
3. Какое утверждение неверное?
1) Длины противоположных векторов не могут быть неравны.
2) Если длины векторов неравны, то и векторы неравны.
3) Если длины векторов равны, то и векторы равны.
4. причём точки А, В и С не лежат на одной прямой. Прямые АС и BD не могут быть
1) параллельными;
2) пересекающимися;
3) скрещивающимися.
5. ABCA1B1C1 – правильная призма. A1F = FB1, B1K = KC1.
Какое утверждение неверное?
1)
2)
3)
6. ABCA1B1C1 – правильная призма. CE = EC1, BF = FB1, FM = MB1, AD : DC = 3 : 1.
Какое утверждение верное?
1)
2)
3)
7. ABCDA1B1C1D1 – параллелепипед.
1)
2)
3)
8. Векторы и являются
1) равными;
2) противоположными;
3) сонаправленными
9. DABC – тетраэдр.
Тогда
1)
2)
3)
В1. ABCDA1B1C1D1 – параллелепипед.
Тогда
Вариант №2
1. Какое утверждение верное?
1) Любые два сонаправленных вектора коллинеарны.
2) Любые два коллинеарных вектора противоположно направлены.
3) Любые два коллинеарных вектора равны.
2. Какое утверждение верное?
1) Если то
2) Если то
3) Существуют векторы и такие, что и не коллинеарны, и не коллинеарны, а и коллинеарны.
3. Какое утверждение неверное?
1) Если длины векторов равны, то и векторы равны.
2) Если векторы равны, то их длины равны.
3) Длины противоположных векторов равны.
4. причём точки А, В и С не лежат на одной прямой. Прямые АС и BD являются параллельными, если
1) k = 1;
2) k = –1;
3) k = 3.
5. ABCA1B1C1 – правильная призма. A1F = FB1, B1E = EC1. Какое утверждение неверное?
1)
2)
3)
6. FABCD – правильная пирамида. FE = EC, EN = NC, OP = PD. Какое утверждение верное?
1)
2)
3)
7. ABCA1B1C1 – призма.
1)
2)
3)
8. Векторы – и являются
1) противоположными;
2) равными;
3) сонаправленными.
9. DABC – тетраэдр.
1)
2)
3)
В1. . ABCDA1B1C1D1 – параллелепипед.
Тогда
Глава V Метод координат
Вариант №1
1. Точка M (–2; 3; –7) находится от плоскости XOY на расстоянии, равном
1) 7;
2) 2;
3) 3.
2. Тогда вектор имеет координаты
1)
2)
3)
3. Тогда коллинеарными будут векторы
1) и
2) и
3) и
4. Первая и третья координаты ненулевого вектора равны нулю. Тогда неверно, что
1)
2)
3)
5. Первая координата ненулевого вектора равна нулю. Тогда неверно, что
1)
2)
3)
6. А (1; 2; 3), В (1; 5; 4), С (4; 5; 3). Тогда верно, что
1)
2)
3)
7. Ордината точки А равна 3, ордината точки В равна 6. Длина отрезка АВ равна 3. Тогда прямая АВ и ось OY
1) параллельны;
2) перпендикулярны;
3) скрещиваются.
8. M (x1; y1; z1), K (x2; y2; z2). Тогда координаты вектора равны
1)
2)
3)
9. Тогда верно, что
1)
2)
3)
Уровень В
1. Дана точка А (–1; 2; 5). Тогда координаты точки – проекции точки А на ось OZ равны
2. Даны точки M (–1; 2; 3) и В (1; –1; 5). Тогда координаты вектора равны
3. А (–1; 0; 2), В (1; –2; 3). Тогда
4. ABCD – параллелограмм, В (–2; 1; 0), О (0; 1,5; 0). Тогда координаты точки D равны
5. Вектор сонаправлен с вектором Тогда координаты вектора равны
Вариант №2
Уровень А
1. Точка А (–1; 2; –3) находится от плоскости YOZ на расстоянии, равном
1) 1;
2) 2;
3) 3.
2. Тогда вектор имеет координаты
1)
2)
3)
3. Координаты равных векторов
1) равны;
2) противоположны;
1) пропорциональны.
4. Первая и вторая координаты ненулевого вектора равны нулю. Тогда верно, что
1)
2)
3)
5. Третья координата ненулевого вектора равна нулю. Тогда неверно, что
1)
2)
3)
6. А (2; 3; 4), В (2; 5; 6), С (5; 3; 6). Тогда верно, что
1)
2)
3)
7. Абсцисса точки А равна 3, абсцисса точки В равна 6. Длина отрезка АВ равна 3. Тогда прямая АВ и ось OX
1) параллельны;
2) пересекаются;
3) скрещиваются.
