Максимум ж?не минимум м?селелеріне арнал?ан есептерді шы?ару
Максимум ж‰не минимумдар туралы т_сінік
Адам ™мірінде ‰рт_рлі жаCдайларCа байланысты _лкен, кіші, маSызды, маSызсыз ‰рт_рлі шешімдер KабылдауCа м‰жб_р болып жатады. БіраK, Kай уаKытта да т_рлі нaсKалардыS ішіндегі еS тиімдісін, еS _лкенін, еS пайдалысын таSдауCа тырысады. Сол себепті KоCамдыK ортада “оптимизация” т_сінігі пайдаланылуда. Jарапайым тілде айтKанда оптимизация еS жаKсысы деген маCынада. Осы жерден т_сінетініміз оптимизацияныS ™зі екі т_рге б™лінеді;
а) егер пайдалы болса _ еS жаKсысы максималды (барынша немесе к™бірек пайдалану сияKты) т_рге aмтылады. (maximum)
‰) егер зиянды н‰рсе болса – еS жаKсысы минималды (зиянын барынша азайту немесе м_лдем болдырмау сияKты) т_рге aмтылады. (minimum).
Максимум ж‰не минимум с™здері латын тілінен енген, маCынасы еS _лкен ж‰не еS кіші дегенге саяды.
Максимумдар мен минимумдар ежелгі уаKыттардан бері ™з маSызын жоCалтпай, осы уаKыттарCа дейін саKталып келген, осыдан кейінде жалCасары аныK. Максимум, минимум м‰селелеріне Kай CасырдыS болмасын Cалымдары бет бaрмай кетпеген. Тіпті, барлыK Cылым осы м‰селедеy басталды десекте асыра айтпаCан болармыз. Себебі, максимум ж‰не минимум м‰селелері адам баласыныS ™мірінде ж‰не к_нделікті тіршілігінде жиі кездесіп отырады.
Математика саласында экстремумдарды (максимум ж‰не минимумдарды) зерттеу ™те ертеден, жиырма бес Cасыр бaрын басталCан. `заK уаKыт бойы бaл м‰селе ™з шешімін таба KоймаCан еді, дегенмен _ш ж_з Cасыр бaрын заман жаSалыCы болып алCаш математикалыK талдау салаларына ене бастаCан.
Максимум ж‰не минимум м‰селелерін KозCалуына себеп болCан таCы бір жайт, табиCат к_ші. Жел, су, жарыK, газ сияKты табиCи к_штер басKа н‰рселердіS де максималды немесе минималды к_ш алуына себеп екені ортаCа шыCарылуы.
Бaл жаSалыK математикалыK есептеулермен болса да, тек Kана математикаCа т‰н емес физика, химия, биология, т.б. ‰рт_рлі KолданысKа еніп кеткенін білдіреді. Біз тек математикаCа т‰н саласын Kарастырамыз.
МатематикадаCы максимум ж‰не минимумдарды Kарапайым с™здермен т_сіндіру біраз Kиын болCандыKтан мысал келтіре отырып аныKтау Kолайлы болар деп aйCардым.
Мысал: Бір жолаушы тауды асып ™ту _шін сызбада AB сызыCымен к™рсетілген жолды ж_ріп ™тті делік. К™терілу м™лшерін ‰деттегідей теSіз бетінен бастап есептейміз. Сызбада теSіз беті PQ арKылы к™рсетілген, егерде жолаушы M н_ктесінен ™тіп жатKан болса биіктік NM деп есептеледі.
Осылдайша ж_ру барысында жолаушыныS теSіз бетінен биіктігі ™згермелі болады. ЯCни, жоCары к™терілген сайын биіктік те артады, ол Е шыSына жеткенде биіктік максималды болады, одан кейін жолаушы т™мен Kарай бет алады. Олай болса, теSіз бетінен ™лшеген биіктік те азая бастайды. Сызбада байKаCанымыздай, еS шыSы болып есептеліп отырCан Е н_ктесін ™лшейтін КЕ тік сызыCы басKаларына (сол жаCында жатKан МN сызыCы мысал ретінде) KараCанда максималды. Жолаушы Е н_ктесін асып, оныS оS жаCына ™ткенде де ( мысал ретінде RS) жолдыS еS биігі болып Kала береді. Сонымен, Kай жаCынан да KараCанда еS _лен биіктікті Kамтып тaрCан КЕ сызыCы максималды болып саналады.
1-сурет
Енді еS кіші немесе минималды ™лшемге мысал келтірейік.
Мысал: ЖаздыSк_нгі т_ндердіS ‰рбір 10 минуты сайын ауа температурасы ™лшеніп, кесте толтырылып отырылCан делік. Егер к™лденеS баCытты уаKыт t деп алып, тік баCытты температура T деп алсаK. ЕS кішісін табу _шін ордината бойымен еS т™менгісін t – уаKытпен с‰йкестіреміз. Міне, осы с‰т еS т™мен деSгейлі, минималды температура болып есептеледі ж‰не бaл н_ктеден басKаларыныS б‰рі осыдан _лкен болуы тиіс.
2-сурет
Осы мысалдардаCы ортаK м‰селе екеуініSде ™лшемдерініS (биіктік, температура) т™мен KaлдыраCанда немесе жоCары к™терілгенінде еS шеткі жаCдайCа дейін жетуі. СондыKтан максимум ж‰не минимум т_сініктері Kатар ж_реді. Бaл т_сінік еS шеткі немесе экстрималды (extrimum латын тілінен) деген маCынада. Осыдан кейін максимум ж‰не минимум есептерініS бірдей шыCарылатынын да к™ретін боламыз.
Кейде ™згермелі ™лшеміміз кезектесе ™сіп немесе кеміп тaруы да м_мкін. Мысал ретінде синус ™згермелісін KарастырсаK, 13 QUOTE 1415 мындаCы x бaрышы 0 мен 1 аралыCында ™сетінін к™реміз, кейін бaрыш кеми береді. 13 QUOTE 1415 болCанда еS кіші, яCни, минимум -1 м‰ніне келеді. Осыдан кейін x м‰ні таCыда ™седі ж‰не бaл жаCдай жалCаса береді.
Жалпы алCанда ™згермелі ™су мен кему барысында, минималды ™лшем максималды ™лшемнен ‰лдеKайда _лкен болуы м_мкін. Бaл жаCдайды т™менгі мысалдан к™ре аласыз.
3-сурет
Бaл сызбада бірнеше т™беден ™тетін ABCDEF жол к™рсетілген. Мында жолаушыныS теSіз бетінен максимум к™терілу н_ктелері A, C, E, ал, минимум т™мендеу н_ктелері B, D, F. С н_ктесінде максимум деп аламыз себебі, ол к™ршілес н_ктелерінен жоCары. F н_ктесі де минимум себебі, оныSда оS жаK ж‰не сол жаK н_ктелері оныS ординатасынан _лкен. Сонымен, біздіS минималды деп алCан F н_ктеміз, максималды деп алCан С н_ктемізден де биік болып шыKты.
Мысал: JаSтар айындаCы к_ндізгі максималды ауа температурасы, т_нгі минималды ауа температурасымен салыстырCанда т™менірек болады.
Олай болса максимум ж‰не минимум деген т_сінік жалпы алCандаCы еS _лкен немесе еS кішісі Cана емес, белгілі бір ™лшемдер ж_ргізіліп, алып отырCан н_ктеге еS жаKын немесе к™ршілес н_ктелермен де салыстырылуын Kарастыруымыз керек.
ГеометриядаCы максимумдар мен минимумдар
Максимум ж‰не минимум есептерініS баCа жетпес KaндылыKтары CылымдардыS ежелгісі болып саналатын – геомтрияныS Kойнауына жинаKталCан.
ГеометрядаCы максимум ж‰не минимум есептерін, к™не заманныS aлы Cалымдары болып танылCан, _ш бірдей CалымныS шыCармаларында кездестіруге болады. Ол Cалымдарды тізіп жазар болсаK – Евклид, Архимед, Апполония. Jайта жаSCыру д‰уірініS – Вивиани, Торричелли, Ферма ж‰не т.б. Cалымдары бaл есімдерге аса Kaрметпен Kарап, ерекше Kадірлеген. Максимум, минимум есептерге KызуCышылыK тек бaрынCы д‰уірлермен шектеліп KалCан жоK, ол к‰зіргі уаKытKы дейін ™з Kасиетін саKтап келеді. Максимумдар мен минимумдар ежелгі уаKыттардан бері ™з маSызын жоCалтпай, осы уаKыттарCа дейін саKтап келген, осыдан кейінде жалCасары аныK. Максимум, минимум м‰селелеріне Kай CасырдыS болмасын Cалымдары бет бaрмай кетпеген. Тіпті, барлыK Cылым осы м‰селеде басталды десекте асыра айтпаCан болармыз. Себебі, максимум ж‰не минимум м‰селелері адам баласыныS ™мірінде ж‰не к_нделікті тіршілігінде к_нделікті кездесіп отырады.
Математика саласында экстримумдарды (максимум ж‰не минимумдарды) зерттеу ™те ертеден, жиырма бес Cасыр бaрын басталCан. `заK уаKыт бойы бaл м‰селе ™з шешімін таба KоймаCан еді, дегенмен _ш ж_з Cасыр бaрын заман жаSалыCы болып алCаш математикалыK талдау салаларына ене бастаCан екен.
