Поэтапное решение задач арифметическим и алгебраическим способом.(Математика 5 класс ФГОС)

2. Поэтапное решение задачи арифметическим методом.
8. Сколько граммов воды нужно добавить к 600 г раствора, содержащего 15% соли, чтобы получить 10%-й раствор соли?
Анализ текста задачи.
В задаче описана ситуация, в которой нужно, увеличив количество раствора, уменьшить в нем содержание соли.
Эта ситуация характеризуется величинами: количеством исходного и конечного растворов, процентным содержанием соли в исходном и конечном растворах.
В данной задаче три условия:
1. Количество исходного раствора – 600 г;
2. Процентное содержание в исходном растворе: в 600 г содержится 15 % соли;
3. Процентное содержание в конечном растворе – 10 %.
Требования (вопрос) задачи: Сколько граммов воды нужно добавить?
В задаче даны числовые значения величин:
а) исходное количество – 600 г;
б) исходное содержание соли – 15 %;
в) конечное содержание соли - 10 %.
Искомые величины (неизвестные): количество воды, необходимое до конечного раствора.
Модель задачи
а) в виде схематического чертежа
600г 15 % ? г

? г 10 %
Б) в виде таблицы
15 % 600 г
10 % ? г
Очевидно, что для данной задачи более наглядна модель в виде схематического чертежа.
Поиск решения и составление плана решения
Чтобы ответить на вопрос задачи, нужно знать количество конечного раствора. Для этого нам нужно узнать, сколько соли в граммах содержится в 600 г раствора. Сможем это найти через составление пропорции. После этого найдем количество конечного раствора.
Запишем план решения задачи:
1. Найти количество соли в 600г исходного раствора;
2. Найти количество конечного раствора;
3. Найти нужное количество воды.
Приведем различные формы записи решения задачи.
Запись решения в виде отдельных действий без пояснений
1. (600 × 15)/100 = 90 (г);
2. (90 × 100)/10 = 900(г);
3. 900 – 600 = 300 (г).
Ответ: 300 г.
Запись решения в виде отдельных действий с записью пояснений
1. (600 × 15)/100 = 90 (г) – количество соли в исходном растворе;
2. (90 × 100)/10 = 900(г) – количество конечного раствора;
3. 900 – 600 = 300 (г) – количество воды.
Ответ: 300 г.
Запись решения в виде отдельных действий записью пояснений в вопросно-ответной форме
1.Каково количество соли в исходном растворе?
(600 × 15)/100 = 90 (г);
2. Каково количество конечного раствора?
(90 × 100)/10 = 900(г);
3. Сколько нужно воды?
900 – 600 = 300 (г).
Ответ: 300 г.
Запись решения в виде выражения
(600 × 15)/100 = 90 (г) – количество соли в исходном растворе;
((600 × 15)/100 × 100)/10 = 900(г) – количество конечного раствора;
((600 × 15)/100 × 100)/10 – 600 = 300 (г) – количество воды.
Ответ: 300 г.
Запись решения с объяснением
Так как в 600 г раствора содержится 15 % соли, то количество соли будет (600 × 15)/100 = 90 (г). Необходимо, чтобы в конечном растворе содержание соли было 10 %. Значит, количество конечного раствора будет (90 × 100)/10 = 900(г). Нужное количество воды 900 – 600 = 300 (г).
Ответ: 300 г.
Проверка решения задачи вторым способом
В 600 г раствора добавили 300 г воды и получили раствор с 10 – процентным содержанием. Каково содержание соли в исходном растворе?
Решим эту задачу.
1. 600 + 300 = 900 (г);
2. (900 × 10)/100 = 90 (г);
3. (90 × 100)/60 = 15 (%).
Ответ: 15 %.
Мы получили исходное данное, значит, задача решена правильно.
3. Решение текстовых задач» (формирование познавательного общеучебного действия «Анализ текста задачи » (арифметический метод))
Сколько граммов воды нужно добавить к 600 г раствора, содержащего 15% соли, чтобы получить 10%-й раствор соли?