8. M (x1; y1; z1), K (x2; y2; z2). Тогда длина вектора равна
1)
2)
3)
9. A (x1; y1; z1), B (x2; y2; z2). Тогда координаты точки – середины отрезка АВ равны
1)
2)
3)
Уровень В
1. Дана точка А (–1; 2; 5). Тогда координаты точки – проекции точки А на плоскость OYZ равны
2. Даны точки K (2; –1; –3) и M (1; –2; 3). Тогда координаты вектора равны
3. А (7; 1; –5), В (4; –3; –5). Тогда
4. В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке О. А (1; 3; –1), О (0; 1,5; 0). Тогда координаты точки С равны
5. Вектор противоположно направлен вектору Тогда координаты вектора равны
Глава VI Цилиндр. Конус. Шар.
1. Сколько окружностей большого круга можно провести через точку, принадлежащую сфере?
1) Одну.
2) Две.
3) Четыре.
4) Бесконечно много.
2. Какой фигурой является пересечение двух больших окружностей сферы?
1) Окружностью.
2) Прямой.
3) Двумя точками.
4) Отрезком.
3. Сколько сфер можно провести через четыре точки, которые являются вершинами квадрата?
1) Одну.
2) Две.
3) Четыре.
4) Бесконечно много.
4. Сколько касательных плоскостей можно провести через точку, принадлежащую сфере?
1) Ни одной.
2) Одну.
3) Две.
4) Бесконечно много.
5. Шар радиуса 3,4 см пересечен плоскостью на расстоянии 1,6 см от центра. Найдите площадь сечения.
1) 11,56 см2.
2) 5
· см2.
3) 9
· см2.
4) 256 см2.
6. Через середину радиуса шара перпендикулярно ему проведена плоскость. Площадь получившегося сечения равна 9
· см2. Найдите радиус шара.
1) см2.
2) 12 см2.
3) см2.
4) см2.
7. Найдите радиус сферы, описанной около куба с ребром 36 см.
1) 18см.
2) 36см.
3) 9см.
4) см.
8. Найдите радиус сферы, вписанной в куб с ребром 72 см.
1) 72 см.
2) 36 см.
3) 18 см.
4) 9 см.
9. Сколько осевых сечений имеет цилиндр?
1) Одно.
2) Две.
3) Четыре.
4) Бесконечно много.
10. В цилиндре, радиус основания которого равен 20 см и высота равна 15 см, проведена плоскость параллельно оси на расстоянии 12 см от нее. Найдите площадь сечения.
1) 240 см2.
2) 300 см2.
3) 480 см2.
4) 720 см2.
11. В конусе с высотой 3,45 см и радиусом основания 6 см проведено сечение параллельно основанию на расстоянии 1,725 см от вершины. Найдите площадь сечения.
1) 3
· см2.
2) 9
· см2.
3) 1,725
· см2.
4) 18
· см2.
12. Прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C вращается вокруг прямой AC. Какая фигура получается при этом от вращения точки B?
1) Окружность.
2) Круг.
3) Отрезок.
4) Точка.
13. Прямоугольная трапеция ABCD с прямыми углами A и B вращается вокруг прямой, проходящей через вершину острого угла и параллельной меньшей боковой стороне. Какая фигура получится при этом от вращения меньшего основания BC?
1) Круг.
2) Отрезок.
3) Две концентрические окружности.
4) Кольцо.
14. Какое движение оставляет на месте только одну точку?
1) Параллельный перенос.
2) Центральная симметрия.
3) Осевая симметрия.
4) Зеркальная симметрия.
15. Сколько осей симметрии имеет прямоугольный параллелепипед, не имеющий квадратных граней?
1) 3.
2) 4.
3) 6.
4) 12.
16. Сколько осей симметрии имеет цилиндр?
1) 1.
2) 2.
3) 4.
4) Бесконечно много.
Цилиндр. Конус. Шар.
№ 1. Осевое сечение цилиндра – квадрат, длина диагонали которого равна 20 см. Найдите радиус основания цилиндра.
а) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 см; б) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 см; в) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 см; г) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 см.
№ 2. Площадь осевого сечения цилиндра равна 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 дм2, а площадь основания цилиндра равна 25 дм2. Найдите высоту цилиндра.
а) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 дм; б) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 дм; в) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 дм; г) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 дм.
№ 3. Отрезок АВ равен 13 см, точки А и В лежат на разных окружностях основания цилиндра. Найдите расстояние от отрезка АВ до оси цилиндра, если его высота равна 5 см, а радиус основания равен 10 см.
а) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415см; б) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 см; в) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 см; г) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 см.
№ 4. Длина образующей конуса равна 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 см, а угол при вершине осевого сечения конуса равен 1200. Найдите площадь основания конуса.
а) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 см2; б) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 см2; в) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 см2; г) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 см2.
№ 5. Радиус основания конуса 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 см. Найдите наибольшую возможную площадь осевого сечения данного конуса.
а) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 см2; б) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 см2; в) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 см2; г) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 см2.
№ 6. Отрезок АВ – хорда основания конуса, которая удалена от оси конуса на 3 см. МО – высота конуса, причем МО = 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 см, где М – вершина конуса. Найдите расстояние от точки О до плоскости, проходящей через точки А, В и М.
а) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415см; б) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415см; в) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415см; г) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415см.
№ 7. Сфера
· проходит через вершины квадрата АВСD, сторона которого равна 12 см. Найдите расстояние от центра сферы – точки О – до плоскости квадрата, если радиус ОD образует с плоскостью квадрата угол, равный 600.
а) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415см; б) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415см; в) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415см; г) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415см.
№ 8. Стороны треугольника АВС касаются шара. Найдите радиус шара, если АВ = 8 см, ВС = 10 см, АС = 12 см и расстояние от центра шара О до плоскости треугольника АВС равно 13 EMBED Equation.DSMT4 1415см.
а) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415см; б) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415см; в) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415см; г) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415см.
Объемы тел вращения.
№ 1. Отрезок АВ, концы которого лежат на разных окружностях цилиндра, пересекает ось цилиндра под углом 300. Найдите объем цилиндра, если длина отрезка АВ равна 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 см.
а) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 см3; б) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 см3; в) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 см3; г) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 см3.
№ 2. Объем цилиндра равен 63
· см3, а площадь осевого сечения 18 см2. Найдите радиус основания цилиндра.
а) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 cм; б) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 cм; в) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 cм; г) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 cм.
№ 3. Плоскость, проходящая через вершину конуса и хорду АВ основания, образует с высотой конуса угол 300 и удалена от центра основания на 3 дм. Найдите объем конуса, если длина хорды АВ равна 2 дм.
а) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 дм3; б) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 дм3; в) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 дм3; г) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 дм3.
№ 4. Объем конуса равен 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 см3. Найдите высоту конуса, если его осевое сечение – равносторонний треугольник
а) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 см; б) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 см; в) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 см; г) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 см.
№ 5. На поверхности шара даны три точки: А, В и С такие, что АВ = 8 см, ВС = 15 см, АС = 17 см. Центр шара – точка О находится на расстоянии 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 см от плоскости, проходящей через точки А, В и С. Найдите объем шара.
а) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 см3; б) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 см3; в) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 см3; г) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 см3.
№ 6. Прямоугольный треугольник с катетами, равными 3 см и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415см, вращается вокруг оси, содержащей его гипотенузу. Найдите объем фигуры вращения.
а) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 см3; б) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 см3; в) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 см3; г) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 см3.
№ 7. Чугунное ядро радиусом 1 дм переплавили в равновеликий конус, образующая которого 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 дм. Найдите высоту конуса, если она не менее 1 дм.
а) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 дм; б) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 дм; в) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 дм; г) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 дм.
№ 8. В углу комнаты, имеющей форму прямоугольного параллелепипеда, лежит шар объемом 36
· дм3, который касается трех граней этой комнаты, имеющих общую точку. Найдите расстояние от центра шара до этой точки (вершины угла комнаты).
а) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 дм; б) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 дм; в) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 дм; г) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 дм.
Методические указания к самостоятельной работе студента
Целевые направления самостоятельной работы студентов
1.Для овладения и углубления знаний:
- составление различных видов планов и тезисов пот тексту;
- конспектирование текста;
- создание презентации.
2. Для закрепления знаний:
- работа с конспектом лекции;
- повторная работа с учебным материалом;
- составление плана ответа;
- составление различных таблиц.
3. Для систематизации учебного материала:
- подготовка ответов на контрольные вопросы;
- аналитическая обработка текста;
- подготовка сообщения, доклада;
- тестирование;
- составление кроссворда;
- формирование плаката;
- составление памятки.