Максимум ж‰не минимум м‰селелерін KозCалуына себеп болCан таCы бір жайт, табиCат к_ші. Жел, су, жарыK, газ сияKты табиCи к_штер басKа н‰рселердіS де максималды немесе минималды к_ш алуына себеп екені ортаCа шыCарылды.
Бaл жаSалыK математикалыK есептеулермен болса да, тек Kана математикаC а т‰н емес физика, химия, биология, т.б. ‰рт_рлі KолданысKа еніп кетті. Біз тек математикаCа т‰н саласын Kарастырамыз.
ЕвклидтіS есептеуі: адамзат баласыныS тарихындаCы ж‰не еSбектеріндегі еS алCаш максимумCа байланысты есеп б.з.б IV Cасырда, ЕвклидтіS бастамаларында Cана кездеседі. Заманауи басылымдарда оны т™мендегідей кездестіреміз.
Есеп: Берілген ABC _шбaрышына еS _лкен ауданды Kамтитын ADEF (EF//AB, DE//AC) параллелограмм сыз.
Евклид бастамаларында келтірілген геометриялыK шешімдерден бір мысал келтірейік.
Ізделінді параллелограммныS D, E ж‰не F т™белері берілген _шбaрыштыS KабырCаларын KаK б™летінін д‰ лелдеуіміз керек.
АйталыK, _шбaрышKа ADEF тен басKа, ADEF параллелограмм сызылCан болсын. DE ж‰не EF сызыKтарыныS Kиылысу н_ктесін G, ал DE ж‰не EF сызыKтарыныS Kиылысу н_ктесін G деп белгілейік.
Енді, ADEF параллелограммы ADEF параллелограмынан EGEG параллелограммы шамасындай кіші екенін к™рсетейік. Ол _шін ABC _шбaрышына B т™бесінен H биіктігін ж_ргіземіз. AC арлыCын b деп белгілесек, GEE _шбaрышына биіктік ж_ргізіп, оны 13 QUOTE 1415 деп белгіліейік. GEE ж‰не ABC (EG // AB, GE // AC) _шбaрыштарынан мынадай н‰тиже ала аламыз:
АлынCан Kатнастан, биіктігі 13 QUOTE 1415, DE KабырCасы 13 QUOTE 1415 теS, DEED параллелограммы, EGFF параллелограммына теS екенін байKаймыз. €йткенмен, екінші параллелограмымыздыS биіктігі 13 QUOTE 1415, ал, FF KабырCасы 13 QUOTE 1415 теS. Осыдан, ADEF параллелограмы ADGEGF Kа теS, яCни, ADEF параллелограмы ADEF параллелограмынан GEGE шамасындай кіші екенін таптыK. Есеп шешілді.
1-сурет
АрхимедтіS есептеуі: к™не жазушылардыS айтуымен АрхимедтіS (б.з.б. 287 – 212 жж.) шеSбердіS изопериметрлік ж‰не сфераныS изопифандыK Kасиеттерін д‰лелдегенін білеміз. БіраK, АрхимедтіS бізге жеткен шыCармаларынан изопериметрлік д‰лелдеуін еш кезіктіре алмаймыз. ОныS жинаKтарында бaл проблеманыS шешімі бейм‰лім. ИзопифандыK есептеуін “ шар мен цилиндр туралы” жинаCынан кездестіре аламыз. Онда келесі есеп Kарастырылып, шыCарылCан.
Есеп: Белгілі бір ауданмен берілген шар бетініS,барлыK сегменттер арасында максималды к™лемді Kамтитын шар сегментін табыSыз.
Алдымен, шешімін толыCымен АрхимедтіS идеясы негізінде табамыз. Бaл ойлаCанымыздай емес алгебралыK ж_йеде болмаK, сондыKтан тапKан шешімімізді геометрия тіліне аударуымызCа тура келеді.
Радиусы R, биіктігі k, берілген сегменті BAB болатын шарды Kарастырамыз. BAB сегментімен Kатар д‰л сондой б_йір бетімен EDE жартышарын Kарастырамыз. ОныS радиусын r деп белгіліейік. Білетініміздей, шар сегментініS к™лемі V=13 QUOTE 1415теS, б_йір бетініS ауданы 13 QUOTE 1415Rh, ал жартышар к™лемі V=(13 QUOTE 1415, б_йір бетініS ауданы S=13 QUOTE 1415. Сегмент пен жартышардыS аудан мынадай теSдеу аламыз:
13 QUOTE 1415. (1)
ТеSсіздікті д‰лелдейік
(2R - r) r > (2R – h) h мaндаCы h
· R. (2)
1-сурет 2-сурет
Екі т_рлі жаCдайды KарастырайыK: 1) h < R, 2) h > R.
Бірінші жаCдайда
13 QUOTE 1415
=13 QUOTE 1415
Екінші жаCдайда
= 13 QUOTE 1415
ж‰не (2) теSдеуді Kосып, 13 QUOTE 1415 к™бейтсек мынадай теSсіздік табамыз
13 QUOTE 1415 (3)
теSдеудегі Rh-ты 13 QUOTE 1415-Kа ауыстыру арKылы керекті теSсіздікке жетеміз:
V=13 QUOTE 1415 = V.
Cонымен, д‰л сондай б_йір бетке ие жартышардыS к™лемі сфералыK сегменттен _лкен болды, немесе АрхимедтіS тілімен айтсаK “ белгілі бір бетті Kамтитын барлыK сфералыK сегменттердіS еS _лкені жартышар болады.”
БарлыK д‰уірдіS данышпандарымен Kатар, данышпан Ньютонды да Kосып санаCанда, б‰рібір АрхимедтіS еSбегімен к™бірек массаттануCа болады, алар орны да ерекше _лкен дегім келеді. €рине, орынды ешKайсысынан да аямаймыз, ендігі іс осы есепті Архимед тіліне аудару ( жаKша ішінде алгебралыK жолдары да к™рсетіліп отырады ).
Архимед алгебралыK тілді де, алгебралыK есептеулерді де KолданбаCан болуы тиіс, себебі ол уаKытта алгебраныS пайда болуына ‰лі он сегіз Cасырдай уаKыт бар еді. Біз АрхимедтіS тілі – геометрия деп т_сінейік. АрхимедтіS жолымен АА т_зуінен [OH] кесіндісін биіктігі HM, радиусы MB болатын, BAB шар сегментімен шамалас конустыS табаны ретінде б™ліп аламыз. [OA] кесіндісіне радиус R теS болатындай етіп [AK] кесіндісін жалCастырамыз. Сегмент пен конустыS шамаластыCы Архимедті мынадай пропорцияCа жетеледі:
3-сурет 4-сурет
(4)
ТеSдіктіS дaрыс немесе дaрыс емес екенін тексерейік. Ол _шін белгілі формулалар 13 QUOTE 1415 конустыS к™лемі мен 13 QUOTE 1415 сегменттіS к™лемін Kолданамыз.
13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415 =
= 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415. (5)
Біз, 13 QUOTE 1415 кесіндісініS aзындыCы, 13 QUOTE 1415 ж‰не 13 QUOTE 1415 кесінділерініS орташа геометриялыK aзындыCы екендігін пайдаланып KалдыK. Осылайша, (5) формула (4) формуладан жалCасын табады.
Шар беті мен сегмент бетініS теSдігі т™мендегі жаCдайCа ‰келеді
13 QUOTE 1415 = 13 QUOTE 1415 (6)
Шынымен аK, 13 QUOTE 1415, 13 QUOTE 1415 = 13 QUOTE 1415 (бaл да белгілі, KабырCасы диаметрге теS, _шбaрыштыS Kасиеттерінен бірі.)
13 QUOTE 1415 213 QUOTE 1415
Осыдан кейін Архимед 13 QUOTE 1415 aзындыCына теS 13 QUOTE 1415 кесіндісін б™ліп алып, (2) теSсіздікті д‰лелдейді:
13 QUOTE 1415.
Бaл аKиKатты Архимед “периметрлері теS екі тікбaрышты aшбaрыштыS KайсысыныS кіші KабырCасы aзын болса, соныS ауданы да екіншісінен _лкен болады” – деп геометриялыK тілде негіздеген.
Келесі кезекте ( сегмент пен жартышардыS б_йір беттерініS теSдігі н‰тижесінде)
13 QUOTE 1415 ( 13 QUOTE 1415
СоSCы теSсіздікті Kоса отырып, осы теSдіктен мынадай н‰тиже шыCады.
13 QUOTE 1415
Мына Kатынастарды да жоCары да д‰лелдегенбіз
13 QUOTE 1415 ((5) теSдеуге KараSыз)
13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415 (Kaрылысына Kарай), осыдан ж‰не (1) теSдеуден шыCатыны
V=13 QUOTE 1415
( 13 QUOTE 1415=13 QUOTE 1415).
Д‰лелдеуіміз осымен аяKталды.
Осы д‰лелдемеде KолданылCан барлыK формулалар да ( конустыS, шардыS ж‰не шар сегмертініS к™лемі, шардыS б_йір бетініS ауданы мен сфералыK сегменттіS б_йір бетініS ауданы) еS алCаш АрхимедтіS Kолданылуымен жарыK к™ргенін де айта кету ж™н болар[8].
