Предел функции в точке, свойства. Бесконечно большие и бесконечно малые функции. Непрерывность функции

Урок №70 СДО
Конспект занятия.
ТЕМА. Предел функции в точке, свойства. Бесконечно большие и бесконечно малые функции. Непрерывность функции.
Цель: Формирование математических компетенций студентов посредством возможностей информационно-коммуникационной среды.
Задачи:
Образовательная: в ходе изучения данной темы студент должен:
знать: определение предела функции в точке; свойства предела функции в точке; определение непрерывности функции в точке; свойства непрерывных функций;
уметь: вычислять несложные пределы функций в точке и на бесконечности.
Воспитательная: прививать интерес к математике на основе исторического материала, формировать умение работать в группе, нести ответственность за результат выполнения заданий.
Развивающая: развивать логическое мышление, внимание, умение видеть проблему, находить пути её решения, переносить знания на новую ситуацию.
Тип урока: изучение нового материала.
Формы и методы: словесный, наглядный, фронтальная работа, самостоятельная групповая работа студентов.
Обеспечение: учебники: А. Дадаян «Математика» §5.11,§5.12,
Н.Богомолов «Математика» §42,
Время: 90 минут.
Структура занятия.
Организационный момент. Постановка цели и задач урока. Мотивация.
Актуализация знаний.
Изучение нового материала.
Решение типовых задач.
Самостоятельная работа студентов в группах.
Домашнее задание.
Рефлексия. Итоги занятия.
Ход занятия.
Постановка цели и задач урока:
Изучить определение и свойства предела функции в точке;
определение непрерывности функции в точке;
свойства непрерывных функций;
научиться вычислять несложные пределы функций в точке и на бесконечности
Мотивация. Продолжительность работы-2 минуты
Одновременно с развитием понятия функции развивалось и понятие предела функции. Первоначально ввести понятие предела функции пытался И.Ньютон, но только в 19 веке в работах А. Вейерштрасса, Б. Больцано, О. Коши сложились определение и обозначения пределов функции, используемые и в настоящее время. Понятие предел функции в точке лежит в основе понятия производной.
Понятие непрерывности играет важную роль, т.к. многие физические процессы характеризуются тем, что плавное изменение физических величин сменяется скачкообразным. Т.е. количественные изменения переходят в качественные.
Это один из основных законов диалектики.
Актуализация знаний. Продолжительность работы-3 минуты
Задание. 1) сформулировать определение функции
2) найти область определения функции
а) f(x) = x2+x-1; б) f(x) =; с)f(x) =.
Изучение нового материала ( сопровождается демонстрацией слайдов). Продолжительность работы-15 минут
3.1.Определение предела функции в точке.
Сформулируем определение предела функции в точке.
Определение. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки а, кроме, может быть, самой точки а.
Число В называется пределом функции в точке а (или при ), если для любой последовательности значений аргумента , последовательность соответствующих значений функции, сходится к числу В.
Это же определение предела функции в точке часто рассматривают в другой формулировке:
Определение. Постоянная В называется пределом функции при (или в точке а), если для любого числа существует такое число , что при всех х, удовлетворяющих условию:
,
выполняется неравенство: .
Понятие предела возникает при определенном типе движения «по графику функции» - когда аргумент приближается к а, значение функции приближается к В.
Оба определения эквивалентны.
В этом случае пишут:
3.2.Свойства пределов функций
Основные свойства пределов функций:
Предел суммы (разности) функций равен сумме (разности) их пределов, если последние существуют:

Предел произведения функций равен произведению их пределов, если последние существуют:

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак предела: , если предел существует.
Предел отношения двух функций равен отношению их пределов, если последние существуют и предел делителя отличен от нуля:
, если .
Пример. Вычислить пределы:1. , 2. , 3.
Решение.1. ;
Поскольку предел знаменателя равен 0, то воспользоваться теоремой о пределе частного невозможно. Поэтому первоначально сократим дробь, разложив числитель и знаменатель на множители:

3.
Ответ: 1)11;2) -1;3) 2
3.3 Изучение нового материала. Продолжительность работы-25 минут.
Цель. Проработать информацию, вычленить существенное, главное.
Составить опорный конспект и представить его.
Задание 1 группе. Изучить §42(Н.В. Богомолов) Бесконечно большие функции. Определение, свойства. Оформить опорный конспект , сделать презентацию.
Задание 2 группе . Изучить §42 (Н.В. Богомолов) Бесконечно малые функции. Определение, свойства. Оформить опорный конспект сделать презентацию.
Задание 3 группе. Изучить § 42 (Н.В. Богомолов) Связь между бесконечно малой и бесконечно большой функциями. Оформить опорный конспект сделать презентацию.
Задание 4 группе. Изучить §5.14(А.А.Дадаян, §44 Н.В. Богомолов) Непрерывность функции в точке, на интервале. Определение, свойства, примеры. Оформить опорный конспект, сделать презентацию.
3.4 Решение типовых примеров. (Устно). Слайды
Цель: разобрать решение типовых задач. Продолжительность работы-12 минут.
ПРАВИЛО 1. Чтобы раскрыть неопределенность вида , надо числитель и знаменатель дроби разложить на множители с последующим сокращением.
ПРИМЕР 1.Вычислить:
Решение. .(проблема!)
1) 2х2+х-10=02) х2+х-6=0
D=b2-4acD=1-4∙(-6)=25
D=1-4∙2(-10)=81
x2+x-6=(x-2)(x+3)
2x2+x-10=2(x-2)(x+)=(x-2)(2x+5)
Заметим, что х 2, но не равен 2, следовательно, множитель, на который сокращаем (х-2), отличен от нуля при х2
ПРАВИЛО 2: Чтобы раскрыть неопределенность вида , надо числитель и знаменатель дроби разделить на старшую степень неизвестного.
ПРИМЕР 2.
Решение:
5. Решение примеров. Самостоятельная работа
Цель: решение примеров, первичное закрепление.
Задание выдается на карточках. Продолжительность работы-15 минут
Найти пределы:
(x4-3x2+16x+1)






Ответить на вопросы. (Устно)
Определение функции.
Определение предела функции в точке.
Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Связь между ними.
Правила раскрытия неопределенностей вида ;.
Решив примеры, группы обмениваются решениями и проверяют их, оценивая.
Затем группам по очереди задаются вопросы преподавателем.
6. Домашнее задание. Вычислить пределы функций. (Инструктаж- 2мин.)
1) 1) 3) 3) 1
2) 2) 5
А. Дадаян «Математика» §5.11,§5.12,
Н.Богомолов «Математика» §42