4 .Для формирования практических и профессиональных умений.
-решение задач и упражнений по образцу;
-решение ситуативных и профессиональных задач;
Приёмы самостоятельной работы студентов.
1. Работа с учебником.
Для обеспечения максимально возможного усвоения материала и с учётом индивидуальных особенностей студенов, можно предложить им следующие приёмы обработки информации учебника:
- конспектирование;
- составление плана учебного текста;
- тезирование;
- аннотирование;
- выделение проблемы и нахождение путей её решения;
- самостоятельная постановка проблемы и нахождение в тексте путей её решения;
- определение алгоритма практических действий (план, схема).
2. Опорный конспект.
Опорный конспект необходимо давать на этапе изучения нового материала, а потом использовать его при повторении.
Опорный конспект позволяет не только обобщать, повторять необходимый теоретический материал, но и даёт педагогу огромный выигрыш во времени при прохождении материала.
3. Тесты
Основное достоинство тестовой формы контроля – это простота и скорость, с которой осуществляется первая оценка уровня обученности по конкретной теме, позволяющая, к тому же, реально оценить готовность к итоговому контролю в иных формах и, в случае необходимости, откорректировать те или иные элементы темы.
4.Семинар
Форма проведения семинара очень гибкая.
На семинарах решаются следующие задачи:
- углубление, конкретизация и систематизация знаний, полученных студентами на предшествующих этапах учёбы;
- развитие навыков самостоятельной работы
- ознакомление со спецификой работы с литературой;
- профессиональное использование знаний в учебных условиях.
Типы проведения семинарских занятий:
- вопросно-ответный семинар;
- развёрнутая беседа на основе заранее данного студентам плана, обсуждение письменных рефератов;
- заслушивание устных докладов студентов с последующим их обсуждением;
- семинар – диспут;
- теоретическая конференция;
- семинар – имитационная игра;
- комментированное чтение первоисточников.
5. Задачное обучение.
- практико-ориентированные задачи: выступают средством формирования у студентов системы интегрированных умений и навыков, необходимых для освоения профессиональных компетенций. Это могут быть ситуации, требующие применения умений и навыков, специфичных для профессии педагога (знания содержания предмета), ситуации, требующие организации деятельности, выбора её оптимальной структуры (организация детского коллектива, принципы организации занятий с детьми и т.п), личностно-ориентированных ситуаций (нахождение нестандартного способа решения).
- профессиональные задачи: выступают средством формирования у студентов умений определять, разрабатывать и применять оптимальные методы решения профессиональных задач. Они строятся на основе ситуаций, возникающих на различных уровнях осуществления практики и формулируются в виде производственных поручений (заданий).
Задачное обучение способно обеспечить целенаправленное, поэтапное формирование и контроль сформированности необходимых профессиональных компетенций.
Правила работы с книгой
При работе с книгой необходимо подобрать литературу, научиться правильно ее читать, вести записи. Для подбора литературы в библиотеке используются алфавитный и систематический каталоги.
Важно помнить, что рациональные навыки работы с книгой - это всегда большая экономия времени и сил.
Правильный подбор учебников рекомендуется преподавателем, читающим лекционный курс. Необходимая литература может быть также указана в методических разработках по данному курсу.
Изучая материал по учебнику, следует переходить к следующему вопросу только после правильного уяснения предыдущего, описывая на бумаге все выкладки и вычисления (в том числе те, которые в учебнике опущены или на лекции даны для самостоятельного вывода).
При изучении любой дисциплины большую и важную роль играет самостоятельная индивидуальная работа.
Особое внимание следует обратить на определение основных понятий курса. Студент должен подробно разбирать примеры, которые поясняют такие определения, и уметь строить аналогичные примеры самостоятельно. Нужно добиваться точного представления о том, что изучаешь. Полезно составлять опорные конспекты. При изучении материала по учебнику полезно в тетради (на специально отведенных полях) дополнять конспект лекций. Там же следует отмечать вопросы, выделенные студентом для консультации с преподавателем.
Выводы, полученные в результате изучения, рекомендуется в конспекте выделять, чтобы они при перечитывании записей лучше запоминались.
Опыт показывает, что помогает составление листа опорных сигналов, содержащего важнейшие и наиболее часто употребляемые формулы и понятия. Такой лист помогает запомнить формулы, основные положения лекции, а также может служить постоянным справочником для студента.
