Конспект урока по математике на тему максимум и минимум

Тема урока: Максимум и минимум функции.
Цели урока:
образовательные
- ввести понятие критических точек функции, точек максимума и минимума функции; рассмотреть необходимое и достаточное условие существования экстремума, признаки максимума и минимума функции; алгоритм исследования функции на экстремум; продолжить усвоение понятий, формул и правил; продолжить подготовку учащихся к ЕГЭ.
развивающие
- способствовать формированию умений применять полученные знания в новой ситуации; развивать математическое мышление, внимание, речь учащихся.
воспитательные
- содействовать воспитанию интереса к математике, активности, мобильности, умения общаться..
В результате изучения темы учащиеся должны
Знать определения точек максимума и минимума;
Знать необходимый признак экстремума (теорема Ферма) и достаточный признак максимума и минимума;
Знать определения стационарных и критических точек функции;
Уметь находить критические точки функции по графику и определять их вид;
Уметь находить точки экстремума функции аналитическим путем.
Тип урока: комбинированный.
Техническое обеспечение: проектор, компьютер.

Ход урока
Организационный момент.
Ребята, как вы знаете, нам предстоит сдача ЕГЭ. Чтобы пройти это испытание успешно, необходимо много работать, повторять пройденный материал. Сегодня мы продолжаем изучать приложение производной и рассмотрим вопрос о её применении, т.е. введём понятие критических точек функции, точек максимума и минимума функции; рассмотрим необходимое и достаточное условие существования экстремума, признаки максимума и минимума функции; алгоритм нахождения точек экстремума. Итак, запишем тему сегодняшнего урока: Точки максимума и минимума. (Слайд 2)
2. Актуализация знаний.
Для решения поставленных задач, нам необходимо вспомнить некоторые вопросы, рассмотренные ранее. Фронтальный опрос.
Найти область определения и производную функции: (Слайд 3)
у = 3х4 – 2х + 5; 2) у = е-2х + 1; 3) у = х2 QUOTE QUOTE ;
4) у = QUOTE ; 5) у = QUOTE ; 6) у = QUOTE .
2. Найти значения х, при которых значение f(x) равно 0, если (Слайд 4)
1) f(x) =5х2 + 3х; 2) f(x) = х QUOTE ех; 3) f(x) = QUOTE .
3. Решить неравенство: (Слайд 5)
1) 15х + 1 > 0; 2) х2 – 5х + 6 < 0; 3) (х + 2)ех < 0.
4. По графику функции определите, на каких промежутках производная отрицательна, положительна. (Слайд 6)
5. По графику производной функции определите, на каких промежутках функция возрастает, на каких убывает. (Слайд 7)
3. Изучение нового материала.
Пусть график некоторой функции имеет вот такой вид.
 а) Если рассмотреть значение функции в точке х0  на этом графике (Слайд 8), то оно будет наибольшим (максимальным), чем в любой другой точке из близлежащей окрестности. В этом случае говорят, что х0 - точка максимума (max).
Точка х0 из области определения функции называется точкой максимума, если для любого  из окрестности точки х0 выполняется неравенство  f(x) < f(x0)

б) Попробуйте сформулировать определение точки минимума. (Слайд 9)
Если рассмотреть значение функции в точке х0, то оно будет наименьшим (минимальным), чем в любой другой из близлежащей окрестности. В этом случае говорят, что х0 - точка минимума (min).
Точка х0 из области определения функции называется точкой минимума, если для любого х из окрестности точки х0 выполняется неравенство > .
(Слайд 10) Максимум и минимум функции объединяют словом экстремум ( с латинского - крайний), а точки максимума и минимума называют точками экстремума (экстремальными точками)
(Слайд 11)
Теорема Ферма: Пусть функция f(х) определена в некоторой окрестности х0 и дифференцируема в этой точке. Если х0 - точка экстремума функции f(х) , то f ґ(х)=0.
Теорема имеет наглядный геометрический смысл: в точках экстремума касательная к графику функции параллельна оси абсцисс, и поэтому её угловой коэффициент f ґ(х)=0. (Слайд 12)
Необходимое условие существования экстремума функции в точке: Если -точка экстремума функции и в этой точке функция дифференцируема, то производная в этой точке равна нулю.
Точки в которых производная равна нулю называют стационарными.
Определение критических точек (Слад 13)
Мы можем ответить на вопрос: «Среди каких точек мы должны искать точки экстремума?» Точками экстремума могут служить лишь критические точки, в которых производная равна нулю или не существует. То есть функция может иметь экстремум и в точке, в которой она не имеет производной.