Штейнер есептеуі: ™ткен ж_зжылдыKтыS басында Берлин геометрі Якоб ШтейнердіS зерттеген келесі есебі Kарапайым болса да, ™те KызыKты: _ш A, B, C ауылды мекендерін жалпы aзындыCы минимал болатындай етіп жолдар ж_йесімен Kосу керек. НаKтыраK, математикалыK нaсKасын aсынсаK: жазыKтыKта берілген _ш A, B, C н_келері _шін a + b + c Kосындысы (мaндаCы: a, b, c – A, B, C н_ктелерінен P н_ктесіне дейінгі с‰йкесінше KашыKтыKтар) минимал болатындай етіп т™ртінші P н_ктесін табыSдар (1-сурет). Бaл есептіS шешімі келесідей болмаK: егер ABC _шбaрышыныS барлыK бaрыштары 120° -тан кіші болса, онда P н_ктесі етіп барлыK AB, BC, CA KабырCалары 120° бaрышпен к™рінетін н_ктені алу керек; егер ABC _шбaрышыныS бір, м‰селен, C бaрышы 120°-тан _лкен немесе теS болса, онда P н_ктесін C т™бесімен беттестіру Kажет. Егер жоCарыда KарастырылCан экстремалдыK Kасиеттерді пайдалансаK бaл н‰тижені тексеру Kиын емес. АйталыK, P ізделінді н_кте болсын, онда келесі екі жаCдайдыS бірі орындалады: не P н_ктесі A, B, C т™белерініS бірімен беттеседі, не P н_ктесі бaл т™белермен беттеспейді. Бірінші жаCдайда P н_ктесі ABC _шбaрышыныS C т™бесімен беттесуі тиіс, себебі, CA+CB Kосындысы ABC _шбaрышыныS кез келген басKа екі KабырCасыныS Kосындысынан кіші болады.
1-сурет 2-сурет
PA + PB + PC = minimum.
(СондыKтан екінші жаCдай Kалады. АйталыK k - центрі C н_ктесі, ал радиусы c болатын шеSбер болсын (2-сурет). Онда P н_ктесі PA+PB Kосындысы минимумCа айналатындай етіп k шеSберінде орналасуы тиіс. Егер A ж‰не B н_ктелерініS екеуі де k шеSберінен тыс жатKан болса, онда біз д‰лелдеп кеткен Герон теоремасы бойынша PA ж‰не PB кесінділері k шеSберімен бірдей бaрыш жасаулары керек. Ендеше k шеSберіне перпендикуляр болатын PC радиусымен де бірдей бaрыш жасаулары керек. Центрі A, ал радиусы a болатын шеSбер _шін де д‰л осылайша ой KорытсаK, онда PA, PB, PC кесінділерімен жасалCан бaрыштардыS б‰рі де теS болатыны шыCады. ЯCни, ол бaрыштар 120°-Kа теS. Бaл д‰лелдеуіміз A ж‰не B н_ктелері k шеSберінен тыс жатсын деген aйCарымCа с_йенген болатын; басKаша болуы м_мкін емес екенін к™рсетелік. A, B н_ктелерініS бірі, айталыK, A н_ктесі k шеSберініS ішкі облысында немесе шеSбердіS ™зінде жатсын делік. Онда AC ( c; ал екінші жаCынан A, B, C н_ктелерініS кез келген орналасуында a+b
·AB болатындыKтан, a+b+c
·AB+AC болады (мaндаCы а, в, с – табылCан н_ктеден А, В, С н_ктелеріне дейінгі с‰йкестігінше KашыKтыKтар). СоSCы теSсіздіктен к™ргеніміздей, a+b+c KосындысыныS м_мкін болар минипмал м‰ні P н_ктесі A н_ктесімен беттескенде пайда болады екен. Бaл P н_ктесі A, B, C н_ктелерінен ™згеше деген aйCарымымызCа Kайшы келеді. Сонымен, A ж‰не B н_ктелері k шеSберінен тыс жататыны д‰лелденді. B ж‰не C н_ктелерініS центрі A, ал радиусы a болатын шеSберден тыс жататыны, сондай-аK, A ж‰не C н_ктелері центрі B, ал радиусы b болатын шеSберден тыс жататынын да д‰л осылайша д‰лелдеуге болады.
2. М_мкін болар жаCдайларды талдау. М_мкін болар екі жаCдайдыS Kайсысы орындаларын аныKтау _шін біз P н_ктесін салуCа тірелеміз. ^шбaрыштыS екі KабырCалары, мысалы AC мен BC KабырCалары 120( бaрышпен к™рінетін P н_ктесін табу _шін A мен C н_ктелері арKылы ™тетін k1 шеSберініS кіші AC доCасы 120( Kaрайтындай етіп, ж‰не B мен C н_ктелері арKылы ™тетін k2 шеSберін де д‰л осындай Kасиетке ие болатындай етіп ж_ргізіп, соSында егер ‰рKайсысы 120( KaралCан екі доCа Kиылысатын болса, олардыS Kиылысу н_ктесін алу керек. Мaндай жолмен табылCан P н_ктесінен AB KабырCасы міндетті т_рде 120( бaрышпен к™рінеді, себебі, P т™бесініS _ш бaрышыныS Kосындысы 360(-Kа теS болуы тиіс. 3-суреттен к™ріп отырCанымыздай, егер АВС _шбaрышыныS барлыK бaрыштары да 120(-тан кіші болса, онда аталCан екі доCалар міндетті т_рде _шбaрыштыS ішінде Kиылысады. Екінші жаCынан, АВС _шбaрышыныS бір, айталыK С бaрышы 120(-тан _лкен болса, онда аталCан доCалар Kиылыспайды екен. Бaл жаCдайда АВС _шбaрышыныS ‰р KабырCасы 120( бaрышпен к™рінетін Р н_ктесі болмайды, ал k1 мен k2 шеSберлері 13 EMBED Equation.3 1415 Kиылысады. Бaл н_ктеден АС мен ВС KабырCалары 60( бaрышпен, ал жалCыз Cана АВ KабырCасы 120( бaрышпен к™рінеді.
Егер _шбaрыштыS бір бaрышы 120(-тан _лкен болса, онда жаSа Cана біз к™ргендей барлыK KабырCалар 120( бaрышпен к™рінетін Р н_ктесі болмайды; яCни еS аз м‰н Kабылдайтын н_кте басKа н_кте болуы керек. Бaл біз алдында д‰лелдеп к™рсеткендей _шбaрыштыS доCал бaрыш орналасKан т™бесі екен.
3-4-5-сурет
Штейнер есебініS ‰рт_рлі жаCдайларын талдау.
Егер _шбaрыштыS ‰рбір бaрышы 120(-тан кіші болса, онда барлыK KабырCалар 120( бaрышпен к™рінетін Р н_ктесін салуCа болатынын к™рдік. БіраK есеп онымен біткен жоK, бaл Р н_ктесі _шін а+в+с Kосындысы _шбaрыштыS кез келген т™бесімен салыстырCанда кіші болатынын к™рсетк керек. Сонымен, мысалы, а+в+с Kосындысы АВ+АС-дан кіші екенін к™рсетелік (5-сурет). Ол _шін А н_ктесін ВР кесіндісіS созындысына проекциялап, D н_ктесін алайыK. 13 EMBED Equation.3 1415 екені аныK болCандыKтан, PD проекцияныS aзындыCы 13 EMBED Equation.3 1415-Cа теS болады. BD кесіндісі AB-ныS BP т_зуіне т_сірілген проекциясы болCандыKтан, BD
3. Жалпылау: к™шелік желі м‰селесі. Штейнер есебінде _ш A, B, C н_ктелері берілген болатын. Есепті жалпылап n жаCдайында 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, ... 13 EMBED Equation.3 1415 н_ктелері _шін де есеп KaрастыруCа болады: a1 + a2 + + an Kосындысы минимал болатындай етіп жазыKтыKтыS P н_ктесін тап (мaндаCы: ai арKылы PAi кесінділерініS aзындыKтары белгіленген). (6-суреттегідей орналасKан т™рт н_кте жаCдайы _шін P н_ктесі деп 13 EMBED Equation.3 1415 т™трбaрышыныS дииоганальдарыныS Kиылысу н_ктесін аламыз). Штейнер KарастырCан бaл жалпылау есебі ойдаCыдай KызыKты н‰тиже бермейді. СондыKтан, жалCыз P н_ктесін іздеуден бас тартып, бірнеше н_ктелерді табуCа тура келеді.
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Р 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
6-сурет
Т™рт н_ктеге дейінгі араKашыKтыKтардыS KосындысныS еS аз м‰ні.
Ендеше, «к™шелік желіс» немесе «берілген елді мекендер арасындаCы жол желісін» табуCа есеп Kaраймыз. НаKтыраK айтсаK: n н_ктелер берілген 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, ... 13 EMBED Equation.3 1415; келесі шарттарды KанаCаттандыратын т_зу сызыKты кесінділердіS байланысKан ж_йесін тап: 1) кез келген берілген екі н_ктені KабырCалары ж_йеге кіретін сыныK сызыKтармен KосуCа болады; 2) б_кіл ж_йеніS жалпы aзындыCы минимал болады.
Бaл есептіS шешімдері берілген н_ктелердіS орналасуына байланысты болмаK. СондыKтан, 7-9-суреттерде к™рсетілген наKты мысалдарды Kарастырамыз. Бірінші мысалда есептіS шешімі ‰рKайсысында ™зара 120( бaрыш жасайтын _ш сегмет тоCысKан екі н_ктемен берілген. Екінші мысалда мaндай н_ктелер саны _шеу. Бaл н_ктелердіS берілген н_ктелермен беттесетін де жаCдайлары кездеседі. Мaнымыз _шінші мысалCа с‰йкес келеді. Берілген н_ктелердіS с‰л ауытKуында есептіS шешімі ™згеше шыCуы орынды.