Различают два вида чтения; первичное и вторичное. Первичное - эти внимательное, неторопливое чтение, при котором можно остановиться на трудных местах. После него не должно остаться ни одного непонятного олова. Содержание не всегда может быть понятно после первичного чтения.
Задача вторичного чтения полное усвоение смысла целого (по счету это чтение может быть и не вторым, а третьим или четвертым).
Основные виды систематизированной записи прочитанного:
Аннотирование – предельно краткое связное описание просмотренной или прочитанной книги (статьи), ее содержания, источников, характера и назначения;
Планирование – краткая логическая организация текста, раскрывающая содержание и структуру изучаемого материала;
Тезирование – лаконичное воспроизведение основных утверждений автора без привлечения фактического материала;
Цитирование – дословное выписывание из текста выдержек, извлечений, наиболее существенно отражающих ту или иную мысль автора;
Конспектирование – краткое и последовательное изложение содержания прочитанного.
Конспект – сложный способ изложения содержания книги или статьи в логической последовательности. Конспект аккумулирует в себе предыдущие виды записи, позволяет всесторонне охватить содержание книги, статьи. Поэтому умение составлять план, тезисы, делать выписки и другие записи определяет и технологию составления конспекта
Методические рекомендации по составлению конспекта:
Внимательно прочитайте текст. Уточните в справочной литературе непонятные слова. При записи не забудьте вынести справочные данные на поля конспекта;
Выделите главное, составьте план;
Кратко сформулируйте основные положения текста, отметьте аргументацию автора;
Законспектируйте материал, четко следуя пунктам плана. При конспектировании старайтесь выразить мысль своими словами. Записи следует вести четко, ясно.
Грамотно записывайте цитаты. Цитируя, учитывайте лаконичность, значимость мысли.
В тексте конспекта желательно приводить не только тезисные положения, но и их доказательства. При оформлении конспекта необходимо стремиться к емкости каждого предложения. Мысли автора книги следует излагать кратко, заботясь о стиле и выразительности написанного. Число дополнительных элементов конспекта должно быть логически обоснованным, записи должны распределяться в определенной последовательности, отвечающей логической структуре произведения. Для уточнения и дополнения необходимо оставлять поля.
Овладение навыками конспектирования требует от студента целеустремленности, повседневной самостоятельной работы.
ТРЕБОВАНИЯ К ОФОРМЛЕНИЮ СООБЩЕНИЙ
Текст сообщения распечатать на бумаге формата А4.
По всем сторонам листа оставить поля от края листа. Размеры: левого поля - 20 мм; правого поля - 10 мм; верхнего поля - 15 мм; нижнего поля - 15 мм.
Использовать шрифт Times New Roman. Цвет шрифта должен быть чёрным, кегль – 12 пт. Можно использовать компьютерные возможности акцентирования внимания на определённых терминах, применяя различные способы начертания.
Заголовки следует располагать в середине строки без точки в конце и печатать прописными буквами, не подчеркивая.
Для абзацев, не являющихся заголовками, установить отступ первой строки на 12,5 мм и выравнивание – по ширине. Расстояние между абзацами – 3 пт.
Если в сообщении более одной страницы, то страницы следует нумеровать арабскими цифрами.
Обязательно напечатать список использованных источников (название статей, сайтов, или др. и адреса Web-страниц). В сообщении должны быть ссылки на используемую литературу.
Не забудьте подписать сообщение (указать фамилию, имя учащегося, подготовившего сообщение).
Основное требование к содержанию: сообщение должно быть информативно и интересно для большинства студентов.
Требования к докладам и докладчикам
Доклады, с которыми студенты выступают на семинарских занятиях, дают возможность разнообразить формы и содержание занятий, учитывая особые интересы студентов и не ограничиваясь тематическими рамками, установленными программой учебной дисциплины. Доклады позволяют студентам реализовать свои способности к самостоятельным научным исследованиям и творчеству.
Доклады представляют собой устные сообщения продолжительностью до 10 минут.
Доклад готовится по собственной инициативе студента, т.е. никто не обязывается к выступлению с докладом, но всякий имеет право предложить своё выступление вниманию студенческой группы и преподавателя.
Тему доклада студент определяет сам, исходя из собственных научно-исследовательских интересов. Разумеется, тема должна соответствовать изучаемой дисциплине.
При подготовке доклада следует ознакомиться с литературой по избранной теме. Основными источниками должны служить научные статьи и монографии, написанные компетентными авторами и опубликованные в научных и научно-популярных изданиях. Могут быть использованы также статьи из словарей и энциклопедий. Не рекомендуется воспроизводить в докладах тексты из учебных пособий (учебники служат для подготовки обычных уроков, а не исследовательских работ).