Этап урока Действия учителя Деятельность обучающихсяУУД
Проверка домашнего задания Организует проверку решения задачи №8 Сверяют свое решение с представленным Организует обсуждение выполнения этапа решения «Анализ текста задачи № 8» по вопросам учителя.
1. Какая ситуация описана в задаче?
2. Какие величины характеризуют эту ситуацию?
3. Сколько и какие условия заданы в этой задаче?
4. Сформулируйте требования (вопрос) задачи.
5. Значения каких величин известны в задаче?
6. Значения каких величин нужно найти?
7. Какая модель для этой задачи наиболее наглядна: в виде схематического чертежа или в виде таблицы? Изобразите ее. Отвечают на вопросы учителя.
Описана ситуация добавление воды к расствору, для получения раствора соли.
Количеством исходного и конечного растворов, процентным содержанием соли в исходном и конечном растворах.
.
В задаче три условия:
1.Количество исходного раствора – 600 г;
2.Процентное содержание в исходном растворе: в 600 г содержится 15 % соли;
3.Процентное содержание в конечном растворе – 10 %.
Вопрос задачи: Сколько граммов воды нужно добавить.
В задаче даны числовые значения величин:
а)исходное количество – 600 г;
б)исходное содержание соли – 15 %;
в)конечное содержание соли - 10 %.
Неизвестные величина: количество воды, необходимое до конечного раствора.
.
Для данной задачи более наглядна модель в виде схематического чертежа.
600г15 % ? г

? г 10 % Осмысление содержания этапа решения «Анализ текста задачи» и последовательности действий по выполнению этого этапа Формулирует задание: «Составьте план (выделите шаги) выполнения анализа текста задачи №8.
Организует работу в парах: расскажи свой план соседу по парте.
Составьте уточненный план анализа текста задачи.
Предлагает записать на доске три наиболее удачных плана анализа текста задачи.
Учитель организует обсуждение этих вариантов анализа текста задачи.
Предлагает выполнить анализ текста задачи на примере составленной задачи №15)Составляет план и записывает его в тетради.
Выслушивают план друг друга.
Каждая пара составляет уточненный план анализа текста задачи.
Анализируют эти планы с точки зрения корректности формулировок, правильной последовательности шагов.
В ходе обсуждения составляют полный вариант плана анализа текста задачи. Познавательное общеучебное действие «Анализ текста задачи»
4. Конспект фрагмента урока «Задача на проценты» (формирование коммуникативных универсальных действий при решении текстовых задач арифметическим методом)
Этап урока Действия учителя Деятельность обучающихсяУУД
Актуализация опорных знаний в виде математической викторины Каждый вопрос или задача зачитывается учителем. Дается время на обдумывание.
1. Что такое процент?
2. Как обозначают процент
3.Что значит в100%
4.Приведите примеры где вы слышали или встречали слово процент
5. Решаем задачу у доски с объяснением учителя
Сколько граммов воды нужно добавить к 600 г раствора, содержащего 15% соли, чтобы получить 10%-й раствор соли
Отвечает учащийся, первый поднявший руку. Если ответ полный, он получает 2 балла; если ответ неполный, но удовлетворительный- то 1 балл. Победители те, кто набрал больше всех баллов.

процент - одна сотая часть числа
%
Все
1.Каково количество соли в исходном растворе?
(600 × 15)/100 = 90 (г);
2. Каково количество конечного раствора?
(90 × 100)/10 = 900(г);
3. Сколько нужно воды?
900 – 600 = 300 (г).
Ответ: 300 г.
Голосование, уксус....
. Коммуникативные УУД (умение достаточно полно и точно выражать свои мысли, владеть монологической и диалогической формами речь.Работа в командах по 4 человека Учитель делит класс на команды по 4 человека и выдает им 4 карточки с задачами.
Образец карточки:
Следующее задание практического характера. У вас на столах лежит листок. Ваша задача: нарисовать квадрат со стороной 10 клеток. Также на у каждого на листке есть свое число, которое обозначает сколько клеток должны вы заштриховать. И следующее задание, вы должны записать какой процент площади квадрата был заштрихован. Штриховать карандашом.