7-8-9-суреттер
Берілген н_ктелерді Kосатын KысKа жол ж_йелері.
Егер берілген н_ктелер саны n болса, онда ‰рKайсысында _ш кесінділер тоCысатын мaндай н_ктелер саны n–2-ден артпайды.
10-11-суреттер
КвадраттыS т™белерін Kосатын KысKа жолдар ж_йесі.
ЕсептіS ‰рKашан жалCыз шешімі болуы міндетті емес. М‰селен, берілген т™тр н_ктелер квадрат т™белерімен беттесетін болса, онда есептіS екі шешімі болмаK (10-11-суреттер). Егер берілген 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, ... 13 EMBED Equation.3 1415 н_ктелері ™зара 180(-Kа мейлінше жаKын бaрыш жасап Kиылысытын KиыK сызыKтардыS т™белері болатын болса, онда бaл KиыK сызыKтыS ™зі есептіS жауабы болады.
4.Штейнер есебініS т‰жірибелік шешілуі. Беттік тартылуы ‰лсіз сaйыKтыKтармен максимум мен минимумCа арналCан т‰жірибелерді жасауды алCаш белгиялыK физик Плато (1801-1883) aсынCан болатын. Мaндай сaйыKтыKты алудыS тиімді ‰дісі келесідегідей: 500г дистилльденген суCа 10г таза натридыS KaрCаK олетасын Kосамыз.
Осындай т‰жірибелердіS біріне с_йеніп Штейнер есебін к™рнекі т_рде шешуге болады. Екі параллель орналасKан шыны беті (немесе тегіс плита) бaларCа перпендикуляр болатын _ш немесе одан да к™п стержендермен бекітілсін. Егер бaл ж_йені сабын ерітіндісіне малып алсаK, екі беттіS арасында стержендерді Kосатын вертикаль орналасKан сабын KабыKшасы пайда болады. Бaл KабыKшалардыS горизонталь бетке проекциясы стержендердіS табандары _шін Штейнер есебініS шешімі болады екен (16-17-суреттер).
Пайда болCан KоспаныS 15 кубтыK бірлігіне 11 кубтыK бглицерин
Bылымда мaндай т‰жірибелер – сабын к™піршігімен жасалатын
Кеплер есептеуі: Берілген шарCа еS _лкен к™лемді цилиндр сызу.
Берілген есепті планиметриялыK нaсKада келесідей жалCастыруCа болады. Берілген шеSберге еS _лкен аудандаCы _шбaрыш сызу арKылы. Бірінші жаCдайды Кеплер есебі деп KарастырсаK, екіншісін КеплердіS планиметриялыK есебі деп KарастырайыK.
1-сурет.
Алдымен Кеплер есебін шешейік. АйталыK шардыS радиусы R болсын. Ал, цилиндрдыS биіктігініS жартысын x деп белгілесек. Цилиндр табаныныS радиусы r =13 QUOTE 1415 теS, к™лемі 213 QUOTE 1415 Тарталья бойынша бaл
(13 QUOTE 1415 болу керек. Онда біздіS максималды 13 QUOTE 1415, ал, 13 QUOTE 1415. Олай болса, экстримальді цилиндрдіS табан диаметрініS биіктігіне Kатынас 13 QUOTE 1415.
2-сурет.
КеплердіS ™зі де д‰л осылай тaжырымдаCан еді.
Ол максимумCа жаKын функцияныS _здіксіздігі туралы ™зініS идеясын пайдалансада болар еді. БіраK, ол бaл идеядан аттап ™тіп таза геометриялыK шешімін тапты.
ШарCа сызыла алатын максимум к™лемдегі цилиндр м‰селесін, Кеплер мынаCан т_йіндестірді. ШарCа сызылCан, табаны шаршы келетін, барлыK тікбaрышты параллелепипедтерден еS _лкен к™лемді Kамтитыны куб. Бaл м‰селе КеплердіS екінші кітабыныS IV тарауында д‰лелденген.
Кеплер шаршы табанды тікбaрышты параллелепипедтерді KысKаша “баCан” деп атаCан. БіK оныS _лгісі бойынша ж_ріп, мына екі жаCдайды м_мкін деп аламыз. а) баCан кубтан биік болCанда; ‰) баCан кубтан т™мен болCанда.
Алдымен а) м‰селесін шешіп алайыK. АйталыK, ABCDEFGH пен ABCDEFGH баCаны бір шарда сызылCан. ОлардыS к™лемдерін салыстырайыK. Кубтан екі параллелепипед шыCарылады. Бірі _стіндегі ABCDABCD, екіншісі д‰л сондай к™лемдегі астыSCы параллелепипед. Осымен кубтаCыдан к™бірегін б™ліп алCан боламыз. Бaны оSай байKауCа болады: ABCD квадрат баCанCанныS ‰рбір KабырCасына, табаны квадрат келген параллелепипедтер жабыстырылCан, олардыS ™зі осы ABCD квадратKа теS (конгруентті). Осындай параллелепипедтердіS бірін ABQRMNPL деп белгілейік. Осы праллелепипедтердіS ™зі шыCыSKы параллелепипедтерден к™бірек к™лемді Kамтиды. Шынымен аK, шыCыSKы параллелепипедтердіS к™лемі 213 QUOTE 1415 теS, ал, жабыстырылCан т™рт параллелипипедтіS к™лемі 13 QUOTE 1415. МындаCы 13 QUOTE 1415 = 13 QUOTE 1415 Енді 13 QUOTE 1415 _шбaрышын KарастырайыK.
13 QUOTE 1415 , AC доCасына, ал, 13 QUOTE 1415 _лкен доCа AC сай келеді. ЯCни, 13 QUOTE 1415, ж‰не осыдан,
Табатынымыз,
= 13 QUOTE 1415.
Керекті д‰лелдеме жасалынды.
3-4-суреттер.
Ендігі KалCаны ‰) жаCдайды Kарастыру. Бaнда да ABCDEFGH пен ABCDEFGH баCаны бір шарда сызылCан болсын. ОлардыS к™лемдерін салыстырайыK. БаCаннан шаршы табанды екі параллелепипед шыCарылCан. ОныS жалпы к™лемі 213 QUOTE 1415. Ал, кубтан шыCынKы параллелепипедтердіS к™лемі кішірек. Кеплер мaны былай д‰лелдейді. КубтыS барлыK жаKтарына шыCыSKы параллелепипедтер KалыSдыCындаCы параллелепипедтер KояйыK. ОлардыS бірін біз былай белгілеген едік ABFEPQRS. ОлардыS жалпы к™лемі
413 QUOTE 1415 = 413 QUOTE 1415/13 QUOTE 1415 ТаCы да ААА ж‰не АЕС _шбaрыштарын Kарастырамыз.
5-сурет
13 QUOTE 1415 бaрышын 13 QUOTE 1415 бaрышынан _лкенірек орнатамыз, сонда
БіраK Кеплер ‰ділетті т_рде мынаны белгілейді: кубKа т™рт параллелепипед жабыстырCанымен ол баCананы толыCымен жаба алмайды, т™рт KабырCада т™рт параллелепипед _Sірейіп тaрады. ОллардыS бірін BLBOFMFN. €рбір KабырCадан AE, BF, CG ж‰не DH сaламалы бaл параллелепипедтердіS ‰рбірі баCанныS б™лігін Kaрайды. Ж‰не осындай ‰рбір баCанныS к™лемі 13 QUOTE 1415. €рбір Kырына параллелепипед жалCаCанымызда олар баCананыS биіктіктерімен сегізге шыCады. Осы сегіздіS бірі BQPATABL. €рбір сегіз баCанныS к™лемі |AB||AP||AA| теS. €лбетте, мына теSсіздіктен 2|AA| > 213 QUOTE 1415|AA| = 4|AP| жалCасын табатын ‰р KабырCадаCы т™рт баCан да бaл к™лемде ™з орнын алады. Сонымен, баCандарымызCа 213 QUOTE 1415|AA| > 413 QUOTE 1415|AP| KараCанда кубтан 413 QUOTE 1415 |AP|
· 8|AB||AP||AA| + 4|AB||AP| < 413 QUOTE 1415|AP| азыраK м™лшер алынады екен. Осымен, к™мекші есебімізде соSына жетті.
Бaдан кейінгісі м_лде оSай. €рбір цилиндрге баCан сызып, цилиндрдіS к™лемін сызCан баCанымыздыS к™леміне Kатнасын тексеріп отырамыз. Ол тaраKты ж‰не д‰л 13 QUOTE 1415 болады. ЯCни, к™лемі еS _лкен цилиндр, ішіне куб сыза алатын цилиндр болып табылады. Ал, оныS биіктігініS диаметрге Kатнасы 13 QUOTE 1415 теS. Осы теоремасын д‰лелдей отырып, Кеплер мыналарды да айта кеткен екен. "АвстриялыK б™шкешілер дaрыс ж‰не геометриялыK тaрCыда б™шкені кaрастырCанда, т_бініS радиусы _шін темір-тыCынныS aзындыCыныS _штен бірін алатын тартіпті сактайтыны осыдан екен. Тек осындай кaрылCыда, ойша екі т_птіS ортасында KaрастырылCан цилиндрдіS екі жартысы болады, V теоремадаCы жаCдайCа ™те жаKын ‰рі сай келеді. Сондыктан, б™шкені KaрастырCанда наKты ережеден шамалы ауытKыса да ™те сиымды болады, Себебі, оSтайлыCа жаKын фигуралар ™з сиымдылыCын ™те аз ™згертеді, екі жаCынан да еS к™п азаю маCынасы мардымсыз орын алады"
Jорыта келе КеплердіS с™зіне KарасаK, осы теорема жалCасын тапKан алCашKы алгоритмді кепілдікке алады.