Недопустимо использование для доклада чужих рефератов, которых в Интернете имеется великое множество. Нельзя также составлять доклад из фрагментов чужих статей и монографий.
Умение студента прочитать вслух перед аудиторией чужие тексты, скачанные из Интернета или отсканированные, не заслуживает положительной оценки. На такие «доклады» не стоит тратить учебное время.
Во избежание плагиатов, выдаваемых за самостоятельно подготовленные доклады, тексты докладов или их аннотации будут подвергаться предварительному просмотру преподавателем. ,
Автор доклада должен показать актуальность избранной темы, сформулировать цель и задачи своего исследования, т.е. кратко объяснить, что и зачем он, собственно, хочет сказать, а в завершение своей речи он должен сделать выводы и обобщения. К тексту доклада следует приложить список использованной литературы. Автор доклада должен позаботиться о том, чтобы его слушатели могли понять, в чём заключается его самостоятельная работа.
Успех и оценка доклада в немалой степени зависят от того, насколько он окажется интересным для аудитории, сможет ли он вызвать живую дискуссию.
Требования к оформлению мультимедийных презентаций
Создавая презентацию, всегда думайте о тех, для кого она создается.
Каждый слайд должен иметь простую, понятную структуру и содержать текстовые или графические элементы, несущие в себе зрительный образ как основную идею слайда.
Цепочка образов должна полностью соответствовать логике. Такой подход способствует хорошему восприятию материала и воспроизведению в памяти представленного содержания посредством ассоциаций.
Используйте короткие слова и предложения. Минимизируйте количество предлогов, наречий, прилагательных.
Заголовки должны привлекать внимание (но не занимать все место и не отвлекать).
Текст, таблицы, диаграммы, схемы в презентациях
Для того чтобы ваша презентация имела успех, следует соблюдать ряд требований по ее оформлению.
Предпочтительно горизонтальное расположение материала.
Наиболее важная информация должна располагаться в центре экрана.
При выборе цветового оформления слайдов презентации следует учитывать тот факт, что мультимедийные проекторы проецируют изображение на экран по-разному: светлее, чем оно есть на самом деле или темнее.
На одном слайде рекомендуется использовать не более четырех цветов: один для фона, один-два для заголовков и один-два для текста. Достигайте сочетаемости цветов.
Для фона лучше использовать светлые тона. Цвет и размер шрифта, оформление шаблона должны быть подобраны так, чтобы все надписи читались.
Выбор размера шрифта на слайде определяется, исходя из нескольких условий:
размера помещения и максимальной удаленностью зрителей от экрана;
освещенности помещения и качества проекционной аппаратуры.
Текст должен читаться из самой дальней точки помещения, где происходит демонстрация.
Примерные рекомендуемые размеры шрифтов (с учетом демонстрации презентации в маленьком учебном классе):
заголовок – 22-28 pt;
подзаголовок – 20 -24 pt;
текст – 18 - 22 pt;
подписи данных в диаграммах – 18 - 22 pt;
шрифт легенды – 16 - 22 pt;
информация в таблицах – 18 -22 pt.
Помните, чем больше помещение и удаленнее зрители (ученики) от экрана, тем крупнее должен быть шрифт.
Наименьшую высоту буквы (h), проецируемой на экран, можно рассчитать по формуле: h = 0, 003D, где D – расстояние от учащихся, сидящих за последними столами кабинета, до экрана.
Не рекомендуется смешивать разные типы шрифтов. Нельзя злоупотреблять прописными буквами, т.к. они читаются хуже.
Количество текста на слайде регулируется с учетом назначения самой презентации и категории людей, на которых она рассчитана. (Чем младше дети, тем меньше информации на слайде должно быть).
С точки зрения эффективного восприятия текстовой информации, один слайд в среднем должен содержать 7 - 13 строк. На слайде следует располагать список не более чем из 5-6 пунктов, в каждом из которых – не более 5-6 слов.
Текстовая информация на слайде отражает цель и содержание урока (лекции, воспитательного мероприятия). С точки зрения содержания, текст на слайде - это определения, выводы, формулы, перечень объектов и пр. Как правило, один слайд – одна идея.
Если вы используете таблицы на слайдах, то текстовая информация в ней должна хорошо читаться. Поэтому размер шрифта определяется в соответствии с требованиями к тексту, представленными выше. Следует отметить, что шрифт таблицы, может быть на 1-2 пункта меньше, чем основной текст на слайде.