Времени дается 2 -3 минуты. Первые 3 ученика покажут нам свои работы.
* Как вы вычислили процент площади квадрата, который был заштрихован?
(100 частей-100%, 4 части-4%)
* За 100 % что вы взяли? (весь квадрат)
Соберите остальные листки, подпишите их. Потом я их проверю.
2. Соотнеси величины.
Часть величины, заданную в процентах, соотнесите с соответствующей обыкновенной дробью:
25% 40% 65% 70%
7/10 1/4 1/5 2/5 13/20
.
3. Следующая задача по учебнику №869.
делаем самостоятельно.
Учитель вызывает к доске любого представителя одной из команд, рассказать решение четырех задач на карточке. Члены команды выбирают по одной задаче, решают ее. Затем каждый рассказывает группе решение своей задачи.
Выслушивают обоснование решения задач, задают вопросы и при необходимости уточняют ответы
40% = 2/5
25% = 1/4
65% = 13/20
70% = 7/10
-

Что значит 10 часть? (10%)
- На что приходится 10% ? (на 18 век)
- За сколько берем все монеты? (100%)
- Как ответим на вопрос задачи?
100 – 10 = 90% - на остальные монеты. .5. Конспект фрагмента урока «Задачи на проценты» (формирование регулятивного универсального учебного действия «Поиск решения текстовой задачи» (арифметический метод))
Этап урока Действия учителя Деятельность обучающихсяУУД
Актуализа-ция опорных знаний (математи-ческий диктант) 10 минут. Формулирует вопросы
1. Назовите два пути осуществления поиска решения задачи.
2.Сформулируйте ключевой вопрос для первого пути осуществления поиска решения задачи
3.Сформулируйте следующий вопрос при осуществлении поиска решения первым путем.
4.Сформулируйте ключевой вопрос для второго пути осуществления поиска решения.
5.Сформулируйте следующий вопрос при осуществлении поиска решения вторым путем.
Учитель предлагает каждому самостоятельно проверить свой диктант и оценить его в баллах от 1 до 5 (за правильный ответ 1 балл)
Представляет на слайде ответы на вопросы диктанта. Предлагает учащимся еще раз проверить свою работу и выставить оценку в баллах.
Учитель предлагает сравнить общее число баллов, выставленных учеником до и после предъявления слайдов. Просит сделать для себя выводы. Записывают номер вопроса и соответствующий ответ на него.
а)поиск решения начинается от вопроса задачи;
б)поиск решения начинается от условия задачи.
Что нужно знать, чтобы найти…
Какие величины надо знать, чтобы ответить на вопрос задачи?
Что можно найти по данному условию?
Поможет ли найденная величина в дальнейшем решении задачи?
Учащиеся проверяют ответы на вопросы диктанта и выставляют себе оценку в баллах.
Учащиеся проверяют работу, сверяя свои ответы с представленными на слайде, дают самооценку работы в баллах (критерии - те же).Учащиеся сравнивают результаты первой и второй самооценки своей работы и формулируют вывод о причинах несовпадения итоговой балльной оценки. Регулятивные (самооценка; соотношение своего результата с эталоном, коррекция учебной деятельности; планирование деятельности; самоконтроль)
Работа в парах Учитель предлагает учащимся придумать задачу на проценты сделать к ней схему или таблицу Таблицу или схему отдать соседу по парте, чтобы он ее решил при осуществлении поиска решения задачи, либо с помощью схемы, либо вторым путем. Учащийся составляет задачу на проценты
Делают таблицу и сематическую запись, меняются с соседом по парте, который определяется с выбором одного из путей поиска решения задачи и делает вывод, что для него удобнее для решения задачи. Учитель осуществляет выборочную проверку задания, вызывая сначала двух учащихся (сидят за одной партой) для представления составленной задачи и последовательности вопросов при осуществлении поиска решения. При необходимости к доске приглашаются еще двое учащихся. Один из учащихся формулирует составленную им задачу и решение к ней
Другой ученик называет выбранный им путь осуществления поиска решения и показывает ее решение формулируя соответствующий вопрос устно. Самостоятельная работа Учитель предлагает учащимся прочитать задачу и решить ее1-ым и 2-ым путем.