Шварц _шбaрышы: 1.Шварц aсынCан д‰лелдеме. Герман Амандус Шварц (1843-1921) – функциялар теориясы мен анализге к™п _лес KосKан Берлин университетініS профессоры. АтаKты математиктіS бір еSбегі келесі есепке арналCан: берілген с_йірбaрышты _шбaрышKа периметрі еS аз болатын _шбaрышты іштей сал (_шбaрыш берілген _шбaрышKа іштей салынCан деп т_сінеміз, егер берілген _шбaрыштыS ‰р KабырCасында Kарастырылып отырCан _шбaрыштыS бір т™бесі жататын болса). Мaндай _шбaрыш жалCыз Cана болады, ал оныS т™белері берілген _шбaрыштыS биіктіктерініS табандары екен. Ол _шбaрышты биіктіктік _шбaрыш деп аталыK.
Шварц биіктіктік _шбaрыштыS минимальдік Kасиетін симметриялы т_рлендіру мен элементарлыK геометрияныS келесі теоремасын Kолданып д‰лелдейді.
Теорема: P,Q,R т™белерініS ‰рKайсысында биіктіктік _шбaрыштыS екі KабырCасы берілген _шбaрыштыS KабырCасымен бірдей бaрыш жасайды, ж‰не бaл бaрыштар берілген _шбaрыштыS осы KабырCасына Kарсы жатKан т™бесініS бaрышына теS.
М‰селен, ARQ мен BRP бaрыштарыныS ‰рKайсысы C бaрышына теS (1-сурет).
Алдымен осы теореманы д‰лелдейік. OPB ж‰не ORB бaрыштары тік болCандыKтан, OPBR т™ртбaрышына сырттай шеSбер сызуCа болады. Ендеше,
1-сурет
АВС _шбaрышына іштей сызылCан PQR биіктіктік _шбaрышы.
Бaл н‰тижеден биіктіктік _шбaрышына Kатысты келесі салдар шыCады. М‰селен,
Енді биіктіктік _шбaрыштыS минимальдік Kасиетін д‰лелдейік. ABC _шбaрышынан биіктіктік _шбaрышынан басKа іштей салынCан UVW _шбaрышын да KарастыралыK. Б_кіл фигураны ABC _шбaрышыныS AС KабырCасына Kатысты симметриялы к™шірелік. Енді пайда болCан фигураны AB KабырCасына Kатысты, сосын BC KабырCасына Kатысты, енді таCы AC KабырCасына Kатысты, сосын барып AB KабырCасына Kатысты симметриялы к™шірелік. Н‰тижесінде бір-біріне конгурентті болып келетін барлыCы алты _шбaрыш шыCады, ал олардыS ‰рKайсысында биіктіктік _шбaрыш пен іштей сызылCан басKа _шбaрыш к™рсетілген (KосымшаныS 1-суреті). СоSCы _шбaрыштыS BC KабырCасы бірінші _шбaрыштыS BC KабырCасына параллель. Шынында да, бірінші т_рлендіруде BC KабырCасы саCат тілі бойымен 2C бaрышына, екінші т_рлендіруде осы баCытпен 2B бaрышына бaрылса, _шінші т_рлендіруде ™згеріссіз Kалып, т™ртінші, бесінші т_рлендірулерде саCат тіліне Kарсы баCытпен с‰йкестігінше 2C ж‰не 2B бaрыштарына бaрылады. Сонымен, жалпы бaрылу бaрышы н™лге теS.
Биіктіктік _шбaрыштыS жоCарыда к™рсетілген Kасиетін ескеріп, 13 EMBED Equation.3 1415 кесіндісі PQR _шбaрышыныS екі еселенген периметріне теS екенін аламыз. Шынында да, 13 EMBED Equation.3 1415 алты кесіндіден KaралCан, ал бaлардыS біріншісі мен т™ртіншісі PQR _шбaрышыныS бірінші KабырCасына, екіншісі мен бесіншісі - екінші KабырCасына, ал _шіншісі мен алтыншысы - _шінші KабырCасына теS. Сол сияKты, 13 EMBED Equation.3 1415 KиыK сызыCыныS aзындыCы UVW _шбaрышыныS екі еселенген периметріне теS ж‰не ол 13 EMBED Equation.3 1415 кесіндісінен KысKа емес. Ал 13 EMBED Equation.3 1415 болCандыKтан, 13 EMBED Equation.3 1415 болады. Ендеше 13 EMBED Equation.3 1415 KисыK сызыCы 13 EMBED Equation.3 1415 кесіндісінен KысKа емес, яCни, биіктік _шбaрыштыS периметрі берілген _шбaрышKа іштей салынCан кез келген _шбaрыштыS периметрінен _лкен емес. Д‰лелдеу керегі де осы болатын.
2-3-4- суреттер
Сонымен, біз минимумныS бар болатындыCын ж‰не ол биіктіктік _шбaрыш жаCдайында к™рінетінін, сондай-аK, периметрі д‰л сондай болатын іштей салынCан _шбaрыштыS жоK екенін аныKтадыK, біраK бaл ‰лі д‰лелденген жоK, осыны д‰лелдейік.
Осы пунктіS басындаCы теоремада биіктіктік _шбaрыштыS ‰р т™бесіндегі екі KабырCасы берілген _шбaрыштыS KабырCасымен бірдей бaрыш жасайтынын д‰лелдеген болатынбыз. Герон есебінен к™рген жарыK с‰уленіS минимальдік KасиетініS бaCан Kатысы бар ма деген сaраKтыS тууы орынды секілді. Егер берілген с_йір бaрышты _шбaрыш айнадан жасалCан б™лме KабырCаларыныS проекциясы болатын болса, онда жарыK с‰улесініS шаCылысуынан пайда болатын жалCыз _шбaрышты контур биіктіктік _шбaрыш болады екен. €рине, басKа да тaйыK к™пбaрышты контурлар болуы м_мкін(4-сурет), біраK, биіктіктік _шбaрыш Kана _ш KабырCадан Kaралады. Бaл биіктіктік _шбaрыштыS табиCи жолмен алынуы болып табылады.
2. БасKа д‰лелдеме. Шварц м‰селесініS келесі ™те Kарапайым шешімі біз д‰лелдеген келесі теоремаCа негізделген: Егер P ж‰не Q н_ктелері 13 EMBED Equation.3 1415 т_зуініS бір жаCында жатса (біраK ™зінде емес), онда PR мен QR кесінділері 13 EMBED Equation.3 1415 т_зуімен бірдей бaрыш жасаCанда Cана PR+RQ Kосындысы минимумCа айналады (мaндаCы: R(13 EMBED Equation.3 1415). Берілген ABC _шбaрышына іштей сызылCан PQR _шбaрышы минимальдік шартын KанаCаттандырсын делік. Онда AB KабырCасында жатKан R н_ктесі _шін PR+QR Kосындысы м_мкіндігінше кіші болуы _шін ARQ мен BRP бaрыштары теS болуы Kажет. Сол сияKты,
АлдыSCы пункке келетін болсаK, егер іштей салынCан _шбaрыш жоCарыда келтірілген бaрыштардыS теSдігі Kасиетіне ие болса, онда Kарастырылып отырCан P, Q ж‰не R т™белеріндегі бaрыштар с‰йкестігінше A, B ж‰не C бaрыштарына теS болатынын ескерген ж™н. Шынында да, мысалы,
Енді, с_йірбaрышты _шбaрыш к™лемінде шектеліп, биіктіктік _шбaрыштыS периметрі берілген _шбaрыштыS кез келген екі еселенген биіктігінен кіші екенін к™рсетелік. QP мен QR т_зулерін салып, B т™бесінен QP, QR ж‰не PR т_зулеріне перпендикулярлар т_сірелік; L, M ж‰не N – осы перпендикулярлардыS табандары болсын (5-сурет). QL мен QM кесінділері QB биіктігініS QP мен QR т_зулеріне т_сірілген проекциялары болCандыKтан, QL + QM < 2QB болады. БіраK, QL+QM=p болады, мaндаCы p ( биіктіктік _шбaрыштыS периметрі. Шынында да,
Осыдан QL+QM=QP+PN+QR+ +RN=QP+RP+RQ=p екенін аламыз. БіраK, 2QB>QL+QM екені алдында к™рсетілген болатын. Ендеше, p екі еселенген QB биіктігінен кіші екен. Сонымен биіктіктік _шбaрыштыS минимальдік Kасиеті толыCымен д‰лелденді
5-сурет
Биіктіктік _шбaрыштыS минимальдік Kасиетін д‰лелдеу.