Одну таблицу можно разместить на нескольких слайдах (с сохранением заголовков) во избежание мелкого шрифта
Таблица в презентации может стать более наглядной, если использовать приемы выделения цветом отдельных областей таблицы.
Размер и вид используемой диаграммы на слайде определяется в соответствии с требованиями эффективного восприятия наглядной и текстовой информации.
С точки зрения восприятия графических объектов, на одном слайде рекомендуется размещать не более 3-х круговых диаграмм.
Тип диаграммы должен соответствовать типу отображаемых данных.
Данные и подписи не должны накладываться друг на друга и сливаться с графическими элементами диаграммы.
Если при форматировании слайда есть необходимость пропорционально уменьшить размер диаграммы, то размер шрифтов должен быть увеличен с таким расчетом, чтобы текстовая информация читалась.
Таблицы и диаграммы лучше размещать на светлом или белом фоне.
При демонстрации таблиц и диаграмм уместно последовательное появление текстовой информации, что достигается с помощью настроек анимационных эффектов. При этом следует придерживаться следующих правил: единство стиля подачи материала; удобство восприятия текстовой и наглядной информации.
Если вы используете схемы, то на одном слайде рекомендуется размещать не более одной схемы.
Схема располагается в центре слайда, заполняя всю его площадь.
Количество элементов на схеме определяется, с одной стороны, ее назначением, а с дугой – элементарным правилом «разумности» с точки зрения зрительного восприятия.
Текстовая информация в схеме должна хорошо читаться. Поэтому размер шрифта определяется в соответствии с требованиями к тексту, представленными выше.
При выборе цветовой гаммы и конфигурации объектов схемы помните, что схема – это наглядный образ содержания. Внешний вид схемы должен гармонично сочетаться с другими слайдами презентации.
Рисунки, фотографии
Общие требования к использованию рисунков и фотографий на слайдах:
разумное дозирование количества фотографий и рисунков в презентации и на одном слайде (как правило, это 3-5 изображений для иллюстрации одной идеи);
размещение фотографий и рисунков на слайде должно отвечать общим дизайн-эргономическим требованиям экранного представления информации;
для облегчения «веса презентации», т.е уменьшения объема файла фотографии рекомендуется представлять в сжатом виде;
все рисунки должны быть подписаны; подпись располагается снизу.
Анимации и эффекты
Одна из самых привлекательных особенностей презентации – конечно, интерактивность, что обеспечивается различными анимационными эффектами.
При создании презентации педагогу важно помнить:
· Увиденное сначала предстает перед нами как образ – мы реагируем на поведение объекта (движение, изменение формы и цвета), выделяем размер, цвет, форму, а затем обращаем внимание на содержание.
· Понимание закономерностей восприятия, грамотное, планомерное использование приемов анимации – это залог повышения эффективности восприятия материала, представленного в презентации.
· С помощью анимации создается модель какого-либо процесса, явления, наглядного решения задачи, последовательности выполнения каких-либо действий, ответов на вопросы и т.д.
· Не следует увлекаться анимациями, помня о том, что важен не внешний эффект, а содержание информации.
Планируя и оценивая презентацию, помните: анимации и эффекты – только к месту.
Литература
Основные источники:
Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа 10-11-в 2 частях, –М.:Мнемозина, 2009.
Атанасян Л.С. и др. Геометрия. 10 -11 классы: учеб. для общеобразовательных учреждений: базовый и профильный уровни, - 18-е изд. – М.: Просвещение, 2009.
Александрова Л.А. Алгебра-и-начала-математического-анализа10. Самостоятельные работы для учащихся общеобразовательных учреждений; под ред. А.Г. Мордковича.- 4-е изд., испр. и доп. –М.:Мнемозина, 2008.
Зив Б.Г. Геометрия. Дидактические материалы. 10 класс, - 10-е изд. – М.: Просвещение, 2009.
Дудницын Ю.П. Контрольные работы по геометрии: 10 класс: к учебнику Атанасян Л.С. и др. «Геометрия. 10 -11 классы», - М.: Издательство «Экзамен», 2009.
Глазков Ю.А. Тесты по геометрии: 10 класс: : к учебнику Атанасян Л.С. и др. «Геометрия. 10 -11 классы», - М.: Издательство «Экзамен», 2012.
Дополнительные источники:
Колмогоров А.Н. и др. Алгебра и начала анализа. 10 (11) кл. – М., 2008.