№8: Сколько граммов воды нужно добавить к 600 г раствора, содержащего 15% соли, чтобы получить 10%-й раствор соли?
Учащиеся читают задачу, анализируют ее текст и для своего варианта формулируют соответствующие таблицы и схемы для поиска решения. Учитель предъявляет две последовательности вопросов для поиска решения задачи первым и вторым путем и предлагает учащимся свериться с эталоном; при необходимости добавить некоторые вопросы или отредактировать их. Учащиеся знакомятся с вопросами, представленными учителем на доске и корректируют свои вопросы.
6.Поэтапное решение текстовой задачи №2 алгебраическим методом.
.Колонна автобусов с детьми длиной 1 км двигалась по шоссе со скоростью 50 км/ч. Инспектору, машина которого замыкала колонну, понадобилось подъехать к головному автобусу и вернуться обратно. Сколько минут уйдет у инспектора на путь туда и обратно, если он будет ехать со скоростью 70 км/ч?
I этап. Анализ условия задачи
Деятельность учителя Деятельность ученика
1 2
С чего начинают работу над любой задачей?
Итак, проведем анализ условия задачи. (В дальнейшем в роли учителя выступает ученик). С анализа ее условия.
1. Какого типа эта задача? 1.Задача на движение.
2. О каких объектах идёт речь в задаче? Каков характер их взаимодействия? 2. В задаче идёт речь о движении колонны автобусов и машины инспектора. Инспектор должен доехать до головного автобуса и вернуться обратно.
Итак, какие части можно выделить в задаче? Можно выделить две части: одна – движение машины до головного автобуса, вторая – движение обратно.
3. Какими величинами характеризуется движение в задаче? 3. Движение характеризуется скоростями колонны автобусов и машины инспектора длиной колонны автобусов.
4. Что известно о колонне автобусов? 4. Скорость колонны автобусов 50 км/ч и ее длина
5. Что известно о машине инспектора? 5. Скорость машины инспектора 70 км/ч. Машина должна доехать до головного автобуса и вернуться обратно.
Уточните известные и неизвестные величины. Известно: скорости колонны автобусов и машины инспектора, длина колонны автобусов.
Неизвестно: время, за которое машины доедет до головного автобуса и вернется обратно, расстояния, которые проедут колонна автобусов и машина за это время.
Какая связь существует в задаче между соответствующими неизвестными величинами? 1) Разность расстояний в одну сторону будет равна длине колонны автобусов;
2) Сумма расстояний обратно будет равна длине колонны автобусов.
5. Что требуется найти? 5. Сколько минут уйдет у инспектора на путь туда и обратно.
Можно запись текста оформить в виде таблицы:
Скорость Время туда Время обратно Расстояние туда Расстояние обратно
Колонна автобусов 50 км/ч ? ? ? ?
Машина инспектора 70 км/ч ? ? ? ?
Длина колонны автобусов 1 км.
II этап. Поиск способа решения задачи
Деятельность учителя Деятельность ученика
1 2
1. Итак, что нужно найти в задаче? 1. Сколько минут уйдет у инспектора на путь туда и обратно.
2. Каким методом (арифметически или алгебраически) будем решать задачу? Задачу будем решать алгебраическим методом.
3. С чего начинают решение задачи алгебраическим методом? 3. С выбора условия для составления уравнения.
Какое условие можно выбрать для составления уравнения? Инспектору, машина которого замыкала колонну, понадобилось подъехать к головному автобусу и вернуться обратно. Длина колонны автобусов 1 км.
4. Итак, условие для составления уравнения выбрали. Что делаем дальше? 4. Одну из неизвестных величин обозначаем через х.
Какую величину можно обозначать через х? Время, за которое машина инспектора достигнет головного автобуса и затем, время, потраченное на дорогу обратно.