3. ДоCалбaрышты _шбaрыштар. ЖоCарыдаCы екі д‰лелдеуде де A, B, C бaрыштарыныS б‰рі де с_йір болсын деп келесілген еді. АйталыK, егер C бaрышы доCал болса, онда P ж‰не Q н_ктелері _шбaрыштан тыс жатар еді (6-сурет). СондыKтан, іштей сызылCан _шбaрыш деп т™белері берілген _шбaрыштыS KабырCаларында немесе олардыS созындысында жататын _шбaрышты атаймыз деп келіспесек, биіктіктік _шбaрышты берілген _шбaрышKа іштей салынCан деп айта алмас едік. Jалай болмаса да, PR>CR, QR>CR болCандыKтан p=PR+QR+PQ>2CR болатынын ескерсек, кеSейтілген маCынадаCы биіктіктік _шбaрыш минимальдік Kасиетке ие болмайды. СоSCы д‰лелдеуіміздіS екінші б™лімінен к™ргеніміздей, минимальді периметр биіктіктік _шбaрышпен берілмеген жаCдайда екі еселенген биіктіктердіS біріне теS болады. Осыдан, доCалбaрышты _шбaрыш _шін минимал периметрлі «іштей сызылCан» _шбaрыштыS доCал бaрыштан т_сірілген биіктікке теS болатынын аныKтаймыз. Бaл жаCдайда, іштей сызылCан наKты _шбaрыш болмаса да, периметрі осы м‰нге мейлінше жаKын іштей сызылCан _шбaрыштарды к™рсетуге болады. Берілген _шбaрыш тікбaрышты болCан ™тпелі жаCжайында екі шешім де (биіктіктік _шбaрыш пен тік бaрыштан т_сірілген екі еселенген биіктік) беттеседі.
Q
P
C
A R B
6-сурет
ДоCалбaрышты _шбaрышKа іштей сызылCан биіктіктік _шбaрыш.
Максимум ж‰не минимум м‰селелеріне арналCан есептерді шыCару
№1 есеп. (КеплердіS планиметриялыK есебі.) Берілген бірлік д™Sгелекке ауданы максимал болатын тікбaрышты іштей сал.
Шешуі: Ох ж‰не Oy ™стерін тікбaрыштыS KабырCаларына параллель болоатындай етіп таSдап алайыK (2-сурет). Онда, центрі координат бас н_ктесімен беттесетін бірлік шеSбердіS теSдеуі 13 EMBED Equation.3 1415 болатыны белгілі. Егер (x,y) тікбaрыштыS бірінші квадтантта орналасKан т™бесініS координатасы болатын болса, онда тікбaрыштыS ауданы 4хy болады.
Сонымен 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 шарттарын KанаCаттандыратын 13 EMBED Equation.3 1415 функциясыныS максимуын табу керек. Немесе, Бaл ™рнектерді т_рлендіретін болсаK, онда 13 EMBED Equation.3 1415 шартын KанаCаттандыратын 13 EMBED Equation.3 1415 функциясыныS немесе 13 EMBED Equation.3 1415еS _лкен м‰нін табуымыз керек болады.
Ол _шін 13 EMBED Equation.3 1415 болуы керек. Ендеше:
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415.
y
(x, y)
O x
1-сурет
Сонымен 13 EMBED Equation.3 1415 болCанда, тікбaрыш квадратKа айналады екен.
Жауабы: Д™Sгелекке іштей сызлCан максимал ауданды тікбaрыш квадрат болады екен.
№2 есеп. Екі KабырCасы берілген екі a ж‰не b кесінділері болатын, ал ауданы максимал болатын _шбaрышты табу керек болсын. Шешуі катеттері a, b болатын тікбaрышты _шбaрыш болады. Шынында да, екі KабырCасы a ж‰не b болатын кез келген _шбaрыш KарастырайыK (1-сурет).
Егер h – a KабырCасына т_сірілген биіктік болатын болса, онда _шбaрыштыS S ауданы 13 EMBED Equation.3 1415ah-Kа теS. К™ріп отырCанымыздай, соSCы ™рнек h-Kа тура пропорционал. h-тыS м_мкіндігінше _лкен м‰ні b-Cа теS екенін ескерсек, онда 13 EMBED Equation.3 1415ab максималды аудан болып табылады.
b b
h
a
2-сурет.
№3 eсеп. Радиусы 13 EMBED Equation.3 1415 болатын шеSберге бір табаны 13 EMBED Equation.3 1415-ке теS трапеция іштей сызылCан. Ауданы м_мкіндігінше еS _лкен болуы _шін трапецияныS б_йір KабырCасыныS aзындыCы неге теS болуы керек?
3-сурет
Шешуі:1. ТрапецияныS м_мкіндігінше еS _лкен ауданын табу керек, оны S ‰рпімен белгілейік.
2. ТрапецияныS белгілі табанындаCы бaрышын х деп белгілейік, айталыK х=13 EMBED Equation.3 1415 болсын. Онда трапециямыз теS KабырCалы _шбaрышKа ауысады (2-сурет), білетініміздей оныS KабырCасы да 13 EMBED Equation.3 1415 болады. Ал егер x<13 EMBED Equation.3 1415 болса, трапециямыз шеSбердіS кіші доCасына іштей салынCан болады (3-сурет), ал есеп шарты бойынша бізге ауданы _лкен болатын трапеция керек, сондыKтан x13 EMBED Equation.3 1415болады. Екінші жаCынан ABCD доCасы 13 EMBED Equation.3 1415-Kа теS болCандыKтан, трапецияныS табанындаCы бaрышы керілген доCа 13 EMBED Equation.3 1415-тан кіші болады, яCни x<13 EMBED Equation.3 1415(4-сурет). Сонымен х бaрышы _шін ™згеру облысы Kaрылды: 13 EMBED Equation.3 1415.
3. Формула бойынша трапецияныS ауданы мынаCан теS: 13 EMBED Equation.3 1415 мaндаCы ВН – трапецияныS ауданы.
БіраK, AD+BC=(AH+HD)+(DH-DK)=2DH.
Ендеше: 13 EMBED Equation.3 1415болады. Осыдан AD=13 EMBED Equation.3 1415, BD=2Rsinx,
4. 13 EMBED Equation.3 1415 функциясыныS 13 EMBED Equation.3 1415 аралыCындаCы еS _лкен м‰нін табалыK:
1).13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415.
2). 13 EMBED Equation.3 1415 аралыCында 13 EMBED Equation.3 1415 функциясы х=13 EMBED Equation.3 1415 н_ктесінде Cана н™лге айналады.
3). х=13 EMBED Equation.3 1415 болса 13 EMBED Equation.3 1415 егер х=13 EMBED Equation.3 1415 болса, 13 EMBED Equation.3 1415 егер 13 EMBED Equation.3 1415 онда 13 EMBED Equation.3 1415. Ендеше м_мкіндігінше еS _лкен аудан не 13 EMBED Equation.3 1415 не 13 EMBED Equation.3 1415. АйталыK 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 болсын деп aйCарайыK, онда 13 EMBED Equation.3 1415 яCни 13 EMBED Equation.3 1415 немесе 13 EMBED Equation.3 1415 болады деген с™з, ал бaл Kарама-KайшылыK. Ендеше 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 екен.
5. Сонымен табанындаCы бaрышы 13 EMBED Equation.3 1415 болатын трапеция еS _лкен ауданCа ие болады екен. Есеп шарты бойынша ол трапецияныS б_йір Kырын табалыK. ABD _шбaрышына синустар теоремасын Kолданып 13 EMBED Equation.3 1415 болатынын аламыз.
№4 есеп. Табаны мен т™бесіндегі бaрышы берілген барлыK _шбaрыштар ішінен т™бесіндегі бaрышыныS биссектрисасы теS б_йірлі _шбaрышта еS _лкен болатынын д‰лелдейік.
Шешуі: I т‰сіл. 1. y – BD биссектрисасыныS еS _лкен м‰нін табу керек (5-сурет).
Есеп шарты бойынша АС мен
4-сурет
х-тіS ™згеру облысын аныKтайыK. Бір жаCынан, бaл бaрыш BDC _шбaрышыныS сыртKы бaрышы ретінде осы _шбaрыштыS BDA бaрышымен іргелес емес ‰р бір бaрышынан _лкен, яCни 13 EMBED Equation.3 1415 . Екінші жаCынан, ABD _шбaрышынан 13 EMBED Equation.3 1415 екенін аламыз, ендеше, 13 EMBED Equation.3 1415 болады.
3. BD кесіндісін x, b ж‰не 13 EMBED Equation.3 1415 арKылы ™рнектеп алайыK. 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 екенін айта кеткен ж™н.
АВС _шбaрышына синустар теоремасын KолдансаK: 13 EMBED Equation.3 1415, яCни 13 EMBED Equation.3 1415 . Осыдан 13 EMBED Equation.3 1415 табамыз.
Д‰л осылай ABD _шбaрышы _шін де синустар теоремасын KолдансаK: 13 EMBED Equation.3 1415, яCни 13 EMBED Equation.3 1415 болады. Осыдан:
13 EMBED Equation.3 1415.
4. 13 EMBED Equation.3 1415 функциясыныS 13 EMBED Equation.3 1415 аралыCындаCы еS _лкен м‰нін табайыK:
1).13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
=13 EMBED Equation.3 1415=
13 EMBED Equation.3 1415.
2). 13 EMBED Equation.3 1415 болады, егер 13 EMBED Equation.3 1415 яCни 13 EMBED Equation.3 1415 болса (13 EMBED Equation.3 1415 аралыCында 13 EMBED Equation.3 1415 теSдеуініS ™зге шешімі жоK); егер 13 EMBED Equation.3 1415 болса, онда 13 EMBED Equation.3 1415 аныKталмайды, біраK 13 EMBED Equation.3 1415 аралыCында бaл теSдеудіS шешімі болмайды.
3). ФункцияныS еS _лкен м‰нін аныKтауCа арналCан кестені Kaрамас бaрын, бaл функцияныS 13 EMBED Equation.3 1415 ж‰не 13 EMBED Equation.3 1415 болCандаCы бір жаKты шектерін табу керек:
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415.