Алимов Ш.А. и др. Алгебра и начала анализа. 10 (11) кл. – М., 2010.
Башмаков М.И. Алгебра и начала математического анализа (базовый уровень). 10 кл. – М., 2010.
Башмаков М.И. Алгебра и начала математического анализа (базовый уровень). 11 кл. – М., 2010.
Башмаков М.И. Математика (базовый уровень). 1011 кл. – М., 2010.
Башмаков М.И. Математика: 10 кл. Сборник задач: учеб. пособие. – М., 2010.
Периодические издания:
Журнал «Математика и логика»
Журнал «Журнал вычислительной математики и математической физики»
Интернет-ресурсы:
Единое информационно-образовательное пространство колледжа NetSchool. Форма доступа: http://sgtek.ru
http://www.riis.ru/PS/inet-class.html – Internet-класс по высшей математике: Вся математика, от пределов и производных до методов оптимизации, уравнений математической физики и проверки статистических гипотез в среде самых популярных математических пакетов
http://www.exponenta.ru/educat/class/class.asp – Образовательный математический сайт «Экспонента»
http://www.edunews.ru/task/pre_c_math.htm – Государственное централизованное тестирование. Тест по математике
http://matembook.chat.ru/ – Математика, высшая математика, алгебра, геометрия, дискретная математика
http://www.homebook.narod.ru/index.html – Литература по математике (алгебра, геометрия, математический анализ, дискретная математика, дифференциальные уравнения)
http://mathem.h1.ru/ – Математика on-line. В помощь студенту. Основные математические формулы по алгебре, геометрии, тригонометрии, высшей математике, исторические данные
http://www.helen.ukrbiz.net/index.htm – Контрольные работы по математике
http://www.history.ru/progmath.htm – Обучающие программы по математике
http://elib.ispu.ru/library/math/sem1/, http://elib.ispu.ru/library/math/sem2/ – Онлайн-учебник по высшей математике (1-ый и 2-ой семестры)
http://www.mozg.ru/g3/rating/catalog – Каталог тестов
http://www.allmath.ru/ – Математический портал
13PAGE 14715
13PAGE 141215
5 м
16
26
18
18
min
mаx
1,8
1,3
0,6
1,5
0,5
1 м
1,5
b
h
a
c
7 м
25 м
В
А
200
275
13 EMBED MSGraph.Chart.8 \s 1415
125
0,3
l
Ш 1,0
Ш 0,2
R
r
r=60
75o
R=90
Ш20
88
8
Ш30
Ш12
90
50
Ш20
Ш70
Ш10
20
75
13 EMBED PBrush 1415
25
25
50
50
13 EMBED MSGraph.Chart.8 \s 1415
b
а
13 EMBED PBrush 1415
Ш100
20
140
Ш70
160
140
120
40
Ш20
Ш30
20
Ш11
80
Ш10
Ш15
12
18
Ш10
30
40
80
Ш25
Ш20
Ш40
40
200
120
Ш180
80
60
Ш40
Ш140
20
50
Ш20
Ш70
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
а
b
mаx
min
а
b
mаx
min
x
z
y
O
1
А
D
C
E
B
z
M (x; y; z)
0
x
y
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
x
z
y
A
O
A2
A3
A4
С
A
y
x
0
B
z
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
A
B
C
D
х
у
0
1
-1
1
х
у
0
1
1
2
х
у
0
1
1
3
у
0
-1
1
1
4
у
1
1
0
х
х
у
1
1
0
х
у
0
1
1
A
B
C
D
Высота цилиндра
Радиус цилиндра
Н
круг
(
О
О1
О
О1
А
А1
О
О1
А
В
С
D
r
a
А
В
r
d
К
С
о
D
C
А
s
в
A
O
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
y
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
y
x=-3
x=2
O
A(-4;0)
O
C(5;0)
N(2;0)
M(2;3)
S1
S2
0
2
3
S1
(
0
S2
(/2
0
2
-3
-3
1см3
1м3
1ед3
X
Y
0
Y=f(x)
X
h
X+h
Sосн
Sосн
Sсеч
x
Р=V1
Q=V2
h
а
b
5
2
3
С D B
А1
С1 B1
А
?
?
?
?
a
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
В
D
А
С
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
O2
O1
a
b
c
О
О1
А
В
С
D
О
r
h
1
3
h
V1
V2
h
r
А
О
10
С
13 EMBED Equation.3 1415
6
O
r
d
?
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415