Необходимое условие не является достаточным, (Слайд 14) т.е. из того факта, что производная равна нулю в некоторой точке, не следует, что функция в этой точке имеет экстремум (например, функция ).
Какие условия необходимо добавить, чтобы утверждать, что некоторая критическая точка является точкой максимума или минимума? Видно, что точка максимума служит границей перехода от возрастания к убыванию функции (слайд 15), а точка минимума - от убывания к возрастанию
(Слайд 16).

Достаточное условие существования максимума состоит в смене знака производной при переходе через критическую точку с "+" на "-", а для минимума с "-" на "+". Если при переходе через критическую точку смены знака производной не происходит, то в данной точке экстремума нет. (Слайд 17)

Необходимое и достаточное условие экстремума. (Слайд 18)
Для того, чтобы точка х0 была точкой экстремума функции f(х), необходимо , чтобы х0 была критической точкой функции;
достаточно, чтобы при переходе через критическую точку х0 производная меняла знак.
Выписать в тетрадь необходимый и достаточный признак экстремума.
Алгоритм нахождения точек экстремума: (Слайд 19) алгоритм раздается детям
Найти производную функции.
Решить уравнение f ґ(х)=0, и найти тем самым стационарные точки.
Методом интервалов установить промежутки знакопостоянства производной.
Если при переходе через точку х0:
- производная не меняет знак, то х0 – точка перегиба;
- производная меняет знак с «+» на «-», то х0 точка максимума;
- производная меняет знак с «-» на «+», то х0 точка минимума.
4. Отработка определений. (один к доске, остальные с сигнальными карточками).
Используются слайды презентации.
Вопрос к слайду 20
Найти по графику функции точки, с определениями которых вы только, что познакомились.

Вопросы к слайду 21
2. Укажите:
1) в каких точках графика касательные к нему параллельны оси абсцисс;
2) чему равна производная в этих точках;
3) как называются такие точки;
4) чему равна производная в точке х4;
5) как называется такая точка;
6) какие точки можно назвать точками экстремума.

5. Закрепление новой темы.
1. Найдём точки экстремума функций. (Слайд 22)
а) у = 2х – 3
1) Найдём производную функции QUOTE = 2
2) Найдём стационарные точки: 2 = 0 решений нет, значит, стационарных точек нет.
3) Данная функция линейная и возрастает на всей числовой оси, поэтому не имеет точек экстремума.
Ответ: точек экстремума нет.
б) у = х2 - 2х – 1 (Слайд 23)
1) QUOTE = 2х - 2
2) 2х - 2 = 0
2х = 2
х = 1,5
QUOTE - +
у 1,5 х
Ответ: функция имеет максимум в точке х = 1,5
2. Решение задач (Слайд 24)
№ 9(1,3) решение у доски с комментарием
№ 11 (1,5) решение у доски с комментарием
№11(2) самостоятельно
3. Резерв: Решение задания В8 из сборника ЕГЭ 3000 задач №1683,1741, 1751 – устно
6. Домашнее задание (Слайд 25)
§ 2 № 9(2) №11(4)Решение В8 (сборник ЕГЭ 3000 задач) №1685, №1743, №1752, №1942 - устно
7. Итог урока
На сегодняшнем уроке мы с вами познакомились с новыми понятиями, научились находить точки максимума и минимума. Умение применять полученные знания вам пригодятся при сдаче экзаменов и при дальнейшем учении. Поэтому, все, что вам дается на уроках, всегда вам пригодится.