5. Итак, обозначили неизвестную величину через х. Какой шаг будет следующим? 5. Нужно остальные неизвестные величины выразить через х.
Какие величины нужны, и можно ли их выразить через х? Расстояния, которые проедут за х ч колонна автобусов и машина инспектора: 50х км и 70х км соответственно.
6. Итак, нужные величины выразили через х. Сможем ли теперь составить уравнение? 6. Да, мы получим два уравнения.
7. Составьте план решения задачи. 7. 1) Обозначаем время за х ч;
2) Выразим расстояния как 50х и 70х;
3) Составим уравнения.
III этап. Оформление решения задачи
Пусть х ч – время, за которое машина инспектора доедет до головного автобуса, и время, за которое она вернется обратно. Тогда расстояние, которое проедет за это время колонна автобусов - 50х км. А расстояние, которое проедет машина инспектора за это время, - 70х км. Так как длина колонны автобусов 1 км, составим два уравнения:
70х – 50х =1; 20х =1; х = 1/20 ч = 3 мин;
70х + 50х =1; 120х = 1; х = 1/120 ч = 30сек = 0,5 мин.
3 м+ 0,5 = 3,5 мин.
IV этап. Проверка решения и запись ответа
Ответы соответствуют реальному смыслу задачи, все промежуточные действия имеют смысл.
1) 70-50=20км/ч - скорость сближения туда 2) 1 : 20=0,05часа = 3 мин - туда 3) 70+50 =120 км/ч - скорость сближения обратно 4) 1 : 120 = 1/120 часа =1/2мин = 30 секунд - время на обратный путь 3мин + 30 сек= 3мин30с = 3,5мин - на путь туда и обратно
Итак, задача решена верно.
Ответ: 3,5 мин.
На данном этапе формируются личностные универсальные учебные действия: уметь осуществлять самооценку на основе критерия успешности учебной деятельности.
7.Конспект фрагмента урока «…» (формирование регулятивного универсального учебного действия («Поиск решения текстовой задачи» (алгебраический метод))Этап урока Действия учителя Деятельность обучающихсяУУД
Осмысление содержания этапа решения «Поиск решения текстовой задачи» и последовательности действий по выполнению этого этапа Организует обсуждение выполнения этапа решения «Поиск решения текстовой задачи» по вопросам учителя
Что нужно найти в задаче?
Каким методом (арифметически или алгебраически) будем решать задачу?
С чего начинают решение задачи алгебраическим методом?
Учитель предлагает выбрать учащимся условия для составления уравнения. После обсуждения эти условия записывает на доске
Предлагает записать выбранное условие в виде формулы.
Итак, условие для составления уравнения выбрали. Что делаем дальше?
Какую величину можно обозначать за х?
Какую же неизвестную величину мы обозначим за х и почему?
Учитель предлагает выразить величины, которые содержатся в формуле через х.
Предлагает составить уравнение и записать план решения задачи.
Предлагает выбрать (составить) наиболее удачный вариант плана. Отвечают на вопросы учителя.
Сколько минут уйдет у инспектора на путь туда и обратно
Задачу будем решать алгебраическим методом.
С выбора условия для составления уравнения.
Предлагают условия для составления уравнения.
1.Инспектору, машина которого замыкала колонну, понадобилось подъехать к головному автобусу и вернуться обратно. Длина колонны автобусов 1 км..Записывают формулу, проверяя свою запись с формулой учителя.
70х-50х=1.
Одну из неизвестных величин обозначаем за х.
Время, за которое машина инспектора достигнет головного автобуса и затем, время, потраченное на дорогу обратно).Нужно остальные неизвестные величины выразить через х.Записывают свои варианты в тетради, а затем сверяют с вариантом учителя.
.
1) Обозначаем время за х ч;
2) Выразим расстояния как 50х и 70х;
3) Составим уравнения. После обсуждения появляется план решения задачи.
Регулятивное (Составление плана и последовательности действий; контроль в форме сличения собственной деятельности с заданным эталоном)