Енді 13 EMBED Equation.3 1415 функциясы ™зініS еS _лкен м‰нін 13 EMBED Equation.3 1415 болCанда Kабылдайтыны аныK. Бaл м‰н келесіге теS:
13 EMBED Equation.3 1415.
5. Егер 13 EMBED Equation.3 1415 болса, онда 13 EMBED Equation.3 1415 болады, бaл АВС _шбaрышыныS BD биссектрисасы сонымен бірге биіктік болып табылады деген с™з, яCни АВС _шбaрышы теS б_йірлі болады. Сонымен, табаны мен т™бесіндегі бaрышы берілген барлыK _шбaрыштардыS ішінен еS _лкен биіктікті теS б_йірлі _шбaрыш Kабылдайды екен.
II т‰сіл. АлдыSCы т‰сілмен салыстырCанда бaл есептіS ‰рі KысKа, ‰рі aтымды келетін келесі геометриялыK шыCарылу жолын к™рсетелік.
Биссектрисасы BD болатын АВС _шбaрышына сырттай шеSбер сызалыK (6-сурет). Табаны мен т™бесіндегі бaрышы д‰л осындай болатын басKа _шбaрыштардыS т™белері АВС доCасында жатады. 13 EMBED Equation.3 1415 теS б_йірлі _шбaрышыныS 13 EMBED Equation.3 1415 биссектрисасын ж_ргізіп, BD<13 EMBED Equation.3 1415 болатынын д‰лелдейік.
В 13 EMBED Equation.3 1415
А D 13 EMBED Equation.3 1415 C
M
5-сурет
BD ж‰не 13 EMBED Equation.3 1415 биссектрисаларын KиылысKанша созалыK. Олар М – АС доCасыныS орта н_ктесінде Kиылысады. 13 EMBED Equation.3 1415 - шеSбердіS диаметрі болCандыKтан, BM<13 EMBED Equation.3 1415болады. Ал 13 EMBED Equation.3 1415_шбaрышынан DM>13 EMBED Equation.3 1415 болатыны шыCады. Осы теSсіздіктерді есекріп, BM-DM<13 EMBED Equation.3 1415-13 EMBED Equation.3 1415 болатынын аламыз, яCни BD<13 EMBED Equation.3 1415. Д‰лелдеу керегі де осы еді.
№5 есеп. А мен В радиустары R мен r болатын екі концентрлі шеSберлерден т_зілген саKинаныS ішінде орналасKан н_ктелер болсын. Егер олардыS араKашыKтыCы 1-ге теS болса, АВ кесіндісініS саKина центрінен к™ріну бaрышыныS минимал м‰ні Kандай болмаK?
Шешуі:СаKинаныS R-r ені 1-ден кіші болCан жаCдайды Kарастыру жеткілікті, ™йтпегенде, АОВ бaрышы н™лге теS болуы м_мкін (7-сурет). Ендігі кезекте екі н_ктеніS біреуі, м‰селен А н_ктесі саKинаны шектеуші _лкен шеSберде жатыр деп aйCаруCа болады, ал олай жатпаса, АВ кесіндісін бір aшы _лкен шеSберде жатKанша параллель к™шіреміз, н‰тижесінде, АОВ бaрышы тек кішірейеді (8-сурет).
Енді центрі А, ал радиусы 1-ге теS болатын 13 EMBED Equation.3 1415 доCасын ж_ргізелік (9-сурет); В н_ктесі осы доCада жатуы тиіс.
Енді осы доCа тиісті болатын сшеSберге О н_ктесі арKылы 13 EMBED Equation.3 1415 жанама ж_ргіземіз. Егер 13 EMBED Equation.3 1415 н_ктесі 13 EMBED Equation.3 1415 доCасынан тыс (9,а-сурет) немесе оныS 13 EMBED Equation.3 1415 aшымен беттессе, онда В н_ктесі 13 EMBED Equation.3 1415 доCасыныS бойымен 13 EMBED Equation.3 1415 н_ктесінен 13 EMBED Equation.3 1415 н_ктесіне жылжып KозCалCан сайын АОВ бaрышы ‰рдайым арта бермек; сондыKтан ,бaл бaрыш ™зініS еS кіші м‰нін В н_ктесі 13 EMBED Equation.3 1415 н_ктесімен (ал 13 EMBED Equation.3 1415 н_ктесімен беттескенде еS _лкен м‰нін) беттескенде Kабылдайды.
А 13 EMBED Equation.3 1415
А
В 13 EMBED Equation.3 1415
О О В
6-сурет 7-сурет
А А
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
В2 В В
О В0 О В2 13 EMBED Equation.3 1415а) б)
8-сурет
Егер 13 EMBED Equation.3 1415 н_ктесі 13 EMBED Equation.3 1415 доCасыныS ішінде жатса (9,б-сурет), онда В н_ктесі13 EMBED Equation.3 1415 н_ктесінен 13 EMBED Equation.3 1415 н_ктесіне жылжыCан кезде АОВ бaрышы алдымен артып, кейін кемиді; сондыKтан, бaл жаCдайда В н_ктесі 13 EMBED Equation.3 1415 мен 13 EMBED Equation.3 1415 н_ктелерініS бірімен беттескенде м_мкіндігінше еS аз м‰н, ал 13 EMBED Equation.3 1415 н_ктесімен беттескенде ™зініS еS _лкен м‰нін Kабылдайды. Сонымен, В н_ктесі 13 EMBED Equation.3 1415 мен 13 EMBED Equation.3 1415 н_ктелерініS бірімен беттескенде АОВ бaрышы ‰рKашан еS кіші м‰нін Kабылдайды екен.Сонымен бірге 13 EMBED Equation.3 1415 _шбaрышынан шыCатын 13 EMBED Equation.3 1415 мен 13 EMBED Equation.3 1415 теSсіздіктерін ескерген ж™н. Jай жаCдайда бaл бaрыштардыS біріншісі, ал Kай жаCдайда екіншісі _лкен болатынын аныKтайыK.
13 EMBED Equation.3 1415.
Осыдан, егер 13 EMBED Equation.3 1415 болса, онда 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 болады, ендеше 13 EMBED Equation.3 1415 шыCады;
егер 13 EMBED Equation.3 1415 болса, онда 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 болады, ендеше 13 EMBED Equation.3 1415 шыCады.
Сонымен Kорытындылай келсек: егер 13 EMBED Equation.3 1415 болса, онда м_мкін болар еS кіші бaрыш 13 EMBED Equation.3 1415-ге 13 EMBED Equation.3 1415 теS; егер 13 EMBED Equation.3 1415 (біраK 13 EMBED Equation.3 1415) болса, онда м_мкін болар еS кіші бaрыш 13 EMBED Equation.3 1415-ге (егер 13 EMBED Equation.3 1415 болса, онда екі жауап бір-бірімен беттеседі); егер 13 EMBED Equation.3 1415 болса, онда м_мкін болар еS кіші бaрыш н™лге теS.
№6 есеп. Ауданы 1-ге теS трапецияныS _лкен диоганалініS м_мкін болар еS _лкен м‰нін табыSыздар.
В С
А К L D
9-сурет
Шешуі: ABCD трапециясыныS AC диоганалі BD диоганалінен кіші болмасын делік (9-сурет). BR13 EMBED Equation.3 1415AD, CL13 EMBED Equation.3 1415AD, болсын, онда CL=BK=h болады. AL13 EMBED Equation.3 1415KD себебі AC13 EMBED Equation.3 1415BD. 13 EMBED Equation.3 1415.К™ріп отырCанымыздай, AD+BC=AL+KD.
Ендеше:13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Бaдан к™ріп отырCанымыздай, 13 EMBED Equation.3 1415 ™зініS еS _лкен м‰нін 13 EMBED Equation.3 1415, яCни 13 EMBED Equation.3 1415 болCанда Kабылдайды екен. Сонымен АС-ныS еS _лкен м‰ні 13 EMBED Equation.3 1415-ге теS, ал бaл трапеция теSб_йірлі болCанда орындалады екен.
№7 есеп. Радиусы R шеSберге берілген
· бaрышы іштей салынCан. Осы бaрышты Kaраушы чордалардыS Kосындысы еS _лкен болуы _шін олардыS aзындыKтары Kандай болуы керек?
В
А С
10-сурет
Шешуі:
·,
·,
· (14-сурет). 13 EMBED Equation.3 1415.
Осыдан AC+AB=2R(sin
·+sin
·)=13 EMBED Equation.3 1415 Бaл ™рнектіS еS _лкен м‰ні 13 EMBED Equation.3 1415 ™рнегініS еS _лкен м‰ніне с‰йкес келеді. Ал бaл
· –
·=0 немесе
· =
· болCанда Cана орындалады.
· +
·=
· –
· болCандыKтан, 13 EMBED Equation.3 1415 болады, ендеше АС=АВ.
ЯCни, АС+АВ ™рнегі АС=АВ=13 EMBED Equation.3 1415 болCанда Cана еS _лкен м‰ннін Kабылдайды екен.
№8 есеп. JабырCада ілулі тaрCан суреттіS асты адам к™зінен а м-ге, ал _сті в м-ге биік орналасKан. Суретті тамашалай бaрышы максимал болуы _шін (бaл кезде сурет жаKсы к™рінеді) адам KабырCадан Kандай KашыKтыKта тaруы керек?
Шешуі: ОА=а,ОВ=в, ал ОХ – ізделінді KашыKтыK, <ВХА, себебі бaлардыS біріншісі KабырCаларыныS арасындаCы мен олардыS созындысында жатKан доCалардыS KосындысыныS жартысымен , ал екіншісі АВ доCасыныS жартысымен ™лшенеді. Ендеше, <ВХА – еS _лкен бaрыш деген шартымыз Kарама-KайшылыKKа тіреледі. ЯCни, шеSбер ОХ т_зуін D н_ктесінде жанайды деген aйCарымымыз Kате.
11-сурет
Бaл шеSбер ОХ т_зуін Х н_ктесінде жанайды екен. Жанама мен KыюшыныS Kасиеттеріне с_йенсек келесіні аламыз: 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415.
Есеп №9. Берілген _шбaрышKа екі т™бесі _шбaрыштыS бір KабырCасында, ал KалCан екі т™бесі _шбaрыштыS KалCан екі KабырCаларында жататындай етіп ауданы еS _лкен болатын тік т™ртбaрыш салыSдар.
Шешуі: _шбaрыштыS бір KабырCасын а деп, с‰йкел келетін биіктігін k деп, ал тік т™ртбaрыштыS ™лшемдерін x,y деп белгілейік (16-сурет).
А
M N
x
B y C
12-сурет.
Тік т™ртбaрыштыS ауданы S=xy теS. MAN ж‰не BAC _шбaрыштарыныS теSдігінен келесіні аламыз: 13 EMBED Equation.3 1415;13 EMBED Equation.3 1415.
Сонда 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 - шамасы тaраKты болCандыKтан, 13 EMBED Equation.3 1415
функциясы еS _лкен м‰н KабылдаCанда аудан да мксимал болатынын ескерген ж™н. СондыKтан: 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415, яCни MN - _шбaрыштыS орта сызыCы екен.
Тік т™ртбaрыштыS м_мкін болар еS _лкен ауданы _шбaрыштыS ауданыныS жартысына теS, яCни тік т™ртбaрыштыS екі т™бесі _шбaрыштыS Kай KабырCасында жатKаныныS айырмашылыCы жоK.
Есеп №10. Ендері бірдей а-Cа теS _ш таKтайдан к™лденеS Kимасы - трапецияныS ауданы м_мкіндігінше еS _лкен болатындау етіп (сонда астаудыS ™ткізгіштігі жоCары болады) астау даярлау керек.
А М В
х
а а
D a C
13-сурет.
Шешуі: DM13 EMBED Equation.3 1415AB (17-сурет). 13 EMBED Equation.3 1415екені белгілі.13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415болCандыKтан 13 EMBED Equation.3 1415 Пайда болCан теSдіктіS м_мкін болар еS _лкен м‰нін табалыK. 13 EMBED Equation.3 1415 болCандыKтан, 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 .
13 EMBED Equation.3 1415
Сонымен, т_бір астындаCы к™бейткіштердіS Kосындысы тaраKты екен, ендеше т_бір астындаCы ™рнек ж‰не онымен бірге 13 EMBED Equation.3 1415 ™рнегі де 13 EMBED Equation.3 1415, немесе 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 болCанда Cана м_мкін болар еS _лкен м‰нін Kабылдайды.
Жауабы: б_йір Kыры табанына 13 EMBED Equation.3 1415 бaрышымен к™лбегенде Cана астаудыS к™лденеS KимасыныS ауданы м_мкіндігінше еS _лкен болады[12].
ПрактикалыK есептер.
Ішкі облысы KабырCасы а-Cа теS дaрыс алтыбaрыштыS ішінде орналасKан еS _лкен KабырCалы квадраттыS KабырCасын табыSыздар.
Берілген екі M, N н_ктелерінен KашыKтыKтарыныS Kосындысы минимал болатын a т_зуініS н_ктесін к™рсетіSіз.
АВС _шбaрышыныS А т™бесі арKылы ™тетін, біраK ВС KабырCасын Kимайтын MN т_зуін В ж‰не С н_ктелеріне дейінгі KашыKтыKтарыныS Kосындысы еS _лкен болатындай етіп ж_ргізіSіздер.
ABCD параллелограмынан тыс, біраK А т™бесі арKылы ™тетін т_зу ж_ргізілген. ВС ж‰не СD KабырCалары осы т_зумен с‰йкестігінше M ж‰не N н_ктелерінде KиылысKанша созылCан. ВМ мен DМ кесінділерініS Kосындысы мейлінше аз болуы _шін бaл т_зуді Kалай ж_ргізуге болады.
ТабаныныS ауданы 1 дм2, ал барлыK KырларыныS Kосындысы 20 дм болатын тікбaрышты параллелипед KалыбындаCы Kорап дайындау керек. JораптыS Kандай ™лшемдерінде оныS бетініS ауданы мейлінше _лкен болмаK?
ОKулыK бетініS ауданы S см2. ТехникалыK себептерге байланысты текс жолдарыныS ені асты мен _сті бойынша а см, ал сол жаCы мен оS жаCы бойынша bсм болуы Kажет. Текс KамтыCан б™лігініS ауданы мейлінше _лкен болуы _шін оKулыK бетініS ™лшемдерініS Kатынасы Kандай болуы керек?
ТоннельдіS Kимасы тікт™ртбaрыш пен оCан іргелес жатKан жарты шардан тaрады. Егер KиманыS ауданы S болса, онда оныS периметрі мейлінше аз болуы _шін ™лшемдері Kандай болуы керек?
Екі ™зара параллель AB ж‰не CD т_зулері мен с‰йкестігінше оларда жатKан M ж‰не N н_ктелері берілген. AB т_зуінде ME = a кесіндісі салынCан. EKM ж‰не NKF _шбaрыштарыныS аудандарыныS Kосындысы мейлінше _лкен болуы _шін E н_ктесімен MN т_зуініS Kай K н_ктесін Kосу керек? МaндаCы: F - EK мен CD т_зулерініS Kиылысу н_ктесі.
ЖазыKтыKта берілген н_кте арKылы бір-бірімен беттеспейтін жеті с‰уле ж_ргізілген. Іргелес с‰улелермен т_зілген бaрыштардыS ішінде 13 EMBED Equation.3 1415 бaрыштан _лкен бaрыш табылатынын д‰лелде.
13 EMBED Equation.3 1415 квадратында 15 н_кте белгіленді. Бaл квадраттан ішінде белгіленген н_кте болмайтын 13 EMBED Equation.3 1415 квадратын Kиып алуCа болатынын д‰лелде.
13 EMBED Equation.3 1415 квадратында 16 н_кте боялCан. ^ш клеткадан тaратын боялCан бaрыштыS табылатынын д‰лелде.
КлеткаларCа б™лінген шексіз KаCаз параCыныS ‰р клеткасы алты т_стіS біріне боялCан. Орталары KабырCалары параKтаCы т_зу сызыKтарCа параллель болатын квадраттын т™белері болатын т™рт клетка табылатынын д‰лелде.
шахмат таKтасына бір-бірін шаппастай етіп KойылCан королдердіS м_мкін болар еS к™п санын тап.
радиусы 2-ге теS д™Sгелекті толыCымен жабу _шін Kажет болар радиусы 1-ге теS д™SгелектердіS еS аз санын тап.
Ауданы S болатын квадратта аудандарыныS Kосындысы 1974S-тан _лкен болатын 1975 фигура орналасKан. Бaл фигуралардыS ортаK н_ктесі бар болатынын д‰лелде.
Ауданы S, ал периметрі P болатын д™Sес т™ртбaрышKа радиусы 13 EMBED Equation.3 1415-Kа теS д™Sгелек орналастыруCа болатынын д‰лелде.
JабырCалары 20 мен 25-ке теS болатын тікбaрыштыS ішіне KабырCасы 1-ге теS 120 квадрат лаKтырылCан. ТікбaрышKа квадраттардыS ешбір KабырCасын Kимайтын диаметрі 1-ге теS д™Sгелекті орналастыруCа болатынын д‰лелде.
JабырCасы 1,5 болатын квадрат KабырCасы 1-ге теS болатын _ш квадратпен толыK жабылады ма?
ABCD квадратыфнда бес н_кте орналасKан. Jандайда бір екеуініS араKашыKтыCы 13 EMBED Equation.3 1415-ден аспайтынын д‰лелде.
Паркте 10 000 аCаш (‰рKайсысында 100 аCаштан болатын 100 Kатар) ™сіп тaр. Келесі шарт орындалCандаCы кесуге болар аCаштардыS еS к™п санын тап: кез келген томарCа мінгенде ™зге бір де бір томар к™ріндеуі тиіс.
Радиусы бірге теS болатын д™SгелектіS ішінен Kос-Kостан алCанда араKашыKтыKтары 1-ден артыK бес н_ктеден артыK н_кте болмайтынын д‰лелде.
Кез келген _шеуініS ішінде екеуініS араKашыKтыCы 1-ден кем болатын 25 н_кте жазыKтыKта орналасKан. Осы н_ктелердіS кем дегенде 13-ін Kамтып жататын радиусы 1-ге теS д™SгелектіS бар болатынын д‰лелде.
13PAGE 142015
13PAGE 15
12-сурет. Т™рт н_ктеніS арасындаCы 13-сурет. Бес н_ктелер арасындаCы KысKа жолдар ж_йесі. KысKа жолдар ж_йесі.
Рисунок 2Рисунок 3Рисунок 282Рисунок 283Рисунок 285Root EntryEquation NativeРисунок 286Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeРисунок 300Equation NativeEquation NativeEquation NativeРисунок 302Рисунок 303Рисунок 305Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativexEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeРисунок 10Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeРисунок 12Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native